QS kirjoitti: 09 Heinä 2024, 13:10Eusa kirjoitti: 09 Heinä 2024, 11:38QS kirjoitti: 09 Heinä 2024, 10:38Eusa kirjoitti: 08 Heinä 2024, 20:03QS kirjoitti: 08 Heinä 2024, 19:13Eusa kirjoitti: 08 Heinä 2024, 19:01Hm. Olisiko siis suuntatensori tangenttiavaruudessa, jonka dimensio on sama kuin moniston M?
No, käyrän kanssa pelaaminen... jaa-a.Tensoritkin asuvat vektoriavaruudessa, mutta alkuperäisessä viestissäni tangenttiavaruutta tai muutakaan vektoriavaruutta ei vielä ole määritelty. Se voidaan toki tehdä, mutta on homma erikseen.
Kysytyn otuksen sanallista nimeämistä pitääkin siksi miettiä kohtuu tarkkaan. Vastaus on kuitenkin ihan helppo ja selkeä.Jos se sitten on vain derivaatta, lukuarvo R:ssä, skalaari...Kyllä, \(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\), joten se on skalaari.
Tämä on erikoinen määritelmällinen pilkunhionta-kysymys, jonka takia sen esitin. Joissakin matematiikan lähteissäkin \(u_{\gamma,p}\) nimetään 'tangenttivektoriksi'. Mutta ei kaikissa.
Jos määrittely olisi \(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}^n\), niin kyseessä (ainakin näyttäisi) olevan n-dimensioisen vektoriavaruuden vektori, jolloin vektori-sana olisi ihan perusteltu ainakin kun samalla \(dim(M)=n\).
On kyllä mahdollista puhua abstraktista vektorista, jota ei lausuta minkään vektoriavaruuden kantavektorijoukolla. Mutta kun vektori on abstrakti, niin se ei voi olla \(\mathbb{R}\):n alkio, joka on tosiaan skalaari eikä siis abstrakti vektori. Tämäkään ei vektori-nimitystä puolla.
Jätän tämän nyt vielä tähän roikkumaan ilman että kerron oman vastaukseni.Näyttää, että lukuarvo kuvaa käyrän suunnassa tapahtuvaa muutosvauhtia.
...en nimittelisi vauhdiksi.Kyllä. \(u_{\gamma,p}\) ilmaisee funktion f arvon muutoksen nopeuden käyrän \(\gamma\) suunnassa. Tässä \(f\) derivoidaan \(\lambda\):n suhteen, ja tuon derivaatan suunta on sama kuin käyrän \(\gamma\). Eräänlainen suuntaderivaatta.
Fysiikassa otuksen nimitys on joskus 'nopeus', joka on kuitenkin hiukan eri asia kuin 'nopeusvektori'. Nopeusvektorin määrittely vaatii M:n tangettiavaruuden. Tangenttiavaruus voidaan esimerkiksi indusoida paikallisesta koordinaatistosta, johon moniston pisteet p kuvataan koordinaattifunktioilla.
'Vauhti' ei tässä ole myöskään oikea nimitys, sillä se vaatii sisätulolla varustetun tangenttiavaruuden, jotta nopeusvektorin pituus voidaan ylipäänsä määritellä.
Vauhti voidaan ajatella nopeuden itseisarvona mutta myös itsenäisenä suureena, varsinkin tarkennettuna käsitteenä muutosvauhti. Vakiintuneesti fysikaalisesti toimivissa koordinaatistoissa ei nopeuden itseisarvolle sallita kuin arvot alle kausaliteetin vauhdin c.
Mielenkiintoista olisi tarkastella mitä ehkä hyperbolisia lisäominaisuuksia monistolta M olisi edellytettävä, jotta \(u_{\gamma,p}\) osoittautuisi rapiditeetiksi...