Asetelmassa on kaksi samanmassaista (\(m\)) hiukkasta, jotka sidottu energialla \(E_B\). Fotonin energia on \(E_\gamma\), ja jotta sidos rikkoutuu, niin ainakin likimäärin \(E_\gamma > E_B\). Relativistisesti tuo ei tosin täysin pidä paikkaansa. Ylimääräinen energia muuttuu kahden yksittäisen massahiukkasen liike-energiaksi. Oletuksena on, että tapahtuu täydellinen fotonin absorptio.
Ennen sidoksen rikkomista kahden hiukkasen sidotun systeemin invariantti massa on
\(\displaystyle M = 2m - \frac{E_B}{c^2}\)
Fotoni ammutaan x-akselin suunnassa, ja lab framessa fotonin liikemäärä on
\(\displaystyle k^\mu = \left( \frac{E_\gamma}{c}, \frac{E_\gamma}{c}, 0 ,0 \right)\)
Sidotun systeemin liikemäärä levossa on
\(\displaystyle p^\mu = \left( Mc,0,0,0 \right)\)
Koko systeemin liikemäärä on siis
\(\displaystyle p_\text{tot}^\mu = k^\mu + p^\mu = \left( \frac{Mc^2 + E_\gamma}{c},\frac{E_\gamma}{c},0,0 \right)=\left(\frac{E_\text{tot}}{c}, \mathbf p_\text{tot}\right)\)
Liikemäärän keskipisteen (COM-koordinaatisto) invariantti energia saadaan, kun lasketaan edellisten avulla
\(E_\text{COM}^2 = (p^0_\text{tot} c)^2 - (p^1_\text{tot} c)^2 = (Mc^2 + E_\gamma)^2 - (E_\gamma)^2 = M^2 c^4 + 2 M c^2 E_\gamma\)
Tämä on siis hiukkasten ja fotonin kokonaisenergia COM-koordinaateilla.
Kun sidosenergia on rikottu (fotonin absorptio), niin kahteen massahiukkaseen siirtyneet liike-energiat ovat samat, ja 3-dim liikemäärät ovat vastakkaiset. Merkitään nämä COM-liikemäärät \(\mathbf p_1^* = \mathbf q\) ja \(\mathbf p_2^* = -\mathbf q\), joille siis pätee COM-koordinaateilla \(\mathbf p_1^*+ \mathbf p_2^* = 0\). Hiukkasten kokonaisenergiat merkitään \(E_1^* = E_2^* = E_\text{COM} / 2\).
Molempien hiukkasten energialle ja liikemäärälle pätee relaatio
\(\displaystyle \left(\frac{E_\text{COM}}{2}\right)^2 = m^2c^4 + \mathbf q^2 c^2\)
Tuohon sijoitetaan \(E_\text{COM}\), ja ratkaistaan 3-dimensioinen liikemäärä
\(\displaystyle q = \frac{1}{c} \sqrt{\frac{M^2c^4 + 2Mc^2 E_\gamma}{4}-m^2 c^4}\)
Tämä on vapaiden hiukkasten liikemäärän normi \(|\mathbf p_1^*| = |\mathbf p_1^*| = q\). Lausekkeeseen voi sijoittaa invariantin massan \(M = 2m - (E_B/c^2)\), jolloin
\(\displaystyle q = \sqrt{m(E_\gamma - E_B) - \left( \frac{E_B E_\gamma}{2c^2}+\frac{E_B^2}{4c^2} \right)}\)
Lauseke on hiukan ikävä, mutta siitä voisi kyllä tehdä erinäisiä päätelmiä. Näin alkuvaiheessa liikemäärän suuruutta voisi arvioida esimerkiksi siten, että annetaan sidosenergian pienentyä hyvin pieneksi, eli siis \(E_B \to 0\). Tällöin liikemäärän normi
\(\displaystyle q \to \sqrt{m E_\gamma}\)
Tuo ei varsinaisesti kuvaa sidotun systeemin tilannetta, mutta sillä voi arvoida jotain. Käyttämällä relativistisen 3-dim liikemäärän ja nopeuden kaavaa
\(\displaystyle q = \gamma m v =\frac{mv}{\sqrt{1- v^2/c^2}}\)
sain ratkaisuna vapaiden hiukkasten nopeuden
\(\displaystyle v = c \sqrt{\frac{E_\gamma}{mc^2 + E_\gamma}} =c \sqrt{\frac{hf}{mc^2 + hf}} \)
missä \(h\) on Planckin vakio, \(f\) on fotonin taajuus ja \(m\) on hiukkasen massa. Tähän voi sijoittaa lukuarvoja, ja valitsin raudan atomipainon ja röntgensäteilyn tyyppisen fotonin.
Wolfram Alpha antaa komennolla
Koodi: Valitse kaikki
(speed of light) * sqrt( (Planck constant)*(30 petahertz) / ((iron atomic mass)*(speed of light)^2 + (Planck constant)*(30 petahertz) ))Tämä on siis karkea lelumalli, eikä sidosenergian tuominen lähelle nollaa kuvaa realistista systeemiä. Mutta nähdään kuitenkin aika hyvin, että absorption jälkeen massahiukkaset voivat saada huomattavan suuret vastakkaiset (COM-)liikemäärät. Tämä ilmenee aiemmin mainittuna lämpöliikkeenä. Kokonaisliikemäärä COM-koordinaateilla on kuitenkin nolla.
Seuraava steppi on laskea millä nopeudella kahden vapaan hiukkasen systeemi liikkuu lab framessa (oletettavasti hyvin pienellä nopeudella, muutoin on laskuvirhe). Mutta se toiste.
