Fysiikan kaavalotto

[QS]

======
Kuvaus

\(u_{\gamma,p}:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\)

on lineaarinen. M on sileä monisto, jonka eräs käyrä on \(\gamma:\mathbb{R}\to M\). Määritellään käyrä siten, että \(\gamma(0)=p\), missä \(p\in M\). Oletetaan lisäksi M:n sileä funktio \(f:M\to\mathbb{R}\). Määritellään kuvaus

\(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(0)\)

Minkä nimen antaisit \(u_{\gamma,p}\):lle?
=====

Tämän kutsuminen tangenttivektoriksi on varmaankin oikein, sillä löydän sen useastakin matematiikan lähteestä. Jos matemaatikko väittää, että se on tangenttivektori, niin olkoon. Mutta jupisen kuitenkin huonosta nimeämisestä

Aamupäivää! Nyt ei onnistunut taaskaan tuon ekan quoten yläpuolelle kirjoittaminen, vaikka olen tässä nyt code-moodissa tms. No, ei väliä.

Olet 100% oikeassa mielestäni tuosta nimeämisestä. Minunkin kirjat määrittelee suoraan tangenttivektorit derivaattaoperaattoreina ja vasta sen jälkeen todistaa, että kyseessä on tosiaankin vektoriavaruus jne.

Olen nyt tutkiskellut noita tangenttiavaruuden määritelmiä ja mulla on kaksi kirjaa, joissa se tehdään suht samalla tavalla käyttäen derivaattaoperaattorimääritelmää, siis \(D:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\) tai jos merkitsee D:n sijasta \(u_p\), niin \(u_p:C^\infty(M)\to\mathbb{R}\). Tämä \(u_p\) ei ole määritelty pisteen p kulkevan käyrän avulla, vaan se on derivaattaoperaattori, joka operoi funktioihin \(f\in C^\infty(M)\) tai \(f\in C^\infty(U)\), missä U mikä tahansa on pisteen p ympäristö. (tämäkin pikku detalji tuo harmaita hiuksia päähän lisää).Olkoon tässä kuitenkin \(f\in C^\infty(M)\)

Derivaattaoperaattoreilta \(u_p\) (joiden lukumäärästä ei ole nyt tietoa tässä vaiheessa) vaaditaan aksiomaattisesti, että se toteuttaa pisteessä p, millä tahansa \(f,g\in C^\infty(M)\) ja millä tahansa \(a,b\in \mathbb{R}\) :

-\(\mathbb{R}\)-lineaarinen, siis \(u_p(a f + b g)= a u_p(f) + b u_p(g)\)
-toteuttaa tulosäännön \(u_p(fg)=(u_p f)g(p) + f(p) u_p(g)\)

Tarkastellaan polkujen avulla määrittelemääsi kuvausta \(f\mapsto u_{\gamma,p}(f):=(f\circ\gamma)'(0)\). Tämä\(u_{\gamma,p}\), joka on määritelty polun avulla,on myös derivaattaoperaattori ylläolevassa hengessä, ja toteuttaa ylläolevat vaatimukset.

Nythän voi olla esimerkiksi niin, että \(M=\mathbb{R}^3\). Kuitenkin käyrän \(\gamma\) tangenttivektori \(u_{\gamma,p} \in \mathbb{R}^1\), mikä on vain 1-dimensioinen avaruus tai reaaliakseli, joka on toki vektoriavaruus sekin.

Tuo 'tangenttivektori' on jotenkin outo tässä kohti, kun käsite tavallaan sisältää ajatuksen 3-dimensioisen \(T_pM\):n vektorista.

Nämä ovat oikein hyviä huomioita, tuo "tangenttivektori" \(u_{\gamma,p} \in \mathbb{R}^1\) kuuluu tosiaankin 1-ulotteiseen avaruuteen.

Koen, että parempi nimitys \(u_{\gamma,p}\):lle on 'funktion f suunnattu derivaatta käyrän \(\gamma\) suuntaan', mikä on reaaliluku, joka ilmaisee f:n arvon muutoksen nopeuden, kun liikutaan käyrää \(\gamma\) pitkin.

Näistä otuksista voidaan tosiaan muodostaa pisteeseen \(p\in M\) joukko

\(T_pM := \{u_{\gamma,p}\ |\ \text{kaikki pisteen p kautta kulkevat sileät käyrät}\ \gamma \}\)

mikä on derivaattaoperaattorien joukko. \(T_pM\):n osoittaminen vektoriavaruudeksi vaatii kait jonkin verran työtä.

Kyllä tämä on mielestäni ihan OK, ainakin nyt miten minä tuon ymmärrän. Oikeastaan nyt on vielä jäljellä se kriittinen kohta eli olisi osoitettava että \(T_pM
\) on tosiaankin vektoriavaruus eli kuinka esimerkiksi summata \(u_{\gamma,p}\) ja \(u_{\mu,p}\), missä \(\mu,\gamma\) polkuja ja \(\mu(0)=\gamma(0)=p\)? Niillä pitäisi olla olemassa jonkinlainen summa, koska niiden on tarkoitus esittää tangenttivektoreita. Periaatteessahan on lopulta oltava:

\(u_{\gamma,p}= \gamma'(0)\) ja \(u_{\mu,p}= \mu'(0)\) ja summan pitäisi olla \(u_{\gamma,p}+u_{\mu,p} = \gamma'(0)+\mu'(0)\)


Yksi tapa on määritellä summa annetulla f:

\((u_{\gamma,p}+u_{\mu,p})f:= u_{\gamma,p}f+u_{\mu,p}f\)

Hmm, vaikka tämä on ihan hyvä idea, niin tässä tulee hankaluutena se, että jos halutaan pitää notaatio konsistenttina on jotenkin konstruoitava sellainen polku \(\alpha\), jolle:

\(u_{\alpha,p} =u_{\gamma,p}+u_{\mu,p}\).

Tämä siis vastaisi haluttua \(\alpha'(0)=\gamma'(0)+\mu'(0)\). Menee kyllä nyt hankalaksi. Varmaan tuonkin voi tehdä, mutta luulen että helpompi tie on määritellä tangenttiavaruus hieman eri tavalla (a priori):

\(T_pM := \{u_{p}\ |\ \text{kaikki derivaattaoperaattorit }\ u_p \}\),

missä \(u_p\) on aikaisemmin määritelty derivointioperaatio, joka on lineaarinen ja toteuttaa tulosäännön. Tämä notaatio voi olla hämäävä, nyt siis kaikki \(u_p, v_p,...\) viittaavat derivointioperaattoreihin

Nyt summan määrittely on helpompaa, koska määritelmästä puuttuu ne polut:

\((u_p + v_p)f:= u_p f+ v_p f\)

skalaarilla kertominen menee samalla tavalla, jos \(a\in\mathbb{R}\), niin määritellään:

\((au_p)(f) := a u_p(f)
\)

Tuo poluista luopuminen teki ainakin tuon \(T_pM\):n vektoriavaruusrakenteen todistamisen helpommaksi. Mutta ei polut ole hyödyttömiä,itse asiassa pätee sellainen että jokainen derivointioperaatio \(u_p\) vastaa yksikäsitteisesti jotain polun avulla määriteltyä (kuten sinun määritelmässäsi) \( u_{\gamma,p} \).

Heh, siis polun \(\gamma\) ekvivalenssiluokkaa \([\gamma]\), jossa kaksi polkua \(\gamma_1\) ja \(\gamma_2\) samaistetaan, jos \(\gamma_1(0)=\gamma_2(0)=p\) ja niillä on sama tangenttivektori, siis

\(u_p\Leftrightarrow u_{[\gamma],p}\)

Huoh, olen joskus aikoinani kyllä näitä opiskellut ja nyt jouduin kyllä kertaamaan aika intensiivisesti ja jutuissani voi olla virheitä siellä täällä.

Iltaa! On melkoista taidetta tämä tangenttiavaruuden ja sen vektorin määrittely, sekä asioiden todistaminen. Kirjoituksestasi en virhettä löytänyt, mutta en ole tässä asiassa vahvoilla jäillä.

Tuo varmasti totta, että ilman polkuja asia on helpompi ja helpommin ymmärrettävissä.

Löysin tangenttiavaruuden tulon ja summan todistuksen, jossa käytetään polkuja. Lähde sama, joka inspiroi alkuperäisen kysymyksen esittämiseen.

Kirjoitan todistuksen tänne ensi viikolla, koska sen läpi käyminen on ainakin itselleni opettavaista.

[Eusa]

\(F\delta = 1\).

 

Voisiko tämä viitata jousen jäykkyyden vakiointiin, missä F on jousen jännitysvoima ja δ on jousen venymä? Tai sitten tarkoitetaan deltafunktion Fourier-muunnosta...

[QS]

diagram.png (9.99 KiB) Katsottu 184 kertaa

Jäi aiempi juttu kesken. \(T_pM\):n osoittaminen vektoriavaruudeksi on mielenkiintoinen. Liitin kuvan, jotta helpompi hahmottaa funktiot \(x\) (koordinaattikuvaus), \(\gamma\) (moniston käyrä) ja \(f\) (moniston funktio).

Kirjoitan tähän lähteestäni löytyneen summan todistuksen. Käyrien \(\gamma\) ja \(\delta\) suuntaisten derivaattojen summa pisteessä \(p\) määritellään

\((v_{\gamma,p}\oplus v_{\delta,p})(f):=v_{\gamma,p}(f)+v_{\delta,p}(f)\)

missä \(\oplus\) on vektoriavaruuden yhteenlasku ja \(+\) on reaalilukujen yhteenlasku. Vasemmalla derivaattojen summa kohdistetaan funktioon \(f \in C^\infty(M)\) ja oikealla summa reaalilukuna.

Vasemman puolen vektorisumma tarkoittaa myös sitä, että olemassa kolmas käyrä \(\sigma:\mathbb{R}\to M\) siten, että \(v_{\gamma,p}\oplus v_{\delta,p}=v_{\sigma,p}\).

Valitaan koordinaattikuvaus (U,x) ja piste \(p \in U\). Oletetaan, että piste p voidaan kirjoittaa \(p = \gamma(\lambda_0) = \delta(\lambda_1)\). Tässä käyräparametrit pisteessä p eivät välttämättä ole samat, jonka takia \(\lambda_0\) ja \(\lambda_1\).

Todistuksessa käytetään ovelaa määrittelyä kolmannelle käyrälle \(\sigma(\lambda)\). Tämä tehdään käänteisellä koordinaattikuvauksella \(x^{-1}\), joka siis kuvaa koordinaatistokäyrän monistoon

\(\sigma(\lambda):=x^{-1}(\ (x\circ\gamma)(\lambda_0+\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda_1+\lambda)\ - \ (x\circ\gamma)(\lambda_0)\ )\)

Tässä \((x\circ\gamma)(\lambda_0+\lambda)\) on käyrän \(\gamma\) koordinaatistoesitys parametrilla \(\lambda_0 + \lambda\) ja vastaava \((x\circ\delta)(\lambda_1+\lambda)\) käyrälle \(\delta\). Viimeinen \(-(x\circ\gamma)(\lambda_0)\) on pistettä \(p\) kuvaava vakiotermi, joka on riippumaton parametrista \(\lambda\). Yhteenlasku on d-dimensioisessa koordinaatistossa \(\mathbb{R}^d\).

Tätä määrittelyä käyttämällä lasketaan

\(\begin{align*}\sigma(0) &= x^{-1}(\ (x\circ\gamma)(\lambda_0+0)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda_1+0)\ - \ (x\circ\gamma)(\lambda_0)\ )\\&=x^{-1}((x\circ\delta)(\lambda_1))\\&=\delta(\lambda_1)\\&=p\end{align*}\)

Tässä siis todettiin, että \(\sigma(0)=p\). Käytetään lisäksi jo mainittua oletusta \(\gamma(\lambda_0) = \delta(\lambda_1) = p\). Nyt kohdistetaan pisteessä \(p\) käyrän \(\sigma\) suuntainen derivaatta funktioon \(f\)

\(\begin{align*}v_{\sigma,p}&=(f\circ\sigma)'(0)\\&=(\ (f\circ x^{-1})\circ(x\circ\sigma)\ )'(0)\end{align*}\)

missä toisella rivillä vain lisätty väliin identiteetti \(x^{-1}\circ x\). Tässä \(x\) on usean muuttujan funktio, sillä kyseessä on d-dimensioinen koordinaatisto. Käyttämällä derivaatan ketjusääntöä usean muuttujan funktiolle, voidaan edellinen kirjoittaa

\(\begin{align*}v_{\sigma,p}(f)&=[(x\circ\sigma)^i]'(0)\ \cdot\ (\partial_i(f\circ x^{-1}))\ (x(\sigma(0))) \end{align*}\)

missä \(i=\{1,2,...,d\}\) ja \(\sigma(0) = p\). Tuo ketjusäännön soveltaminen oli tässä mielestäni haastavin kohta.

Ensimmäinen termi \([(x\circ\sigma)^i]'(0)\) saadaan laskettua aiemmasta \(\sigma(0)\) määrittelystä, missä edessä oli \(x^{-1}\). Derivoimalla saadaan

\([(x\circ\sigma)^i]'(0) = [(x\circ\gamma)^i]'(\lambda_0)+[(x\circ\delta)^i]'(\lambda_1)\)

Tämä voidaan sijoittaa aiempaan, jolloin

\(v_{\sigma,p}(f)=[(x\circ\gamma)^i]'(\lambda_0)\ \cdot\ (\partial_i(f\circ x^{-1}))\ (x(p))\ +\ [(x\circ\gamma)^i]'(\lambda_0) \cdot\ (\partial_i(f\circ x^{-1}))\ (x(p))\)

Tähän voidaan käyttää ketjusääntöä toisin päin, ja saadaan

\(\begin{align*}v_{\sigma,p}(f)&=(f\circ\gamma)'(\lambda_0)+(f\circ\delta)'(\lambda_1)\\&=(f\circ x^{-1}\circ x \circ\gamma)(\lambda_0)+ (f\circ x^{-1}\circ x\circ\delta)(\lambda_1)\\&=v_{\gamma,p}(f)+v_{\delta,p}(f)\end{align*}\)

Nähdään, että käyrä \(\sigma\) täyttää vaaditun ominaisuuden, ja summa on \(T_pM\):n vektori. Tulos on riippumaton koordinaattikuvauksesta \(x\), vaikka sitä todistuksessa käytettiin.

Työläs on, mutta näin se ilmeisesti onnistuu.

[Disputator]

Aamupäivää! Jäi tähän vastaamatta, kun oli kiireitä, mutta vielä kerkeää.

diagram.pngJäi aiempi juttu kesken. \(T_pM\):n osoittaminen vektoriavaruudeksi on mielenkiintoinen. Liitin kuvan, jotta helpompi hahmottaa funktiot \(x\) (koordinaattikuvaus), \(\gamma\) (moniston käyrä) ja \(f\) (moniston funktio).

Kirjoitan tähän lähteestäni löytyneen summan todistuksen. Käyrien \(\gamma\) ja \(\delta\) suuntaisten derivaattojen summa pisteessä \(p\) määritellään

\((v_{\gamma,p}\oplus v_{\delta,p})(f):=v_{\gamma,p}(f)+v_{\delta,p}(f)\)

missä \(\oplus\) on vektoriavaruuden yhteenlasku ja \(+\) on reaalilukujen yhteenlasku. Vasemmalla derivaattojen summa kohdistetaan funktioon \(f \in C^\infty(M)\) ja oikealla summa reaalilukuna.

Vasemman puolen vektorisumma tarkoittaa myös sitä, että olemassa kolmas käyrä \(\sigma:\mathbb{R}\to M\) siten, että \(v_{\gamma,p}\oplus v_{\delta,p}=v_{\sigma,p}\).

Yes, tuon käyrän \(\sigma\) konstruointi on se, mikä multa jäi tekemättä aikaisemmassa kirjoituksessani.

Valitaan koordinaattikuvaus (U,x) ja piste \(p \in U\). Oletetaan, että piste p voidaan kirjoittaa \(p = \gamma(\lambda_0) = \delta(\lambda_1)\). Tässä käyräparametrit pisteessä p eivät välttämättä ole samat, jonka takia \(\lambda_0\) ja \(\lambda_1\).

Todistuksessa käytetään ovelaa määrittelyä kolmannelle käyrälle \(\sigma(\lambda)\).

Tosiaankin ovela määrittely! Ihmettelin jonkin aikaa kyllä melkoisesti että mitä ihmettä tuossa tehdään ja miksi, mutta nyt kai sen sitten ymmärsin.

Tämä tehdään käänteisellä koordinaattikuvauksella \(x^{-1}\), joka siis kuvaa koordinaatistokäyrän monistoon

\(\sigma(\lambda):=x^{-1}(\ (x\circ\gamma)(\lambda_0+\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda_1+\lambda)\ - \ (x\circ\gamma)(\lambda_0)\ )\)

Tässä \((x\circ\gamma)(\lambda_0+\lambda)\) on käyrän \(\gamma\) koordinaatistoesitys parametrilla \(\lambda_0 + \lambda\) ja vastaava \((x\circ\delta)(\lambda_1+\lambda)\) käyrälle \(\delta\). Viimeinen \(-(x\circ\gamma)(\lambda_0)\) on pistettä \(p\) kuvaava vakiotermi, joka on riippumaton parametrista \(\lambda\). Yhteenlasku on d-dimensioisessa koordinaatistossa \(\mathbb{R}^d\).

Eli tuossa tehdään sellainen temppu, että vaikka polkuja \(\gamma\) ja \(\delta\) ei voi laskea yhteen monistolla M, niin käyttämällä koordinaattiesitysta x, voidaan niiden koordinaattiesityksiä manipuloida kuten vektoreita, koska ollaan silloin (kuten sanoitkin) euklidisessa avaruudessa \(\mathbb{R}^d\).

Lauseke \((x\circ\gamma)(\lambda_0+\lambda) + (x\circ\delta)(\lambda_1+\lambda)-x(p)\) on siis hyvin määritelty.

Tätä määrittelyä käyttämällä lasketaan

\(\begin{align*}\sigma(0) &= x^{-1}(\ (x\circ\gamma)(\lambda_0+0)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda_1+0)\ - \ (x\circ\gamma)(\lambda_0)\ )\\&=x^{-1}((x\circ\delta)(\lambda_1))\\&=\delta(\lambda_1)\\&=p\end{align*}\)

Tässä siis todettiin, että \(\sigma(0)=p\). Käytetään lisäksi jo mainittua oletusta \(\gamma(\lambda_0) = \delta(\lambda_1) = p\).

Tosiaankin tuo lisätermi x(p) hämmensi mua melkoisesti, koska useasti valitaan suoraan koordinaaattikuvaus x siten että \( x(p)= 0\in\mathbb{R}^d\). Laskusi ja määrittelysi on mielestäni aivan oikein ja hyvä.

Mä laitan tähän alle joitain olettamuksia ja sievennyksiä, joiden avulla tuo kaavasi hieman yksinkertaistuu eli oletetaan suoraan että \(x(p) = 0\in\mathbb{R}^d\). Käyttämällä tätä kaava:

\(\sigma(\lambda):=x^{-1}(\ (x\circ\gamma)(\lambda_0+\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda_1+\lambda)\ - \ (x\circ\gamma)(\lambda_0)\ )\)

sievenee hieman:

\(\sigma(\lambda):=x^{-1}(\ (x\circ\gamma)(\lambda_0+\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda_1+\lambda))\).

Ottamalla tuosta kummaltakin puolelta koordinaattikuvaus x saadaan:

\((x\circ\sigma)(\lambda)=(x\circ\gamma)(\lambda_0+\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda_1+\lambda)\).

Tuo jo näyttää enemmän yhteenlaskulta. Jos vielä viilaisi tuota siten, että valitsisi parametrit siten että \(\gamma(\lambda_0) = \delta(\lambda_0)=p \), niin silloin tuo ylläoleva näyttäisi vielä siistimmältä:

\((x\circ\sigma)(\lambda)= (x\circ\gamma)(\lambda_0+\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda_0+\lambda)\).

Ja jos vielä asettaisi \(\lambda_0=0\) olisi lopputulos:

\((x\circ\sigma)(\lambda)= (x\circ\gamma)(\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda)\)

ja käyttäen tätä polun \(\sigma\) määritelmänä:

\(\sigma(\lambda):= x^{-1}((x\circ\gamma)(\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda))\)

Tämä viimeinen kaava on sellainen, joka esiintyy joissain määrittelyissä, se on yksinkertaistettu muoto tuosta sun kaavastasi ja siihen päästiin sopivilla koordinaatiston origon ja parametrien valinnoilla.


Mutta se sun kaava on parempi siinä että se on yleisempi, eli ei tehdä mitään yksikertaistavia olettamuksia.

Mä palaan tuohon kirjoituksesi loppuosaan myöhemmin.

[Disputator]

\(F\delta = 1\).

 

Voisiko tämä viitata jousen jäykkyyden vakiointiin, missä F on jousen jännitysvoima ja δ on jousen venymä? Tai sitten tarkoitetaan deltafunktion Fourier-muunnosta...

 

Viimeinen lauseesi oli se mitä haettiin! Kyseessä oli tosiaankin deltafunktion (tai distribuution) Fourier-muunnos.

Ja tosiaankin se \(\delta F = 0\) oli variaatiolaskennan notaatiota, jossa F on joku funktionaali, kuten jo QS ja sinä totesittekin aikaisemmin.

Toinen etsitty tulkinta oli se että jos F on k-muoto, niin

\(\delta F = 0\)

merkitsee sitä että operoimalla kodifferentiaalioperaattorilla \(\delta\) k-muotoon F saadaan (k-1)-muoto \(\delta F\), joka onkin nolla. Siis vähän samantyylistä juttua kuin d-operaatio, joka tuottaa k-muodosta F uuden (k+1)-muodon dF, mutta deltalla mennään "väärään suuntaan" ja saadaan (k-1)-muoto.

Jossain elektrodynamiikan supereleganteissa formulaatioissa voi näihin törmätä, esimerkiksi 4-virrantiheyden J jatkavuusyhtälö voidaan ilmaista muodossa:

\(-\delta J = 0\).

Miinusmerkki tulee siitä että tuo vastaa silloin täsmälleen 4-vektorikentän divergenssiä.

[QS]

Toinen etsitty tulkinta oli se että jos F on k-muoto, niin

\(\delta F = 0\)

merkitsee sitä että operoimalla kodifferentiaalioperaattorilla \(\delta\) k-muotoon F saadaan (k-1)-muoto \(\delta F\), joka onkin nolla. Siis vähän samantyylistä juttua kuin d-operaatio, joka tuottaa k-muodosta F uuden (k+1)-muodon dF, mutta deltalla mennään "väärään suuntaan" ja saadaan (k-1)-muoto.

Jossain elektrodynamiikan supereleganteissa formulaatioissa voi näihin törmätä, esimerkiksi 4-virrantiheyden J jatkavuusyhtälö voidaan ilmaista muodossa:

\(-\delta J = 0\).

Miinusmerkki tulee siitä että tuo vastaa silloin täsmälleen 4-vektorikentän divergenssiä.

Olin rehellisesti sanoen täysin unohtanut kodifferentiaalioperaattorin olemassa olon ja sen notaation. Sumeasti asia palasi mieleeni, nyt kun tämän totesit.

Mä laitan tähän alle joitain olettamuksia ja sievennyksiä, joiden avulla tuo kaavasi hieman yksinkertaistuu eli oletetaan suoraan että \(x(p) = 0\in\mathbb{R}^d\). Käyttämällä tätä kaava:

\(\sigma(\lambda):=x^{-1}(\ (x\circ\gamma)(\lambda_0+\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda_1+\lambda)\ - \ (x\circ\gamma)(\lambda_0)\ )\)

sievenee hieman:

\(\sigma(\lambda):=x^{-1}(\ (x\circ\gamma)(\lambda_0+\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda_1+\lambda))\).

Ottamalla tuosta kummaltakin puolelta koordinaattikuvaus x saadaan:

\((x\circ\sigma)(\lambda)=(x\circ\gamma)(\lambda_0+\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda_1+\lambda)\).

Tuo jo näyttää enemmän yhteenlaskulta. Jos vielä viilaisi tuota siten, että valitsisi parametrit siten että \(\gamma(\lambda_0) = \delta(\lambda_0)=p \), niin silloin tuo ylläoleva näyttäisi vielä siistimmältä:

\((x\circ\sigma)(\lambda)= (x\circ\gamma)(\lambda_0+\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda_0+\lambda)\).

Ja jos vielä asettaisi \(\lambda_0=0\) olisi lopputulos:

\((x\circ\sigma)(\lambda)= (x\circ\gamma)(\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda)\)

ja käyttäen tätä polun \(\sigma\) määritelmänä:

\(\sigma(\lambda):= x^{-1}((x\circ\gamma)(\lambda)\ +\ (x\circ\delta)(\lambda))\)

Tämä viimeinen kaava on sellainen, joka esiintyy joissain määrittelyissä, se on yksinkertaistettu muoto tuosta sun kaavastasi ja siihen päästiin sopivilla koordinaatiston origon ja parametrien valinnoilla.

Joo, tämä oli näppärästi sievennetty. Se todistuksen loppuosa oli itselleni tuskaisin yksityiskohdiltaan. Mutta mielestäni sain ne derivaatat oikein kirjoitettua.

[Eusa]

Tuore video GR-tangenttiavaruuden muodostamisesta.

[QS]

Tuore video GR-tangenttiavaruuden muodostamisesta.

Joo, videon tekijä löytänyt saman. Notaatiota myöden niin saman kaltainen, että todennäköisesti sama lähde.