Klein-Gordon yhtälö

[Disputator]

Mun piti avata jo aikoja sitten Klein-Gordonin yhtälöä käsittelevä ketju, mutta se jäi kuitenkin tekemättä. Fysiikan kaavalotto-keskustelussa käsiteltiin KG-yhtälöä muunnelmineen, josta allaolevat lainaukset.

Skalaarikentän Lagrangen tiheys se selvästi on. Kvantti-skalaarikenttiä tiedetään luonnossa vain yksi, Higgsin kenttä.

Yritin saada sinne ujutettua negatiivista massaa ja piti hörhöttää lisää tähän tapaan:
$$\partial_\mu \partial^\mu \phi + \mu^2 \phi = 0
$$
$$V(\phi) = -\frac{1}{2} \mu^2 \phi^2
$$
Takyoneista tuli puhetta toisaalla niin nuppi nyrjähti hörhötysmoodiin. No ehkä parempi pysyä näistä erossa ja keskittyä täällä enemmän selaisiin oikeasti olemassa oleviin asioihin.

Kokeilin myös tätä. Jos käyttää aiemmin kirjoittamaasi ja signatuuria (+,-,-,-)

\(\begin{align*}\mathcal{L} &= \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \\ &= \frac{1}{2} \left(\partial_0 \phi \partial^0 \phi - \partial_i \phi \partial^i \phi\right) + \frac{1}{2} m^2 \phi^2\end{align*}\)

niin mielestäni Euler-Lagrange antaa liikeyhtälöksi

\(\partial_\mu \partial^\mu \phi - m^2 \phi = 0\)

mikä poikkeaa Klein-Gordon yhtälöstä siten, että massan \(m^2\) edessä miinus. Kun massaksi asettaa \(-im\), niin yhtälö muuttuu tosiaan Klein-Gordon yhtälöksi.

Ennen tuon imaginaarisen massa sijoittamista voidaan \(\mathcal{L}\):stä poimia kineettinen termi ja potentiaalitermi (L = K - V)

\(\begin{align*}K(\phi)&\sim \partial_0 \phi \partial^0\phi \\
V(\phi)&\sim\partial_i \phi \partial^i\phi-m^2\phi^2\end{align*}\)

Tässä muodossa \(V(\phi)\) pääsee rajoittamatta negatiivisen energian puolelle, mikä tarkoittaa epästabiilia kentän energiaa, kun \(\phi\) poikkeaa nollasta. No, tuskin ongelma, jos hyväksyy massan imaginaariseksi , jolloin \(V(\phi)\) on ihan kelvollinen.

Tuossa Varaktori:n kirjoituksessa on KG-yhtälö muodossa \(\partial_\mu \partial^\mu \phi + m^2 \phi = 0\). Tuo on suhteellisuusteoreettinen notaatio, kun käytetään metriikkaa signatuurilla (1,-1,-1,-1) eli metriikka on \(ds^2= dt^2-dx^2-dy^2-dz^2\).

Mielestäni havaitsin seuraavaa: Jos käytetäänkin signatuuria (-1,1,1,1) eli metriikalla \(ds^2= -dt^2+dx^2+dy^2+dz^2\), niin silloin suhteellisuusteorian notaatioin pitäisi KG-yhtälö kirjoittaa muodossa (huomaa miinusmerkki):

\(-\partial_\mu \partial^\mu \phi + m^2 \phi = 0\)

Siis D'Alembertin operattori \(\Box=\partial_\mu \partial^\mu\) vaihtaa merkkiä kun metriikan signatuuria vaihdetaan.

Wikipedian Klein-Gordon equation mukaan näin onkin. Enpä moista ole koskaan huomannutkaan aikaisemmin.

Yhtälöstä \(-\partial_\mu \partial^\mu \phi + m^2 \phi = 0\) saa kertomalla -1 yhtälön:

\(\partial_\mu \partial^\mu \phi - m^2 \phi = 0\),

mikä näyttää ihan Varaktorin/QS:n negatiivisen massan yhtälöltä, jos ei huomaa tuota D'Alembertin operaattorin merkin vaihtumista.

edit: korjattu notaatioita

[Varaktori]

Mulla oli tuolla Delirium ketjussakin ei-lineaarinen Klein-Gordon -yhtälö mutta näitä on myös lineaarinen Klein-Gordon -yhtälö. Otetaan vain ei-lineaariset termit pois:
\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \nabla^2 \phi + m^2 \phi = 0\)
Sehän saadaan lagrangian tiheydestä, joka kuvaa vapaan skalaarikentän dynamiikkaa:
\(\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left( \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2 \right)\)
Jotta saadaan kenttäyhtälö käytetään Eulerin-Lagrangen yhtälöä:
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0\)
Minä näistä mitään ymmärrä, mutta tämä voisi olla QS:n valtakuntaa? Kyllähän tämä nyt on oleellinen osa kenttäteoriota yleisestikin, mutta myös kvanttikenttäteoriaa?

[Varaktori]

Yritin siis edellisessä hakea sitä, että lineaarisessa tapauksessa yhtälön ratkaisu on yleensä helppo. Esimerkkinä tasoaaltoratkaisu:
\(\phi(\mathbf{x}, t) = A e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega t)}\)
\(\phi(\mathbf{x}, t) = A e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \sqrt{\mathbf{k}^2 + m^2} \, t)}\)
Ei-lineaariset on sitten haastavampia. Simulaatio on se päivän sana kai niissä kun tietotekniikka on kehittynyt niistä ajoista kun minä olin nuori. Siinä Ed Copelandin paperissakin josta minun viimeaikainen hörhötys lähti liikkeelle ja Klein-Gordon tupsahti jostain kuvaan mukaan kuvataan simulaatiota jonka tekivät.

EDIT:
Kulmataajuus \(\omega\) on dispersion relaation mukaan \(\omega = \sqrt{\mathbf{k}^2 + m^2}\)

Niin ja saa korjata missä vaan meni metsään.

[QS]

Mun piti avata jo aikoja sitten Klein-Gordonin yhtälöä käsittelevä ketju, mutta se jäi kuitenkin tekemättä. Fysiikan kaavalotto-keskustelussa käsiteltiin KG-yhtälöä muunnelmineen, josta allaolevat lainaukset.

Skalaarikentän Lagrangen tiheys se selvästi on. Kvantti-skalaarikenttiä tiedetään luonnossa vain yksi, Higgsin kenttä.

Yritin saada sinne ujutettua negatiivista massaa ja piti hörhöttää lisää tähän tapaan:
$$\partial_\mu \partial^\mu \phi + \mu^2 \phi = 0
$$
$$V(\phi) = -\frac{1}{2} \mu^2 \phi^2
$$
Takyoneista tuli puhetta toisaalla niin nuppi nyrjähti hörhötysmoodiin. No ehkä parempi pysyä näistä erossa ja keskittyä täällä enemmän selaisiin oikeasti olemassa oleviin asioihin.

Kokeilin myös tätä. Jos käyttää aiemmin kirjoittamaasi ja signatuuria (+,-,-,-)

\(\begin{align*}\mathcal{L} &= \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \\ &= \frac{1}{2} \left(\partial_0 \phi \partial^0 \phi - \partial_i \phi \partial^i \phi\right) + \frac{1}{2} m^2 \phi^2\end{align*}\)

niin mielestäni Euler-Lagrange antaa liikeyhtälöksi

\(\partial_\mu \partial^\mu \phi - m^2 \phi = 0\)

mikä poikkeaa Klein-Gordon yhtälöstä siten, että massan \(m^2\) edessä miinus. Kun massaksi asettaa \(-im\), niin yhtälö muuttuu tosiaan Klein-Gordon yhtälöksi.

Ennen tuon imaginaarisen massa sijoittamista voidaan \(\mathcal{L}\):stä poimia kineettinen termi ja potentiaalitermi (L = K - V)

\(\begin{align*}K(\phi)&\sim \partial_0 \phi \partial^0\phi \\
V(\phi)&\sim\partial_i \phi \partial^i\phi-m^2\phi^2\end{align*}\)

Tässä muodossa \(V(\phi)\) pääsee rajoittamatta negatiivisen energian puolelle, mikä tarkoittaa epästabiilia kentän energiaa, kun \(\phi\) poikkeaa nollasta. No, tuskin ongelma, jos hyväksyy massan imaginaariseksi , jolloin \(V(\phi)\) on ihan kelvollinen.

Tuossa Varaktori:n kirjoituksessa on KG-yhtälö muodossa \(\partial_\mu \partial^\mu \phi + m^2 \phi = 0\). Tuo on suhteellisuusteoreettinen notaatio, kun käytetään metriikkaa signatuurilla (1,-1,-1,-1) eli metriikka on \(ds^2= dt^2-dx^2-dy^2-dz^2\).

Mielestäni havaitsin seuraavaa: Jos käytetäänkin signatuuria (-1,1,1,1) eli metriikalla \(ds^2= -dt^2+dx^2+dy^2+dz^2\), niin silloin suhteellisuusteorian notaatioin pitäisi KG-yhtälö kirjoittaa muodossa (huomaa miinusmerkki):

\(-\partial_\mu \partial^\mu \phi + m^2 \phi = 0\)

Siis D'Alembertin operattori \(\Box=\partial_\mu \partial^\mu\) vaihtaa merkkiä kun metriikan signatuuria vaihdetaan.

Wikipedian Klein-Gordon equation mukaan näin onkin. Enpä moista ole koskaan huomannutkaan aikaisemmin.

Yhtälöstä \(-\partial_\mu \partial^\mu \phi + m^2 \phi = 0\) saa kertomalla -1 yhtälön:

\(\partial_\mu \partial^\mu \phi - m^2 \phi = 0\),

mikä näyttää ihan Varaktorin/QS:n negatiivisen massan yhtälöltä, jos ei huomaa tuota D'Alembertin operaattorin merkin vaihtumista.

edit: korjattu notaatioita

Kappas. Minkäkään en ole tätä huomannut, kun kenttäteoriassa yleensä (+,-,-,-). Poikkeuksena Weinberg, mutta en ole sitä lukiessa asiaan kiinnittänyt huomiota, kun aivokapasiteetti muutenkin äärirajoilla Weinbergin kanssa.

Huomasin sellaisenkin, että KG-kentän \(\mathcal{L}\):ään voidaan valita skalaarikerroin \(\lambda\)

\(\mathcal{L} = \lambda\left(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2\right).\)

Kun signatuurissa (+,-,-,-) valitaan \(\lambda=\frac{1}{2}\), niin

\(\begin{align*}\mathcal{L} &= \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \\ &= \frac{1}{2} \left(\partial_0 \phi \partial^0 \phi - \partial_i \phi \partial^i \phi\right) - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\end{align*}\)

Vastaavasti signatuurissa (-,+,+,+) valitaan \(\lambda=-\frac{1}{2}\), jolloin

\(\begin{align*}\mathcal{L} &= -\frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \\ &= -\frac{1}{2} \left(-\partial_0 \phi \partial^0 \phi + \partial_i \phi \partial^i \phi\right) + \frac{1}{2} m^2 \phi^2\\ & = \frac{1}{2} \left(\partial_0 \phi \partial^0 \phi - \partial_i \phi \partial^i \phi\right) + \frac{1}{2} m^2 \phi^2\end{align*}\)

minkä lopullinen muoto on sama kuin aiemmassa 'negatiivisen massan' tapauksessa, mutta signatuuri ei ole sama, joten kyseessä ei kuitenkaan ole tuo 'negatiivisen massan' \(\mathcal{L}\). Euler-Lagrange

\(\require{physics}\pdv{\mathcal{L}}{\phi}-\partial_\mu\left(\pdv{\mathcal{L}}{(\partial_\mu\phi)}\right) = 0\)

johtaa signatuurissa (+,-,-,-) yhtälöön \(-m^2\phi-\partial_\mu\partial^\mu\phi=0\), joka -1 kerrottuna on KG yhtälö tutuimmassa muodossaan

$$(\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi=0$$

Signatuurissa (-,+,+,+) saadaan \(m^2\phi-\partial_\mu\partial^\mu\phi=0\), joka -1 kerrottuna on sama kuin kirjoittamasi

$$(\partial_\mu\partial^\mu-m^2)\phi=0$$

Lagrangen tiheydessä molempien signatuurien kineettinen termi \(\frac{1}{2} \partial_0 \phi \partial^0 \phi\) on sama, mutta (+,-,-,-):ssa potentiaalitermi on

\(\frac{1}{2} \partial_i \phi \partial^i \phi\ + \frac{1}{2} m^2 \phi^2\)

kun taas (-,+,+,+):ssa se on

\(\frac{1}{2} \partial_i \phi \partial^i \phi\ - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\).

Nyt en ole ihan varma miten tämä jälkimmäinen potentiaalitermi pitäisi ajatella, mutta se tosiaan näyttää samalle kuin 'negatiivisen massan' tapauksessa. Tuo alussa mainittu skalaari \(\lambda\) voidaan käsittääkseni valita vapaasti myös signatuurista riippumatta, sillä periaatteessa riittävää on, että \(\mathcal{L}\) toteuttaa tietyt symmetriaehdot.

Tähän liittyy nyt varmaankin se, että fysikassa halutaan Hamiltoniin postitiivinen kineettinen energiatermi. Tuon potentiaalitermin etumerkki onkin mielenkiintoisempi. Tai sitten tässä pitäisi laskea energia-liikemäärätensori ja huomata, että jokin energiatiheys halutaan positiiviseksi. No, täytyy pohtia.

p.s tässä on toki mahdollista, että sössin taas etumerkit, mutta ainakin koetin saada kohdalleen.

[QS]

Mulla oli tuolla Delirium ketjussakin ei-lineaarinen Klein-Gordon -yhtälö mutta näitä on myös lineaarinen Klein-Gordon -yhtälö. Otetaan vain ei-lineaariset termit pois:
\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \nabla^2 \phi + m^2 \phi = 0\)
Sehän saadaan lagrangian tiheydestä, joka kuvaa vapaan skalaarikentän dynamiikkaa:
\(\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left( \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2 \right)\)
Jotta saadaan kenttäyhtälö käytetään Eulerin-Lagrangen yhtälöä:
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0\)
Minä näistä mitään ymmärrä, mutta tämä voisi olla QS:n valtakuntaa? Kyllähän tämä nyt on oleellinen osa kenttäteoriota yleisestikin, mutta myös kvanttikenttäteoriaa?

Epälineaarisesta KG yhtälöstä tulee ensimmäisenä mieleen

\((\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi=V'(\phi)\)

missä \(V'(\phi) = \frac{\partial V(\phi)}{\partial\phi}\). Esimerkiksi \(V(\phi) = \frac{1}{4}g\phi^4\), missä g on kytkinvakio. Vastaavan V':n voi sijoittaa edelliseen liikeyhtälöön, ja alkaa etsiä ratkaisua. Tämän \(\phi^4\)-teorian kautta saa kohtuu ymmärrettävästi otteen myös Feynmanin diagrammeista.

[Varaktori]

Mulla oli tuolla Delirium ketjussakin ei-lineaarinen Klein-Gordon -yhtälö mutta näitä on myös lineaarinen Klein-Gordon -yhtälö. Otetaan vain ei-lineaariset termit pois:
\(\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - \nabla^2 \phi + m^2 \phi = 0\)
Sehän saadaan lagrangian tiheydestä, joka kuvaa vapaan skalaarikentän dynamiikkaa:
\(\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left( \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2 \right)\)
Jotta saadaan kenttäyhtälö käytetään Eulerin-Lagrangen yhtälöä:
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0\)
Minä näistä mitään ymmärrä, mutta tämä voisi olla QS:n valtakuntaa? Kyllähän tämä nyt on oleellinen osa kenttäteoriota yleisestikin, mutta myös kvanttikenttäteoriaa?

Epälineaarisesta KG yhtälöstä tulee ensimmäisenä mieleen

\((\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\phi=V'(\phi)\)

missä \(V'(\phi) = \frac{\partial V(\phi)}{\partial\phi}\). Esimerkiksi \(V(\phi) = \frac{1}{4}g\phi^4\), missä g on kytkinvakio. Vastaavan V':n voi sijoittaa edelliseen liikeyhtälöön, ja alkaa etsiä ratkaisua. Tämän \(\phi^4\)-teorian kautta saa kohtuu ymmärrettävästi otteen myös Feynmanin diagrammeista.

Koodi: Valitse kaikki

Piirretään Feynmanin diagrammi 2 -> 2 hiukkastörmäykselle \phi^4-teoriassa
\begin{tikzpicture}

\draw[fermion] (-3,1) -- (-1,0);
\draw[fermion] (-3,-1) -- (-1,0);
\draw[scalar] (-1,0) -- (1,0);

% Lähtevät hiukkaset
\draw[fermion] (1,0) -- (3,1); % Keskeltä kohti yläoikea
\draw[fermion] (1,0) -- (3,-1); % Keskeltä kohti alaoikea

% Merkitään hiukkaset
\node at (-3.3,1) {\( \phi(p_1) \)}; % Saapuva hiukkanen 1
\node at (-3.3,-1) {\( \phi(p_2) \)}; % Saapuva hiukkanen 2
\node at (3.3,1) {\( \phi(p_3) \)}; % Lähtevä hiukkanen 1
\node at (3.3,-1) {\( \phi(p_4) \)}; % Lähtevä hiukkanen 2
\node at (0,-0.4) {\( \phi(k) \)}; % Sisäinen hiukkanen

% Vertexit (kärkikohdat)
\filldraw[black] (-1,0) circle (2pt); % Vasemmanpuoleinen vertex
\filldraw[black] (1,0) circle (2pt); % Oikeanpuoleinen vertex
\end{tikzpicture}


% Saapuvat hiukkaset
\draw[fermion] (-3,1) -- (-1,0); % Ylävasemmalta kohti keskustaa
\draw[fermion] (-3,-1) -- (-1,0); % Alavasemmalta kohti keskustaa

% Vertex ja propagaattori
\draw[scalar] (-1,0) -- (1,0); % Keskellä oleva propagaattori

% Lähtevät hiukkaset
\draw[fermion] (1,0) -- (3,1); % Keskeltä kohti yläoikea
\draw[fermion] (1,0) -- (3,-1); % Keskeltä kohti alaoikea

% Merkitään hiukkaset
\node at (-3.3,1) {\( \phi(p_1) \)}; % Saapuva hiukkanen 1
\node at (-3.3,-1) {\( \phi(p_2) \)}; % Saapuva hiukkanen 2
\node at (3.3,1) {\( \phi(p_3) \)}; % Lähtevä hiukkanen 1
\node at (3.3,-1) {\( \phi(p_4) \)}; % Lähtevä hiukkanen 2
\node at (0,-0.4) {\( \phi(k) \)}; % Sisäinen hiukkanen

% Vertexit (kärkikohdat)
\filldraw[black] (-1,0) circle (2pt); % Vasemmanpuoleinen vertex
\filldraw[black] (1,0) circle (2pt); % Oikeanpuoleinen vertex

\(\mathcal{M} = (-i\lambda) \left( \frac{i}{k^2 - m^2 + i\epsilon} \right) (-i\lambda)\)

Nyyh, mä niin haluaisin tuon toimivan täällä. Olisi kiva hörhöttää vähän kaikenlaisella graafisella. No ei minusta keskustelijana sinulle muutenkaan paljon iloa olisi, mutta palailen tähän. Alkoi kesäloma ja saapa nähdä kestääkö maksa tai että miten ehtii näitä miettiin.

[Disputator]

Aamupäivää!

Otin ihan lainaamani viestisi lopusta kohdan, jolla on relevanssia..

p.s tässä on toki mahdollista, että sössin taas etumerkit, mutta ainakin koetin saada kohdalleen.

Laskin noita samoja tässä aamulloa ja täytyy sanoa, että hyvin helposti menee miinukset ja plussat sekaisin. Siinä on kertoimen \(\lambda\) merkki, metriikan signatuuri ja derivaattojen etumerkit. Mun laskuvihkooni tuli käytettyä pyyhekumia runsaasti! Jaan nyt viestin useaan osaan.

...
Huomasin sellaisenkin, että KG-kentän \(\mathcal{L}\):ään voidaan valita skalaarikerroin \(\lambda\)

\(\mathcal{L} = \lambda\left(\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2\right).\)

Kun signatuurissa (+,-,-,-) valitaan \(\lambda=\frac{1}{2}\), niin

\(\begin{align*}\mathcal{L} &= \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \\ &= \frac{1}{2} \left(\partial_0 \phi \partial^0 \phi - \partial_i \phi \partial^i \phi\right) - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\end{align*}\)

Vastaavasti signatuurissa (-,+,+,+) valitaan \(\lambda=-\frac{1}{2}\), jolloin

\(\begin{align*}\mathcal{L} &= -\frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \\ &= -\frac{1}{2} \left(-\partial_0 \phi \partial^0 \phi + \partial_i \phi \partial^i \phi\right) + \frac{1}{2} m^2 \phi^2\\ & = \frac{1}{2} \left(\partial_0 \phi \partial^0 \phi - \partial_i \phi \partial^i \phi\right) + \frac{1}{2} m^2 \phi^2\end{align*}\)

minkä lopullinen muoto on sama kuin aiemmassa 'negatiivisen massan' tapauksessa, mutta signatuuri ei ole sama, joten kyseessä ei kuitenkaan ole tuo 'negatiivisen massan' \(\mathcal{L}\).
...

Tuossa yllä saattaa olla ylimääräinen miinusmerkkejä johtuen \(\partial_{\mu}\) ja \(\partial^{\mu}\) eroista. Mä muokkaan noita siten että pudotan kaikki indeksit alas:

Kun signatuurissa (+,-,-,-) valitaan \(\lambda=\frac{1}{2}\), niin

\(\begin{align*}\mathcal{L} &= \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \\ &= \frac{1}{2} \left(\partial_0 \phi \partial_0 \phi -\sum_i \partial_i \phi \partial_i \phi\right) - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\end{align*}\)

Vastaavasti signatuurissa (-,+,+,+) valitaan \(\lambda=-\frac{1}{2}\), jolloin

\(\begin{align*}\mathcal{L} &= -\frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \\ &= -\frac{1}{2} \left(-\partial_0 \phi \partial_0 \phi + \sum_i \partial_i \phi \partial_i \phi\right) + \frac{1}{2} m^2 \phi^2\\ & = \frac{1}{2} \left(\partial_0 \phi \partial_0 \phi - \sum_i\partial_i \phi \partial_i \phi\right) + \frac{1}{2} m^2 \phi^2\end{align*}\)


 

Sama lopputulos kuin sullakin alla, käytännössä, mulla on summamerkki, kun sulla on ylä-ja alaindekseihin perustuva Einsteinin summaussääntö käytössä, joka tuossa tilanteessa tuo mukanaan ylimääräisen miinusmerkin, koska \(\partial_{\mu} = -\partial^{\mu}\)

Lagrangen tiheydessä molempien signatuurien kineettinen termi \(\frac{1}{2} \partial_0 \phi \partial^0 \phi\) on sama, mutta (+,-,-,-):ssa potentiaalitermi on

\(\frac{1}{2} \partial_i \phi \partial^i \phi\ + \frac{1}{2} m^2 \phi^2\)

kun taas (-,+,+,+):ssa se on

\(\frac{1}{2} \partial_i \phi \partial^i \phi\ - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\).

Kääk, painoin Lähetä-nappia liian aikaisin. Muutaman editoimisen jälkeen jätän tälläisenä, jäi kyllä vähän sekavaksi.

[Disputator]

Tarkistin aamulla ihan eksplisiittisesti, että miten signatuurin valinta vaikuttaa KG-yhtälöön ja Lagrangeen \(\mathcal{L}\), jolla lauseke:

\(\mathcal{L}= \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\)

Tuo lausekkeen aukilaskettu muoto riippuu kuitenkin signatuurista.

Tuossa jo QS/Varaktori laski aikaisemmin näitä, mutta laitan nyt nämä munkin laskelmat näkyviin:


Signatuuri (+,-,-,-):

\(\mathcal{L} =\frac{1}{2}(\frac{\partial \phi}{\partial t})^2 - \sum_i \frac{1}{2}(\frac{\partial \phi}{\partial x^i})^2- \frac{1}{2} m^2 \phi^2
\)

Euler Lagrangen liikeyhtälö antaa tulokseksi KG-yhtälön näköisen yhtälön:

\(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi=0\)

ja se onkin KG-yhtälö, jonka näkee aukikirjoittamalla:

\(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi=\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi +m^2 \phi=0\)


Signatuuri (-,+,+,+):

\(\mathcal{L} =-\frac{1}{2}(\frac{\partial \phi}{\partial t})^2 + \sum_i \frac{1}{2}(\frac{\partial \phi}{\partial x^i})^2- \frac{1}{2} m^2 \phi^2
\)

Euler Lagrangen liikeyhtälö antaa tulokseksi myös tässä tapauksessa:

\(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi=0\)

Tämä ei ole kuitenkaan KG-yhtälö ja sen näkee kirjoittamalla auki:

YHtälöstä \(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi= 0\) saa kirjoittamalla auki ja ryhmittelemällä uudelleen: \(\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi -m^2 \phi=0
\)
Eli tämä on se imaginaarisen massan tapaus, jota virheellisesti kutsuin negatiivisen massan tapaukseksi

Voisi ajatella, että signatuurille (+,-,-,-) käytetään esimerkiksi Lagrangea:

\(\mathcal{L}= \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\)

ja signatuurille (-,+,+,+) Lagrangea (huomaa miinusmerkki):

\(\mathcal{L}= -\frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\)

niin silloin kumpikin antaa oikean KG-yhtälön. Miinusmerkin käyttöä jälkimmäisessä voisi olla syynä QS:n viittaama energian positiivisuusvaatimus.

[QS]

Tarkistin aamulla ihan eksplisiittisesti, että miten signatuurin valinta vaikuttaa KG-yhtälöön ja Lagrangeen \(\mathcal{L}\), jolla lauseke:

\(\mathcal{L}= \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\)

Tuo lausekkeen aukilaskettu muoto riippuu kuitenkin signatuurista.

Tuossa jo QS/Varaktori laski aikaisemmin näitä, mutta laitan nyt nämä munkin laskelmat näkyviin:


Signatuuri (+,-,-,-):

\(\mathcal{L} =\frac{1}{2}(\frac{\partial \phi}{\partial t})^2 - \sum_i \frac{1}{2}(\frac{\partial \phi}{\partial x^i})^2- \frac{1}{2} m^2 \phi^2
\)

Euler Lagrangen liikeyhtälö antaa tulokseksi KG-yhtälön näköisen yhtälön:

\(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi=0\)

ja se onkin KG-yhtälö, jonka näkee aukikirjoittamalla:

\(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi=\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi +m^2 \phi=0\)


Signatuuri (-,+,+,+):

\(\mathcal{L} =-\frac{1}{2}(\frac{\partial \phi}{\partial t})^2 + \sum_i \frac{1}{2}(\frac{\partial \phi}{\partial x^i})^2- \frac{1}{2} m^2 \phi^2
\)

Euler Lagrangen liikeyhtälö antaa tulokseksi myös tässä tapauksessa:

\(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi=0\)

Tämä ei ole kuitenkaan KG-yhtälö ja sen näkee kirjoittamalla auki:

YHtälöstä \(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi= 0\) saa kirjoittamalla auki ja ryhmittelemällä uudelleen: \(\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi -m^2 \phi=0
\)
Eli tämä on se imaginaarisen massan tapaus, jota virheellisesti kutsuin negatiivisen massan tapaukseksi

Voisi ajatella, että signatuurille (+,-,-,-) käytetään esimerkiksi Lagrangea:

\(\mathcal{L}= \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\)

ja signatuurille (-,+,+,+) Lagrangea (huomaa miinusmerkki):

\(\mathcal{L}= -\frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\)

niin silloin kumpikin antaa oikean KG-yhtälön. Miinusmerkin käyttöä jälkimmäisessä voisi olla syynä QS:n viittaama energian positiivisuusvaatimus.

Joo. Tästä tajusin, että mulla oli virhe \(\lambda\) -kerroin ajatuksessa. Kertoimen voi kyllä periaatteessa valita vapaasti, mutta kun valinnan tekee, niin valinta pitää säilyttää signatuurista riippumatta. Jos valitsen eri kertoimet eri signatuureille, niin kyseessähän on kaksi eri Lagrangen tiheyttä, mikä tarkoittaa karkeasti ajateltuna kahta eri 'teoriaa'.

Lagrange pitäisi kirjoittaa

\(\mathcal{L} = \lambda\left(\eta^{\mu\nu}\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - m^2 \phi^2\right)\)

missä metriikka \(\eta^{\mu\nu}\). Sitten valitaan esimerkiksi \(\lambda=\frac{1}{2}\), ja kirjoitetaan

\(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2}m^2 \phi^2\)

Signatuurilla (+,-,-,-) tämä on auki kirjoitettuna

\(\mathcal{L}_+ = \frac{1}{2}\left(\partial_0 \phi \partial^0 \phi - \partial_i \phi \partial^i \phi\right) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2\)

ja signatuurilla (-,+,+,+)

\(\begin{align*}\mathcal{L}_- &= \frac{1}{2}\left(-\partial_0 \phi \partial^0 \phi + \partial_i \phi \partial^i \phi\right) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2 \\ &= -\frac{1}{2}\left(\partial_0 \phi \partial^0 \phi - \partial_i \phi \partial^i \phi\right) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2 \\ &= -\frac{1}{2}\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2}m^2 \phi^2\end{align*}\)

missä muokkauksen jälkeen ensimmäisen termin edessä miinusmerkki. Kun näin ajattelee, niin miinusmerkki on seuraus signatuurista, eikä sitä erikseen tarvitsee valita. Jos oikein ymmärsin?

Jälkimmäisen termin \(-\frac{1}{2}m^2 \phi^2\) etumerkki on signatuurista riippumaton. Tuon \(\mathcal{L}_+\):n liikeyhtälössä on \(+m^2\) ja \(\mathcal{L}_-\):n liikeyhtälössä \(-m^2\).

Aloin jo kirjoittaa näiden Hamiltonin tiheyttä, mutta enpä vielä kirjoitakaan, mun en ole varma vaikuttaako signatuuri Hamiltonin tiheyden määrittelyyn. hmm.

[Varaktori]

Tarkistin aamulla ihan eksplisiittisesti, että miten signatuurin valinta vaikuttaa KG-yhtälöön ja Lagrangeen \(\mathcal{L}\), jolla lauseke:

\(\mathcal{L}= \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\)

Tuo lausekkeen aukilaskettu muoto riippuu kuitenkin signatuurista.

Tuossa jo QS/Varaktori laski aikaisemmin näitä, mutta laitan nyt nämä munkin laskelmat näkyviin:


Signatuuri (+,-,-,-):

\(\mathcal{L} =\frac{1}{2}(\frac{\partial \phi}{\partial t})^2 - \sum_i \frac{1}{2}(\frac{\partial \phi}{\partial x^i})^2- \frac{1}{2} m^2 \phi^2
\)

Euler Lagrangen liikeyhtälö antaa tulokseksi KG-yhtälön näköisen yhtälön:

\(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi=0\)

ja se onkin KG-yhtälö, jonka näkee aukikirjoittamalla:

\(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi=\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi +m^2 \phi=0\)


Signatuuri (-,+,+,+):

\(\mathcal{L} =-\frac{1}{2}(\frac{\partial \phi}{\partial t})^2 + \sum_i \frac{1}{2}(\frac{\partial \phi}{\partial x^i})^2- \frac{1}{2} m^2 \phi^2
\)

Euler Lagrangen liikeyhtälö antaa tulokseksi myös tässä tapauksessa:

\(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi=0\)

Tämä ei ole kuitenkaan KG-yhtälö ja sen näkee kirjoittamalla auki:

YHtälöstä \(\partial_\mu\partial^\mu\phi + m^2\phi= 0\) saa kirjoittamalla auki ja ryhmittelemällä uudelleen: \(\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi -m^2 \phi=0
\)
Eli tämä on se imaginaarisen massan tapaus, jota virheellisesti kutsuin negatiivisen massan tapaukseksi

Voisi ajatella, että signatuurille (+,-,-,-) käytetään esimerkiksi Lagrangea:

\(\mathcal{L}= \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\)

ja signatuurille (-,+,+,+) Lagrangea (huomaa miinusmerkki):

\(\mathcal{L}= -\frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2\)

niin silloin kumpikin antaa oikean KG-yhtälön. Miinusmerkin käyttöä jälkimmäisessä voisi olla syynä QS:n viittaama energian positiivisuusvaatimus.

Joo. Tästä tajusin, että mulla oli virhe \(\lambda\) -kerroin ajatuksessa. Kertoimen voi kyllä periaatteessa valita vapaasti, mutta kun valinnan tekee, niin valinta pitää säilyttää signatuurista riippumatta. Jos valitsen eri kertoimet eri signatuureille, niin kyseessähän on kaksi eri Lagrangen tiheyttä, mikä tarkoittaa karkeasti ajateltuna kahta eri 'teoriaa'.

Lagrange pitäisi kirjoittaa

\(\mathcal{L} = \lambda\left(\eta^{\mu\nu}\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - m^2 \phi^2\right)\)

missä metriikka \(\eta^{\mu\nu}\). Sitten valitaan esimerkiksi \(\lambda=\frac{1}{2}\), ja kirjoitetaan

\(\mathcal{L} = \frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2}m^2 \phi^2\)

Signatuurilla (+,-,-,-) tämä on auki kirjoitettuna

\(\mathcal{L}_+ = \frac{1}{2}\left(\partial_0 \phi \partial^0 \phi - \partial_i \phi \partial^i \phi\right) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2\)

ja signatuurilla (-,+,+,+)

\(\begin{align*}\mathcal{L}_- &= \frac{1}{2}\left(-\partial_0 \phi \partial^0 \phi + \partial_i \phi \partial^i \phi\right) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2 \\ &= -\frac{1}{2}\left(\partial_0 \phi \partial^0 \phi - \partial_i \phi \partial^i \phi\right) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2 \\ &= -\frac{1}{2}\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2}m^2 \phi^2\end{align*}\)

missä muokkauksen jälkeen ensimmäisen termin edessä miinusmerkki. Kun näin ajattelee, niin miinusmerkki on seuraus signatuurista, eikä sitä erikseen tarvitsee valita. Jos oikein ymmärsin?

Jälkimmäisen termin \(-\frac{1}{2}m^2 \phi^2\) etumerkki on signatuurista riippumaton. Tuon \(\mathcal{L}_+\):n liikeyhtälössä on \(+m^2\) ja \(\mathcal{L}_-\):n liikeyhtälössä \(-m^2\).

Aloin jo kirjoittaa näiden Hamiltonin tiheyttä, mutta enpä vielä kirjoitakaan, mun en ole varma vaikuttaako signatuuri Hamiltonin tiheyden määrittelyyn. hmm.

Eikö se Legendre-muunnokseen vaikuta (liike-energiat, potentiaalit)?