Kiihtyvyyden merkitys kaksosparadoksissa

[Eusa]

Newtonin painovoimassa on kyllä kiihtyvyysvektorikenttä, mutta GR:ssä olisin varovainen tulkitsemaan gravitaation kiihtyvyyskentäksi.

https://ar5iv.labs.arxiv.org/html/1108.5486

Löysinpä asiaa noista tidal-jännitteiden tuottamista itseiskiihtyvyyksistä.

Mielestäni artikkelissa tarkastellaan kahden testikappaleen välistä suhteellista kiihtyvyyttä. Testikappaleet etenevät geodeesia, joten niiden itseiskiihtyvyydet ovat nolla.

Kyllä. Itseiskiihtyvyydet nousevat testipartikkelien välille, kun ne sidotaan pysymään rakenteena. Edellä kuvasin mitä tapahtuu kappaleelle kaarevan aika-avaruuden muuttuessa keskinäisten geodeesien suhteen.

[QS]

Newtonin painovoimassa on kyllä kiihtyvyysvektorikenttä, mutta GR:ssä olisin varovainen tulkitsemaan gravitaation kiihtyvyyskentäksi.

https://ar5iv.labs.arxiv.org/html/1108.5486

Löysinpä asiaa noista tidal-jännitteiden tuottamista itseiskiihtyvyyksistä.

Mielestäni artikkelissa tarkastellaan kahden testikappaleen välistä suhteellista kiihtyvyyttä. Testikappaleet etenevät geodeesia, joten niiden itseiskiihtyvyydet ovat nolla.

Kyllä. Itseiskiihtyvyydet nousevat testipartikkelien välille, kun ne sidotaan pysymään rakenteena. Edellä kuvasin mitä tapahtuu kappaleelle kaarevan aika-avaruuden muuttuessa keskinäisten geodeesien suhteen.

Kyllä, kyseessä on tidal force. Tämä ei nähdäkseni kerro siitä, että painovoima GR:ssä tulisi tulkita kiihtyvyyskentäksi, mikä oli tämän sivuhaaran varsinainen kysymys. Sen sijaan aika-avaruuden kaarevuus, voidaan jossain mielessä ajatella kenttävoimakkuudeksi.

[Eusa]

Newtonin painovoimassa on kyllä kiihtyvyysvektorikenttä, mutta GR:ssä olisin varovainen tulkitsemaan gravitaation kiihtyvyyskentäksi.

https://ar5iv.labs.arxiv.org/html/1108.5486

Löysinpä asiaa noista tidal-jännitteiden tuottamista itseiskiihtyvyyksistä.

Mielestäni artikkelissa tarkastellaan kahden testikappaleen välistä suhteellista kiihtyvyyttä. Testikappaleet etenevät geodeesia, joten niiden itseiskiihtyvyydet ovat nolla.

Kyllä. Itseiskiihtyvyydet nousevat testipartikkelien välille, kun ne sidotaan pysymään rakenteena. Edellä kuvasin mitä tapahtuu kappaleelle kaarevan aika-avaruuden muuttuessa keskinäisten geodeesien suhteen.

Kyllä, kyseessä on tidal force. Tämä ei nähdäkseni kerro siitä, että painovoima GR:ssä tulisi tulkita kiihtyvyyskentäksi, mikä oli tämän sivuhaaran varsinainen kysymys. Sen sijaan aika-avaruuden kaarevuus, voidaan jossain mielessä ajatella kenttävoimakkuudeksi.

Suosittelen syventymään. Ekvivalenssiperiaate kieltää paikallisen fysiikan eron kiihtyvyyden ja gravitaation välillä. Tämä periaate voidaan ottaa tosissaan, mikä johtaa gravitaatiokaivoista ulospäin suuntautuvien itseiskiihtyvyysvektorien kenttään. Testikappaleissa se tuntuu, mutta kenttä on jatkumo - mitä ilmeisimmin keveimpien vaikutusten eli äärimmilleen kiihtyneiden valonlaatuisten propagaattorien nippuuntunut verkosto.

[QS]

Newtonin painovoimassa on kyllä kiihtyvyysvektorikenttä, mutta GR:ssä olisin varovainen tulkitsemaan gravitaation kiihtyvyyskentäksi.

https://ar5iv.labs.arxiv.org/html/1108.5486

Löysinpä asiaa noista tidal-jännitteiden tuottamista itseiskiihtyvyyksistä.

Mielestäni artikkelissa tarkastellaan kahden testikappaleen välistä suhteellista kiihtyvyyttä. Testikappaleet etenevät geodeesia, joten niiden itseiskiihtyvyydet ovat nolla.

Kyllä. Itseiskiihtyvyydet nousevat testipartikkelien välille, kun ne sidotaan pysymään rakenteena. Edellä kuvasin mitä tapahtuu kappaleelle kaarevan aika-avaruuden muuttuessa keskinäisten geodeesien suhteen.

Kyllä, kyseessä on tidal force. Tämä ei nähdäkseni kerro siitä, että painovoima GR:ssä tulisi tulkita kiihtyvyyskentäksi, mikä oli tämän sivuhaaran varsinainen kysymys. Sen sijaan aika-avaruuden kaarevuus, voidaan jossain mielessä ajatella kenttävoimakkuudeksi.

Suosittelen syventymään. Ekvivalenssiperiaate kieltää paikallisen fysiikan eron kiihtyvyyden ja gravitaation välillä. Tämä periaate voidaan ottaa tosissaan, mikä johtaa gravitaatiokaivoista ulospäin suuntautuvien itseiskiihtyvyysvektorien kenttään. Testikappaleissa se tuntuu, ...

Itseiskiihtyvyys tuntuu testikappaleissa silloin, kun ne roikkuvat esimerkiksi koukuissa. Tässä tapauksesa parempi nimitys on koukkukiihtyvyyskenttä, ei gravitaatiokiihtyvyyskenttä. ; )

[Eusa]

https://ar5iv.labs.arxiv.org/html/1108.5486

Löysinpä asiaa noista tidal-jännitteiden tuottamista itseiskiihtyvyyksistä.

Mielestäni artikkelissa tarkastellaan kahden testikappaleen välistä suhteellista kiihtyvyyttä. Testikappaleet etenevät geodeesia, joten niiden itseiskiihtyvyydet ovat nolla.

Kyllä. Itseiskiihtyvyydet nousevat testipartikkelien välille, kun ne sidotaan pysymään rakenteena. Edellä kuvasin mitä tapahtuu kappaleelle kaarevan aika-avaruuden muuttuessa keskinäisten geodeesien suhteen.

Kyllä, kyseessä on tidal force. Tämä ei nähdäkseni kerro siitä, että painovoima GR:ssä tulisi tulkita kiihtyvyyskentäksi, mikä oli tämän sivuhaaran varsinainen kysymys. Sen sijaan aika-avaruuden kaarevuus, voidaan jossain mielessä ajatella kenttävoimakkuudeksi.

Suosittelen syventymään. Ekvivalenssiperiaate kieltää paikallisen fysiikan eron kiihtyvyyden ja gravitaation välillä. Tämä periaate voidaan ottaa tosissaan, mikä johtaa gravitaatiokaivoista ulospäin suuntautuvien itseiskiihtyvyysvektorien kenttään. Testikappaleissa se tuntuu, ...

Itseiskiihtyvyys tuntuu testikappaleissa silloin, kun ne roikkuvat esimerkiksi koukuissa. Tässä tapauksesa parempi nimitys on koukkukiihtyvyyskenttä, ei gravitaatiokiihtyvyyskenttä. ; )

Gravitaatio ei ole itseiskiihtyvyyttä.

[QS]

Tulipa mieleeni, että aloitusviestin tilanne ja gravitaatio ovat paikallisesti tarkasteltuna ekvivalentteja. Voidaan asettaa kellot liikkumaan aika-avaruuteen, jonka metriikka on

\(ds^2 = - \left(1-\frac{r_s}{r}\right) dt^2 + \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2\)

missä \(r_s\) on Schwarzschildin säde, ja \((t,r)\) ovat Schwarzschildin koordinaatit.

Kiihtyvä kello A on epäinertiaalissa vakioetäisyydellä \(r=R\) siten, että sen ominaiskiihtyvyys on vakio \(a\), ja suunta ulos päin säteen \(r\) suunnassa. Kellon paikalliset koordinaatit ovat \((\bar\tau, \bar r)\).

Inertiaalikello B liikkuu säteen \(r\) suunnassa ulos päin siten, että se ohittaa A:n ulos päin nopeudella \(-v\). Myöhemmin kello B saavuttaa lakikorkeuden \(R_0\), ja putoaa jälleen sisään päin siten, että ohittaa B:n nopeudella \(v\).

Vastaavia juttuja laskettiin Suhteellisuusteoriaa -ketjussa. Etäisyydeltä \(R_0\) pudotetun testikappaleen ja vakioetäisyydellä \(R\) olevan havaitsijan välinen suhteellinen nopeus löytyy esimerkiksi tästä. Vakioetäisyydellä olevan havaitsijan ominaiskiihtyvyys löytyy tästä.

Tehtävänä olisi osoittaa, että Schwartzschild-metriikkaa käyttämällä saadaan samat mitatut ominaisajat kuin aloitusviestissä, kun käytetään aloitusviestissä annettuja arvoja. Tunnetaan siis A:n kiihtyvyys \(a\) ja B:n ohitusnopeus \(v\). Tuntemattomia ovat \(r_s\), \(R\) ja \(R_0\).

Tämä ei ehkä sittenkään ole helppo tehtävä vaikka siltä näyttää. Hmm.

[Disputator]

Aamupäivää!

...
Tilanne voidaan käsitellä myös toisin päin. Kiihtyvässä koordinaatistossa inertiaalihavaitsijan ominaisajan neliö \(\Delta\tau^2\) lasketaan vakiokiihtyvyyden tapauksessa kaavalla^(**)
$$\begin{align*}\Delta\tau^2 &= \left[\int_{0}^{\bar T}e^{-a\bar\tau}\ d\bar\tau\right]\left[\int_{0}^{\bar T}e^{a\bar\tau}\ d\bar\tau\right]\tag{1}\\\\&=\frac{2(\cosh a\bar T-1)}{a^2}\\\\&=\frac{4\sinh^2\frac{a\bar T}{2}}{a^2}\end{align*}$$
missä \(\bar\tau\) on kellon ominaisaika kiihtyvässä koordinaatistossa \((\bar\tau, \bar x)\) ja integroimisväli on \([0,\bar T]\). Kello siis ohittaa origon ensin hetkellä \(\bar\tau = 0\) ja paluumatkalla hetkellä \(\bar\tau=\bar T\). Inertiaalin ominaisajaksi saadaan
$$\Delta\tau = \sqrt{\Delta \tau^2} = \frac{2\sinh\frac{a\bar T}{2}}{a}\tag{2}
$$Voidaan tarkistaa, että tulos on oikein. Sijoitetaan intertiaalikoordinaatistossa laskettu \(\bar T = \Delta \bar\tau =-2\text{arsinh}( v_0\gamma_0)/a\), jolloin
$$\Delta\tau = \frac{2\sinh\frac{a(-\frac{2\text{arsinh}( v_0\gamma_0)}{a})}{2}}{a} = \frac{-2v_0\gamma_0}{a}$$
mikä on inertiaalissa mitattu ominaisaika (inertiaalihavaitsijan aikaväli \([0,T_2]\)), kuten pitääkin.

Kaava (1) ja tulos (2) ovat kuitenkin jossain mielessä yllättäviä, sillä ne ovat täysin riippumattomia origon ohitushetken nopeudesta \(v_0\). Tätä voi käyttää perusteena sille, että kiihtyvästä koordinaatistosta tarkasteltuna ikääntymisero on kiihtyvyyden funktio, ei nopeuden.

Mutta onko tämä esittämäni näkemys sittenkin vain silmänkääntötemppu ?

 

Tämä olikin vielä mielenkiintoisempi kuin ensi näkemältä vaikutti. Olen nyt (varsin pintapuolisesti) yrittänyt ymmärtää että mistä oikein on kysymys. Kävin laskusi myös hieman pintapuolisesti läpi ja mielenkiintoista oli tuo inertiaalin ajan lasku kahdella eri tavalla.

Mun mielestä tuo kaava (1) paperista(**) sisältää jotenkin implisiittisesti tiedon alkunopeudesta. Kun siinä paperissa lasketaan case B eli vakiokiihtyvyystapaus ja saadaan antamasi kaava (2):

$$\Delta\tau = \sqrt{\Delta \tau^2} = \frac{2\sinh\frac{a\bar T}{2}}{a}\tag{2}
$$
Ny siinä paperissa tämä vastaa tilannetta a =-g, niin eikös tuossa asettelussa ollut vaatimus, että havaitsija O lähtee matkalle ja palaa takaisin myöhemmin ja verrataan sitten kelloja inertiaalisen havaitsijan K ja O:n välillä. Inertiaalissa K on kulunut aikaa antamasi \(\Delta\tau\), kun taas O:n kello näyttää \(\bar{T}\).

Koska ominaiskiihtyvyys a on vakio = -g, niin se mielestäni merkitsee sitä, että O:lla täytyy olla jonkinlainen alkunopeus \( v_0\) poispäin origosta.

Jos pidetään g vakiona ja annetaan erilaisia alkunopeuksia \( v_0\) saadaan mielestäni erilaisia arvoja \(\Delta\tau\):lle. Suurella alkunopeudella lennetään kauemmaksi ja siten lento K:n mielestä kestää kauemmin. Myös tuon \(\bar{T}\):n pitäisi riippua alkunopeudesta eli implisiittisesti \(\bar{T} = \bar{T}(v_0)\).

En nyt tuosta tiedä, tavallaan kai noinkin voisi asiaa lähestyä.

[Eusa]

Tarkastellaan ympyräkiertoradalla (yksinkertaistetusti) hetkellistä tilannetta kiertokappaleen omassa koordinaatistossa. Silloin kappaleella ei ole nopeutta mutta kentällä on kappaleen suhteen hetkellinen nopeus.

Ajan peruskaarevuus tuolla etäisyydellä ajaa putoamista ja antaa inertiaalisen liikesuunnan kohti dominanttikeskiötä (nopeutta ei ole). Miten liiketilaan vaikuttavat kiertävän kentän muuttuvat kaarevuudet? Ne tuottavat nosteen, jonka kiihtyvyys on g(r) ulospän. Silloin kentän suhteen paikallaan olevat kohteet näyttävät putoavan näennäiskiihtyvyydellä -g(r).

Vertailukelpoinen nollakiihtyvyystaso on domnanttijärjestelmän ja seuraavan järjestelmän rajalla (esim. Maa-Mars tai Maa-Kuu). Avaruudellinen koordinaatisto muodostuu jatkumoksi, joka putoaa - kyseisen kiertoradan kohdalla -g(r) kohti dominanttia.

Noin ollen kiertorata on vakaa ja kappale löytänyt 4-nosteessa tasapainoasemansa. 4-nosteen antavassa 4-tiheydessä kaarevuskentän suhteen kappaleen tiheyteen kuuluu olennaisesti aika eli kenttämuutokset, mikä klassisesti näkyy ratavauhtina.

Tällä näkemyksellä Einsteinin ekvivalenssi on todellinen nosteinen kiihtyvyyskenttä ja gravitaatio koordinaatistoputoamista sitä vastaan.

Eräs tarkastelu on tietysti vielä se, kuinka se ratanopeus kuitenkin poikkeuttaa aikadilataatiota ja ikääntymiseroa erilaisten muiden liikekoordinaatistojen suhteen. Keissi olisi valmis, kun kaikki ikääntymisero voidaan redusoida etäisyyksiin ja kiihtyvyyksiin ilman nopeuksia ja aikadilataatio Lorentz-symmetriana koskien vain koordinaatistovalintoja eli inertiaalisia tasaisia nopeuksia tai näennäiskiihtyviä koordinaatistoja.

[QS]

Aamupäivää!

...
Tilanne voidaan käsitellä myös toisin päin. Kiihtyvässä koordinaatistossa inertiaalihavaitsijan ominaisajan neliö \(\Delta\tau^2\) lasketaan vakiokiihtyvyyden tapauksessa kaavalla^(**)
$$\begin{align*}\Delta\tau^2 &= \left[\int_{0}^{\bar T}e^{-a\bar\tau}\ d\bar\tau\right]\left[\int_{0}^{\bar T}e^{a\bar\tau}\ d\bar\tau\right]\tag{1}\\\\&=\frac{2(\cosh a\bar T-1)}{a^2}\\\\&=\frac{4\sinh^2\frac{a\bar T}{2}}{a^2}\end{align*}$$
missä \(\bar\tau\) on kellon ominaisaika kiihtyvässä koordinaatistossa \((\bar\tau, \bar x)\) ja integroimisväli on \([0,\bar T]\). Kello siis ohittaa origon ensin hetkellä \(\bar\tau = 0\) ja paluumatkalla hetkellä \(\bar\tau=\bar T\). Inertiaalin ominaisajaksi saadaan
$$\Delta\tau = \sqrt{\Delta \tau^2} = \frac{2\sinh\frac{a\bar T}{2}}{a}\tag{2}
$$Voidaan tarkistaa, että tulos on oikein. Sijoitetaan intertiaalikoordinaatistossa laskettu \(\bar T = \Delta \bar\tau =-2\text{arsinh}( v_0\gamma_0)/a\), jolloin
$$\Delta\tau = \frac{2\sinh\frac{a(-\frac{2\text{arsinh}( v_0\gamma_0)}{a})}{2}}{a} = \frac{-2v_0\gamma_0}{a}$$
mikä on inertiaalissa mitattu ominaisaika (inertiaalihavaitsijan aikaväli \([0,T_2]\)), kuten pitääkin.

Kaava (1) ja tulos (2) ovat kuitenkin jossain mielessä yllättäviä, sillä ne ovat täysin riippumattomia origon ohitushetken nopeudesta \(v_0\). Tätä voi käyttää perusteena sille, että kiihtyvästä koordinaatistosta tarkasteltuna ikääntymisero on kiihtyvyyden funktio, ei nopeuden.

Mutta onko tämä esittämäni näkemys sittenkin vain silmänkääntötemppu ?

 

Tämä olikin vielä mielenkiintoisempi kuin ensi näkemältä vaikutti. Olen nyt (varsin pintapuolisesti) yrittänyt ymmärtää että mistä oikein on kysymys. Kävin laskusi myös hieman pintapuolisesti läpi ja mielenkiintoista oli tuo inertiaalin ajan lasku kahdella eri tavalla.

Mun mielestä tuo kaava (1) paperista(**) sisältää jotenkin implisiittisesti tiedon alkunopeudesta. Kun siinä paperissa lasketaan case B eli vakiokiihtyvyystapaus ja saadaan antamasi kaava (2):

$$\Delta\tau = \sqrt{\Delta \tau^2} = \frac{2\sinh\frac{a\bar T}{2}}{a}\tag{2}
$$
Ny siinä paperissa tämä vastaa tilannetta a =-g, niin eikös tuossa asettelussa ollut vaatimus, että havaitsija O lähtee matkalle ja palaa takaisin myöhemmin ja verrataan sitten kelloja inertiaalisen havaitsijan K ja O:n välillä. Inertiaalissa K on kulunut aikaa antamasi \(\Delta\tau\), kun taas O:n kello näyttää \(\bar{T}\).

Koska ominaiskiihtyvyys a on vakio = -g, niin se mielestäni merkitsee sitä, että O:lla täytyy olla jonkinlainen alkunopeus \( v_0\) poispäin origosta.

Jos pidetään g vakiona ja annetaan erilaisia alkunopeuksia \( v_0\) saadaan mielestäni erilaisia arvoja \(\Delta\tau\):lle. Suurella alkunopeudella lennetään kauemmaksi ja siten lento K:n mielestä kestää kauemmin. Myös tuon \(\bar{T}\):n pitäisi riippua alkunopeudesta eli implisiittisesti \(\bar{T} = \bar{T}(v_0)\).

En nyt tuosta tiedä, tavallaan kai noinkin voisi asiaa lähestyä.

Kyllä, juuri näin. Funktio \(\bar{T} = \bar{T}(v_0)\), jonka voisi periaatteessa eksplisiittiesti laskeakin, on mainitsemani silmänkääntötemppu. Nopeuden vaikutus mitattuun ominaisaikaan ei ole kadonnut oikeasti mihinkään.

[Eusa]

Aamupäivää!

...
Tilanne voidaan käsitellä myös toisin päin. Kiihtyvässä koordinaatistossa inertiaalihavaitsijan ominaisajan neliö \(\Delta\tau^2\) lasketaan vakiokiihtyvyyden tapauksessa kaavalla^(**)
$$\begin{align*}\Delta\tau^2 &= \left[\int_{0}^{\bar T}e^{-a\bar\tau}\ d\bar\tau\right]\left[\int_{0}^{\bar T}e^{a\bar\tau}\ d\bar\tau\right]\tag{1}\\\\&=\frac{2(\cosh a\bar T-1)}{a^2}\\\\&=\frac{4\sinh^2\frac{a\bar T}{2}}{a^2}\end{align*}$$
missä \(\bar\tau\) on kellon ominaisaika kiihtyvässä koordinaatistossa \((\bar\tau, \bar x)\) ja integroimisväli on \([0,\bar T]\). Kello siis ohittaa origon ensin hetkellä \(\bar\tau = 0\) ja paluumatkalla hetkellä \(\bar\tau=\bar T\). Inertiaalin ominaisajaksi saadaan
$$\Delta\tau = \sqrt{\Delta \tau^2} = \frac{2\sinh\frac{a\bar T}{2}}{a}\tag{2}
$$Voidaan tarkistaa, että tulos on oikein. Sijoitetaan intertiaalikoordinaatistossa laskettu \(\bar T = \Delta \bar\tau =-2\text{arsinh}( v_0\gamma_0)/a\), jolloin
$$\Delta\tau = \frac{2\sinh\frac{a(-\frac{2\text{arsinh}( v_0\gamma_0)}{a})}{2}}{a} = \frac{-2v_0\gamma_0}{a}$$
mikä on inertiaalissa mitattu ominaisaika (inertiaalihavaitsijan aikaväli \([0,T_2]\)), kuten pitääkin.

Kaava (1) ja tulos (2) ovat kuitenkin jossain mielessä yllättäviä, sillä ne ovat täysin riippumattomia origon ohitushetken nopeudesta \(v_0\). Tätä voi käyttää perusteena sille, että kiihtyvästä koordinaatistosta tarkasteltuna ikääntymisero on kiihtyvyyden funktio, ei nopeuden.

Mutta onko tämä esittämäni näkemys sittenkin vain silmänkääntötemppu ?

 

Tämä olikin vielä mielenkiintoisempi kuin ensi näkemältä vaikutti. Olen nyt (varsin pintapuolisesti) yrittänyt ymmärtää että mistä oikein on kysymys. Kävin laskusi myös hieman pintapuolisesti läpi ja mielenkiintoista oli tuo inertiaalin ajan lasku kahdella eri tavalla.

Mun mielestä tuo kaava (1) paperista(**) sisältää jotenkin implisiittisesti tiedon alkunopeudesta. Kun siinä paperissa lasketaan case B eli vakiokiihtyvyystapaus ja saadaan antamasi kaava (2):

$$\Delta\tau = \sqrt{\Delta \tau^2} = \frac{2\sinh\frac{a\bar T}{2}}{a}\tag{2}
$$
Ny siinä paperissa tämä vastaa tilannetta a =-g, niin eikös tuossa asettelussa ollut vaatimus, että havaitsija O lähtee matkalle ja palaa takaisin myöhemmin ja verrataan sitten kelloja inertiaalisen havaitsijan K ja O:n välillä. Inertiaalissa K on kulunut aikaa antamasi \(\Delta\tau\), kun taas O:n kello näyttää \(\bar{T}\).

Koska ominaiskiihtyvyys a on vakio = -g, niin se mielestäni merkitsee sitä, että O:lla täytyy olla jonkinlainen alkunopeus \( v_0\) poispäin origosta.

Jos pidetään g vakiona ja annetaan erilaisia alkunopeuksia \( v_0\) saadaan mielestäni erilaisia arvoja \(\Delta\tau\):lle. Suurella alkunopeudella lennetään kauemmaksi ja siten lento K:n mielestä kestää kauemmin. Myös tuon \(\bar{T}\):n pitäisi riippua alkunopeudesta eli implisiittisesti \(\bar{T} = \bar{T}(v_0)\).

En nyt tuosta tiedä, tavallaan kai noinkin voisi asiaa lähestyä.

Kyllä, juuri näin. Funktio \(\bar{T} = \bar{T}(v_0)\), jonka voisi periaatteessa eksplisiittiesti laskeakin, on mainitsemani silmänkääntötemppu. Nopeuden vaikutus mitattuun ominaisaikaan ei ole kadonnut oikeasti mihinkään.

Fyysikkona jäsennän niin, että varsinainen vaikutus tulee vuorovaikutuksista, jolloin mitattava suure muuttuu invariantisti jokaisen mittaamana.

Matemaatikkona jäsennän niin, että valitaan koordinaatisto, jolloin kiinnitetään nopeuspohja ja laskut saadaan kuntoon nopeutta differentioiden.

Fyysikolle ei ole kiusallista, että mietitään nimenomaan keskeneräisen skenaarion kehittymistä, mistä tulisi variointiin vaikuttavia muutostapahtumia.

Matemaatikolle se on hieman kiusallista. On halu saada eksakti ratkaisutapa jollekin koko tapahtumaketjulle tai vähintään määrittää onko se ratkaistavissa; onko riittävät tiedot - mitä se sellainen arpominen on, että annetaan toimintavapauksia esim. kaksosen kaasutella milloin huvittaa?

Oikeastihan nopeusperustainen tai ilman nopeuksia etäisyys-, ikä- ja vuorovaikutuskiihtyvyysperustainen tarkastelu eivät saa olla ristiriidassa, vaan niiden on tuotettava samat tulokset.