Kiihtyvyyden merkitys kaksosparadoksissa

[Eusa]

Kello ja valosignaali mittaavat erillisyyttä, joka on avaruusgeometrisesti lineaarinen 4-paikkavektori, merkitään \(\mathbf{r}\) - se voi jossain koordinaatistossa olla pelkkää aikaerillisyyttä, valonlaatuisille pelkkää avaruuserillisyyttä. Kaikkien paikkavektorien \(\mathbf{r}\) muutosten on annettava yhtäpitävä lopputulos. Jos tarvitaan ensimmäisen asteen derivaattavektoreita, \(\frac{d\mathbf{r}}{dt}\), se kertoo siitä, että paikkavektori \(\mathbf{r}\) ei pysy vakiona. Tarve toisen asteen derivaattavektorille \(\frac{d\mathbf{r}}{dt^2}\) puolestaan kertoo, ettei paikkavektorin \(\mathbf{r}\) muutos ole vakio, ja niin edelleen.

Menivätpä muutokset kuinka syvälle tahansa, paikkavektorille \(\mathbf{r}\) on aina integroiduttava yhtäpitävä tulos. Se, lasketaanko paikkavektoripolun pituus \(s(t)\) = \(\tau(t)\) valitussa koordinaatistossa \(A_t\) integraalina suoraan lineaarilausekkeesta (paikan funktio) tai analysoimalla muutostermejä eri asteen derivaattafunktioiden, kuten nopeuden \(\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}\), kiihtyvyyden \(\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{r}}{dt^2}\), ja nykäisyn \(\mathbf{j} = \frac{d\mathbf{r}}{dt^3}\) avulla, ei ole syy millekään seuraukselle. Kyse on vain laskentatekniikasta eli deskriptiivisestä geometriasta.

Mainittakoon tässä välissä, ettei erillisyysjatkumossa (vakiintunut käsite on aika-avaruus) ole erikseen ajallista ja avaruudellista erillisyyttä, vaan ainoastaan erillisyyttä, jolla on neljä riippumatonta vapausastetta. (Tälle ulottuvuusmäärälle on vankka perustelunsa). Tarve hyperboliselle geometrialle hyperbelein ja Lorentz-symmetrialle syntyy vain siitä, että jokaiselle mittaajakehykselle saadaan sen itseisajassa mitattavaa kovarianttia ennustevoimaisuutta projisoimalla erillisyysjatkumo niin, että paikallisten valonnopeuksien avaruus näyttäytyy isotrooppisena.

Voimme ottaa mukana kulkevan yleisen koordinaatiston ja sallia sille kaikensyvyisiä derivaattavektoreita. Siellä laskien täytyy saada sama tulos samasta fysiikasta kuin inertiaalisesta koordinaatistosta laskien. Edelleenkään valituilla deskriptiivisen geometrian apuneuvoilla ei sinänsä ole merkitystä, kunhan niitä käytetään oikein.

Mutta mikä sitten aiheuttaa ikääntymiseron? Joudumme siirtymään syvemmälle fysiikan perustaan. On tarkasteltava suljettuja ja avoimia järjestelmiä sekä kappalevalintoja. Suljetulla järjestelmällä on säilyvä massakeskipiste, jonka suhteen voidaan asettaa siihen valonnopeuksien avaruus isotrooppiseksi. Näin saadaan yksikäsitteinen paikka-avaruus eli inertiaalinen koordinaatistokehys, jossa 4-erillisyyksien määrittäminen ja mittaaminen voidaan suorittaa valosignaalin ja (valo-)kellon avulla. Virtuaalisella koordinaatistolla ei ole rakennetta, joten käsittely on yksinkertaista. Todellisuudessa järjestelmät ovat jatkuvasti fluktuaatioiden alaisina, vaikka ne olisivatkin suljettuja, mutta voimme kuvitella ideaalisen hilamallin, jossa jokainen fluktuaatio pisteessä on samanlainen valokello, ja näin mittausten yksinkertaisuus säilyy.

Kolmiulotteisessa maailmassa aikaikkunoiden sisällä on valittavissa useita suljettuja järjestelmiä, joille pätee postulaatti: "massakeskipiste säilyttää tasaisen nopeuden liiketilansa." Seuraavaksi voimme pohtia näiden massakeskipisteiden virittämiä paikkavektoreita. Mikäli paikkavektori \(\mathbf{r}\) on vakio, järjestelmät voidaan valita yhdeksi yhteiseksi suljetuksi järjestelmäksi. Näin ideaalit inertiaaliset suljetut järjestelmät ovat aina liikkeessä toistensa suhteen. Onko niiden välinen nopeus siis vakio? Ei välttämättä.

Kahden inertiaalisen kolmiulotteisen kappaleen välinen kolmiulotteinen nopeus ei ole vakio, elleivät ne liiku samalla suoralla. Kohtauskulma vaikuttaa nopeuteen. Kappaleiden ohittaessa toisensa niiden välinen nopeus hidastuu nollaan ja kasvaa jälleen. Tästä syystä Lorentz-projektio ei ole vakio. Kaksosparadoksin asetelma on erikoistapaus, sillä siinä tarkastellaan vain yksisuuntaista liikettä. Vaikka kappaleiden välinen nopeus muuttuu, se on kummankin mittaamana sama. Tärkeää on se, että voimme tarkastella kaikkia inertiaalikappaleita yhtenä yhteisenä kappaleena, jolla on yhteinen massakeskipiste. Mikäli maailmankaikkeus koostuisi vain suljetuista järjestelmistä, Newtonin absoluuttinen aika ja avaruus olisivat totta jokaiselle havainnoijalle.

Mutta mutta, tässä kohden huomataan mihin ollaan menossa. Oletetaan, että valitaan kappale, jonka massakeskipisteen liiketila ei ole yhdellekään muulle tarkastelun havaitsijalle tasainen nopeus. Toisin sanoen sen nopeusvektori \(\mathbf{v}\), jonka suuruus ja/tai suunta muuttuu, ei ole kahdenkeskinen Lorentz-nopeusskaalaari vaan koordinaatistoon laskettu nopeusvektori. Voidaanko tällaista kappaletta yhdistää muiden kanssa yhdeksi yhteiseksi suljetuksi järjestelmäksi?

Tässä pääsemme kellon mittaaman aika-paikkavektoripolun \(\tau(t)\) mahdollisuuteen saada erilaisia arvoja kappaleen liikeradan perusteella. On nimittäin oltava toinen kappale, jonka kanssa yhdistettynä muuttuvanopeuksinen kappale muodostaa yhden suljetun järjestelmän, jonka liike on inertiaalinen tasainen nopeus. Tämä toinen kappale on vuorovaikutuskumppani, joka vuorovaikutuksen kautta on vastaliikkeessä, niin että kahdesta avoimesta järjestelmästä muodostuu yksi suljettu järjestelmä, jonka massakeskipiste liikkuu tasaisella nopeudella. Esimerkkinä tästä voisi olla avaruusalus ja sen ajoaineet tai alus ja linkoplaneetta.

Vuorovaikutustilanteessa kaksi paikkavektoriperustaa \(\mathbf{r}_1\) ja \(\mathbf{r}_2\) erkaantuvat toisistaan, mikä johtaa fysikaalisesti yhteismitattomuuteen mittauksissa: kappaleen polun pituuteen uusilla paikkavektoriperusteilla saadaan eri mittasuhteet kuin aluksi suljetussa järjestelmässä oli. Vuorovaikutus kiihtymisjaksolla vaihtaa paikkavektorin perustan, mikä mahdollistaa ikääntymiseron syntymisen.

Päätellään, että avoimen järjestelmän energiasisältö muuttuu ulkoisen toisen järjestelmän kanssa, mikä rikkoo ikääntymissymmetrian tarkasteltavaksi otetun kappaleen kannalta muiden eri suunnissa ja etäisyyksissä olevien inertiaalihavaitsijoiden suhteen. Koko kaikkeuden symmetrian säilymiseksi oleellista on, että on oltava olemassa se toinen kappale, jonka kanssa vuorovaikutetaan. Kun tätä ajatusta sovelletaan yleiseen suhteellisuuteen eli gravitaatioon, on uskottavaa, että siinäkin perustaksi vaaditaan energian säilyminen - ilman sitä GR ei ole täydellinen.

[QS]

...nopeuden \(\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}\), kiihtyvyyden \(\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{r}}{dt^2}\)
...
ei ole syy millekään seuraukselle.

Mielestäni asiassa ei ole kovin merkittäviä syy-seuraussuhteita. Euklidisessa avaruudessa suurella nopeudella etenevä auto kerää enemmän kilometrejä matkamittariin kuin vastaavassa ajassa pienellä nopeudella etenevä.

Aika-avaruudessa suurella nopeudella etenevä kerää kelloonsa vähemmän sekunteja kuin pienellä nopeudella etenevä.

Aika-avaruuden metriikka poikkeaa euklidisesta, minkä seurauksena saadaan tuo arkijärjelle hiukan outo "vähemmän". Muuta erikoista asiassa ei oikeastaan ole.

[Eusa]

...nopeuden \(\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}\), kiihtyvyyden \(\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{r}}{dt^2}\)
...
ei ole syy millekään seuraukselle.

Aika-avaruudessa suurella nopeudella etenevä kerää kelloonsa vähemmän sekunteja kuin pienellä nopeudella etenevä.

Tuo ei pidä kutiaan.

Kellonsa käyntiin ei ole mitään merkitystä sillä vertasipa omaa liiketilaa mihin muuhun kohteeseen tahansa; kaikissa nopeuksissa kello käy samaan paikallisfysiikan tahtiin. Muiden kellojen lähettämä tieto on Doppler-siirtynyt mallintuen hitaammin käyvänä. Merkitsevää on käyntien keskinäinen vakiotaajuisuus, ei taajuus sinänsä. Taajuussiirtymät tarkoittavat ikääntymiseroa. Taajuussiirtymä tarkoittaa myös energian käyttöä.

4-ulotteisen erillisyysjatkumon metriikka voidaan esittää myös sekunteina, jolloin kello kerää sekunteja valovauhdin c perusteella. "Tapahtumat etenevät aika-avaruudessa vauhdilla c (4-nopeuden itseisarvo)".

Aikadilataatio ja ikääntymisero on muistettava pitää täysin omina käsitteinään. Tasaisen nopeuden aikadilataatiossa valistuneet havaitsijat käsittävät, että he molemmat mallintavat samanlaisen toisen kellonkäynnin hidastumisen, eikä ikääntymiseroperustetta skenaarioon synny kummankaan nuoremmuudeksi.

[QS]

...nopeuden \(\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}\), kiihtyvyyden \(\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{r}}{dt^2}\)
...
ei ole syy millekään seuraukselle.

Aika-avaruudessa suurella nopeudella etenevä kerää kelloonsa vähemmän sekunteja kuin pienellä nopeudella etenevä.

Tuo ei pidä kutiaan.

Kellonsa käyntiin ei ole mitään merkitystä sillä vertasipa omaa liiketilaa mihin muuhun kohteeseen tahansa

Euklidisen avaruuden auton matkamittarikaan ei välitä muiden autojen matkamittareista, kun kuljetaan pisteiden p ja q väli. Sama tilanne aika-avaruudessa kelloilla.

[Eusa]

...nopeuden \(\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}\), kiihtyvyyden \(\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{r}}{dt^2}\)
...
ei ole syy millekään seuraukselle.

Aika-avaruudessa suurella nopeudella etenevä kerää kelloonsa vähemmän sekunteja kuin pienellä nopeudella etenevä.

Tuo ei pidä kutiaan.

Kellonsa käyntiin ei ole mitään merkitystä sillä vertasipa omaa liiketilaa mihin muuhun kohteeseen tahansa

Euklidisen avaruuden auton matkamittarikaan ei välitä muiden autojen matkamittareista, kun kuljetaan pisteiden p ja q väli. Sama tilanne aika-avaruudessa kelloilla.

? Kilometrejäkin tulee samalla matkalla sama määrä nopeudesta riippumatta.

Tämäkään lillukanvarsi ei avaa jotain ymmärrystä. Kokonaisuuden fysikaalisten periaatteiden analyysi avaa.

[QS]

...nopeuden \(\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}\), kiihtyvyyden \(\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{r}}{dt^2}\)
...
ei ole syy millekään seuraukselle.

Aika-avaruudessa suurella nopeudella etenevä kerää kelloonsa vähemmän sekunteja kuin pienellä nopeudella etenevä.

Tuo ei pidä kutiaan.

Kellonsa käyntiin ei ole mitään merkitystä sillä vertasipa omaa liiketilaa mihin muuhun kohteeseen tahansa

Euklidisen avaruuden auton matkamittarikaan ei välitä muiden autojen matkamittareista, kun kuljetaan pisteiden p ja q väli. Sama tilanne aika-avaruudessa kelloilla.

? Kilometrejäkin tulee samalla matkalla sama määrä nopeudesta riippumatta.

Sekuntejakin tulee samalla aika-avaruuden matkalla sama määrä nopeudesta riippumatta.

Kello on aika-avaruuden matkamittari. Ei sen ihmeellisempi.

[Eusa]

...nopeuden \(\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}\), kiihtyvyyden \(\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{r}}{dt^2}\)
...
ei ole syy millekään seuraukselle.

Aika-avaruudessa suurella nopeudella etenevä kerää kelloonsa vähemmän sekunteja kuin pienellä nopeudella etenevä.

Tuo ei pidä kutiaan.

Kellonsa käyntiin ei ole mitään merkitystä sillä vertasipa omaa liiketilaa mihin muuhun kohteeseen tahansa

Euklidisen avaruuden auton matkamittarikaan ei välitä muiden autojen matkamittareista, kun kuljetaan pisteiden p ja q väli. Sama tilanne aika-avaruudessa kelloilla.

? Kilometrejäkin tulee samalla matkalla sama määrä nopeudesta riippumatta.

Sekuntejakin tulee samalla aika-avaruuden matkalla sama määrä nopeudesta riippumatta.

Kello on aika-avaruuden matkamittari. Ei sen ihmeellisempi.

Tätäpä pöljinä molemmat hoemme.

[QS]

Voidaan soveltaa euklidiseen ja Minkowskin avaruuteen aiemmin esillä ollutta määritelmää, josta saadaan polkua p etenevän kappaleen kulkema matka

\(\Delta s = \int_{p} \sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}\)

Minkowskiavaruuden metriikka on \(g_{\mu\nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1)\). Kun polkuparametri on \(t\) ja kyseessä vakionopeus, niin välillä \(t\in[t_1,t_2]\) kuljettu matka on

\(\begin{align*}
\Delta s &= \int_{p} \sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}\\
&=\int_{p}\sqrt{dt-(dx^2+dy^2+dz^2)}\\
&=\int_{t_1}^{t_2}dt\sqrt{1-\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2\right]}\\
&=\int_{t_1}^{t_1}dt\sqrt{1-v^2}\\
&=\Delta t\sqrt{1-v^2}
\end{align*}\)

Euklidisen avaruuden metriikka on \(g_{ij}=\text{diag}(1,1,1)\). Kuljettu matka

\(\begin{align*}
\Delta s &= \int_{p} \sqrt{g_{ij}dx^i dx^j}\\
&=\int_{p}\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}\\
&=\int_{t_1}^{t_2}dt\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\\
&=\int_{t_1}^{t_2}dt\ v\\
&=\Delta t\ v
\end{align*}\)

Kumpikaan ei mielestäni ole mystinen. Kuljettu matka saadaan, kun tunnetaan metriikka.

[Eusa]

Voidaan soveltaa euklidiseen ja Minkowskin avaruuteen aiemmin esillä ollutta määritelmää, josta saadaan polkua p etenevän kappaleen kulkema matka

\(\Delta s = \int_{p} \sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}\)

Minkowskiavaruuden metriikka on \(g_{\mu\nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1)\). Kun polkuparametri on \(t\) ja kyseessä vakionopeus, niin välillä \(t\in[t_1,t_2]\) kuljettu matka on

\(\begin{align*}
\Delta s &= \int_{p} \sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}\\
&=\int_{p}\sqrt{dt-(dx^2+dy^2+dz^2)}\\
&=\int_{t_1}^{t_2}dt\sqrt{1-\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2\right]}\\
&=\int_{t_1}^{t_1}dt\sqrt{1-v^2}\\
&=\Delta t\sqrt{1-v^2}
\end{align*}\)

Euklidisen avaruuden metriikka on \(g_{ij}=\text{diag}(1,1,1)\). Kuljettu matka

\(\begin{align*}
\Delta s &= \int_{p} \sqrt{g_{ij}dx^i dx^j}\\
&=\int_{p}\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}\\
&=\int_{t_1}^{t_2}dt\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\\
&=\int_{t_1}^{t_2}dt\ v\\
&=\Delta t\ v
\end{align*}\)

Kumpikaan ei mielestäni ole mystinen. Kuljettu matka saadaan, kun tunnetaan metriikka.

Demonstraatio lillukka-kommentoinnista:

On yleisempää kirjoittaa differentiaali \(dt\) integraalilausekkeen jälkeen, varsinkin, jos lausekkeessa esiintyy \(dt\):tä.

Kun tuossa lausekkeen sisään löydetty \(v\), on havainnollista siinä yhteydessä tuoda \(dt\) välittömästi integraalimerkin perään ja muuttaa \(\int dt\) diskreettiesitykseksi.

Koska diskreetit osat yleisesti perustuvat varioiviin ehtoihin, riittävä notaatio edellyttää merkintää \(\sum \Delta t\).

[QS]

Voidaan soveltaa euklidiseen ja Minkowskin avaruuteen aiemmin esillä ollutta määritelmää, josta saadaan polkua p etenevän kappaleen kulkema matka

\(\Delta s = \int_{p} \sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}\)

Minkowskiavaruuden metriikka on \(g_{\mu\nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1)\). Kun polkuparametri on \(t\) ja kyseessä vakionopeus, niin välillä \(t\in[t_1,t_2]\) kuljettu matka on

\(\begin{align*}
\Delta s &= \int_{p} \sqrt{g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu}\\
&=\int_{p}\sqrt{dt-(dx^2+dy^2+dz^2)}\\
&=\int_{t_1}^{t_2}dt\sqrt{1-\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2\right]}\\
&=\int_{t_1}^{t_1}dt\sqrt{1-v^2}\\
&=\Delta t\sqrt{1-v^2}
\end{align*}\)

Euklidisen avaruuden metriikka on \(g_{ij}=\text{diag}(1,1,1)\). Kuljettu matka

\(\begin{align*}
\Delta s &= \int_{p} \sqrt{g_{ij}dx^i dx^j}\\
&=\int_{p}\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}\\
&=\int_{t_1}^{t_2}dt\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\\
&=\int_{t_1}^{t_2}dt\ v\\
&=\Delta t\ v
\end{align*}\)

Kumpikaan ei mielestäni ole mystinen. Kuljettu matka saadaan, kun tunnetaan metriikka.

Demonstraatio lillukka-kommentoinnista:

On yleisempää kirjoittaa differentiaali \(dt\) integraalilausekkeen jälkeen, varsinkin, jos lausekkeessa esiintyy \(dt\):tä.

Voidaan myös pimplailla integraalin notaatioksi esim \(dt \style{transform: scale(-1,1)}{\int} f(x)\) ja summan \(x_i\ \style{transform: scale(-1,1)}{\Sigma}\)