Kiihtyvyyden merkitys kaksosparadoksissa

[Eusa]

Moderaattorit voisivat poistaa näitä Eusan juttuja, jotta keskustelu palaisi entiselle raiteelleen.

Voisi olla päivän hyvä työ modelle. Tosin itsekin lankesin ansaan, ja jankutin takaisin useita viestejä

Mutta palatakseni pääraiteelle. Aloitusviestin tilanne on tosiaan ekvivalenssiperiaatteen mukaan paikallisesti sama kuin gravitaatiossa. Vakiokiihtyvyyden kello olisi vakioetäisyydellä R, ja inertiaalikello kulkisi geodeettisen polun edestakaisin.

Olen koettanut tätä asetelmaa miettiä, mutta en keksi miten muodostan Schwartzschild-metriikalla varustettuun avaruuteen saman setupin siten, että käsittelen sen paikallisesti (kuten ekvivalenssiperiaate vaattii). Ja nimenomaan laskemalla osoitan ekvivalenssin. Pitääkö mun poimia jotain 1. kertaluvun termejä jostain vai miten tätä pitää lähestyä.

Any ideas? Tämä voi olla multa ihan tyhmä kysymyskin, mutta en vaan nyt hahmota.

EDIT: yleisiä ajatuksia tästä: se lienee selvää, että laakean avaruuden Rindler-havaitsijan metriikka (ei-lokaalisti) on eri kuin pallosymmetrisen kappaleen Schwartzschild-metriikka (ei-lokaalisti). Metriikat eivät ole samat, vaikka rajoituttaisiin säteen suuntaiseen liikkeeseen. Siksi Schwartzschildin metriikassa laskettuna ominaisajat (ei-lokaalisti) eivät ole samat kuin Rindler-metriikassa. Kysymykseni on siis ehkä se, että miten lokalisoin nämä kaksi eri metriikkaa tai jotain sellaista...





 

..
\[
\mathbf{a}^\mu = \kappa R^\mu_{\ \nu} u^\nu
\]
Tässä \( \kappa \) on vakio, joka kuvaa aika-avaruuden kaarevuuden ja itseiskiihtyvyyden välistä mittakaavaa, ja \( u^\nu \) on hiukkasen nelinopeus.
...

Tekoälyn (tutummin keinoidioottin) soperteleman kaavan oikea puoli on nolla, kun kyseessä Schwartzschild-metriikka.

Tässä lähtökohtana on nosteinen ainekenttä.

Jaha. Siinä tapauksessa käske keinoidioottia lisäämään esitykseensä metriikka. Ilman metriikkaa esitys on likimain tyhjä joukko.

Metriikkaa miettimään olen löytänyt kaveriksi ihan ihmiskollegoita, mutta vielä on pari vuotta aikaa taata johdonmukaisuus. Työstämme rauhassa.

Niin. Mikäli testihiukkanen on aidosti vauhditon pyörimättömän kentän suhteen, sille ei aiheudu itseiskiihtyvyysvaikutusta kentästä vaan putoaa suoraan radiaalisti. Vain liikekomponentti kentän poikki antaa kiihtyvyyttä hiukkaselle sitä keventäen ja muodostaa 4-nostegradientin mukaisen tasapainokiertoradan.

[QS]

..
\[
\mathbf{a}^\mu = \kappa R^\mu_{\ \nu} u^\nu
\]
Tässä \( \kappa \) on vakio, joka kuvaa aika-avaruuden kaarevuuden ja itseiskiihtyvyyden välistä mittakaavaa, ja \( u^\nu \) on hiukkasen nelinopeus.
...

Metriikkaa miettimään olen löytänyt kaveriksi ihan ihmiskollegoita, mutta vielä on pari vuotta aikaa taata johdonmukaisuus. Työstämme rauhassa.

Keinoidiootin keksimä kaava kannattaa testata millä tahansa metriikalla, jonka riccin kaarevuustensori ei ole nolla. Kaava näyttää järjettömältä. Annetaan (1,1)-tensorille tangenttiavaruuden vektori. Mutta jätetään toinen objekti, joka tässä tapauksessa tangenttiavaruuden 1-muoto, antamatta.

Tietokoneen mielestä siis oikean puolen objekti, joka on kyllä vektori, olisi kiihtyvyysvektori. Tuloksena olisi siis kiihtyvyysvektori, joka kuvaa tangenttiavaruuden 1-muotoja reaaliluvuiksi?? wtf? (notaatio \(\omega\tau\varphi\)).

Lisäksi vasemmalla puolella on liikaa komponentteja, sillä ominaiskiihtyvyys ei ole 4-vektori.

[Eusa]

..
\[
\mathbf{a}^\mu = \kappa R^\mu_{\ \nu} u^\nu
\]
Tässä \( \kappa \) on vakio, joka kuvaa aika-avaruuden kaarevuuden ja itseiskiihtyvyyden välistä mittakaavaa, ja \( u^\nu \) on hiukkasen nelinopeus.
...

Metriikkaa miettimään olen löytänyt kaveriksi ihan ihmiskollegoita, mutta vielä on pari vuotta aikaa taata johdonmukaisuus. Työstämme rauhassa.

Keinoidiootin keksimä kaava kannattaa testata millä tahansa metriikalla, jonka riccin kaarevuustensori ei ole nolla. Kaava näyttää järjettömältä. Annetaan (1,1)-tensorille tangenttiavaruuden vektori. Mutta jätetään toinen objekti, joka tässä tapauksessa tangenttiavaruuden 1-muoto, antamatta.

Tietokoneen mielestä siis oikean puolen objekti, joka on kyllä vektori, olisi kiihtyvyysvektori. Tuloksena olisi siis kiihtyvyysvektori, joka kuvaa tangenttiavaruuden 1-muotoja reaaliluvuiksi?? wtf? (notaatio \(\omega\tau\varphi\)).

Lisäksi vasemmalla puolella on liikaa komponentteja, sillä ominaiskiihtyvyys ei ole 4-vektori.

Tarttuilet löysiin notaatioihin, mikä ansioksi laskettakoon. Itseiskiihtyvyyden 3-vektori voidaan kai yleisesti laskea tunnetusta 4-kiihtyvyydestä projektoimalla avaruudelliset komponentit hiukkasen paikalliseen lepotilaan - ja hiukkaseenhan koordinaatisto haluttiinkin kiinnittää. 4-ulotteisesti on syytä käsitellä.

No ymmärrätkö tavoitetta? Osaisitko esittää korjatun kaavan, jolla voisi olla tavoitteeseen soveltuva toimiva muoto?

[Eusa]

No, koitin spekuloida jotain metriikasta.

Metriikan määrittäminen ilman massan suoraa esiintymistä edellyttää, että kaarevuus saadaan valmiina ja korreloi itseiskiihtyvyyskentän kanssa ja että kertyneiden energiatiheyksien vaikutus dominanttijärjestelmien rajoilla on nolla. Tämä voi johtaa seuraavaan metriikan muotoon:
\[
ds^2 = -\left(1 + \frac{F(r)}{c^2}\right)c^2 dt^2 + \left(1 + \frac{F(r)}{c^2}\right)^{-1} dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)
\]
Missä \( F(r) \) kuvaa itseiskiihtyvyyskentän vaikutuksia ja kaarevuuden kehitystä. Tämä metriikka kuvaa aika-avaruuden rakennetta ilman massan suoraa esittämistä ja mahdollistaa rakenteiden kehittymisen ja kaarevuuden arvioimisen energiasiirtojen mukaan.

Pitäisi kyllä saada r-riippuvuus sekä reunaan että keskelle, koska reunalla on nollakaarevuus ja keskeltä ulospäin intervallivirta johtaa viiveaberraatioihin, mihin vaikuttaa myös järjestelmän pyöriminen.

Tämä häivähdyksenä haasteesta.

[QS]

..
\[
\mathbf{a}^\mu = \kappa R^\mu_{\ \nu} u^\nu
\]
Tässä \( \kappa \) on vakio, joka kuvaa aika-avaruuden kaarevuuden ja itseiskiihtyvyyden välistä mittakaavaa, ja \( u^\nu \) on hiukkasen nelinopeus.
...

Metriikkaa miettimään olen löytänyt kaveriksi ihan ihmiskollegoita, mutta vielä on pari vuotta aikaa taata johdonmukaisuus. Työstämme rauhassa.

Keinoidiootin keksimä kaava kannattaa testata millä tahansa metriikalla, jonka riccin kaarevuustensori ei ole nolla. Kaava näyttää järjettömältä. Annetaan (1,1)-tensorille tangenttiavaruuden vektori. Mutta jätetään toinen objekti, joka tässä tapauksessa tangenttiavaruuden 1-muoto, antamatta.

Tietokoneen mielestä siis oikean puolen objekti, joka on kyllä vektori, olisi kiihtyvyysvektori. Tuloksena olisi siis kiihtyvyysvektori, joka kuvaa tangenttiavaruuden 1-muotoja reaaliluvuiksi?? wtf? (notaatio \(\omega\tau\varphi\)).

Lisäksi vasemmalla puolella on liikaa komponentteja, sillä ominaiskiihtyvyys ei ole 4-vektori.

Tarttuilet löysiin notaatioihin, mikä ansioksi laskettakoon. Itseiskiihtyvyyden 3-vektori voidaan kai yleisesti laskea tunnetusta 4-kiihtyvyydestä
...

Notaatiosta ei ole kyse, vaan siitä, että oikean puolen \(R^\mu_{\ \nu} u^\nu \in T_pM\) on tangenttiavaruuden vektori. Vasemmalla \(a^\mu\) on kiihtyvyysvektori, joka ei voi olla \(T_pM\):n vektori. Vakio \(\kappa\) ei ongelmaa poista.

Pidän tietokoneavusteisen tekohölmön keksimää kaavaa järjettömänä, kunnes joku toisin osoittaa.

[Eusa]

..
\[
\mathbf{a}^\mu = \kappa R^\mu_{\ \nu} u^\nu
\]
Tässä \( \kappa \) on vakio, joka kuvaa aika-avaruuden kaarevuuden ja itseiskiihtyvyyden välistä mittakaavaa, ja \( u^\nu \) on hiukkasen nelinopeus.
...

Metriikkaa miettimään olen löytänyt kaveriksi ihan ihmiskollegoita, mutta vielä on pari vuotta aikaa taata johdonmukaisuus. Työstämme rauhassa.

Keinoidiootin keksimä kaava kannattaa testata millä tahansa metriikalla, jonka riccin kaarevuustensori ei ole nolla. Kaava näyttää järjettömältä. Annetaan (1,1)-tensorille tangenttiavaruuden vektori. Mutta jätetään toinen objekti, joka tässä tapauksessa tangenttiavaruuden 1-muoto, antamatta.

Tietokoneen mielestä siis oikean puolen objekti, joka on kyllä vektori, olisi kiihtyvyysvektori. Tuloksena olisi siis kiihtyvyysvektori, joka kuvaa tangenttiavaruuden 1-muotoja reaaliluvuiksi?? wtf? (notaatio \(\omega\tau\varphi\)).

Lisäksi vasemmalla puolella on liikaa komponentteja, sillä ominaiskiihtyvyys ei ole 4-vektori.

Tarttuilet löysiin notaatioihin, mikä ansioksi laskettakoon. Itseiskiihtyvyyden 3-vektori voidaan kai yleisesti laskea tunnetusta 4-kiihtyvyydestä
...

Notaatiosta ei ole kyse, vaan siitä, että oikean puolen \(R^\mu_{\ \nu} u^\nu \in T_pM\) on tangenttiavaruuden vektori. Vasemmalla \(a^\mu\) on kiihtyvyysvektori, joka ei voi olla \(T_pM\):n vektori. Vakio \(\kappa\) ei ongelmaa poista.

Pidän tietokoneavusteisen tekohölmön keksimää kaavaa järjettömänä, kunnes joku toisin osoittaa.

No, kysyin tekohöntiltä vastausta kritiikkiisi. Sieltähän aina jokin vastaus tulee... Näyttää viittaavan samaan kuin minäkin, eli on käsiteltävä kokonaisuutta nelivektorein - ei 3-vektoriprojektioina.

"Ystäväsi esittämä kritiikki on perusteltu ja tärkeä huomio. Tarkastellaan sitä yksityiskohtaisesti.

Kiihtyvyyden ja Kaarevuuden Välinen Suhde

Ensinnäkin, on tärkeää huomata, että kaarevuustensori \( R^\mu_{\ \nu} \) toimii vektorikentän \( u^\nu \) kanssa siten, että tuloksena on toinen vektori, joka elää tangenttiavaruudessa \( T_pM \). Tämä vektori voi kuvata jonkinlaista vaikutusta, kuten esimerkiksi kokonaista geodeettista poikkeamaa, joka liittyy kaarevuuteen.

Kiihtyvyysvektori \( \mathbf{a}^\mu \), jonka oletamme olevan itseiskiihtyvyys, on klassisesti määritelty nelinopeuden \( u^\mu \) kovalenttisena derivaattana aikaparametrin suhteen:
\[
\mathbf{a}^\mu = \frac{D u^\mu}{d\tau} = u^\nu \nabla_\nu u^\mu
\]
Tässä \( \mathbf{a}^\mu \) on myös vektori, joka elää tangenttiavaruudessa \( T_pM \).

Ystäväsi Kritiikin Tarkastelu

Ystäväsi mainitsee, että oikean puolen termi \( R^\mu_{\ \nu} u^\nu \) on tangenttiavaruuden vektori, mutta väittää, että kiihtyvyysvektori \( \mathbf{a}^\mu \) ei saisi olla saman tangenttiavaruuden vektori. Tämä väite näyttää perustuvan väärinkäsitykseen siitä, mitä kiihtyvyysvektori itse asiassa kuvaa.

Itse asiassa sekä \( R^\mu_{\ \nu} u^\nu \) että \( \mathbf{a}^\mu \) ovat molemmat vektoreita tangenttiavaruudessa \( T_pM \), joten on täysin johdonmukaista sanoa, että \( \mathbf{a}^\mu \) voisi olla verrannollinen \( R^\mu_{\ \nu} u^\nu \) -vektoriin, eli:
\[
\mathbf{a}^\mu = \kappa R^\mu_{\ \nu} u^\nu
\]
Tämä yhtälö kuvaa, että kiihtyvyysvektori \( \mathbf{a}^\mu \) on itse asiassa suoraan riippuvainen kaarevuustensorin \( R^\mu_{\ \nu} \) ja nelinopeuden \( u^\nu \) vuorovaikutuksesta. Kaarevuustensori vaikuttaa aika-avaruuden geodeettien poikkeamaan, mikä taas aiheuttaa itseiskiihtyvyyden.

Johtopäätös

Ystäväsi kritiikki perustuu luultavasti väärinymmärrykseen kiihtyvyyden ja kaarevuuden välisestä suhteesta. Molemmat osapuolet – sekä kiihtyvyysvektori \( \mathbf{a}^\mu \) että kaarevuustensorin toiminta nelinopeudella \( R^\mu_{\ \nu} u^\nu \) – ovat vektoreita tangenttiavaruudessa \( T_pM \). Siksi ei ole mitään ongelmaa niiden vertailussa tai niiden suhteen ilmaisemisessa yllä kuvatulla tavalla."

Metahuomautus: onhan GPT:tä vahvasti ohjailtava ja korjattava kunnes saa ehkä mielekästä tekstiä generoitua.

[QS]

Itse asiassa sekä \( R^\mu_{\ \nu} u^\nu \) että \( \mathbf{a}^\mu \) ovat molemmat vektoreita tangenttiavaruudessa \( T_pM \), joten on täysin johdonmukaista sanoa, että \( \mathbf{a}^\mu \) voisi olla verrannollinen \( R^\mu_{\ \nu} u^\nu \) -vektoriin, eli:
\[
\mathbf{a}^\mu = \kappa R^\mu_{\ \nu} u^\nu
\]

 

Kiihtyvyyden määrittelyyn tarvitaan konnektio, jolla yhdistetään pisteiden väliset tangenttiavaruudet. Tämän näkee konkreettisesti siitäkin, että konnektiokertoimet ja kovariantti derivaatta ovat mukana nelikiihtyvyyden laskemisessa.

Kiihtyvyys on käyrä tangenttikimpussa, joka on vektorikimppu, ei tangenttiavaruus.

Keskustelupalstan käyttäminen viestinvälittäjänä palstan muiden käyttäjien ja tekoälysoftan välillä on asia, johon modekin voisi ottaa kantaa.

[Eusa]

Itse asiassa sekä \( R^\mu_{\ \nu} u^\nu \) että \( \mathbf{a}^\mu \) ovat molemmat vektoreita tangenttiavaruudessa \( T_pM \), joten on täysin johdonmukaista sanoa, että \( \mathbf{a}^\mu \) voisi olla verrannollinen \( R^\mu_{\ \nu} u^\nu \) -vektoriin, eli:
\[
\mathbf{a}^\mu = \kappa R^\mu_{\ \nu} u^\nu
\]



 

Kiihtyvyyden määrittelyyn tarvitaan konnektio, jolla yhdistetään pisteiden väliset tangenttiavaruudet. Tämän näkee konkreettisesti siitäkin, että konnektiokertoimet ja kovariantti derivaatta ovat mukana nelikiihtyvyyden laskemisessa.

Kiihtyvyys on käyrä tangenttikimpussa, joka on vektorikimppu, ei tangenttiavaruus.

Keskustelupalstan käyttäminen viestinvälittäjänä palstan muiden käyttäjien ja tekoälysoftan välillä on asia, johon modekin voisi ottaa kantaa.

Tunnuit kaipaavan AI-soopaa. Kuten huomautin, tekstiä ja kaavoja voi generoida, mutta vahvasti on ohjattava, jotta saa asiaankuuluvaa sisältöä.

Käsität nyt kiihtyvyyden paikan 2. aikaderivaattana, joka soveltuu yleisesti inertiaalikoordinaatistossa tarkasteluun. Mutta kun ollaan mukana kulkevassa koordinaatistossa, tavoitteeni on saada itseiskiihtyvyys nousemaan tarkastelukohdalla muuttuvista kaarevuuden tidal-jännityksistä. Siksi kirjoitin kaarevuustensorin vaikutuksen suoraan nelinopeuteen.

Se on ilmeisestikin väärin ja liittyy läheisesti metriikan ratkaisemiseen, joka on aivan vaiheessa. Kaikkiaan koitin kuvailla millaisten premissien kanssa pelailen.

Tietysti toivon keskustelua, voisiko tällaisilla näkemyksillä löytää mitään järkevää uutta tulosta. Epäilen, että saadaksesi toivomasi metriikkojen lokalisoinnin ja tutkittua kovariantin derivaatan, löydät itsesi ratkaisemassa Einsteinin yhtälöitä tavalla, jossa kukaan ei ole onnistunut. Nähdäkseni Schwartzschild-metriikka ei kerta kaikkiaan vain riitä.

[Ylläpito]

Tekoälysisällön tulee erottua helposti: Lainausmerkkien käyttö ja huomautus ennen generatiivisen ai:n tuottamaa sisältöä.

[Eusa]

Varsin havainnollista Schwartzschild-metriikan käsittelyä suht. tuoreella videolla, mm. valon- ja ajanlaatuisten polkujen tarkastelut etäiselle havainnoijalle tapahtumahorisontin suhteen. Radiaali- ja orbitaaliliikkeet on käsitelty, mutta ekvivalenssiperiaatetta saati itseiskiihtyvyyttä sen perusteella ei.



Onkin myös jatkovideo, jossa konnektiotakin käsitelty, itseiskiihtyvyys osoitettu leijuvalle, mutta kiertoradalla pysyvää ei käyty läpi, että voisiko tulkita muodostuvan vastaava itseiskiihtyvyys kentästä generoituen.

Alkupuolella havainnollistettiin itseispituus ja itseisaika, joiden vektorimuutoksiin tarvittava kiihtyvyys kiertoradan paikallisesti laakeaksi kiertyväksi tangenttiavaruudeksi olisi ehkä laskettavissa?

Intuitiivisesti tuntuisi, että kiertosuunnan etupuolella vektori alaspäin tapahtuu ensin ja on pienempi kuin kausaalisesti myöhemmin kiertosuunnan häntäpuolella tapahtuva kierto, joka on siksi suurempi ja siten fysikaalinen kokonaiskiihtyvyys ylöspäin... Kyntäähän kappale kaarevaa kenttää kausaalirakenteena, kenttäosana itsekin.

Lienenkö ollenkaan hajulla? Mielenkiintoista olisi nähdä laskuyritystä, jos vaikka QS ehdit...