Greenin funktio, Feynmanin propagaattori, korrelaatiofunktio ja Wightman funktio

[QS]

Positiivisen massakuoren Lorentz-invariantti deltafunktio on mielestäni yksinkertaisesti

\(\Theta(p^0) \delta(p^2-m^2)\)

En tosin tähän hätään tiedä miten osoitan tuon invariantiksi. Täytynee palata siihen.

Tämän näkeekin ihan suoraan. Tuo \(p^2 = (p^0)^2 - \mathbf p^2\) on invariantti, ja \(m^2\) on invariantti. Tästä seuraa, että \(\delta(p^2-m^2)=\delta((\Lambda p)^2-m^2)\).

Myös \(\Theta(p^0)\) on invariantti, kun rajoitutaan ajan suunnan säilyttävään Lorentz-muunnokseen.

Usein näkee myös kirjoitettavan

\(\displaystyle d^4p\ \Theta(p^0) \delta(p^2-m^2) = \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p}\)

Vasemman puolen \(d^4p\) on invariantti, ja se voidaan kirjoittaa \(d^4p = dp^0\ d^3p\).

Porrasfunktiosta ja massakuoresta seuraa \(p^0 = E_\mathbf p = + \sqrt{\mathbf p^2 + m^2}\), joten

\(p^2-m^2 = (p^0)^2 - \mathbf p^2 - m^2 = (p^0)^2 - E_\mathbf p^2 = (p^0 - E_\mathbf p)(p^0 + E_\mathbf p)\)

Funktion \(g(x)\) deltafunktio on

\(\displaystyle \delta(g(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}\)

missä summataan \(g\):n reaaliset juuret \(x_i\). Tässä tapauksessa

\(g(p^0) = (p^0 - E_\mathbf p)(p^0 + E_\mathbf p)\)

jonka juuret ovat \( E_\mathbf p\) ja \(-E_\mathbf p\). Nimittäjässä derivaatan itseisarvo molemmille juurille on \(2 E_\mathbf p\), ja näistä saadaan

\(\displaystyle \delta(p^2-m^2) = \frac{1}{2 E_\mathbf p}\left( \delta(p^0-E_\mathbf p) + \delta(p^0+E_\mathbf p)\right)\)

Jälkimmäinen \(\delta(p^0+E_\mathbf p)\) poistuu, kun porrasfunktion takia \(E_\mathbf p > 0\), ja siksi \(\Theta(p^0) \delta(p^0+E_\mathbf p) = 0\). Näin ollen

\(\displaystyle \Theta(p^0)\ \delta(p^2-m^2) = \frac{1}{2 E_\mathbf p} \Theta(p^0)\ \delta(p^0-E_\mathbf p)\)

Kirjoitetaan integraali

\(\displaystyle \int d^4p\ \Theta(p^0) \delta(p^2-m^2) = \int d^3p\ \frac{1}{2 E_\mathbf p}\ \int dp^0\ \Theta(p^0)\ \delta(p^0-E_\mathbf p) = \int d^3p\ \frac{1}{2 E_\mathbf p}\)

Tuosta voidaankin todeta, että

\(\displaystyle d^4p\ \Theta(p^0) \delta(p^2-m^2) = \frac{d^3 p}{2E_\mathbf p}\)

Mielestäni vasen puoli tulee ajatella siten, että se on kokonaisuutena integraalin mitta, joka on rajoitettu positiivisen energian massakuorelle. Deltafunktio rajoittaa massakuorelle, ja porrasfunktio positiiviselle energialle. Funktion \(f(p)=f(p^0,\mathbf p)\) integraalin voisi kirjoittaa

\(\displaystyle \int d^4p\ \Theta(p^0) \delta(p^2-m^2) f(p) = \int \frac{d^3 p}{2E_\mathbf p} f(E_\mathbf p, \mathbf p)\)

[Disputator]

Iltapäivää!

Tämä onkin hyvä tilaisuus kokeilla miten nopeasti saan etumerkit sotkuun

Lasketaan edistynyt propagaattori, jonka molemmat navat ovat ylemmässä puolitasossa, mikä tekee tästä varsinaisen etumerkkiviidakon. Navat ovat \(q^0 = E_\mathbf q + i\epsilon\) ja \(q^0 = -E_\mathbf q + i\epsilon\), missä kuitenkin positiivinen \(\epsilon \gt 0\), ja myöhemmin \(\epsilon \to 0^+\).

Sijoitan edistyneen propagaattorin navat aiempien viestien funktion \(I(\mathbf q)\) nimittäjään

\(\displaystyle I(\mathbf q) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} d q^0 \frac{ i\ e^{-i q^0 x^0}}{[\ q^0-(E_\mathbf q + i\epsilon)\ ] [\ q^0-(-E_\mathbf q + i\epsilon)\ ]}\)

Merkitään integrandi \(f(q^0)\), ja kierretään ensin ylempi puolitaso (\(\uparrow\)) vastapäivään (+), kun \(x^0 \lt 0\). Molemmat navat ovat ylemmässä puolitasossa, joten

\(\begin{align}
\frac{1}{2\pi} \oint_{C_+}^{\uparrow} dq^0\ f(q^0) & = \frac{1}{2\pi} (+2\pi i) \left[\ \text{Res}(f,+E_\mathbf q+i\epsilon) + \text{Res}(f,-E_\mathbf q+i\epsilon)\ \right] \\
& = i \left[\frac{1}{2 E_\mathbf q}i e^{-i(+E_\mathbf q + i\epsilon)x^0}\ - \frac{1}{2 E_\mathbf q}i e^{-i(-E_\mathbf q + i\epsilon)x^0}\ \right] \\
& =\frac{1}{2 E_\mathbf q} \left[ -e^{-i(+E_\mathbf q + i\epsilon)x^0} + e^{-i(-E_\mathbf q + i\epsilon)x^0} \right] \\
& =\frac{1}{2 E_\mathbf q} \left[ -e^{-i E_\mathbf q x^0 + \epsilon x^0} + e^{+iE_\mathbf q + \epsilon x^0} \right] \\ \\
& = \frac{e^{+\epsilon x^0}}{2 E_\mathbf q} \left( e^{+iE_\mathbf q x^0}-e^{-iE_\mathbf q x^0}\right)
\end{align}\)

Tämän jälkeen \(\epsilon \to 0^+\), jolloin

\(\displaystyle \frac{1}{2\pi} \oint_{C_+}^{\uparrow} d q^0\ f(q^0) = \frac{1}{2 E_\mathbf q} \left( e^{+iE_\mathbf q x^0}-e^{-iE_\mathbf q x^0}\right)\)

Alempi puolitaso (\(\downarrow\)) kierretään myötäpäivään (-), kun \(x^0 \gt 0\). Navat ovat kuitenkin reaaliakselin yläpuolella, joten

\(\displaystyle \frac{1}{2\pi} \oint_{C-}^{\downarrow} dq^0\ f(q^0) = 0\)

Kun nämä yhdistetään, niin \(q^0\)-integraali on

\(I(\mathbf q) = \begin{cases}
\displaystyle 0, \quad x^0 > 0 \\ \\
\displaystyle \frac{1}{2 E_\mathbf q} \left( e^{+iE_\mathbf q x^0}-e^{-iE_\mathbf q x^0} \right), \quad x^0 <0 \\
\end{cases}\)

tai porrasfunktion avulla

\(\displaystyle I(\mathbf q) = \frac{1}{2 E_\mathbf q} \Theta(-x^0)\ \left( e^{+iE_\mathbf q x^0}-e^{-iE_\mathbf q x^0} \right)\)

Seuraavaksi sitten propagaattorin \(\mathbf q\) -integraali

\(\begin{align}
D_A(x) &= \int \frac{d^3q}{(2\pi)^3}\ e^{+i \mathbf q \cdot \mathbf x}\ I(\mathbf q) \\
& = \Theta(-x^0) \int \frac{d^3q}{2E_\mathbf q (2\pi)^3}\ e^{+i \mathbf q \cdot \mathbf x} \left( e^{+iE_\mathbf q x^0}-e^{-iE_\mathbf q x^0} \right) \\
&=\Theta(-x^0) \left[ \int \frac{d^3q}{2E_\mathbf q (2\pi)^3}\ e^{+iE_\mathbf q x^0+i \mathbf q \cdot \mathbf x} - \int \frac{d^3q}{2E_\mathbf q (2\pi)^3}\ e^{-iE_\mathbf q x^0+i \mathbf q \cdot \mathbf x}\right]
\end{align}\)

Viimeistä riviä voi nyt verrata Wightman funktioihin

\(\displaystyle D_\pm(x) = D_\pm(x^0, \mathbf x) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \frac{d^3q}{2 E_\mathbf q} e^{i(\mp E_\mathbf q x^0 \pm \mathbf q \cdot \mathbf x)}\)

\(D_A\):n jälkimmäinen integraali on selvästi \(D_+(x)\). Ensimmäiseen integraaliin voi tehdä muuttujavaihdon \(\mathbf q \to -\mathbf q\), jonka jälkeen se on \(D_-(x)\), koska energian etumerkki ei vaihdu, eli siis \(E_{-\mathbf q} = E_\mathbf q\).

Näin saadaan suorastaan häikäisevän manifestoituneesti Lorentz-invariantti propagaattori

\(D_A(x) = \Theta(-x^0)\left[\ D_-(x)\ -\ D_+(x)\ \right]\)

Mielestäni onnistuin etumerkeissä! Vai?
...

Kyllä mielestäni onnistuit, kävin laskua läpi suht huolellisesti ja siinä on kaikki oikein. Ääripedanttinen matemaatikko kysyisi kuitenkin vielä sitä, että miksi puoliympyrän kaaren integraalit häviävät, kun kun ympyränkaaren säde \( R\to\infty\), sen perustelua en ole nähnyt kuin ihan puhtaan matematiikan kirjoissa ja se ei ole mikään pitkä lasku, vaan siinä on pari ovelaa temppua tehtävä.

[Disputator]

Positiivisen massakuoren Lorentz-invariantti deltafunktio on mielestäni yksinkertaisesti

\(\Theta(p^0) \delta(p^2-m^2)\)

En tosin tähän hätään tiedä miten osoitan tuon invariantiksi. Täytynee palata siihen.

Tämän näkeekin ihan suoraan. Tuo \(p^2 = (p^0)^2 - \mathbf p^2\) on invariantti, ja \(m^2\) on invariantti. Tästä seuraa, että \(\delta(p^2-m^2)=\delta((\Lambda p)^2-m^2)\).

Kyllä, massakuori on invariantti Lorentz-muunnoksissa, jotka säilyttävät ajan suunnan. Jos ajan suunta sallitaan muuttuvan, saadaan massakuorelle kopio.

Myös \(\Theta(p^0)\) on invariantti, kun rajoitutaan ajan suunnan säilyttävään Lorentz-muunnokseen.

Heh, tämä olikin kinkkinen huomio. Uskoisin että funktio \(\Theta:\mathbb R^{1,3}\to \mathbb R\) ei missään tapauksessa ole invariantti edes ajan suunnan säilyttävissä Lorentz-muunnoksissa. Vastaesimerkkina voi ajatella puskua: ennen puskua yhtälö \(p^0=0\) määrittelee samanaikaisuuden 3d-tasopinnan alkuperäisessä koordinaatistossa (jos nyt ajatellaan p koordinaatiksi eikä impulssiksi) ja puskun jälkeen voidaan määritellä uusi samanaikaisuuden 3d-tasopinta \(p'^0=0\), joka poikkeaa tasosta \(p^0=0\).

Väite on kuitenkin tosi, jos vektori p on ajanlaatuinen, siis \( p^2>0\). Ja se ilmeisesti riittää, kun tarkastellaan integrointia massakuorella, jonka jokainen piste on ajanlaatuinen.

Jatko-osa viestissäsi on hyvin mielenkiintoinen ja palaan jatkossa siihen.

[QS]

Positiivisen massakuoren Lorentz-invariantti deltafunktio on mielestäni yksinkertaisesti

\(\Theta(p^0) \delta(p^2-m^2)\)

En tosin tähän hätään tiedä miten osoitan tuon invariantiksi. Täytynee palata siihen.

Tämän näkeekin ihan suoraan. Tuo \(p^2 = (p^0)^2 - \mathbf p^2\) on invariantti, ja \(m^2\) on invariantti. Tästä seuraa, että \(\delta(p^2-m^2)=\delta((\Lambda p)^2-m^2)\).

Kyllä, massakuori on invariantti Lorentz-muunnoksissa, jotka säilyttävät ajan suunnan. Jos ajan suunta sallitaan muuttuvan, saadaan massakuorelle kopio.

Myös \(\Theta(p^0)\) on invariantti, kun rajoitutaan ajan suunnan säilyttävään Lorentz-muunnokseen.

Heh, tämä olikin kinkkinen huomio. Uskoisin että funktio \(\Theta:\mathbb R^{1,3}\to \mathbb R\) ei missään tapauksessa ole invariantti edes ajan suunnan säilyttävissä Lorentz-muunnoksissa. Vastaesimerkkina voi ajatella puskua: ennen puskua yhtälö \(p^0=0\) määrittelee samanaikaisuuden 3d-tasopinnan alkuperäisessä koordinaatistossa (jos nyt ajatellaan p koordinaatiksi eikä impulssiksi) ja puskun jälkeen voidaan määritellä uusi samanaikaisuuden 3d-tasopinta \(p'^0=0\), joka poikkeaa tasosta \(p^0=0\).

Iltaa!
Joo, mielivaltaiselle nelivektorille \(\Theta\left((\Lambda p)^0\right) \neq \Theta(p^0)\). Aika-komponentti \(p^0\) voi vaihtaa etumerkkiä tai muuttua nollaksi. Tai nolla voi pysyä nollana tai muuttua positiiviseksi tai negatiiviseksi.

Väite on kuitenkin tosi, jos vektori p on ajanlaatuinen, siis \( p^2>0\). Ja se ilmeisesti riittää, kun tarkastellaan integrointia massakuorella, jonka jokainen piste on ajanlaatuinen.

Mielesäni näin on.

Jatko-osa viestissäsi on hyvin mielenkiintoinen ja palaan jatkossa siihen.

Jälkimmäinen osa kannattaa kyllä tarkistaa. Eräässä qft-materiaalista löysin vain todettuna saman, mikä on todettu useissa kirjoissakin

\(\require{physics} \displaystyle \eval{\int d^4p\ \delta(p_0^2 - \mathbf p^2 -m^2)}_{p_0>0} =\eval{\int \frac{d^3p}{2p_0}\ }_{p_0=E_\mathbf p}\)

Tästä notaatiosta voi kelata taaksepäin, ja sain tuon kirjoittamani. Muistin tosin hämärästi nähneeni vastaavissa laskuissa käytettävän \(f(x)\):n deltafunktiota \(\delta(f(x))\), ja siitä tuo nimittäjän \(2p_0\).

Ääripedanttinen matemaatikko kysyisi kuitenkin vielä sitä, että miksi puoliympyrän kaaren integraalit häviävät, kun kun ympyränkaaren säde \( R\to\infty\), sen perustelua en ole nähnyt kuin ihan puhtaan matematiikan kirjoissa ja se ei ole mikään pitkä lasku, vaan siinä on pari ovelaa temppua tehtävä.

Nämä on matematiikan mysteerejä, joihin en osaa edes arvata, että mistä lähtisi liikkeelle. Hädin tuskin saan nuo residyt laskettua, ja yhtään mutkikaampi lasku niin menee kynsien pureskeluksi.

[Disputator]

Keskipäivää, unohtui tähän kommentoida.

Mä laskeskelin tässä taannoin siten että en tehnyt tuota \(\epsilon'\)-trikkiä ja kirjoitin (sun notaatiolla) navoiksi:

\(q^0 = E_\mathbf q - i\frac{\epsilon}{2 E_\mathbf q}+O(\epsilon^3)\)

josta näkee positiivisen navan siirtyvän positiivisen reaaliakselin alapuolelle ja

\(q^0 =- E_\mathbf q + i\frac{\epsilon}{2 E_\mathbf q}+O(\epsilon^3)\)

josta näkee negatiivisen navan siirtyneen negatiivisen reaaliakselin yläpuolelle.

Kyllä sen mielestäni noinkin voi laskea. Kun sijoitan nimittäjään termien \(E_\mathbf q - i\epsilon\) ja \(-E_\mathbf q + i\epsilon\) tilalle, niin

\(\displaystyle \left[\ q^0-(E_\mathbf q - i\frac{\epsilon}{2 E_\mathbf q})\right] \left[\ q^0-(- E_\mathbf q + i\frac{\epsilon}{2 E_\mathbf q})\right] = (q^0)^2 -E_\mathbf q^2 + i\epsilon + \frac{\epsilon^2}{(2 E_\mathbf q)^2}\)

Oikea puoli on sama kuin mun viestissä sen jälkeen, kun \(O(\epsilon^2)\) on jätetty pois. Sulla oli \(O(\epsilon^3)\) mutta ehkä tarkoitit \(O(\epsilon^2)\).

Joo, tarkoitin tietysti \(O(\epsilon^2)\). Mistähän minä tuon luvun kolme sain, no lienee se kirjoitusvirhe. Laitan nyt tähän tiiviisti sen laskunkin:

Määrättävä juuret \( q^0=\pm \sqrt{\mathbf q^2+m^2-i \epsilon}=\pm \sqrt{E_\mathbf q^2-i \epsilon}=\pm E_\mathbf q\sqrt{1-\frac{ i\epsilon}{E_\mathbf q}}\) likimääräisesti. Käyttämällä kehitelmää

\(\sqrt{1+x}= 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+O(x^3)\)

kun \(x=-\frac{ i\epsilon}{E_\mathbf q}\), saadaan likiarvot. Tuossa on toki \( O(x^2)\)-termi. Oman pienen merkki/ym. riesan tuo mukanaan kompleksiluvun neliöjuuren ottaminen, merkintä \(\sqrt{z}\) ei ole yksikäsitteisesti määrätty, mutta mitä sen sovitaankin olevan, saadaan sitten kaikki neliöjuuret kaavasta \(\pm \sqrt{z}\).

[QS]

Keskipäivää, unohtui tähän kommentoida.

Mä laskeskelin tässä taannoin siten että en tehnyt tuota \(\epsilon'\)-trikkiä ja kirjoitin (sun notaatiolla) navoiksi:

\(q^0 = E_\mathbf q - i\frac{\epsilon}{2 E_\mathbf q}+O(\epsilon^3)\)

josta näkee positiivisen navan siirtyvän positiivisen reaaliakselin alapuolelle ja

\(q^0 =- E_\mathbf q + i\frac{\epsilon}{2 E_\mathbf q}+O(\epsilon^3)\)

josta näkee negatiivisen navan siirtyneen negatiivisen reaaliakselin yläpuolelle.

Kyllä sen mielestäni noinkin voi laskea. Kun sijoitan nimittäjään termien \(E_\mathbf q - i\epsilon\) ja \(-E_\mathbf q + i\epsilon\) tilalle, niin

\(\displaystyle \left[\ q^0-(E_\mathbf q - i\frac{\epsilon}{2 E_\mathbf q})\right] \left[\ q^0-(- E_\mathbf q + i\frac{\epsilon}{2 E_\mathbf q})\right] = (q^0)^2 -E_\mathbf q^2 + i\epsilon + \frac{\epsilon^2}{(2 E_\mathbf q)^2}\)

Oikea puoli on sama kuin mun viestissä sen jälkeen, kun \(O(\epsilon^2)\) on jätetty pois. Sulla oli \(O(\epsilon^3)\) mutta ehkä tarkoitit \(O(\epsilon^2)\).

Joo, tarkoitin tietysti \(O(\epsilon^2)\). Mistähän minä tuon luvun kolme sain, no lienee se kirjoitusvirhe. Laitan nyt tähän tiiviisti sen laskunkin:

Määrättävä juuret \( q^0=\pm \sqrt{\mathbf q^2+m^2-i \epsilon}=\pm \sqrt{E_\mathbf q^2-i \epsilon}=\pm E_\mathbf q\sqrt{1-\frac{ i\epsilon}{E_\mathbf q}}\) likimääräisesti. Käyttämällä kehitelmää

\(\sqrt{1+x}= 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+O(x^3)\)

kun \(x=-\frac{ i\epsilon}{E_\mathbf q}\), saadaan likiarvot. Tuossa on toki \( O(x^2)\)-termi. Oman pienen merkki/ym. riesan tuo mukanaan kompleksiluvun neliöjuuren ottaminen, merkintä \(\sqrt{z}\) ei ole yksikäsitteisesti määrätty, mutta mitä sen sovitaankin olevan, saadaan sitten kaikki neliöjuuret kaavasta \(\pm \sqrt{z}\).

Alkuiltaa!

Joo näin sen pitäisi mennä. Ainoa, että neliöjuureen taitaa jäädä \(E_\mathbf q^2\)

\(\displaystyle q^0=\pm \sqrt{\mathbf q^2+m^2-i \epsilon}=\pm \sqrt{E_\mathbf q^2-i \epsilon}=\pm E_\mathbf q\sqrt{1-\frac{ i\epsilon}{E_\mathbf q^2}}\)

Mietin tässä, että voiko positiivisen energian \(q^0 = E_\mathbf q = +\sqrt{\mathbf q^2 + m^2}\) takia etumerkiksi valita plussan (\(q^0 > 0\))

\(\displaystyle q^0=+E_\mathbf q\sqrt{1-\frac{ i\epsilon}{E_\mathbf q^2}}\)

Neliöjuuren kehitelmä olisi sitten

\(\displaystyle q^0=+E_\mathbf q\sqrt{1-\frac{ i\epsilon}{E_\mathbf q^2}} = +E_\mathbf q \left( 1 - \frac{i\epsilon}{2 E_\mathbf q^2} + O(\epsilon^2)+\dots \right) = E_\mathbf q - \frac{i\epsilon}{2 E_\mathbf q} + \dots\)

Plus ja miinus -navat tulevat näkyviin, kun nimittäjä jaetaan tekijöihin

\(\displaystyle q^2 - m^2 + i\epsilon = \left(q^0 - \left(E_\mathbf q - \frac{i\epsilon}{2 E_\mathbf q}\right)\right) \left(q^0 + \left(E_\mathbf q - \frac{i\epsilon}{2 E_\mathbf q} \right) \right)\)

Ainakin näyttää oikealta. Mutta voiko *kompleksiluvun* \(q^0 \in \mathbb C\) neliöjuureen valita + -merkin? Peruste olisi se, että \(q^0 \in \mathbb R\) on aina positiivinen. Tässä välivaiheessa \(p^0\) ei kuitenkaan ole reaalinen.

Vai riittääkö, että on valittu reaalinen \(\epsilon > 0\) ja \(\epsilon \to 0^+\), jonka takia nollaa lähestyminen tuottaa positiivisen \(p^0 \to +E_\mathbf p\).

Vai sotkinko reaalisten etumerkkien lisäksi kompleksiluvun neliöjuuren etumerkit. Tässä sotkee sekin, että integrointi on myöhemmin myös negatiivisen \(q^0\) -reaaliakselin suhteen.

[Disputator]

Tämä aikaisempi kirjoituksesi liittynee noihin reunaehtoihin tai alkuarvoehtoihin:

Tässä alla on yksi kohta joka mielestäni on hieman hämärä, mutta se varmasti oikein, mutta nostan asian esille, koska siinä on tiettyä piilotettua asiaa mukana:

...
Feynmanin propagaattori

Tarkastellaan vapaan skalaarihiukkasen kvanttikenttää \(\Phi(x)\), joka toteuttaa homogeenisen KG yhtälön. Voidaan kysyä, että mikä on todennäköisyysamplitudi sille, että tapahtumaan \(y\) preparoitu hiukkanen löydetään tapahtumasta \(x\). Periaatteessa tähän voitaisiin vastata käyttämällä operaattorikenttää \(\Phi(x)\) sekä näiden kommutointeja, ja laskemalla

\(\displaystyle D(x-y) = \bra 0 \Phi(x) \Phi(y) \ket 0 = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ e^{-ip(x-y)}\)

Tässä \(p^0 = E_\mathbf p = +\sqrt{\mathbf p^2 + m^2}\), eli \(p^0\) on rajoitettu massakuorelle. Todellisuudessa \(D(x-y)\) ei ole oikein, koska kvanttikentän paikkaesitys ei anna lokalisoitua hiukkasta, ja normitukseen liittyy ongelmia. Kyseessä ei siis ole mitattava todennäköisyyamplitudi. Mutta \(D(x-y)\) on homogeenisen KG yhtälön ratkaisu, eli eräs KG differentiaalioperaattorin ytimen ratkaisuista.

Onko antamasi \(D(x-y)\) KG-yhtälön ratkaisu (siis ilman \(\delta\)-lähdetermiä) ? Siis onko tosi, että:

\((\Box_x + m^2)\ D(x-y) = 0.\)

Varmastikin on (en epäile), mutta sen todistaminen on ilmeisesti hieman hankalaa, siis suoraan laskemalla.

Voisi olettaa (en tarkastanut mitenkään), että myös:

\((\Box_x + m^2)\ D(y-x) = 0.\)

Joo hyvä kysymys. Mielestäni laskun pitäisi onnistua, kun tässä tapauksessa differentiaalioperaattori \((\Box_x + m^2)\) voidaan siirtää integraalin sisään. En ainakaan näe estettä? Vasen puoli on sitten

\(\begin{align}
(\Box_x + m^2)\ D(x-y) &= (\Box_x + m^2) \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ e^{-ip(x-y)} \\
& = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ (\Box_x + m^2)\ e^{-ip(x-y)} \\
& = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \ (-p^2+m^2)\ e^{-ip(x-y)} \\
& = 0
\end{align}\)
...

Tämä lasku, jossa vastaat kysymykseeni oli mulle ongelma lukiessani tuon, koska lasku sinänsä on oikein (ainakin formaalisti), ja se on toki oikein tyylikkäästi päätelty. Differentiaalioperaattori viedään integraalin sisään. Mutta, lasku on jotenkin liian tyylikäs!

Nyt jos \(x=y\), niin silloin \(D(x-y)\):n kaava antaa:

\(\displaystyle D(0) = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \).

Tuo haiskahtaa vahvasti delta-funktiolta. Siinä on tuo antamasi massakuoriehto \(E_\mathbf p = +\sqrt{\mathbf p^2 + m^2}\) mukana. Tuossa on integrointimittana edelleen Lorentz-invariantti mitta \(\frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p}\) mukana, joten tuo on lienee Lorentz-invariantti otus, jos siis mahdollinen Diracin deltafunktio sitä olisi. Itse asiassa on olemassa käsite invariantti massakuorella määritelty Diracin deltafunktio, jota voidaan siirrellä massakuorella Lorentz-muunnoksilla, mutta en ole varma onko tuo

\(\displaystyle D( 0) = \frac{1}{(2\pi)^3}\int \frac{d^3 \mathbf p}{2E_\mathbf p} \).

juuri se, en tiedä. Selvittelen asiaa.

Iltaa! Totta, mun näppärä "todistus" hajosi päreiksi tapauksessa \(D(0)\)

Oikea puoli hajaantuu, eli karkeasti ottaen \((\Box_x + m^2)\ D(x-y) \to \infty\), kun \((x-y) \to 0\), vaikka tämä ei toisaalta tarkoita oikein mitään. Tuota \(D(x-y)\):tä ei ehkä voi käsitellä funktiona, vaan distribuutiona?
...

Mua jotenkin vaivasi laskun logiikka, siinä siirretään integraalimerkin alle differentiaalioperaattori. Ei siinä sinänsä ole mitään väärää ja laskusi on oikein hyvä.

Periaatteessa sama logiikka toimii melkein mille tahansa lausekkeelle, jossa \(D(x-y)\) korvataan vaikka mun stetsonista löytyvällä huuhaa \( K(x-y)\) funktiolla, jossa muutellaan integroimismittaa ja muutenkin tehdään muutoksia ja lisäämällä koordinaatista \(p_2\) riippuva funktio \(f\) ja sitten lasketaan:

\(\displaystyle K(x-y) = \frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3 \mathbf p f(p_2) \ e^{-ip(x-y)}\)

\(\begin{align}
(\Box_x + m^2)\ K(x-y) &= (\Box_x + m^2) \frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3\mathbf p f(p_2)\ e^{-ip(x-y)} \\
& = \frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3 \mathbf p f(p_2) \ (\Box_x + m^2)\ e^{-ip(x-y)} \\
& = \frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3 \mathbf p f(p_2) \ (-p^2+m^2)\ e^{-ip(x-y)} \\
& = 0
\end{align}\)

Ilmeisesti lasku on oikein ja \( K(x-y)\) on kuin onkin ratkaisu KG-yhtälölle. Toki \( K(x-y) \)ei ole suoraan Lorentz-invariantti, mutta jos tekee koordinaatistomuunnoksen lopputuloksen pitäisi yleisen logiikan mukaan olla myös ratkaisu, tosin ratkaisun matemaattinen muoto muuttuu ja se ei näytä samalta.

Pointti oli se integraalin alla derivoiminen ja sen mahdolliset vaarat.