Fysiikan kaavalotto

[Varaktori]

\(\Delta \varphi + \frac{1}{4}R \varphi = \lambda \varphi\)
Tässä vielä bonuksena tämmöinen hauska.

[Eusa]

Ehkä olisi mielekkäämpää, jos arvuuttelisi jotain mikä selkeästi liittyy johonkin rajattuun aiheeseen...?

[Eusa]

\(\Delta \varphi + \frac{1}{4}R \varphi = \lambda \varphi\)
Tässä vielä bonuksena tämmöinen hauska.

Onko tässäkään spektrin ominaisarvoilla päämäärää tai -funktioilla motivaatiota? No, voi olla hauska naapurineljännes...

[QS]

\(\Delta \varphi + \frac{1}{4}R \varphi = \lambda \varphi\)
Tässä vielä bonuksena tämmöinen hauska.

\((\Delta + \frac{1}{4}R) \varphi = \lambda \varphi\)

Näyttää lähes Laplaceoperaattorin ominaisarvolta. Tunnustan, että jouduin googlaamaan, kun en ole moista nähnyt, mutta R viittaa epäeuklidiseen geometriaan. Ja Riemannin geometriaan tämä tosiaan liittyy. Enempää en osaa sanoa.

[QS]

Kysytäänpä hieman toisella tapaa. Mitä matematiikan osa-aluetta matemaatikko käsittelee jos hänellä on käytössä tämän tapaisia yhtälöitä:

\(R_{\mu\nu} = \partial_\lambda \Gamma^\lambda_{\mu\nu} - \partial_\nu \Gamma^\lambda_{\mu\lambda} + \Gamma^\lambda_{\mu\nu} \Gamma^\rho_{\lambda\rho} - \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\rho}\)
\(\int_M K \, dA = 2\pi \chi(M)\)
\(\frac{d^2 x^\lambda}{d\tau^2} + \Gamma^\lambda_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\tau} \frac{dx^\nu}{d\tau} = 0\)

Jos osa-aluetta kysytään, niin differentiaaligeometriaa, erityisesti Riemannin geometriaa. Keskimmäisen voi kai ajatella myös topologiaan liittyväksi.

Joo differentiaaligeometria mulla oli itsellä mielessä kun kysymyksen taiteilin. Tähän ei ehkä yhtä ja ainutta oikeaa vastausta ole. Siinä on Ricci-yhtälöä, Gaus-Bonnettia, Christoffelin symboleja ja parametriaikaa. Ei noistakaan selvinpäin selviä.

Joo, ensimmäinen on Riccin kaarevuustensori. Viimeinen on geodeettinen yhtälö, missä \(\tau\) on käyräparametri, mutta fysiikassa tyypillisesti kellon mittaama ominaisaika.

[Varaktori]

\(\Delta \varphi + \frac{1}{4}R \varphi = \lambda \varphi\)
Tässä vielä bonuksena tämmöinen hauska.

\((\Delta + \frac{1}{4}R) \varphi = \lambda \varphi\)

Näyttää lähes Laplaceoperaattorin ominaisarvolta. Tunnustan, että jouduin googlaamaan, kun en ole moista nähnyt, mutta R viittaa epäeuklidiseen geometriaan. Ja Riemannin geometriaan tämä tosiaan liittyy. Enempää en osaa sanoa.

Tähän saattaa törmätä kvanttifysiikan ja kenttäteorioiden konteksteissa, mutta itsellä oli tuota kirjoittaessa mielessä differentiaaligeometria ja erityisesti Ricci-virtaus. Tämä on eigenvalue-yhtälö.

[QS]

Otetaan vähän helpompi. Kuvaus

\(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\)

on lineaarinen. M on sileä monisto, jonka käyrä \(\gamma:\mathbb{R}\to M\). Lisäksi \(p\in M\) ja \(\gamma(\lambda)=p\), missä \(\lambda\) on käyräparametri. Oletetaan sileä funktio \(f:M\to\mathbb{R}\). Määritellään kuvaus

\(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(\lambda).\)

Minkä nimen antaisit \(u_{\gamma,p}\):lle ?

[Eusa]

Otetaan vähän helpompi. Kuvaus

\(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\)

on lineaarinen. M on sileä monisto, jonka käyrä \(\gamma:\mathbb{R}\to M\). Lisäksi \(p\in M\) ja \(\gamma(\lambda)=p\), missä \(\lambda\) on käyräparametri. Oletetaan sileä funktio \(f:M\to\mathbb{R}\). Määritellään kuvaus

\(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(\lambda).\)

Minkä nimen antaisit \(u_{\gamma,p}\):lle ?

Olisiko tangenttitasoavaruus eräässä sileän moniston pisteessä?

[Eusa]

\(\Delta \varphi + \frac{1}{4}R \varphi = \lambda \varphi\)
Tässä vielä bonuksena tämmöinen hauska.

\((\Delta + \frac{1}{4}R) \varphi = \lambda \varphi\)

Näyttää lähes Laplaceoperaattorin ominaisarvolta. Tunnustan, että jouduin googlaamaan, kun en ole moista nähnyt, mutta R viittaa epäeuklidiseen geometriaan. Ja Riemannin geometriaan tämä tosiaan liittyy. Enempää en osaa sanoa.

Tähän saattaa törmätä kvanttifysiikan ja kenttäteorioiden konteksteissa, mutta itsellä oli tuota kirjoittaessa mielessä differentiaaligeometria ja erityisesti Ricci-virtaus. Tämä on eigenvalue-yhtälö.

Niin on. Mutta onko olemassa jokin fysikaalinen tilanne, jossa juuri tuo yhtälö pätee?

[QS]

Otetaan vähän helpompi. Kuvaus

\(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\)

on lineaarinen. M on sileä monisto, jonka käyrä \(\gamma:\mathbb{R}\to M\). Lisäksi \(p\in M\) ja \(\gamma(\lambda)=p\), missä \(\lambda\) on käyräparametri. Oletetaan sileä funktio \(f:M\to\mathbb{R}\). Määritellään kuvaus

\(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(\lambda).\)

Minkä nimen antaisit \(u_{\gamma,p}\):lle ?

Olisiko tangenttitasoavaruus eräässä sileän moniston pisteessä?

Tangenttiavaruuden määrittelyyn tarvitaan edellisen lisäksi muutakin. Mutta oikeillä jäljillä kyllä.