Eri käyriä seuraavien kellojen vertailu on mahdollista vain, kun ne kohtaavat toisensa tapahtumassa A, ja myöhemmin jälleen tapahtumassa B. Laakeassa avaruudessa tämä ei ole välttämätöntä, mutta yleisessä suhteellisuusteoriassa avaruudellisesti eroteltujen kellojen vertailu ei ole mahdollista.
Vaikka suhteellisuusteoria on yli 100 vuotias, niin tänä päivänkin kiihtyvyyden merkitys ikääntymiseroon aiheuttaa keskustelua. Eräs perustelu on, että ilman kiihtyvyyttä liikkuva kello ja vertailukello eivät palaudu samaan avaruudelliseen paikkaan. Tämä ei ole kestävä perustelu, sillä kaarevassa avaruudessa palautus on mahdollinen ilman kiihtyvyyttä. Myös laakean avaruuden eräät epätriviaalit topologiat mahdollistavat palautuksen ilman kiihtyvyyttä.
On silti olemassa joitakin perusteluja kiihtyvyydelle. Kehittelin erään.
Kellon mittaama aika \(\Delta\tau\) (itseisaika, ominaisaika) on tapahtumien A ja B välisen ajanlaatuisen käyrän \(p\) pituus
\(\Delta\tau=\int_{p}\sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}\)
missä \(g_{\mu\nu}\) on metriikka ja \(\mu,\nu = \{0,1,2,3\}\) koordinaatti-indeksit. Ominaisaika \(\Delta\tau\) on havaitsijasta ja koordinaatistosta riippumaton invariantti.
Helpoin tapaus on laakea Minkowskin avaruus. Metriikka on \(g_{\mu\nu}=\text{diag}(+1,-1,-1,-1)\) ja intertiaalihavaitsijan koordinaatit \((x^0,x^1,x^2,x^3)=(t,x,y,z)\). Mitattu aika on
\(\begin{align*}\Delta \tau &= \int_{t_1}^{t_2} dt\sqrt{1-\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2\right]}\\\\&=\int_{t_1}^{t_2}dt\sqrt{1-v(t)^2}\end{align*}\)
missä kello seuraa käyrää \((x(t),y(t),z(t))\) vertailuinertiaalissa aikavälin \(t\in[t_1,t_2]\). Funktio \(v(t)\) voi sisältää kiihtyvyyksiä, mutta siinäkin tapauksessa \(v(t)\):n yksikäsitteinen määrittely vaatii alkunopeuden \(v(0)\) (kiihtyvyys integroidaan, ja integroimisvakio on alkunopeus). Siksi \(\Delta\tau\) on ensisijaisesti nopeudesta riippuva, ei kiihtyvyydestä.
Merkitään kiihtyvän kehyksen koordinaatteja \((\bar\tau, \bar x)\), missä \(\bar\tau\) on kiihtyvän havaitsijan ominaisaika. Inertiaalihavaitsijan vastaava ominaisaika on \(\tau=t\).
Oletetaan kello, joka 1+1 dimensioisessa avaruudessa seuraa edestakaista käyrää. Kello ohittaa origon hetkellä \(t=0\) siten, että alkunopeus \(v(0)=+v_0\). Ominaiskiihtyvyys on vakio \(a\), jonka suunta kohti origoa (negatiivinen kiihtyvyys). Myöhemmin kello ohittaa jälleen origon, mutta vastakkaiseen suuntaan nopeudella \(-v_0\).
Vakiokiihtyvyyden tapauksessa nopeusfunktio on(*)
$$v(t)=\frac{v_0\gamma_0+at}{\sqrt{1+(v_0\gamma_0+at)^2}}$$
missä \(v_0\) on alkunopeus ja \(\gamma_0\) vastaava gammakerroin. Kello saavuttaa käännöspisteen, kun nopeus \(v(t)=0\). Tämä tapahtuu hetkellä \(T_1=-v_0\gamma_0/a\), jonka jälkeen kello palaa kohti origoa, ja ohittaa sen hetkellä \(T_2=-2v_0\gamma_0/a\).
Välillä \(t\in[0,T_2]=[0,\frac{-2v_0\gamma_0}{a}]\) kello mittaa ominaisajan
\(\begin{align*}\Delta \bar\tau &= \int_{0}^{T_2} dt\sqrt{1-v(t)^2}\\\\&=-\frac{2\ \text{arsinh}( v_0\gamma_0)}{a}\end{align*}\)
missä sijoitettu \(v(t)\) ja integroitu aikaväli \([0,T_2]\). Riippuvuus alkunopeudesta \(v_0\) näkyy selvästi.
Tilanne voidaan käsitellä myös toisin päin. Kiihtyvässä koordinaatistossa inertiaalihavaitsijan ominaisajan neliö \(\Delta\tau^2\) lasketaan vakiokiihtyvyyden tapauksessa kaavalla(**)
$$\begin{align*}\Delta\tau^2 &= \left[\int_{0}^{\bar T}e^{-a\bar\tau}\ d\bar\tau\right]\left[\int_{0}^{\bar T}e^{a\bar\tau}\ d\bar\tau\right]\tag{1}\\\\&=\frac{2(\cosh a\bar T-1)}{a^2}\\\\&=\frac{4\sinh^2\frac{a\bar T}{2}}{a^2}\end{align*}$$
missä \(\bar\tau\) on kellon ominaisaika kiihtyvässä koordinaatistossa \((\bar\tau, \bar x)\) ja integroimisväli on \([0,\bar T]\). Kello siis ohittaa origon ensin hetkellä \(\bar\tau = 0\) ja paluumatkalla hetkellä \(\bar\tau=\bar T\). Inertiaalin ominaisajaksi saadaan
$$\Delta\tau = \sqrt{\Delta \tau^2} = \frac{2\sinh\frac{a\bar T}{2}}{a}\tag{2}
$$Voidaan tarkistaa, että tulos on oikein. Sijoitetaan intertiaalikoordinaatistossa laskettu \(\bar T = \Delta \bar\tau =-2\text{arsinh}( v_0\gamma_0)/a\), jolloin
$$\Delta\tau = \frac{2\sinh\frac{a(-\frac{2\text{arsinh}( v_0\gamma_0)}{a})}{2}}{a} = \frac{-2v_0\gamma_0}{a}$$
mikä on inertiaalissa mitattu ominaisaika (inertiaalihavaitsijan aikaväli \([0,T_2]\)), kuten pitääkin.
Kaava (1) ja tulos (2) ovat kuitenkin jossain mielessä yllättäviä, sillä ne ovat täysin riippumattomia origon ohitushetken nopeudesta \(v_0\). Tätä voi käyttää perusteena sille, että kiihtyvästä koordinaatistosta tarkasteltuna ikääntymisero on kiihtyvyyden funktio, ei nopeuden.
Mutta onko tämä esittämäni näkemys sittenkin vain silmänkääntötemppu ?
===
(*) Müller, T., King, A., & Adis, D. (2006) - A trip to the end of the universe and the twin “paradox”. https://arxiv.org/pdf/physics/0612126
(**) E. Minguzzi (2005) - Differential aging from acceleration: An explicit formula. https://arxiv.org/pdf/physics/0411233