Koetan tiivistää Higgsin yhteen viestiin samalla, kun kertaan asian itselleni. Jätän pois paljon laskuja, yksityiskohtia ja selityksiä. Vain periaatteet mukana.
Vapaan massallisen Diracin kentän (spin-½) Lagrangen tiheys on
\(\mathcal{L}_{D}=\bar\Psi(i\gamma_\mu\partial^\mu-m)\Psi\)
missä \(\Psi\) on Diracin spinori, \(m\) on massa, \(\gamma_\mu\) ovat Diracin matriisit, ja \(\bar\Psi=\Psi^\dagger\gamma_0\). Tämä \(\mathcal{L}_{D}\) on invariantti Lorentz-muunnoksissa, se siis toteuttaa \(SO(1,3)\)-symmetrian.
Lokaali \(U(1)\)-symmetria tarkoittaa sitä, että Lagrangen tiheys on invariantti muunnoksessa
\(\begin{align*}
\Psi &\to e^{ia(x)}\Psi\\
\bar\Psi &\to \bar\Psi e^{-ia(x)}
\end{align*}\)
missä \(a(x) \in \mathbb{R}\) on paikasta \(x^\mu=(x^0,x^1,x^2,x^3)\) riippuva funktio. Vapaan kentän \(\mathcal{L}_{D}\) ei ole invariantti
lokaalissa \(U(1)\)-muunnoksessa. Se on tosin invariantti
globaalissa \(U(1)\)-muunnoksessa \(\Psi \to e^{ia}\Psi\), missä \(a \in \mathbb{R}\) on vakio.
Vapaan ja massattoman fotonikentän (spin-1) Lagrangen tiheys
\(\mathcal{L}_{EM}=\partial^\mu A^\nu\partial_\mu A_\nu - \partial^\mu A^\nu\partial_\nu A_\mu\)
ei ole invariantti lokaalissa muunnoksessa \(A_\mu\to A_\mu+a_\mu(x)\), mutta on invariantti lokaalissa muunnoksessa \(A_\mu\to A_\mu+\partial_\mu a(x)\), missä mukana funktion \(a(x)\) derivaatta.
\(\mathcal{L}_{D}\) ja \(\mathcal{L}_{EM}\) voidaan kuitenkin yhdistää siten, että se toteuttaa lokaalin \(U(1)\)-symmetrian
\(\begin{align*}
\mathcal{L}_{QED}&=-m\bar\Psi\Psi+i\bar\Psi\gamma_\mu(\partial^\mu-igA^\mu)\Psi-\frac{1}{4}(\partial^\mu A^\nu\partial_\mu A_\nu - \partial^\mu A^\nu\partial_\nu A_\mu)\\
&=-m\bar\Psi\Psi+i\bar\Psi\gamma_\mu D^\mu \Psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}
\end{align*}\)
missä \(g\) on kytkinvakio (varaus). Toisella rivillä \(D^\mu=i\partial^\mu-ig A^\mu\) on kovariantti derivaatta, ja \(F_{\mu\nu}\) on sähkömagneettinen kenttävoimakkuustensori. \(A_\mu\) saa nimen \(U(1)\)-mittakenttä, sillä se mahdollistaa lokaalin \(U(1)\)-symmetrian, ja kenttien vuorovaikutuksen.
Vapaa Diracin kenttä voidaan kirjoittaa myös
massattomana
\(\mathcal{L}_{F}=i\bar\Psi\gamma_\mu\partial^\mu\Psi\)
missä \(\Psi\) ja \(\bar\Psi\) sisältävät kaksi komponenttia
\(\begin{align*}
\Psi&=\begin{pmatrix} \psi_1\\ \psi_2\end{pmatrix}\\
\bar\Psi&=\begin{pmatrix} \bar\psi_1 & \bar\psi_2\end{pmatrix}
\end{align*}\)
Kenttiä \(\Psi\) ja \(\bar\Psi\) kutsutaan nimellä dupletti. Massaton \(\mathcal{L}_{F}\) toteuttaa globaalin \(SU(2)\)-symmetrian, jonka muunnokset ovat
\(\begin{align*}
\Psi &\to e^{ia_i\frac{\sigma_i}{2}} \Psi\\
\bar\Psi &\to \bar\Psi e^{-ia_i\frac{\sigma_i}{2}}
\end{align*}\)
Tässä \(\sigma_i\) ovat 3 Paulin matriisia, ja \(a_i\) vakiot näiden edessä. Eksponentissa on summattuna 3 Paulin matriisia kertoimineen.
Paulin matriisit ovat ryhmän \(SU(2)\) generaattoreita. Lokaalin \(SU(2)\)-muunnoksen kerroin on \(e^{ia_i(x)\frac{\sigma_i}{2}} \in SU(2)\). Massaton \(\mathcal{L}_{F}\) ei toteuta
lokaalia \(SU(2)\)-symmetriaa. Osoittautuu, että lokaalin symmetrian toteuttava Lagrange on
\(\mathcal{L}_{F+B}=i\bar\Psi\gamma_\mu D^\mu\Psi - \frac{1}{4}Tr(B_{\mu\nu}B^{\mu\nu})\)
missä massaton spin-½ ja \(B^\mu\) -kenttä vuorovaikuttavat. Lagrangen tiheydessä on kenttävoimakkuustensori
\(B^{\mu\nu}=\partial^\mu B^\nu - \partial^\nu B^\mu - i g_w [B^\mu,B^\nu]\)
Tässä \(B^\mu\) on matriisi, ja viimeinen termi on matriisikommutointi. Kytkinvakio on \(g_w\).
Matriisi \(B^\mu = (W^\mu)_i\frac{\sigma^i}{2}\), missä komponentit \(\mu=\{0,1,2,3\}\). Indekseistä \(i=\{1,2,3\}\) muodostuu kolmen Paulin matriisin summa.
\(B^\mu\) sisältää näin kolme spin-1 kenttää \((W^\mu)_i\), jotka ovat \(SU(2)\)-mittakenttiä. Kovariantti derivaatta on \(D^\mu =\partial^\mu-i g_w B^\mu\). Nyt voidaan yhdistää lokaalit symmetriat \(U(1)\) ja \(SU(2)\) kirjoittamalla
\(\mathcal{L}_{F+B+EM}=i\bar\Psi\gamma_\mu (\partial^\mu-igA^\mu-i g_w B^\mu)\Psi - \frac{1}{4}Tr(B_{\mu\nu}B^{\mu\nu})-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\)
missä \(g\) on \(U(1)\)-mittakentän kytkinvakio, ja \(g_w\) on \(SU(2)\)-mittakentän kytkinvakio. Tästä kuitenkin puuttuu fermioni-kentän massa \(m\) (tarkemmin dupletin massat \(m_1\) ja \(m_2\)), joka rikkoisi \(U(1)\)- ja \(SU(2)\)-symmetriat.
Seuraavaksi kirjoitetaan skalaarikenttä (spin-0)
\(\mathcal{L}_H = \partial_\mu\phi^\dagger\partial^\mu\phi-\rho^2\phi^\dagger\phi-\lambda(\phi^\dagger\phi)^2\)
missä \(\phi\) on kompleksinen, ja \(\rho\) on massaparametri. \(\lambda\) ilmaisee itsevuorovaikutuksen voimakkuuden. Kyseessä ei siis ole täysin vapaa kenttä. Yhdistetään massaton fotonikenttä ja skalaarikenttä
\(\mathcal{L}_{EM+H} = ((\partial_\mu+igA_\mu)\phi^\dagger)((\partial^\mu-igA^\mu)\phi)+\rho^2\phi^\dagger\phi-\lambda(\phi^\dagger\phi)^2\)
mikä toteuttaa lokaalin \(U(1)\)-symmetrian. Sitten kirjoitetaan skalaarikenttä duplettina
\(\Phi=\begin{pmatrix} \phi_1\\ \phi_2 \end{pmatrix}\)
Tämän jälkeen fotoni-, skalaari- ja \(B^\mu\)-kenttä yhdistetään
\(\mathcal{L}_{EM+B+H}=((\partial_\mu+ig_wB^\mu+igA_\mu)\Phi^\dagger)((\partial^\mu-ig_wB^\mu-igA^\mu)\Phi)+\rho^2\Phi^\dagger\Phi-\lambda(\Phi^\dagger\Phi)^2\)
Myös tämä \(\mathcal{L}_{EM+B+H}\) toteuttaa lokaalin \(SU(2)\)-symmetrian. Poimitaan vielä potentiaali
\(\begin{align*}
V(\Phi)&=\rho^2\Phi^\dagger\Phi-\lambda(\Phi^\dagger\Phi)^2 \\
&=-\rho^2\phi_1^\dagger\phi_1+\lambda(\phi_1^\dagger\phi_1)^2-\rho^2\phi_2^\dagger\phi_2+\lambda(\phi_2^\dagger\phi_2)^2 \\
&=V(\phi_1)+V(\phi_2)
\end{align*}\)
Dupletin komponenteille voidaan laskea arvo, joka minimoi potentiaalin. Tämä arvo on \(\phi_m =\sqrt{\frac{\rho^2}{2\lambda}}\ e^{i\varphi}\), missä \(e^{i\varphi}\) on vaihekerroin. Potentiaalia \(V(\Phi)=V(\phi_1)+V(\phi_2)\) kutsutaan nimellä Higgsin potentiaali ja sen minimiarvo vastaa kentän perustilaa.
Yksi viesti riitti hädin tuskin puoleen väliin. Kirjoitan joskus toisen viestin. Joskus
