Kiihtyvyyden merkitys kaksosparadoksissa

[QS]

Kaksosparadoksia on käsitelty kirjallisuudessa ja lukemattomissa artikkeleissa viimeinen vuosisata. Lisäksi internetissä neljännesvuosisata. Lyhyesti sanottuna kyse on kahdesta kellosta, jotka seuraavat eri aika-avaruuden käyriä tapahtumien A ja B välillä. Kellot mittaavat toisistaan poikkeavat ajat. Ilmiötä kutsutaan joskus ikääntymiseroksi.

Eri käyriä seuraavien kellojen vertailu on mahdollista vain, kun ne kohtaavat toisensa tapahtumassa A, ja myöhemmin jälleen tapahtumassa B. Laakeassa avaruudessa tämä ei ole välttämätöntä, mutta yleisessä suhteellisuusteoriassa avaruudellisesti eroteltujen kellojen vertailu ei ole mahdollista.

Vaikka suhteellisuusteoria on yli 100 vuotias, niin tänä päivänkin kiihtyvyyden merkitys ikääntymiseroon aiheuttaa keskustelua. Eräs perustelu on, että ilman kiihtyvyyttä liikkuva kello ja vertailukello eivät palaudu samaan avaruudelliseen paikkaan. Tämä ei ole kestävä perustelu, sillä kaarevassa avaruudessa palautus on mahdollinen ilman kiihtyvyyttä. Myös laakean avaruuden eräät epätriviaalit topologiat mahdollistavat palautuksen ilman kiihtyvyyttä.

On silti olemassa joitakin perusteluja kiihtyvyydelle. Kehittelin erään.

Kellon mittaama aika $\mathrm{\Delta }\tau$ (itseisaika, ominaisaika) on tapahtumien A ja B välisen ajanlaatuisen käyrän $p$ pituus

$\mathrm{\Delta }\tau ={\int }_p\sqrt{g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }}$

missä $g_{\mu \nu }$ on metriikka ja $\mu ,\nu =\{0,1,2,3\}$ koordinaatti-indeksit. Ominaisaika $\mathrm{\Delta }\tau$ on havaitsijasta ja koordinaatistosta riippumaton invariantti.

Helpoin tapaus on laakea Minkowskin avaruus. Metriikka on $g_{\mu \nu }=\text{diag}(+1,-1,-1,-1)$ ja intertiaalihavaitsijan koordinaatit $(x^0,x^1,x^2,x^3)=(t,x,y,z)$. Mitattu aika on

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }\tau & ={\int }_{t_1}^{t_2}dt\sqrt{1-[{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2]}\\ \\ & ={\int }_{t_1}^{t_2}dt\sqrt{1-v(t{)}^2}\end{array}$

missä kello seuraa käyrää $(x(t),y(t),z(t))$ vertailuinertiaalissa aikavälin $t\in [t_1,t_2]$. Funktio $v(t)$ voi sisältää kiihtyvyyksiä, mutta siinäkin tapauksessa $v(t)$:n yksikäsitteinen määrittely vaatii alkunopeuden $v(0)$ (kiihtyvyys integroidaan, ja integroimisvakio on alkunopeus). Siksi $\mathrm{\Delta }\tau$ on ensisijaisesti nopeudesta riippuva, ei kiihtyvyydestä.

Merkitään kiihtyvän kehyksen koordinaatteja $(\overline{\tau },\overline{x})$, missä $\overline{\tau }$ on kiihtyvän havaitsijan ominaisaika. Inertiaalihavaitsijan vastaava ominaisaika on $\tau =t$.

Oletetaan kello, joka 1+1 dimensioisessa avaruudessa seuraa edestakaista käyrää. Kello ohittaa origon hetkellä $t=0$ siten, että alkunopeus $v(0)=+v_0$. Ominaiskiihtyvyys on vakio $a$, jonka suunta kohti origoa (negatiivinen kiihtyvyys). Myöhemmin kello ohittaa jälleen origon, mutta vastakkaiseen suuntaan nopeudella $-v_0$.

Vakiokiihtyvyyden tapauksessa nopeusfunktio on^(*)
$$v(t)=\frac{v_0{\gamma }_0+at}{\sqrt{1+(v_0{\gamma }_0+at{)}^2}}$$
missä $v_0$ on alkunopeus ja ${\gamma }_0$ vastaava gammakerroin. Kello saavuttaa käännöspisteen, kun nopeus $v(t)=0$. Tämä tapahtuu hetkellä $T_1=-v_0{\gamma }_0/a$, jonka jälkeen kello palaa kohti origoa, ja ohittaa sen hetkellä $T_2=-2v_0{\gamma }_0/a$.

Välillä $t\in [0,T_2]=[0,\frac{-2v_0{\gamma }_0}{a}]$ kello mittaa ominaisajan

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }\overline{\tau }& ={\int }_0^{T_2}dt\sqrt{1-v(t{)}^2}\\ \\ & =-\frac{2\text{arsinh}(v_0{\gamma }_0)}{a}\end{array}$

missä sijoitettu $v(t)$ ja integroitu aikaväli $[0,T_2]$. Riippuvuus alkunopeudesta $v_0$ näkyy selvästi.

Tilanne voidaan käsitellä myös toisin päin. Kiihtyvässä koordinaatistossa inertiaalihavaitsijan ominaisajan neliö $\mathrm{\Delta }{\tau }^2$ lasketaan vakiokiihtyvyyden tapauksessa kaavalla^(**)
$$\begin{array}{r}\text{(1)}& \mathrm{\Delta }{\tau }^2& =\left[{\int }_0^{\overline{T}}{e}^{-a\overline{\tau }}d\overline{\tau }\right]\left[{\int }_0^{\overline{T}}{e}^{a\overline{\tau }}d\overline{\tau }\right]\\ & =\frac{2(\cosh a\overline{T}-1)}{a^2}\\ \\ & =\frac{4{\sinh }^2\frac{a\overline{T}}{2}}{a^2}\end{array}$$
missä $\overline{\tau }$ on kellon ominaisaika kiihtyvässä koordinaatistossa $(\overline{\tau },\overline{x})$ ja integroimisväli on $[0,\overline{T}]$. Kello siis ohittaa origon ensin hetkellä $\overline{\tau }=0$ ja paluumatkalla hetkellä $\overline{\tau }=\overline{T}$. Inertiaalin ominaisajaksi saadaan
$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{\Delta }\tau =\sqrt{\mathrm{\Delta }{\tau }^2}=\frac{2\sinh \frac{a\overline{T}}{2}}{a}\end{array}$$Voidaan tarkistaa, että tulos on oikein. Sijoitetaan intertiaalikoordinaatistossa laskettu $\overline{T}=\mathrm{\Delta }\overline{\tau }=-2\text{arsinh}(v_0{\gamma }_0)/a$, jolloin
$$\mathrm{\Delta }\tau =\frac{2\sinh \frac{a(-\frac{2\text{arsinh}(v_0{\gamma }_0)}{a})}{2}}{a}=\frac{-2v_0{\gamma }_0}{a}$$
mikä on inertiaalissa mitattu ominaisaika (inertiaalihavaitsijan aikaväli $[0,T_2]$), kuten pitääkin.

Kaava (1) ja tulos (2) ovat kuitenkin jossain mielessä yllättäviä, sillä ne ovat täysin riippumattomia origon ohitushetken nopeudesta $v_0$. Tätä voi käyttää perusteena sille, että kiihtyvästä koordinaatistosta tarkasteltuna ikääntymisero on kiihtyvyyden funktio, ei nopeuden.

Mutta onko tämä esittämäni näkemys sittenkin vain silmänkääntötemppu ?
===

(*) Müller, T., King, A., & Adis, D. (2006) - A trip to the end of the universe and the twin “paradox”. https://arxiv.org/pdf/physics/0612126
(**) E. Minguzzi (2005) - Differential aging from acceleration: An explicit formula. https://arxiv.org/pdf/physics/0411233

[Eusa]

Hyvä aihe.

Periaatetasolla on hyvä kysyä aiheutuisivatko mitattavat erot koordinaatistovalinnasta, mitä nopeus pohjimmiltaan on, vai fysikaalisista vuorovaikutuksista, jotka pakottavat siirtymän kehyksestä toiseen jatkuvana funktiona.

Fysikaalisia vuorovaikutuksia tapahtuu mm. ajoainetta käytettäessä tai vuorovesivoimien esiintyessä geometrisesti kaareutuneessa kentässä. Yleisesti tarkastellen vuorovaikutuksissa energialajien kesken tapahtuu vaihdoksia.

[Eusa]

https://web.ma.utexas.eduPDF

Mielenkiintoinen analyysi energiaperiaatteen soveltamisesta gravitationaaliseen taajuussiirtymään. Todellisen poukkoilevan fotonin työ on tietysti huomioitava tarkassa tarkastelussa - eli fotonihan aiheuttaa kiihtyvyyttä. Jos molempien kappaleiden massa on sama, eikös fotonin työ "kumoudu" vuoroin? Selkeästi eri kokoisin massoin palaudutaan inertiaalisen ja gravitationaalisen energiatiheyden ekvivalenssin äärelle...

Paperi sisältää kyllä epistemoligista diibadaabaa, jota on vastenmielistä yrittää seurailla kumoutuuko tai erottuuko lopulta mitään järkevää. Mutta ajatuskoeasetelmat ovat sentään ajatuksia ruokkivia. Ainakin esitys siitä, että tasaisessa gravitaatiokentässä eli esim. kiihtyvän havaitsijan sytyttämässä kentässä saman lähde-energian fotonilla olisi ko havaitsijan suhteen sama energia eri etäisyyksissä, on yksiselitteisesti väärä väite, jos luin ja käsitin oikein.

[QS]

mitä nopeus pohjimmiltaan on

Ainoa tuntemani nopeuden määrittely saadaan, kun muodostetaan kellon maailmanviiva ja sen tangentin suuntainen nelivektori.

Maailmanviiva valitussa koordinaatistossa on kellon ominaisajalla $\tau$ parametrisoitu käyrä $x=(x^0(\tau ),x^1(\tau ),x^2(\tau ),x^3(\tau ))$.

Käyrän nopeus on vektori $u=\frac{dx(\tau )}{d\tau }=(\frac{d{x}^0}{d\tau },\frac{d{x}^1}{d\tau },\frac{d{x}^2}{d\tau },\frac{d{x}^3}{d\tau })$.

Tämä vektori asuu aika-avaruusmonistoon liitetyssä tangenttiavaruudessa. Tangenttiavaruus määritellään käyrälle pisteittäin, ja yleisessä tapauksessa kahden eri pisteen tangenttiavaruudet eivät ole samat.

[Eusa]

mitä nopeus pohjimmiltaan on

Ainoa tuntemani nopeuden määrittely saadaan, kun muodostetaan kellon maailmanviiva ja sen tangentin suuntainen nelivektori.

Maailmanviiva valitussa koordinaatistossa on kellon ominaisajalla $\tau$ parametrisoitu käyrä $x=(x^0(\tau ),x^1(\tau ),x^2(\tau ),x^3(\tau ))$.

Käyrän nopeus on vektori $u=\frac{dx(\tau )}{d\tau }=(\frac{d{x}^0}{d\tau },\frac{d{x}^1}{d\tau },\frac{d{x}^2}{d\tau },\frac{d{x}^3}{d\tau })$.

Tämä vektori asuu aika-avaruusmonistoon liitetyssä tangenttiavaruudessa. Tangenttiavaruus määritellään käyrälle pisteittäin, ja yleisessä tapauksessa kahden eri pisteen tangenttiavaruudet eivät ole samat.

Niin. Valitaan koordinaatisto ja mitattaville kohteille syttyy tietyt nopeudet. Mikäli kyseiset nopeudet muuttuvat valitussa inertiaalikoordinaatistossa, päätellään energialajeja muuttava kohteeseen vaikuttava ulkoinen kolmannen osapuolen kanssa tapahtuva fysikaalinen vuorovaikutus.

Tuollainen vuorovaikutus aiheuttaa nopeudelle n. aikaderivaatan (n>1), joka on invariantti kaikissa valittavissa koordinaatistoissa ja tämä tosiasia takaa kaksi yhteistä aika-avaruuden tapahtumapistettä jakavien ajallisuuslinjojen (maailmanviivojen) pituuksien keskinäisen yksiselitteisyyden.

Hyvin voi laskea nopeuksia differentioiden (muutokset!) ja keskittyä yhteiseen tapahtumapisteeseen palaamisen mahdollisuuden ihmettelyyn, mikä tarjoaakin hedelmälliset näkymät.

Aika-avaruudella ei ole erityistä taustakoordinaatistoa, vaan aine vuorovaikutuksineen antaa kohteille erillisyyksiä. Erityisesti siirtymällä suppeasta suhteellisuudesta yleiseen, voidaan kysyä mitä ovat fysikaaliset vuorovaikutukset, joilla vapaasti putoavien kohteiden ajallisuuspolut voivat kohdata ja ikääntymiset erota toisistaan. Silloin tarkastellaan vuorovesivoimia, huomataan niiden kohdistuvat nettona gravitaationielusta poispäin ja huomataan, että nollavertailutaso ei suinkaan ole nielukeskiössä vaan naapurijärjestelmien välisellä nollapinnalla.

Tämän näköalatarinan kirjoitin vain vihjeeksi, että kaksosparadoksin aiheessa vuorovaikutusten, joista kiihtyvyydet kertovat, sulkeminen ulos selitysmallista ei vaikuta aivan syvälliseltä.

Muistutettakoon vielä siitä mittausperiaatteesta, että aika on tasaisia pulsseja inertiaalimajakalta ja ikääntymisero kertyy jaksoilta, joissa noille pulsseille syntyy taajuussiirtoja - myös aika-avaruuteen rakentuneista kaarevuuksista aiheutuen. Kiihtyvyysjaksoissa tapahtuu invariantti energiasiirtymä, joka voidaan lukea majakan pulssin taajuussiirtymästä, korreloiden itseisaikapolun reitin muodostumiseen.

Summa summarum:
- energiasiirtymät ovat invariantteja
- edellisten johdosta kiihtyvyys, dralli etc ovat invariantteja
- vuorovaikutusjakson merkityksellinen dimensioton taajuussiirtymäkerroin on kahdenkeskinen invariantti ja niissä ilmenee fundamentisti monenkeskinen kovarianssi

Mittausennusteisiin, esim. synkronointitilanteita ajatellen, on luonnollisesti huomioitava kausaaliset viiveet.

[QS]

mitä nopeus pohjimmiltaan on

Ainoa tuntemani nopeuden määrittely saadaan, kun muodostetaan kellon maailmanviiva ja sen tangentin suuntainen nelivektori.

Maailmanviiva valitussa koordinaatistossa on kellon ominaisajalla $\tau$ parametrisoitu käyrä $x=(x^0(\tau ),x^1(\tau ),x^2(\tau ),x^3(\tau ))$.

Käyrän nopeus on vektori $u=\frac{dx(\tau )}{d\tau }=(\frac{d{x}^0}{d\tau },\frac{d{x}^1}{d\tau },\frac{d{x}^2}{d\tau },\frac{d{x}^3}{d\tau })$.

Tämä vektori asuu aika-avaruusmonistoon liitetyssä tangenttiavaruudessa. Tangenttiavaruus määritellään käyrälle pisteittäin, ja yleisessä tapauksessa kahden eri pisteen tangenttiavaruudet eivät ole samat.

Niin. Valitaan koordinaatisto ja mitattaville kohteille syttyy tietyt nopeudet. Mikäli kyseiset nopeudet muuttuvat valitussa inertiaalikoordinaatistossa, päätellään energialajeja muuttava kohteeseen vaikuttava ulkoinen kolmannen osapuolen kanssa tapahtuva fysikaalinen vuorovaikutus.

Sanoisin, että nopeus on olemassa myös ilman koordinaatistoa, mutta se on abstrakti vektori V.

Edellä puhuin konkreettisesta nopeusvektorista, joka saadaan, kun havaitsija muodostaa aika-avaruuden pisteisiin $p$ tangenttiavaruuden $T_{p}M$, ja siihen metriikan, sisätulon ja kantavektorit.

Paikallisen tangenttiavaruuden $T_{p}M$ metriikka on Minkowskimetriikka ja sisätulo Minkowskisisätulo. Tämä on paikallinen kehys (frame), jonka origossa havaitsija on.

Kantavektorit ovat $\{{\partial }_{\mu }\}=\{{\partial }_0,{\partial }_1,{\partial }_2,{\partial }_3\}$, missä ajansuuntainen derivaattaoperaattori ${\partial }_0$ on tangentti käyrälle $\sigma (\tau )$, jota havaitsija seuraa. Muut kantavektorit voi valita vapaasti.

Kun metriikka, sisätulo ja kanta on valittu, voi havaitsija lausua nopeutensa konkreettisena vektorina

$u=\frac{{\sigma }^{\mu }(\tau )}{d\tau }{\partial }_{\mu }=u^{\mu }{\partial }_{\mu }$

missä $\tau$ on havaitsijan oman kellon aika ja $\sigma$ havaitsijan seuraama käyrä, jonka käyräparametrina on ominaisaika. Komponentit $u^{\mu }$ neljälle kantavektorille ${\partial }_{\mu }$ saadaan derivoimalla käyrä ominaisajan suhteen, ja siis kantavektorien suuntiin.

Konkreettista vektoria käyttämällä havaitsija voi laskea kulkemansa käyrän pituuden sekä oman nopeutensa ja vauhtinsa.

Tangenttiavaruuden muodostaminen vastaa (vertauskuvallisesti) sitä, että havaitsija nostaa käden silmiensä eteen, ja asettaa 4 Minkowski-sormea siten, että ovat kohtisuorassa toistensa suhteen. Tämä on paikallinen kehys, missä kussakin sormessa on etäisyysvälit. Sormihimmeliä ja toisessa kädessä olevaa kelloa käyttämällä voi muodostaa konkreettisia vektoreita ja vektorin komponentteja, jotka kuvaavat muiden vastaan tulevien kappaleiden liikerataa havaitsijan itsensä suhteen.

Tätä syvemmälle nopeuden olemukseen klassisella fysiikalla on vaikea päästä.

[Eusa]

Edellä puhuin konkreettisesta nopeusvektorista
...
voi havaitsija lausua nopeutensa konkreettisena vektorina
...
Konkreettista vektoria käyttämällä
...
4 Minkowski-sormea siten, että ovat kohtisuorassa toistensa suhteen.
...
voi muodostaa konkreettisia vektoreita ja vektorin komponentteja, jotka kuvaavat muiden vastaan tulevien kappaleiden liikerataa havaitsijan itsensä suhteen.

Mitä konkreettista rakennetta yksittäinen vektori edustaa? "Konkreettinen vektori" ei vaikuta vakiintuneelta käsitteeltä. Mainintasi nopeudesta ilman koordinaatistoa käsitän kahdenväliseksi vauhdiksi, vaikka on siinäkin yksiulotteinen koordinaatisto metriikaksi viritettävä.

Missä tapauksessa eräs nopeusvektori ei kertoisi vain koordinaatistovalinnasta? Kuten sanoin, on luontevaa valita koordinaatisto siten, että pakosta saadaan mielekkäitä tuloksia aina sen mukaan mitä tarkastellaan.

Niin kauan kuin vaihdellaan eri inertiaalikoordinaatistosta toiseen ei synny kappalemuutoksia. Heti kun fysiikan lakien alaisesti vaihdetaan ei-inertiaaliseen koordinaatistoon, huomataan, että ollaan konkreettisesti kyydissä, jossa kappaleet muuttuvat; vuorovaikutuksessa kappaleiden energiatasot siirtyvät energialajien kesken - voidaan redusoida potentiaali- ja liike-energiasiirtymiksi sekä ainemäärämuutoksiksi.

Oikeastaan aika hauska on se joskus hoksauttamasi esimerkki, jossa poismatkustava ei palaakaan vaan välittää vain ohitushetkellä paluusuuntaan matkustavalle kellotiedon, jolloin palaava "kaksonen" on erittäin konkreettisesti muuttunut muutamaa kvanttia vaille aivan toiseksi kappaleeksi. Reissukaksosen tapauksessa palaava kaksonen keventyneine aluksineen on eri kappale kuin se, joka matkaan lähti.

Kappalemuutoksilla on hyvin suora korrelaatio ikääntymiseroon.

Näkisin, että olisi keskustelulle hedelmällistä, jos taajuussiirtymäprosessi saisi kommentointia...

[QS]

Edellä puhuin konkreettisesta nopeusvektorista
...
voi havaitsija lausua nopeutensa konkreettisena vektorina
...
Konkreettista vektoria käyttämällä
...
4 Minkowski-sormea siten, että ovat kohtisuorassa toistensa suhteen.
...
voi muodostaa konkreettisia vektoreita ja vektorin komponentteja, jotka kuvaavat muiden vastaan tulevien kappaleiden liikerataa havaitsijan itsensä suhteen.

Mitä konkreettista rakennetta yksittäinen vektori edustaa? "Konkreettinen vektori" ei vaikuta vakiintuneelta käsitteeltä. Mainintasi nopeudesta ilman koordinaatistoa käsitän kahdenväliseksi vauhdiksi, vaikka on siinäkin yksiulotteinen koordinaatisto metriikaksi viritettävä.

 

No joo. Olisin voinut "konkreettinen vektori" -käsitteen sijasta puhua kantavektorijoukon valinnasta. Abstrakti vektori on mielestäni vakiintunut käsite. Ainakin olen nähnyt sitä kirjallisuudessa käytettävän.

Ajatellaan euklidinen pallo $M=S^2$, jonka pinta on siis 2-dimensioinen. Pinnalla etenee havaitsija mielivaltaista käyrää $\sigma (\tau )$ siten, että käyräparametri on havaitsijan kellonaika $\tau$.

Havaitsija $\sigma$ voi derivoida pallon pintaa, ja määritellä käyrän $\sigma$ suuntaisen derivaatan pinnan pisteeseen $p$. Tämä on suunnattu derivaatta, jota voi merkitä $V_{\sigma ,p}$, ja joka on skalaari (reaaliluku). Jos $\sigma$ etenee pinnalla nopeammin tai säätää kellonsa käymään hitaammin, niin V:n arvo on suurempi.

Kun havaitsijat $\sigma$ ja $\gamma$ kohtaavat pisteessä $p$, niin voi olla esimerkiksi niin, että $V_{\sigma ,p}=2$ ja $V_{\gamma ,p}=5$. Mutta V ei kerro mihin suuntaan $\sigma$ ja $\gamma$ etenevät.

Ei voida päätellä edes sitä, että kohtasivatko suoraan vastakkain, jossain kulmassa vai tuliko $\gamma$ perässä ja paineli $\sigma$:n ohi jatkaen samaa käyrää.

Voin toimia superhavaitsijana, ja katsella kauempaa palloa ja kohtaamista pisteessä, jonka kohdalle olen kirjoittanut "p". Voin todeta: "kohtasivat hiukan kulmassa", "$\sigma$ eteni ehkä viisinkertaisella vauhdilla $\gamma$:aan verrattuna", "$\sigma$ eteni 10 sekunnissa suunnilleen 1/3 verran etelänapaa kohti" jne jne.

Kuvailut ovat abstrakteja. En edes tiedä miten ilmaisen pisteen $p$ numeroilla. Tätä varten tarvitsen esimerkiksi pallokoordinaatiston $(\varphi ,\theta ,r)$.

Vektori saadaan 'konkreettiseksi', kun pisteeseen $p$ liitetään 2-dimensioinen euklidinen tangenttiavaruus $T_{p}M={\mathbb{R}}^2$, jonka sisätulo euklidinen, ja kantavektorit esim ortogonaaliset $\{e_{\varphi },e_{\theta }\}$. Kanta yleensä valitaan siten, että kanta on peräisin koordinaatistosta, johon monisto on kuvattu. $T_{p}M$ on kuitenkin euklidinen $(\varphi ,\theta )$-taso, ei kaareva avaruus.

V on konkreettisesti esim. $v_{\sigma ,p}=(1,4)$, mikä tarkoittaa, että $\sigma$ etenee 1 sekunnissa 1 radiaanin koordinaatin $\varphi$ suuntaan ja 4 radiaania koordinaatin $\theta$ suuntaan.

Vektoria $v$ käyttämällä voidaan määritellä $\sigma$:n vauhti ja $\sigma$:n kulkema matka valitulla aikavälillä. Abstrakti $V_{\sigma ,p}$ ei ole vauhti pallopinnalla. Vauhti $s$ saadaan käyttämällä pallopinnan metriikkaa $g$ ja laskemalla $s=\sqrt{g(v,v)}$, missä metriikka g 'syö' tangenttivektorin v ja antaa sen pituuden 'kaarevalle pinnalle taivutettuna'. Vauhti voidaan edelleen integroida käyrää $\sigma$ pitkin, jolloin saadaan kuljettu matka.

Nopeus on perustavanlaatuisempi kuin vauhti ja etäisyys. Kun on muodostettu tangenttiavaruus, ja tiedetään nopeus, niin pinnan metriikkaa käyttämällä saadaan vauhti. Kun vauhti tiedetään, voidaan laskea kahden pisteen välinen etäisyys.

Kiihtyvyys kaarevassa avaruudessa on kohtuu epätriviaali suure. Sen määrittelyyn tarvitaan tangenttiavaruudet kahdesta pisteestä $p$ ja $q$, sillä kiihtyvyys on nopeuden muutos, kun edetään pisteestä $p$ pisteeseen $q$. Ongelman lähde on se, että $T_{p}M$ ja $T_{q}M$ ovat kaarevuuden takia 'eri asennoissa' ja siksi eri vektoriavaruudet, joiden vertailu ei suoraan onnistu. Laakeassa avaruudessa tätä ei tule ajateltua, kun kaikkien pisteiden tangenttiavaruudet voi ajatella yhdeksi isoksi vektoriavaruudeksi.

[Eusa]

Edellä puhuin konkreettisesta nopeusvektorista
...
voi havaitsija lausua nopeutensa konkreettisena vektorina
...
Konkreettista vektoria käyttämällä
...
4 Minkowski-sormea siten, että ovat kohtisuorassa toistensa suhteen.
...
voi muodostaa konkreettisia vektoreita ja vektorin komponentteja, jotka kuvaavat muiden vastaan tulevien kappaleiden liikerataa havaitsijan itsensä suhteen.

Mitä konkreettista rakennetta yksittäinen vektori edustaa? "Konkreettinen vektori" ei vaikuta vakiintuneelta käsitteeltä. Mainintasi nopeudesta ilman koordinaatistoa käsitän kahdenväliseksi vauhdiksi, vaikka on siinäkin yksiulotteinen koordinaatisto metriikaksi viritettävä.

 

...
Kiihtyvyys kaarevassa avaruudessa on kohtuu epätriviaali suure. Sen määrittelyyn tarvitaan tangenttiavaruudet kahdesta pisteestä $p$ ja $q$, sillä kiihtyvyys on nopeuden muutos, kun edetään pisteestä $p$ pisteeseen $q$. Ongelman lähde on se, että $T_{p}M$ ja $T_{q}M$ ovat kaarevuuden takia 'eri asennoissa' ja siksi eri vektoriavaruudet, joiden vertailu ei suoraan onnistu. Laakeassa avaruudessa tätä ei tule ajateltua, kun kaikkien pisteiden tangenttiavaruudet voi ajatella yhdeksi isoksi vektoriavaruudeksi.

Pikainen kommentti tähän. Aiemmin viittasin siihen, että mielestäni kaarevuuden ero tulisi sitoa mieluummin seuraavaan heikentyvän suunnan käänteeseen, kentän dominanttien väliseen tasapainoviivaan kuin kaarevuuden voimistuvan suunnan keskiöetäisyyteen kuten yleisen suhteellisuusteorian formulaatiossa esiintyy ja Schwartschildin ratkaisussa erityisesti säteen R merkitys korostuu. Eli kaksosparadoksiin viitaten, asettaisin inertiaalimajakkaa imitoivan nollasäteilijän tuollaiselle nollapinnalle. Siihen verrattaisiin sitten taajuussiirtymiä. Kaarevuuden tuottama ja sen kanssa vaikuttava muu itseiskiihtyvyys voitaisiin hallita päivittyvänä ikääntymisskenaariona valittua nollapintaa syvemmässä kentässä.

Kuten huomataan, idea on skaalariippuva ja aina seuraavassa mittakaavassa on löydettävä alin nollapintansa, esim galaksimittakaavassa tai klusteriskaalassa tai suurjoukoissa...

[QS]

Pikainen kommentti tähän. Aiemmin viittasin siihen, että mielestäni kaarevuuden ero tulisi sitoa mieluummin seuraavaan heikentyvän suunnan käänteeseen, kentän dominanttien väliseen tasapainoviivaan kuin kaarevuuden voimistuvan suunnan keskiöetäisyyteen kuten yleisen suhteellisuusteorian formulaatiossa esiintyy ja Schwartschildin ratkaisussa erityisesti säteen R merkitys korostuu. Eli kaksosparadoksiin viitaten, asettaisin inertiaalimajakkaa imitoivan nollasäteilijän tuollaiselle nollapinnalle. Siihen verrattaisiin sitten taajuussiirtymiä. Kaarevuuden tuottama ja sen kanssa vaikuttava muu itseiskiihtyvyys voitaisiin hallita päivittyvänä ikääntymisskenaariona valittua nollapintaa syvemmässä kentässä.

Kuten huomataan, idea on skaalariippuva ja aina seuraavassa mittakaavassa on löydettävä alin nollapintansa, esim galaksimittakaavassa tai klusteriskaalassa tai suurjoukoissa...

Tätä en ymmärtänyt, mutta täsmennän hiukan aiempaa kirjoittamaani

...ortogonaaliset $\{e_{\varphi },e_{\theta }\}$

jotta ei tarvitse näitä kantavektoreita eksplisiittisesti lausua, niin mielummin kirjoittaisin: ortogonaaliset derivaattaoperaattorit $\{{\hat{e}}_{\varphi },{\hat{e}}_{\theta }\}$