Fourier-eksponenttien vastakkaiset merkit kentän luonti- ja tuhoamisosissa eivät ole kaksi itsenäistä Fourier-muunnoskonventiota. Ne ilmaisevat sitä, että \(a^\dagger\) ja \(a\) muuttavat tilan neliliikemäärää vastakkaisiin suuntiin. Tämä suhteellinen vastakkaisuus on fysikaalinen. Sen sijaan koko Poincaré-esityksen, translaatioparametrin ja Fourier-ytimen yhteinen merkinvaihto on edelleen konvention vaihto.
Pelkkä operaattorin adjungointi-, taajuus- tai Fourier-signatuuri ei ratkaise, kuvaako termi fysikaalista luomista vai tuhoamista. Tulkinta edellyttää tyhjön, positiivisen energian suunnan, moodien sisätulon, säilyvien varausten sekä tarvittaessa alku- ja loppureunaehtojen määräämää hiukkasesitystä. Kun tämä rakenne on valittu, luonti- ja tuhoamisoperaattorit tunnistetaan niiden vaikutuksesta tyhjöön ja generaattorien ominaisarvoihin; Fourier-vaiheet seuraavat tästä rakenteesta; eivät perusta sitä.
Tätä en osta tuossa muodossaan.Nimetön 1 kirjoitti: ↑Eilen, 01:30Fourier-eksponenttien vastakkaiset merkit kentän luonti- ja tuhoamisosissa eivät ole kaksi itsenäistä Fourier-muunnoskonventiota. Ne ilmaisevat sitä, että \(a^\dagger\) ja \(a\) muuttavat tilan neliliikemäärää vastakkaisiin suuntiin.
\(a^\dagger(\mathbf p)\): tehtävä on ensisijaisesti muuttaa hiukkalukumäärä, ei liikemäärä. Esimerkiksi vakuumiin voidaan kohdistaa kaksi \(a^\dagger\)-operaattoria, ja saadaan \(a^\dagger(\mathbf p_1) a^\dagger(\mathbf p_2) \ket {0} = \ket{\mathbf p_1, \mathbf p_2}\), joka on kahden hiukkasen tila. Tässä liikemäärä (ehkä) lisääntyy, sillä \(\mathbf P \ket{\mathbf p_1, \mathbf p_2} = (\mathbf p_1 + \mathbf p_2) \ket{\mathbf p_1, \mathbf p_2}\), mutta kun luodaan kaksi hiukkasta siten, että \( \mathbf p_2 = -\mathbf p_1\), niin liikemäärä ei lisäänny, vaan on nolla, kuten oli ennen hiukkasten luontiakin.
Poisto-operaattorilla \(a\) voidaan toki poistaa vain toinen tai molemmat, mutta esim. \(a(\mathbf p_3) \ket{\mathbf p_1, \mathbf p_2} = 0\). Liikemäärä ei vähene "\(-\mathbf p_3\)" vaan koko termi poistuu, kun kysessä olisi useita termejä sisältävä lauseke, jonka osana tuo on.
Fourier-muunnoksen eksponentti on itse asiassa kerroin \(a^\dagger\):n ja \(a\):n edessä, ja sitä kautta sen rooli tulee esille.
Lelumallina kahden varatun skalaarihiukkasen sironta, jossa ennen sirontaa liikemäärät \(\mathbf p_1\) ja \(\mathbf p_2\), ja sironnan jälkeen \(\mathbf p'_1\) ja \(\mathbf p'_2\). Hamiltonin tiheys on muotoa
\(\displaystyle \mathscr H(t, \mathbf x) \sim g :\phi^\dagger(x) \phi(x) \phi^\dagger(x) \phi(x):\)
Kun integroidaan avaruuden yli, saadaan vuorovaikutuksen operaattori
\(\displaystyle V(t) = \int d^3x\ \mathscr H(t,\mathbf x)\).
Operaattorikentässä on positiivisen- ja negatiivisen kulmataajuuden termit
\(\begin{align}
\phi(x) &= \phi^+ + \phi^{-c} = (2\pi)^{-3/2} \int d^3p\ \left[\ u(\mathbf p)\ e^{ipx}\ a(\mathbf p) + v(\mathbf p)\ e^{-ipx}\ a^{c \dagger}(\mathbf p)\ \right]\\
\phi^\dagger(x) &= \phi^{-\dagger} + \phi^{+c\dagger} = (2\pi)^{-3/2} \int d^3p\ \left[\ u^*(\mathbf p)\ e^{-ipx}\ a^\dagger(\mathbf p) + v^*(\mathbf p)\ e^{ipx}\ a^c(\mathbf p)\ \right]
\end{align}\)
Skalaarikertoimet \(u\) ja \(v\) voidaan tässä unohtaa. Jos kentät sijoitettaisiin, tehtäisiin normal ordering, ja kommutoinnit, niin saataisiin
\(\mathscr H(t, \mathbf x) \sim \int d^3p'_1\ d^3p'_2\ d^3p_1\ d^3p_2\ a^\dagger(\mathbf p'_1)a^\dagger(\mathbf p'_2)a(\mathbf p_1)a(\mathbf p_2)\ e^{-ip'_1x}e^{-ip'_2x}e^{+ip_1x}e^{+ip_2x}\)
missä eksponentit edelleen Minkowski-sisätulona. Kun tämän sijoittaisi vuorovaikutukseen \(V(t)\), niin integraali \(\mathbf x\):n suhteen signatuurilla (-,+,+,+) olisi muotoa
\(\displaystyle \int d^3x\ e^{i(-\mathbf p'_1 - \mathbf p'_2 + \mathbf p_1 + \mathbf p_2)\cdot \mathbf x}\)
Aikariippuvuus jää 3-dim integraalin ulkopuolelle. Kun verrataan \(\delta^{(3)}\)-funktion integraaliesitykseen, niin tuo on sama kuin
\((2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf p_1 + \mathbf p_2 -\mathbf p'_1 - \mathbf p'_2)\)
Fourier-ekspontit toteuttavat näin ollen \(\delta\)-funktion avulla liikemäärän säilymisen \(\mathbf p_1 + \mathbf p_2 = \mathbf p'_1 + \mathbf p'_2\), ja tämä näkyy suoraan vuorovaikutuksen operaattorissa \(V(t)\). Kun \(V(t)\) integroidaan vielä ajan suhteen, niin saadaan deltafunktio myös energialle, joka sitten toteuttaa energian säilymisen.
Täsmennetään: \(a^\dagger(\mathbf p)\) ja \(a(\mathbf p)\) kantavat moodeina vastakkaisia translaatiopainoja \(\pm p^\mu\). Fock-esityksessä ne muuttavat samalla moodin miehitystä ja siten systeemin neliliikemäärä- ja viritystilatasetta silloin, kun operaatio antaa nollasta eriävän tuloksen.QS kirjoitti: ↑Eilen, 18:35Tätä en osta tuossa muodossaan.Nimetön 1 kirjoitti: ↑Eilen, 01:30Fourier-eksponenttien vastakkaiset merkit kentän luonti- ja tuhoamisosissa eivät ole kaksi itsenäistä Fourier-muunnoskonventiota. Ne ilmaisevat sitä, että \(a^\dagger\) ja \(a\) muuttavat tilan neliliikemäärää vastakkaisiin suuntiin.
\(a^\dagger(\mathbf p)\): tehtävä on ensisijaisesti muuttaa hiukkalukumäärä, ei liikemäärä. Esimerkiksi vakuumiin voidaan kohdistaa kaksi \(a^\dagger\)-operaattoria, ja saadaan \(a^\dagger(\mathbf p_1) a^\dagger(\mathbf p_2) \ket {0} = \ket{\mathbf p_1, \mathbf p_2}\), joka on kahden hiukkasen tila. Tässä liikemäärä (ehkä) lisääntyy, sillä \(\mathbf P \ket{\mathbf p_1, \mathbf p_2} = (\mathbf p_1 + \mathbf p_2) \ket{\mathbf p_1, \mathbf p_2}\), mutta kun luodaan kaksi hiukkasta siten, että \( \mathbf p_2 = -\mathbf p_1\), niin liikemäärä ei lisäänny, vaan on nolla, kuten oli ennen hiukkasten luontiakin.
Poisto-operaattorilla \(a\) voidaan toki poistaa vain toinen tai molemmat, mutta esim. \(a(\mathbf p_3) \ket{\mathbf p_1, \mathbf p_2} = 0\). Liikemäärä ei vähene "\(-\mathbf p_3\)" vaan koko termi poistuu, kun kysessä olisi useita termejä sisältävä lauseke, jonka osana tuo on.
Fourier-muunnoksen eksponentti on itse asiassa kerroin \(a^\dagger\):n ja \(a\):n edessä, ja sitä kautta sen rooli tulee esille.
Lelumallina kahden varatun skalaarihiukkasen sironta, jossa ennen sirontaa liikemäärät \(\mathbf p_1\) ja \(\mathbf p_2\), ja sironnan jälkeen \(\mathbf p'_1\) ja \(\mathbf p'_2\). Hamiltonin tiheys on muotoa
\(\displaystyle \mathscr H(t, \mathbf x) \sim g :\phi^\dagger(x) \phi(x) \phi^\dagger(x) \phi(x):\)
Kun integroidaan avaruuden yli, saadaan vuorovaikutuksen operaattori
\(\displaystyle V(t) = \int d^3x\ \mathscr H(t,\mathbf x)\).
Operaattorikentässä on positiivisen- ja negatiivisen kulmataajuuden termit
\(\begin{align}
\phi(x) &= \phi^+ + \phi^{-c} = (2\pi)^{-3/2} \int d^3p\ \left[\ u(\mathbf p)\ e^{ipx}\ a(\mathbf p) + v(\mathbf p)\ e^{-ipx}\ a^{c \dagger}(\mathbf p)\ \right]\\
\phi^\dagger(x) &= \phi^{-\dagger} + \phi^{+c\dagger} = (2\pi)^{-3/2} \int d^3p\ \left[\ u^*(\mathbf p)\ e^{-ipx}\ a^\dagger(\mathbf p) + v^*(\mathbf p)\ e^{ipx}\ a^c(\mathbf p)\ \right]
\end{align}\)
Skalaarikertoimet \(u\) ja \(v\) voidaan tässä unohtaa. Jos kentät sijoitettaisiin, tehtäisiin normal ordering, ja kommutoinnit, niin saataisiin
\(\mathscr H(t, \mathbf x) \sim \int d^3p'_1\ d^3p'_2\ d^3p_1\ d^3p_2\ a^\dagger(\mathbf p'_1)a^\dagger(\mathbf p'_2)a(\mathbf p_1)a(\mathbf p_2)\ e^{-ip'_1x}e^{-ip'_2x}e^{+ip_1x}e^{+ip_2x}\)
missä eksponentit edelleen Minkowski-sisätulona. Kun tämän sijoittaisi vuorovaikutukseen \(V(t)\), niin integraali \(\mathbf x\):n suhteen signatuurilla (-,+,+,+) olisi muotoa
\(\displaystyle \int d^3x\ e^{i(-\mathbf p'_1 - \mathbf p'_2 + \mathbf p_1 + \mathbf p_2)\cdot \mathbf x}\)
Aikariippuvuus jäisi erikseen tuon 3-dim integraalin ulkopuolelle. Kun verrataan \(\delta^{(3)}\)-funktion integraaliesitykseen, niin tuo on sama kuin
\((2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf p_1 + \mathbf p_2 -\mathbf p'_1 - \mathbf p'_2)\)
Fourier-ekspontit toteuttavat näin ollen \(\delta\)-funktion avulla liikemäärän säilymisen \(\mathbf p_1 + \mathbf p_2 = \mathbf p'_1 + \mathbf p'_2\), ja tämä näkyy suoraan vuorovaikutuksen operaattorissa \(V(t)\). Kun \(V(t)\) integroidaan vielä ajan suhteen, niin saadaan deltafunktio myös energialle, joka sitten toteuttaa energian säilymisen.
Miten nyt harkitusti jäsentäisit Fourier-puolen: ovatko \(e^{+ipx}\)- ja \(e^{-ipx}\)-termit mielestäsi kaksi erillistä Fourier-muunnosta, vai yhden ehjän moodi- ja Fourier-hajotelman vastakkaismerkkisiä kontribuutioita, jotka vuorovaikutustermissä yhdistyvät yhdeksi nettovaiheeksi ja sitä vastaavaksi deltafunktiotekijäksi?
Kun kyseessä Fockin avaruuden vektori, joka on operaattorin \(P^\mu\) ominaisvektori, niin kyllä, \(a^\dagger(\mathbf p)\) suurentaa \(P^\mu\):n ominaisarvoa määrällä \(+p_\mu\), ja \(a(\mathbf p)\) pienentää sitä \(-p_\mu\).Nimetön 1 kirjoitti: ↑Eilen, 19:47Täsmennetään: \(a^\dagger(\mathbf p)\) ja \(a(\mathbf p)\) kantavat moodeina vastakkaisia translaatiopainoja \(\pm p^\mu\). Fock-esityksessä ne muuttavat samalla moodin miehitystä ja siten systeemin neliliikemäärä- ja viritystilatasetta silloin, kun operaatio antaa nollasta eriävän tuloksen.
Mutta kuten sanoin, tämä ei aina päde. Kun tilavektori \(\ket \psi\) ei ole neliliikemäärän ominaistila, vaan vaikkapa lineaarikombinaatio (nk. superpositio), niin ei voida sanoa, että \(P^\mu\):n ominaisarvo kasvaa tai pienenee, kun tila ei ole liikemäärän ominaistila.
Esimerkiksi \(\ket \psi = \ket{p_1 \sigma_1, p_2 \sigma_1} + \ket{q_1 \sigma_2,q_2 \sigma_2}\)
on liikemäärän ja kahden eri spinin \(\sigma\) lineaarikombinaatio. Tämä ei ole liikemäärän ominaistila, mutta voidaan sanoa, että tila sisältää liikemäärän \(p_1 + p_2\) tai liikemäärän \(q_1 + q_2\), tai sitten koko tilan liikemäärä on \(p_1+p_2+q_1+q_2\).
Kun tähän kohdistetaan vaikkapa \(a(p_1 \sigma_1)\), niin saadaan
\(a(p_1 \sigma_1) \ket \psi = \ket{p_2 \sigma_1}\)
Koko tilan liikemäärä ei pienene \(-p_1\), vaan \(-(p_1 + q_1+ q_2)\). Jos katsotaan ensimmäistä termiä, niin pienenee \(-p_1\), ja jos katsotaan toista termiä, niin pienenee \(-(q_1+ q_2)\).
Sotku, koska tila ei alun perin ollut liikemäärän ominaistila. Siksi ei yleisesti ottaen päde: "Fock-esityksessä ne muuttavat samalla moodin miehitystä ja siten systeemin neliliikemäärä-..."
Kun rajoitutaan Fockin avaruuden kantavektoreihin (ei lineaarikombinaatioita, ei vakuumivektoria), niin sitten pätee.
En ymmärrä kysymystä, liian pitkä.Nimetön 1 kirjoitti: ↑Eilen, 19:47ovatko \(e^{+ipx}\)- ja \(e^{-ipx}\)-termit mielestäsi kaksi erillistä Fourier-muunnosta, vai yhden ehjän moodi- ja Fourier-hajotelman vastakkaismerkkisiä kontribuutioita, jotka vuorovaikutustermissä yhdistyvät yhdeksi nettovaiheeksi ja sitä vastaavaksi deltafunktiotekijäksi?
Eksponentteja etumerkkeineen kutsutaan usein positiivisen ja negatiivisen kulmataajuuden aalloiksi. Molemmat tarvitaan, yksi ei riitä. Etumerkkejä ei voi mielivaltaisesti vaihtaa, ne ovat toisistaan riippuvat, ja etumerkkivalinnat kytkeytyvät muihin etumerkkeihin, sekä signatuuriin.
Kertoimet (ja integraalin) voi nähdä Fourier-muunnoksena, mutta yhtä hyvin niiden voi antaa olla kentän aaltoratkaisuja.