Mittakenttäteoriaa, pääsäiekimput ym. settiä

[Disputator]

Tähän voi kirjoitella enemmän ja vähemmän otsikon aiheisiin liittyeen. En mitenkään alusta tätä avausta, koska aihepiiri on melkoisen edistynyttä fysiikkaa ja matematiikkaa, joten alustukset ovat melkoisen turhia: ne jotka asiasta jotain tietävät, eivät tarvitse erillistä alustusta ja ne jotka eivät tiedä, eivät mun muutamasta rivistä sitä opi.

Laajasti ottaen kysymys on tietyntyyppisen symmetrian matemaattisesta esittämisestä ja kuinka tätä symmetriaa voidaan matemaattisesti kuvailla eri näkökulmista.

Ketjuun voi kirjoitella sekä matemaattista ja fysikaalista settiä, ne täydentävät monesti toisiaan. Kaikki kaavojen aukilaskut ovat tervetullutta settiä ym.

Kirjoitan tarkemmin jostain tietystä otsikon aiheesta luultavasti viimeistään seuraavana viikonloppuna.




 

[QS]

Voisin ihmetellä yksityiskohtaa toisesta ketjusta, jossa kirjoitin

...singletin \(SU(2)\)-muunnokset \(\psi_1^R \to 1\cdot\psi_1^R\) jne. Kirja ei kerro miten spinori \(\psi\) voisi muuntua triviaalina \(SU(2)\)-esityksenä samoin kuin skalaari!...

Tämä oli eräästä kirjasta, joka on pääosin hyvä, enkä siksi nimeä uudestaan mainitse, kun en halua sitä huonoksi väittää.

Aiheena on heikon vuorovaikutuksen mittaryhmä, joka kirjoitetaan vaihtelevasti \(SU(2) \times U(1)\) tai \(SU(2)_L \times U(1)\) tai \(SU(2)_L \times U(1)_Y\). Muitakin notaatioita näkee. Herää kysymys, että mistä ryhmästä oikein on kyse, kun lähteestä riippuen voi olla tarkenne L tai sitten ei ole, ja joskus on alaindeksinä hypervaraus Y, ja joskus ei.

Singletissä on kaksi eri spinoria. Nämä ovat 4-komponenttiset Diracin spinorit \(\psi_1^R\) ja \(\psi_2^R\). Spinori on kuitenkin määritelty tietyn kompleksisen vektoriavaruuden vektorina, joka muuntuu \(SU(2)\)-spinoriesityksenä. Se ei muunnu \(SU(2)\):n triviaalina skalaari-esityksenä. Vaikka mittaryhmään kirjoitettaisiin \(SU(2)_L\), niin jää kysymys, että mikä on mahdollisesti piiloon jäänyt \(SU(2)_R\), jonka spinoriesitys olisi triviaali 1.

Luin kirjaa Quantum Theory of Fields Volume 2 (S. Weinberg), luku 21.3 Electroweak theory. Käytän samaa notaatiota kuin kirja, mutta selvennän sanallisesti. Määritellään elektronikentän vasen- ja oikeakiraaliset osat projektiona, joka kohdistuu Diracin nelikomponenttiseen spinoriin \(e\)

\(\begin{align*}
e_L &= \frac{1}{2}(1+\gamma_5)e\\
e_R &= \frac{1}{2}(1-\gamma_5)e
\end{align*}\)

Näin määriteltynä spinorin \(e_L\) kaksi ylintä komponenttia ovat nollia, ja spinorin \(e_R\) kaksi alinta ovat nollia.

Elektronin neutriino, joka on puhtaasti vasenkiraalinen, määritellään \(\nu_{eL}=\gamma_5\nu_{eL}\), missä kaksi ylintä komponenttia ovat aina nollia. Sähköheikon mittaryhmän esitys jakautuu vasenkiraaliseen duplettiin \((\nu_{eL},e_L)\) ja oikeakiraaliseen singlettiin \(e_R\).

Myöhemmin Weinberg ei näihin edellisiin määritelmiin enää koskaan viittaa, mutta käyttää kyllä symboleja \(\nu_e\) ja \(e\).

Sen sijaan määritellään \((\nu_e,e)^T\), missä selvästi molemmat komponentit, oikea ja vasen, ovat mukana. Dupletin täytyy siis olla pystyvektori, jossa on kaksi 4-komponenttista spinoria. Suurimman mahdollisen mittaryhmän nimeksi annetaan

\(SU(2)_L \times U(1)_L \times U(1)_R\)

Ryhmän generaattorit määritellään siten, että kentän muunnos on

\(\delta \begin{pmatrix}\nu_e \\ e\end{pmatrix} = i[\ \vec\epsilon\cdot\vec t+\epsilon_Lt_L+\epsilon_Rt_R\ ]\begin{pmatrix}\nu_e \\ e\end{pmatrix}\)

missä \(\delta\) viittaa infinitesimaaliin muunnokseen. Generaattorien \(\vec t\), \(t_L\) ja \(t_R\) parametrit \(\vec \epsilon\), \(\epsilon_L\) ja \(\epsilon_R\) viittaavat nekin infinitesimaaliin muunnokseen. Tässä selvästi summataan kolmen eri Lien algebran elementtejä, mikä on sallittua (*), kun muodostetaan ryhmien \(SU(2)_L\), \(U(1)_L\) ja \(U(1)_R\) suora tulo.

Generaattorit määritellään

\(\begin{align*}
\vec t &= \frac{g}{4}(1+\gamma_5)\left\{
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right\}\\\\
t_L &\propto (1+\gamma_5) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\\\
t_R &\propto (1-\gamma_5)
\end{align*}\)

Muunnos ja generaattorit on kirjoitettu Weinbergin salakielellä, jonka ehkä dekryptasin, mutta onko alla kuvaamani oikein?

Notaatiossa generaattorit näyttävät 4x4 matriiseilta, erityisesti \(\gamma_5\) vihjaa näin. Näiden täytyy kuitenkin olla 8x8 matriiseja, sillä ne kohdistetaan kaksi kokonaista spinoria sisältävään objektiin \((\nu_e,e)^T\).

Ryhmän \(SU(2)\) ja \(U(1)\) ominaisuudet viittaavat siihen, että nämä ovat lohkodiagonaaliset matriisit, joissa vasen yläkulma ja oikea alakulma ovat samat 4x4-matriisit. Yksityiskohta sekin, että generaattorin \(\vec t\) kanta (3 kpl 2x2-matriiseja) pitää tulkita oikein 4x4 matriiseina. Ainakin uskon, että tulkitsin oikein näitä laskiessani.

Muodostin konkreettiset 8x8 -generaattorit, ja niistä muutamia tuloryhmän matriiseja, ja homma toimi. Matriisin \(SU(2)_L\) -osa miksaa vain vasenkiraalisia komponentteja. \(U(1)_L\) ja \(U(1)_R\) kohdistuvat vastaavasti nimensä mukaisiin komponentteihin.

Tämä kolmen ryhmän suora tulo toimii mainiosti siten kuin on määritelty, eikä tarvitse selittää SU(2):n olevan singletin tapauksessa "spinorimuunnos", joka onkin skalaarimuunnos. Muunnosominaisuudet ovat ryhmien suoran tulon rakenteessa, ja se riittää.

Hiukan myöhemmin kirjassa pienennetään mainittua ryhmien suoraa tuloa, josta jää jäljelle \(SU(2)_L \times U(1)\), mutta tämä ei vaikuta edellä kirjoittamaani.

Tässä on vaan sellainen juttu, että Lagrangen tiheyteen kirjoitettuna esim. generaattorin \(\vec t\) pitää olla 4x4 matriisi. En ole varma tulkitsinko asian oikein, kun tein 8x8 matriisit.

===
(*) Brian Hall: Lie Groups, Lie Algebras and Representations, luku 2.8.2 Direct sums: "Lie algebra of \(G_1 \times G_2\) is isomorphic to \(\mathfrak{g}_1 \oplus \mathfrak{g}_2\)"

[Disputator]

Alkavaa iltapäivää!

Mun piti kirjoitella tähän viikonloppuna mittakenntäteorian perusteista ihan fysiikan kannalta ja sitten joskus myöhemmin sitten matematiikan kannalta (yritys rakentaa siltaa niiden välille), mutta jäinkin sitten ihmettelemään edellisen kirjoituksesi osoittamiasi epäselvyys/ongelmakohtia.

Hyviä huomioita tosiaankin noista eri objektien dimensioista. Olen samaa mieltä, että spinoridupletti on aina 8-ulotteinen vektori ja luulisin, että kun kaikki lausekkeet kirjoitetaan oikein viimeisen päälle kunnolla auki, niin mainitsemasi 8x8-matriisien käyttö vaikuttaa järkevältä, tai ainkakin pomminvarmalta tavalta. Mutta fyysikot niin monesti käyttävät tiivistettyä notaatiota, jolloin on vaikeaa hahmottaa mitä laskuissa oikein tapahtuu.

Ihan esimerkkinä ihan tässä juuri taannoin tämän ketjun avaamisen jälkeen luin jotain pdf-juttua, ja ihmettelin myös samaa kuin sinä, että siinä tietyn kaavan dimensiot eivät toimineet ollenkaan. Selvisi sitten, että 15 sivua aikaisemmin ilmoitettiin, että Lie-algebran alkioita ja niiden esityksiä merkitään samalla symbolilla. Siis \(A_\mu\) ei ainoastaan tarkoittanut Lie-algebran elementtiä vaan myös sen Lie-algebran esityksen elementtiä, joiden dimensiot olivat vallan eri. Toki en ollut lukenut sitä juttua 15 sivua sitten, koska olin vain etsimässä selvennystä johonkin kohtaan.

Palaan varmasti noihin mainitsemiisi kohtiin, kun kerkeän. Tilasin jopa kirjan, joka auttaa toivottavasti ymmärtämään ks.juttuja.

[QS]

Hiukan taas aikaa ihmetellä generaattoreita. Huomasin, että edellisessä viestissä (missä kentät 4-komponenttisia Diracin spinoreita) oli typo vasen/oikea -komponenteissa. Tähän korjattu

Näin määriteltynä spinorin \(e_L\) kaksi alinta komponenttia ovat nollia, ja spinorin \(e_R\) kaksi ylintä ovat nollia.
Elektronin neutriino, joka on puhtaasti vasenkiraalinen, määritellään \(\nu_{eL}=\gamma_5\nu_{eL}\), missä kaksi alinta komponenttia ovat aina nollia.

 

Sitten generaattoreihin. Weinbergin suurimman mahdollisen mittaryhmän \(SU(2)_L \times U(1)_L \times U(1)_R\) ensimmäinen generaattori

\(\vec t = \frac{g}{4}(1+\gamma_5)\left\{
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right\}\)

sisältää projektion \(P_L=\frac{1}{2}(1+\gamma_5)\), joka näkyy kertoimena \(\frac{g}{2} P_L\). Tuo poimii vasenkiraalisen kentän. Loput ovat \(\mathfrak{su}(2)\) kantavektoreita, jotka ovat Paulin matriisit \(\sigma^i \in \mathfrak{su}(2)\). Kokonaisuutena \(\vec t = \frac{g}{2}\frac{1}{2}(1+\gamma_5)(t_1 + t_2 + t_3)\), missä \(t_1 + t_2 + t_3\) on ryhmän \(SU(2)\) generaattori. Kertoimella \(\frac{g}{2}\ P_L\) varustettuna tämä on ilmeisesti sitten ryhmän \(SU(2)_L\) generaattori.

Kahden muun \(t_L\) ja \(t_R\) edessä on vastaavat projektiot. Weinberg muodostaa generaattoreista \(t_L \in \mathfrak{u}(1)_L\) ja \(t_R \in \mathfrak{u}(1)_R\) matriisin \(y\), joka viittaa hypervaraukseen

\(y \equiv g'\left[\left(\frac{1+\gamma_5}{4}\right)\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{pmatrix}+
\left(\frac{1-\gamma_5}{2}\right)\right]\)

Tuon voi laskeakin käyttämällä 2x2 matriisia \(\gamma_5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}\)

\(y=\begin{pmatrix}
\frac{g'}{2} & 0 \\
0 & g' \\
\end{pmatrix}\)

Tästä ja \(SU(2)_L\):n generaattorista \(t_3\) muodostuu sähkövaraukselle matriisi

\(q\ =\ \frac{e}{g}t_3-\frac{e}{g'}y\ =\ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -e \\ \end{pmatrix}\)

Tällä on selvästi yhteys sähkövarauksen \(Q\), isospinin \(T_3\) ja hypervarauksen \(Y\) kaavaan \(Q = T_3 + \frac{1}{2} Y\). Matriisilla \(q\) voidaan esittää vaikkapa \(e\)- ja \(\nu_e\) -kentän sähkövaraus

\(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -e \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \nu_L \\ e_L \end{pmatrix}\)

Seuraavaksi kirja poistaa ryhmän \(U(1)_R\), sillä heikko vuorovaikutus ei kytkeydy oikeakiraalisiin kenttiin. Jäljelle jää \(SU(2)_L \times U(1)\). Ensiksi mainitun generaattori on \(\vec t\) ja jälkimmäisen \(y\). Generaattori \(\vec t\) kytketään mittakenttään \(\vec A^\mu\), ja \(y\) mittakenttään \(B^\mu\). Lagrangen tiheys on

\(\begin{align*}
\mathcal{L}_{YM}+\mathcal{L}_{e} = &-\frac{1}{4}(\partial_\mu\vec A_\nu-\partial_\nu\vec A_\mu+g\vec A_\mu \times \vec A_\nu)^2 -\frac{1}{4}(\partial_\mu B_\nu-\partial_\nu B_\mu)^2 \\
&- \mathscr{\bar l}(\partial\!\!\!/ -i\vec A\!\!\!/ \cdot \vec t_L - iB\!\!\!/ y)\mathscr{l}
\end{align*}\)

Kytkinvakio \(g\) on upotettu \(\mathfrak{su}(2)\) rakennevakioon \(C_{ijk}=-ig\epsilon_{ijk}\). Ensimmäinen rivi esittää Yang-Mills kenttää ja toinen rivi mittakenttien kytkeytymistä leptonikenttään.

Koetan tässä ymmärtää loput Weinbergin notaatiosta. Generaattori \(\vec t_L\) tarkoittaa vektorigeneraattoria \(\vec t\), eikä \(y\):n määrittelyyn käytettyä \(t_L\). Feynmanin slashit ovat \(\partial\!\!\!/ \equiv \gamma^\mu\partial_\mu\) ja \(\vec A\!\!\!/ \equiv \gamma^\mu \vec A_\mu\).

Leptonikenttä on merkitty tyypilliselläkin notaatiolla \(\mathscr{l}\), mikä tässä sisältää (käsittääkseni) molemmat kentät: leptonin neutriino ja leptoni. Esimerkiksi voitaisiin kirjoittaa \(\mathscr{l} = (v_e, e)^T\), missä \(v_e\) ja \(e\) ovat 2-komponenttiset Weylin spinorit. Nämä jakautuvat mittaryhmän kannalta komponentteihin \(\mathscr{l}_L\) ja \(\mathscr{l}_R\).

Generaattorissa \(\vec t_L\) on mukana projektio \(P_L\) ja generaattorissa \(y\) on mukana molemmat \(P_L\) ja \(P_R\).

'Sisätulo' \(\vec A\!\!\!/ \cdot \vec t_L\) tarkoittaa sitä, että \(\vec A\) on kolmesta komponentista muodostuva vektori \(\vec A_\mu = (A^1_\mu, A^2_\mu, A^3_\mu)^T\), missä \(A^i\) ovat mittakentän 3 komponenttia, ja näillä aika-avaruudessa 4 komponenttia. Ja tässähän myös \(\vec t\) on 3-komponenttinen Lien algebran kanta.

Tuo \(\vec A\) on näin ollen Lien algebran \(\mathfrak{su}(2)\) adjungoitu esitys. Termin \(\vec A \cdot \vec t_L \in \mathfrak{su}(2)\) täytyy siis olla Lien algebra -arvoinen 1-muoto.

Toinen mittakenttä \(B_\mu\) on Lien algebrassa 1-komponenttinen, mutta aika-avaruuden 4-komponenttinen mittakenttä.

Ja tosiaan tuo \(\vec A_\mu\) ei ole fotonikenttä. Se nousee esille vasta myöhemmin neljän mittakentän (\(A^1\), \(A^2\), \(A^3\) ja \(B\)) eräänä massattomana osana. Neljä mittakenttää tarvitaan neljälle Lien algebran kantavektorille \(t_1\),\(t_2\),\(t_3\) ja \(y\).

Jotenkin näin. Weinbergin kryptologia on siinä mielessä antoisaa, että pakko paneutua yksityskohtiin ymmärtääkseen asian. En tosin tiedä ymmärsinkö joka kohdan oikein.

Kiinnostuin Weinbergin ymmärtämisestä siksi, että itse tavallisena tollona olen oppinut sähköheikossa teoriassa esiin nousevia helppoja termejä kuten

\(\left(\bar \nu_L, \bar e_L \right)i\gamma^\mu\left(\mathbb{I}_{2x2}\partial_\mu - ig \frac{\sigma^i}{2}A^i_\mu-ig'\frac{Y}{2} B_\mu \mathbb{I}_{2x2}\right)
\begin{pmatrix}
\nu_L \\ e_L
\end{pmatrix}\)

missä 2x2 matriisit operoivat 2-dimensioisiin varsin symbolisiin vektoreihin kuten tuo \((\nu_L, e_L)^T\), joka on jo valmiiksi projektio-operaattorilla muodostettu ja lausekkeeseen tyrkätty. Ja suluissa on käytännössä kovariantti derivaatta \(D_\mu\).

[QS]

Matriisin y lausekkeeseen jäi näköjään typo. Siinä näkyvä 2x2 matriisi piti olla diag(1,1).

[Disputator]

Aamupäivää!

Olenkin tässä ihmetellyt näitä Weinbergin merkintöjä, mitä sullakin tuossa alla on, ja en nyt vieläkään osaa niitä tulkita, mutta oikein ne varmasti ovat kunhan vain osaisin lukea niitä oikein. Siinä onkin haastetta, mutta täytyy yrittää.

Löysin jotain manläheisempää parista kirjasta ja yrittelin sitten rakentaa itselleni jotain rautalankamallia, joka perustuu niihin kirjoihin, siitä alempana lisää. Sittemmin luin lisää aivan toisesta lähestymistavasta ja kirjoitan siitä joko tähän tai seuraavaan viestiin.

Voisin ihmetellä yksityiskohtaa toisesta ketjusta, jossa kirjoitin

...singletin \(SU(2)\)-muunnokset \(\psi_1^R \to 1\cdot\psi_1^R\) jne. Kirja ei kerro miten spinori \(\psi\) voisi muuntua triviaalina \(SU(2)\)-esityksenä samoin kuin skalaari!...

Tämä oli eräästä kirjasta, joka on pääosin hyvä, enkä siksi nimeä uudestaan mainitse, kun en halua sitä huonoksi väittää.

Aiheena on heikon vuorovaikutuksen mittaryhmä, joka kirjoitetaan vaihtelevasti \(SU(2) \times U(1)\) tai \(SU(2)_L \times U(1)\) tai \(SU(2)_L \times U(1)_Y\). Muitakin notaatioita näkee. Herää kysymys, että mistä ryhmästä oikein on kyse, kun lähteestä riippuen voi olla tarkenne L tai sitten ei ole, ja joskus on alaindeksinä hypervaraus Y, ja joskus ei.

Singletissä on kaksi eri spinoria. Nämä ovat 4-komponenttiset Diracin spinorit \(\psi_1^R\) ja \(\psi_2^R\). Spinori on kuitenkin määritelty tietyn kompleksisen vektoriavaruuden vektorina, joka muuntuu \(SU(2)\)-spinoriesityksenä. Se ei muunnu \(SU(2)\):n triviaalina skalaari-esityksenä. Vaikka mittaryhmään kirjoitettaisiin \(SU(2)_L\), niin jää kysymys, että mikä on mahdollisesti piiloon jäänyt \(SU(2)_R\), jonka spinoriesitys olisi triviaali 1.

Luin kirjaa Quantum Theory of Fields Volume 2 (S. Weinberg), luku 21.3 Electroweak theory. Käytän samaa notaatiota kuin kirja, mutta selvennän sanallisesti. Määritellään elektronikentän vasen- ja oikeakiraaliset osat projektiona, joka kohdistuu Diracin nelikomponenttiseen spinoriin \(e\)

\(\begin{align*}
e_L &= \frac{1}{2}(1+\gamma_5)e\\
e_R &= \frac{1}{2}(1-\gamma_5)e
\end{align*}\)

Näin määriteltynä spinorin \(e_L\) kaksi ylintä komponenttia ovat nollia, ja spinorin \(e_R\) kaksi alinta ovat nollia.

Elektronin neutriino, joka on puhtaasti vasenkiraalinen, määritellään \(\nu_{eL}=\gamma_5\nu_{eL}\), missä kaksi ylintä komponenttia ovat aina nollia. Sähköheikon mittaryhmän esitys jakautuu vasenkiraaliseen duplettiin \((\nu_{eL},e_L)\) ja oikeakiraaliseen singlettiin \(e_R\).

Myöhemmin Weinberg ei näihin edellisiin määritelmiin enää koskaan viittaa, mutta käyttää kyllä symboleja \(\nu_e\) ja \(e\).

Rautalankamallissani lasketaan jotain ja saadaan lopputulos joka ei sovellu sellaisenaan tähän SH-malliin, mutta se sopii yllämainitsemani kirjojen esitystapaan jotenkin.

Eli mulla on tässä 2-komponenttinen spinori \(\psi=(\psi_1,\psi_2)^T\), tai spinoridupletti tai miksi nit tuota pitäisikään kutsua. Nimestä riippumatta siinä on 2 kpl Diracin spinoreita eli pystyvektorina 8 komponenttia. Olkoon tuo vaikka spinoripari.
Yhteen 4-Spinoriin, esimerkiksi \(\psi_1\) voidaan operoida projektiolla \((P_L)_4=\frac{1}{2}(1-\gamma_5)\), joka antaa vasenkiraalin komponentin. Vastaavasti oikeakiraalinen projektio \((P_R)_4=\frac{1}{2}(1+\gamma_5)\). Merkkaan alaindeksillä 4 matriisin dimensiota ja tuossa taitaa olla miinus/plusmerkki hässäkkää. Mutta mennään noilla, kun mun kirjassa ne on niin.

Voidaan määritellä 8x8-matriisi \((P_L)_8\), joka operoi spinoripariin 2x2-blokkimatriisina:
$$(P_L)_8=
\begin{bmatrix}
(P_L)_4 & 0\\
0 &(P_L)_4
\end{bmatrix}
$$
ja 8x8-matriisi \((P_R)_8\):
$$(P_R)_8=
\begin{bmatrix}
(P_R)_4 & 0\\
0 &(P_R)_4
\end{bmatrix}
$$
Spinoripari voidaan kirjoittaa muodossa:
$$\psi=
\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
=(P_L)_8\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
+(P_R)_8\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
\psi^R_1 \\
\psi^R_2
\end{pmatrix}
$$
Voidaan määritellä vasen-ja oikeakiraalinen spinoripari kaavoilla:
\(
\psi_L= \begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2
\end{pmatrix}
\)
ja
\(\psi_R= \begin{pmatrix}
\psi^R_1 \\
\psi^R_2
\end{pmatrix}
\)
Nyt voidaan kirjoittaa tiiviisti spinoripari \(\psi=\psi_L+\psi_R\). Nyt sitten valitaan ryhmä \(G=S^1\times SU(2)\) jonka alkiot u voidaan esittää kompleksisena 2x2-matriisina:
$$u=
\begin{bmatrix}
u_{11} &u_{12}\\
u_{21} & u_{22}
\end{bmatrix}
$$.
Nyt määritellään ryhmän toiminta spinoripareille kaavalla:
$$u\cdot \psi=
u \begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
=\begin{bmatrix}
u_{11} &u_{12}\\
u_{21} & u_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
$$
Nyt operoidaan alkiolla u oikea ja vasenkiraalisiin spinoripareihin:
$$u\cdot\psi=
u\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
=u\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2
\end{pmatrix}
+u \begin{pmatrix}
\psi^R_1 \\
\psi^R_2
\end{pmatrix}
$$
Tämä käsittääkseni voidaan kirjoittaa auki matriisina:
$$
u\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
=\begin{bmatrix}
u_{11} & u_{12} & 0 & 0\\
u_{21} &u_{22} & 0 & 0\\
0 & 0 &u_{11} & u_{12}\\
0 & 0 & u_{21} & u_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2 \\
\psi^R_1 \\
\psi^R_2 \\
\end{pmatrix}
$$
Tuo jo näyttää paremmalta. Tuossa kuitenkin ryhmän alkio u operoi samalla tavalla oikea ja vasenkiraalisiin spinoripareihin eli vasen ja oikea kiraalisuus ei tässä vaiheessa erotu.

Jos sitten laajennetaan toimintaa siten että määritellään uusi toiminta ryhmälle \(G\times G\) siten että valitaan kaksi matriisia \(a,b\in G=S^1\times SU(2)\) tai paremminkin uusi ryhmä $$G'=G\times G$$ ja määritellään alkion \(g=(a,b)\) toiminta

$$
g\cdot\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & 0 & 0\\
a_{21} &a_{22} & 0 & 0\\
0 & 0 &b_{11} & b_{12}\\
0 & 0 & b_{21} & b_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2 \\
\psi^R_1 \\
\psi^R_2 \\
\end{pmatrix}
$$
Nyt alan vihdoin lähestyä sitä mun kirjani esitystä. Nyt sitten vaaditaankin vasen ja oikeakiraalisille eri ryhmiä, kun alun perin sekä a että b\(\in G=S^1\times SU(2)\). Jos siis vaaditaankin esimerkiksi, että \(a\in S^1\times SU(2\)) ja \(b\in S^1\), voidaan saada jotain SH-mitan näköistä aikaiseksi. edit:lisätty \(S^1\)

Jos spinoripariksi \(\psi\) valitaan elektroni ja elektronin neutriino ja kirjoitetaan se pystyvektorina:

$$\psi=\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2 \\
\psi^R_1 \\
\psi^R_2 \\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
e_L \\
(\nu_e)_L \\
e_R \\
(\nu_e)_R \\
\end{pmatrix}
$$
Nyt oli vielä että tuo oikeakiiraali elektronin neutriino ei ole olemassa, joten pystyvektorin viimeinen komponentti = 0:

$$\psi=\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2 \\
\psi^R_1 \\
\psi^R_2 \\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
e_L \\
(\nu_e)_L \\
e_R \\
0 \\
\end{pmatrix}
$$
Nyt tuo oikeakiraali \(e_R\) ei voi muuttua oikeakätiseksi netriinoksi, niin silloin tuo b-matriisi on diagonaali ja siten matriisia voidaan pienentää:
$$
g\cdot\psi
=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & 0 \\
a_{21} &a_{22} & 0 \\
0 & 0 &b \\
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
e_L \\
(\nu_e)_L \\
e_R \\
\end{pmatrix}
$$
Tuo kaava on jo melkoisen lähellä kirjani kaavaa, mutta ei aivan vielä se mikä kirjassa on.

Käytin yllä ryhmän \(S^1\times SU(2)\) ja \(S^1\) määritteleviä lausekkeita sellaisenaan, mutta tuota ylläolevaa laskua voi hieman yleistää, käyttämällä ryhmien esitysteoriaa, siten että tuo matriisi a onkin ryhmän \(S^1\times SU(2)\) redusoitumaton esitys ja 1x1-matriisi b on ryhmän \(S^1\) redusoitumaton esity. Tämä tuo mukanaan kvanttiluvut Y ja \(T_3\), kuten jo uudemmassa viestissäsi kirjoitit. Kolmas kvanttiluku Q määräytyy fysiikasta, joten Y ja \(T_3\) eivät ole aivan mielivaltaisia

Kirjani kaavassa ei tarkastella ollenkaan SU(2) osaa, vaan 2x2-matriisi a on ryhmän \(S^1\) esitys ja b on saman ryhmän 1x1-matriisiesitys.

Matriisin a diagonaalikomponentit ovat redusoitumattomia esityksia \(e^{-i\beta/2}\) ja 1x1-matriisi b on myös \(S^1\):n redusoitumaton esitys \(e^{-i\beta}\) missä tuo eksponentti on annettu (heikon)hypervarauksen Y avulla eli \(e^{\frac{i}{2}Y\beta}\). Kvanttiluku Y luokittelee siis ryhmän \(S^1\) redusoitumattomat esitykset. Vasenkiraalilla elektronilla ja neutriinolla on Y=-1 ja oikeakiraalilla elektronilla Y=-2. (edit: korjattu luvut)
$$
g\cdot\psi
=\begin{bmatrix}
e^{-i\beta/2} & 0 & 0 \\
0 & e^{-i\beta/2}& 0 \\
0 & 0 &e^{-i\beta}& \\
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
e_L \\
(\nu_e)_L \\
e_R \\
\end{pmatrix}
$$

Huh huh, olipas tuossa kirjoittamista. Tuo mun laskuni, miten tuohon kirjan kaavaan päästään on oma lasku, joten siinä voi olla virheellistä logiikkaa ym.

Luen myöhemmin sun myöhempää viestiä tarkemmin, siinä on niitä Weinbergin notaatioita, jotka ovat vähän hämäriä, mutta täytyy yrittää selvitellä niitä.

[Disputator]

Jatkan vielä edellistä viestiä. Mulla oli tuo matriisi
$$
u\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
=\begin{bmatrix}
u_{11} & u_{12} & 0 & 0\\
u_{21} &u_{22} & 0 & 0\\
0 & 0 &u_{11} & u_{12}\\
0 & 0 & u_{21} & u_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2 \\
\psi^R_1 \\
\psi^R_2 \\
\end{pmatrix}
$$

Ryhmän \(SU(2)\) ja \(U(1)\) ominaisuudet viittaavat siihen, että nämä ovat lohkodiagonaaliset matriisit, joissa vasen yläkulma ja oikea alakulma ovat samat 4x4-matriisit. Yksityiskohta sekin, että generaattorin \(\vec t\) kanta (3 kpl 2x2-matriiseja) pitää tulkita oikein 4x4 matriiseina. Ainakin uskon, että tulkitsin oikein näitä laskiessani.

Tuo mun matriisi näyttäisi viittaavan juuri samantyyppisiin päätelmiin, mutta erona on se, että mulla vasen yläkulma ja oikea alakulma koostuvat 2x2-matriiseista. Syy on käsittääkseni se, että nuo "komponentit":
$$\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2 \\
\psi^R_1 \\
\psi^R_2 \\
\end{pmatrix}$$
ovat vektoreita, eivät skalaareita. Periaatteessa sama kuin, jos tarkastellaan 8-ulotteista vektoriavaruutta V=\(\mathbb{R}^8\) ja valitaan standardikanta \(e_1=(1,0,0,0,0,0,0,0\)) jne. ja muodostetaan 4 kpl keskenään kohtisuoraa kaksiulotteista tasoa:
$$

\begin{align*}
V_1&= span\{e_1,e_2\}\\
V_2&= span\{e_3,e_4\}\\
V_3&= span\{e_5,e_6\}\\
V_4&= span\{e_7,e_8\}
\end{align*}
$$
Silloin vektoriavaruus V=\(\mathbb{R}^8\) voidaan esittää suorana summana:
$$
V=V_1\oplus V_2\oplus V_3\oplus V_4
$$ ja jokainen vektori \(\vec{v}\in\mathbb{R}^8\) voidaan esittää yksikäsitteisesti summana:
$$\vec{v}=\vec{v_1}+\vec{v_2}+\vec{v_3}+\vec{v_4}$$
missä \(\vec{v}_i\in V_i\) ovat vektoreita. Tämä vektori \(\vec{v}\) voidaan esittää muodollisena pystyvektorina:
$$\vec{v}=\begin{pmatrix}
\vec{v_1}\\
\vec{v_2} \\
\vec{v_3}\\
\vec{v_4} \\
\end{pmatrix}$$
Huomattavaa on se, että "pystyvektorin" komponentit ovat vektoreita, eivät skalaareita.

Tuohon 4 vektorin "pystyvektoriin" voidaan operoida esimerkiksi SO(4) matriisilla R:

$$\begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12} & r_{13} & r_{14}\\
r_{21} &r_{22} & r_{23} & r_{24}\\
r_{31} & r_{32} &r_{33} & r_{34}\\
r_{41} & r_{42} & r_{43} & r_{44}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec{v_1}\\
\vec{v_2} \\
\vec{v_3}\\
\vec{v_4} \\
\end{pmatrix}$$

tai kahdella eri SO(2) matriisilla, ensimmäinen vasemmassa yläkulmassa ja toinen oikeassa alakulmassa:
$$\begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12} & 0 & 0\\
r_{21} &r_{22} & 0 & 0\\
0 & 0 &r_{33} & r_{34}\\
0 & 0 & r_{43} & r_{44}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec{v_1}\\
\vec{v_2} \\
\vec{v_3}\\
\vec{v_4} \\
\end{pmatrix}$$.

Kummassakin tapauksessa matriisi operoi vektoreihin, ei skalaareihin, yleensähän rotaatiomatriisit kieputtavat vektoreiden skalaarisia komponentteja(tietyssä kannassa), mutta tässä muodostetaan vektorien lineaarikombinaatioita.

Tuota ideaa voisi vielä työstää Lie-algebran suuntaan, näyttäisi siltä, että kummassakin tapauksessa ryhmien SO(4) ja SO(2)xSO(2) Lie-algebran alkiot olisivat melkoisen luonnollisesti 4x4-matriiseja, ainakin jossain fysiikan puolella. Matemaatikot ehkä aluksi kaivaisivat kirjoista Lie-algebran määritelmiä. Mutta, onhan nuo ihan hyvin määriteltyjä, oikeastaan hyvinkin näppäriä muunnoksia.

[QS]

Eli mulla on tässä 2-komponenttinen spinori \(\psi=(\psi_1,\psi_2)^T\), tai spinoridupletti tai miksi nit tuota pitäisikään kutsua. Nimestä riippumatta siinä on 2 kpl Diracin spinoreita eli pystyvektorina 8 komponenttia. Olkoon tuo vaikka spinoripari.
Yhteen 4-Spinoriin, esimerkiksi \(\psi_1\) voidaan operoida projektiolla \((P_L)_4=\frac{1}{2}(1-\gamma_5)\), joka antaa vasenkiraalin komponentin. Vastaavasti oikeakiraalinen projektio \((P_R)_4=\frac{1}{2}(1+\gamma_5)\). Merkkaan alaindeksillä 4 matriisin dimensiota ja tuossa taitaa olla miinus/plusmerkki hässäkkää. Mutta mennään noilla, kun mun kirjassa ne on niin.





 

Joo. Plus/miinus -hässäkkä on noissa mun viesteissä peräisin Weinbergin etumerkeistä, jotka jostain syystä valittu standardimallin rinnakkaisuniversumista. Paulin matriisit ovat standardit

\(\sigma_1=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}, \quad
\sigma_2=
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}, \quad
\sigma_3=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\)

ja \(\gamma\)-matriisit (indeksi ylhäällä)

\(\gamma^0=-i\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}, \quad
\gamma^i=-i\begin{bmatrix}
0 & \vec\sigma \\
-\vec\sigma & 0
\end{bmatrix}\)

Näille pätee

\(\gamma_\mu\gamma_\nu+\gamma_\nu\gamma_\mu=2\eta_{\mu\nu}\mathbb{I}_{4x4}\)

ja

\(\gamma_5=i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3\).

Etumerkkihärdelli tulee signatuurista (-,+,+,+), minkä seurauksena \(\gamma_\mu =\eta_{\mu\nu}\gamma^\nu = \{-\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3\}\). Näin määriteltynä (indeksi alhaalla)

\(\gamma_5 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}\)

Valinta on käsittääkseni Weyl chiral basis, mutta ei tyypillinen vaan vaihtoehtoinen, ja vieläpä epätyypillisellä signatuurilla. \(P_L\) on lopulta \((1+\gamma_5)/2\), ja se toimii oikein 4-komponenttiseen

\(\psi = (\chi_L,\xi_R)^T = (\psi_L, \psi_R)^T\)

missä \(\psi_L\) ja \(\psi_R\) ovat 2-komponenttiset Weylin spinorit. Nämä ovat tyypillisessä järjestyksessä (L ylhäällä ja R alhaalla). Yleensä "vaihtoehtoisessa Weylin kiraali-kannassa" L ja R ovat toisin päin, mutta kai tuo Weinbergin signatuuri johtaa kuitenkin "tyypillinen Weyl chiral basis" -esityksen mukaiseen järjestykseen. Melkoinen sotku, mutta toimii

Voidaan määritellä 8x8-matriisi \((P_L)_8\), joka operoi spinoripariin 2x2-blokkimatriisina:
$$(P_L)_8=
\begin{bmatrix}
(P_L)_4 & 0\\
0 &(P_L)_4
\end{bmatrix}
$$
ja 8x8-matriisi \((P_R)_8\):
$$(P_R)_8=
\begin{bmatrix}
(P_R)_4 & 0\\
0 &(P_R)_4
\end{bmatrix}
$$
Spinoripari voidaan kirjoittaa muodossa:
$$\psi=
\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
=(P_L)_8\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
+(P_R)_8\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
\psi^R_1 \\
\psi^R_2
\end{pmatrix}
$$
Voidaan määritellä vasen-ja oikeakiraalinen spinoripari kaavoilla:
\(
\psi_L= \begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2
\end{pmatrix}
\)
ja
\(\psi_R= \begin{pmatrix}
\psi^R_1 \\
\psi^R_2
\end{pmatrix}
\)
Nyt voidaan kirjoittaa tiiviisti spinoripari \(\psi=\psi_L+\psi_R\). Nyt sitten valitaan ryhmä \(G=S^1\times SU(2)\) jonka alkiot u voidaan esittää kompleksisena 2x2-matriisina:
$$u=
\begin{bmatrix}
u_{11} &u_{12}\\
u_{21} & u_{22}
\end{bmatrix}
$$.
Nyt määritellään ryhmän toiminta spinoripareille kaavalla:
$$u\cdot \psi=
u \begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
=\begin{bmatrix}
u_{11} &u_{12}\\
u_{21} & u_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
$$
Nyt operoidaan alkiolla u oikea ja vasenkiraalisiin spinoripareihin:
$$u\cdot\psi=
u\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
=u\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2
\end{pmatrix}
+u \begin{pmatrix}
\psi^R_1 \\
\psi^R_2
\end{pmatrix}
$$
Tämä käsittääkseni voidaan kirjoittaa auki matriisina:
$$
u\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
=\begin{bmatrix}
u_{11} & u_{12} & 0 & 0\\
u_{21} &u_{22} & 0 & 0\\
0 & 0 &u_{11} & u_{12}\\
0 & 0 & u_{21} & u_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2 \\
\psi^R_1 \\
\psi^R_2 \\
\end{pmatrix}
$$
Tuo jo näyttää paremmalta. Tuossa kuitenkin ryhmän alkio u operoi samalla tavalla oikea ja vasenkiraalisiin spinoripareihin eli vasen ja oikea kiraalisuus ei tässä vaiheessa erotu.





 

Tämä on todella valaiseva notaatio ja esitystapa. Tuossa tulee esille myös se, mikä mua Weinbergin kirjassa häiritsi: Spinori-parin vasenkiraaliset komponentit ovat kaksi ylintä, ja oikeakiraaliset kaksi alinta, eli siis \((\psi^L_1, \psi^L_2, \psi^R_1, \psi^R_2)^T\). On helppo erehtyä muodostamaan pari siten, että se olisi \((\psi^L_1, \psi^R_1, \psi^L_2, \psi^R_2)^T\).

Jos sitten laajennetaan toimintaa siten että määritellään uusi toiminta ryhmälle \(G\times G\) siten että valitaan kaksi matriisia \(a,b\in G=S^1\times SU(2)\) tai paremminkin uusi ryhmä $$G'=G\times G$$ ja määritellään alkion \(g=(a,b)\) toiminta

$$
g\cdot\begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2
\end{pmatrix}
=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & 0 & 0\\
a_{21} &a_{22} & 0 & 0\\
0 & 0 &b_{11} & b_{12}\\
0 & 0 & b_{21} & b_{22}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2 \\
\psi^R_1 \\
\psi^R_2 \\
\end{pmatrix}
$$
Nyt alan vihdoin lähestyä sitä mun kirjani esitystä. Nyt sitten vaaditaankin vasen ja oikeakiraalisille eri ryhmiä, kun alun perin sekä a että b\(\in G=S^1\times SU(2)\). Jos siis vaaditaankin esimerkiksi, että \(a\in S^1\times SU(2\)) ja \(b\in S^1\), voidaan saada jotain SH-mitan näköistä aikaiseksi. edit:lisätty \(S^1\)

Kyllä. Tässä lähestytään ryhmien suoraa tuloa, missä ryhmät toimivat kahteen eri puolikkaaseen eri tavoin.

Jos spinoripariksi \(\psi\) valitaan elektroni ja elektronin neutriino ja kirjoitetaan se pystyvektorina:

$$\psi=\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2 \\
\psi^R_1 \\
\psi^R_2 \\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
e_L \\
(\nu_e)_L \\
e_R \\
(\nu_e)_R \\
\end{pmatrix}
$$
Nyt oli vielä että tuo oikeakiiraali elektronin neutriino ei ole olemassa, joten pystyvektorin viimeinen komponentti = 0:

$$\psi=\begin{pmatrix}
\psi^L_1 \\
\psi^L_2 \\
\psi^R_1 \\
\psi^R_2 \\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
e_L \\
(\nu_e)_L \\
e_R \\
0 \\
\end{pmatrix}
$$
Nyt tuo oikeakiraali \(e_R\) ei voi muuttua oikeakätiseksi netriinoksi, niin silloin tuo b-matriisi on diagonaali ja siten matriisia voidaan pienentää:
$$
g\cdot\psi
=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & 0 \\
a_{21} &a_{22} & 0 \\
0 & 0 &b \\
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
e_L \\
(\nu_e)_L \\
e_R \\
\end{pmatrix}
$$
Tuo kaava on jo melkoisen lähellä kirjani kaavaa, mutta ei aivan vielä se mikä kirjassa on.

Ja tämä selvästi vastaa Weinbergin spinoriparia, jota hän ei kirjaansa ole auki kirjoittanut.

Käytin yllä ryhmän \(S^1\times SU(2)\) ja \(S^1\) määritteleviä lausekkeita sellaisenaan, mutta tuota ylläolevaa laskua voi hieman yleistää, käyttämällä ryhmien esitysteoriaa, siten että tuo matriisi a onkin ryhmän \(S^1\times SU(2)\) redusoitumaton esitys ja 1x1-matriisi b on ryhmän \(S^1\) redusoitumaton esity. Tämä tuo mukanaan kvanttiluvut Y ja \(T_3\), kuten jo uudemmassa viestissäsi kirjoitit. Kolmas kvanttiluku Q määräytyy fysiikasta, joten Y ja \(T_3\) eivät ole aivan mielivaltaisia

Kirjani kaavassa ei tarkastella ollenkaan SU(2) osaa, vaan 2x2-matriisi a on ryhmän \(S^1\) esitys ja b on saman ryhmän 1x1-matriisiesitys.

Matriisin a diagonaalikomponentit ovat redusoitumattomia esityksia \(e^{-i\beta/2}\) ja 1x1-matriisi b on myös \(S^1\):n redusoitumaton esitys \(e^{-i\beta}\) missä tuo eksponentti on annettu (heikon)hypervarauksen Y avulla eli \(e^{\frac{i}{2}Y\beta}\). Kvanttiluku Y luokittelee siis ryhmän \(S^1\) redusoitumattomat esitykset. Vasenkiraalilla elektronilla ja neutriinolla on Y=-1 ja oikeakiraalilla elektronilla Y=-2. (edit: korjattu luvut)
$$
g\cdot\psi
=\begin{bmatrix}
e^{-i\beta/2} & 0 & 0 \\
0 & e^{-i\beta/2}& 0 \\
0 & 0 &e^{-i\beta}& \\
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
e_L \\
(\nu_e)_L \\
e_R \\
\end{pmatrix}
$$
Huh huh, olipas tuossa kirjoittamista. Tuo mun laskuni, miten tuohon kirjan kaavaan päästään on oma lasku, joten siinä voi olla virheellistä logiikkaa ym.

Mielestäni erinomaisen hienolla notaatiolla laskettu ja selvennetty. Samalla kun seurasin laskuasi, niin tajusin Weinbergin generaattorista

\(\vec t = \frac{g}{4}(1+\gamma_5)\left\{
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right\}\)

ja kentän muunnoksesta

\(\delta \begin{pmatrix}\nu_e \\ e\end{pmatrix} = i[\ \vec\epsilon\cdot\vec t+\epsilon_Lt_L+\epsilon_Rt_R\ ]\begin{pmatrix}\nu_e \\ e\end{pmatrix}\)

jotain mitä en aiemmin ymmärtänyt. Hämmästelin nimittäin, että miten ihmeessä projektio-operaattori \(P_L\) on päätynyt mukaan Lien algebraan. Nyt vasta tajusin, että voin poimia generaattorista \(i\vec t\) sen edessä olevan matriisin \(\frac{1}{2} iP_L\), ja ajatella tämän 1-dimensioisen Lien algebran kantana. Kun käytän parametria \(\beta\), niin vastaavan abelisen ryhmän elementti on

\(e^{i\beta\ P_L} =
\begin{pmatrix}
e^{i\beta/2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & e^{i\beta/2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\)

mikä on etumerkkiä vaille sama kuin sun laskussa. Weinbergin generaattorista \(t_R \propto (1-\gamma_5)\) saadaan vastaavasti

\(e^{i\beta\ P_R} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & e^{i \beta} & 0 \\
0 & 0 & 0 & e^{i \beta} \\
\end{pmatrix}\)

Aiemmin, kun nypertelin niiden 8-dim vektorien ja tuloryhmän elementtien kanssa, niin en tajunnut jakaa matriisieksponentteja (by computer, tietysti) osiinsa. Nyt tämäkin mysteeri selvisi.

Tutkin jälkimmäistä viestiäsi ensi viikolla, kun aikaa. Kerta kaikkiaan hyviä juttuja!

[Disputator]

Kiireistä aamupäivää!

...
Yhteen 4-Spinoriin, esimerkiksi \(\psi_1\) voidaan operoida projektiolla \((P_L)_4=\frac{1}{2}(1-\gamma_5)\), joka antaa vasenkiraalin komponentin. Vastaavasti oikeakiraalinen projektio \((P_R)_4=\frac{1}{2}(1+\gamma_5)\). Merkkaan alaindeksillä 4 matriisin dimensiota ja tuossa taitaa olla miinus/plusmerkki hässäkkää. Mutta mennään noilla, kun mun kirjassa ne on niin.

Joo. Plus/miinus -hässäkkä on noissa mun viesteissä peräisin Weinbergin etumerkeistä, jotka jostain syystä valittu standardimallin rinnakkaisuniversumista. Paulin matriisit ovat standardit

\(\sigma_1=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}, \quad
\sigma_2=
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix}, \quad
\sigma_3=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\)

ja \(\gamma\)-matriisit (indeksi ylhäällä)

\(\gamma^0=-i\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}, \quad
\gamma^i=-i\begin{bmatrix}
0 & \vec\sigma \\
-\vec\sigma & 0
\end{bmatrix}\)

Näille pätee

\(\gamma_\mu\gamma_\nu+\gamma_\nu\gamma_\mu=2\eta_{\mu\nu}\mathbb{I}_{4x4}\)

ja

\(\gamma_5=i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3\).

Etumerkkihärdelli tulee signatuurista (-,+,+,+), minkä seurauksena \(\gamma_\mu =\eta_{\mu\nu}\gamma^\nu = \{-\gamma^0,\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3\}\). Näin määriteltynä (indeksi alhaalla)

\(\gamma_5 = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}\)

Valinta on käsittääkseni Weyl chiral basis, mutta ei tyypillinen vaan vaihtoehtoinen, ja vieläpä epätyypillisellä signatuurilla. \(P_L\) on lopulta \((1+\gamma_5)/2\), ja se toimii oikein 4-komponenttiseen

\(\psi = (\chi_L,\xi_R)^T = (\psi_L, \psi_R)^T\)

missä \(\psi_L\) ja \(\psi_R\) ovat 2-komponenttiset Weylin spinorit. Nämä ovat tyypillisessä järjestyksessä (L ylhäällä ja R alhaalla). Yleensä "vaihtoehtoisessa Weylin kiraali-kannassa" L ja R ovat toisin päin, mutta kai tuo Weinbergin signatuuri johtaa kuitenkin "tyypillinen Weyl chiral basis" -esityksen mukaiseen järjestykseen. Melkoinen sotku, mutta toimii
...

 

Joo, siinähän se syy onkin.

...Samalla kun seurasin laskuasi, niin tajusin Weinbergin generaattorista

\(\vec t = \frac{g}{4}(1+\gamma_5)\left\{
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right\}\)

ja kentän muunnoksesta

\(\delta \begin{pmatrix}\nu_e \\ e\end{pmatrix} = i[\ \vec\epsilon\cdot\vec t+\epsilon_Lt_L+\epsilon_Rt_R\ ]\begin{pmatrix}\nu_e \\ e\end{pmatrix}\)

jotain mitä en aiemmin ymmärtänyt. Hämmästelin nimittäin, että miten ihmeessä projektio-operaattori \(P_L\) on päätynyt mukaan Lien algebraan. Nyt vasta tajusin, että voin poimia generaattorista \(i\vec t\) sen edessä olevan matriisin \(\frac{1}{2} iP_L\), ja ajatella tämän 1-dimensioisen Lien algebran kantana. Kun käytän parametria \(\beta\), niin vastaavan abelisen ryhmän elementti on

\(e^{i\beta\ P_L} =
\begin{pmatrix}
e^{i\beta/2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & e^{i\beta/2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\)

mikä on etumerkkiä vaille sama kuin sun laskussa. Weinbergin generaattorista \(t_R \propto (1-\gamma_5)\) saadaan vastaavasti

\(e^{i\beta\ P_R} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & e^{i \beta} & 0 \\
0 & 0 & 0 & e^{i \beta} \\
\end{pmatrix}\)

Aiemmin, kun nypertelin niiden 8-dim vektorien ja tuloryhmän elementtien kanssa, niin en tajunnut jakaa matriisieksponentteja (by computer, tietysti) osiinsa. Nyt tämäkin mysteeri selvisi.
...

 

Tosiaankin, nuo kaavasi:

\(e^{i\beta\ P_L} =
\begin{pmatrix}
e^{i\beta/2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & e^{i\beta/2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix},e^{i\beta\ P_R} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & e^{i \beta} & 0 \\
0 & 0 & 0 & e^{i \beta} \\
\end{pmatrix}\)
avaa sitä miksi siinä Weinbergissä ne ovat siinä Lie kyseiseen tilanteeseen sopivan algebran määrittelyssä. Se Weinbergin merkintä on mulle vielä vähän mysteeri, mutta eiköhän tuokin vielä joskus selviä. Palaan kyllä tähän vielä, varmaan viikonloppuna.

[Disputator]

...
Käytin yllä ryhmän \(S^1\times SU(2)\) ja \(S^1\) määritteleviä lausekkeita sellaisenaan, mutta tuota ylläolevaa laskua voi hieman yleistää, käyttämällä ryhmien esitysteoriaa, siten että tuo matriisi a onkin ryhmän \(S^1\times SU(2)\) redusoitumaton esitys ja 1x1-matriisi b on ryhmän \(S^1\) redusoitumaton esity. Tämä tuo mukanaan kvanttiluvut Y ja \(T_3\), kuten jo uudemmassa viestissäsi kirjoitit. Kolmas kvanttiluku Q määräytyy fysiikasta, joten Y ja \(T_3\) eivät ole aivan mielivaltaisia

Kirjani kaavassa ei tarkastella ollenkaan SU(2) osaa, vaan 2x2-matriisi a on ryhmän \(S^1\) esitys ja b on saman ryhmän 1x1-matriisiesitys.

Matriisin a diagonaalikomponentit ovat redusoitumattomia esityksia \(e^{-i\beta/2}\) ja 1x1-matriisi b on myös \(S^1\):n redusoitumaton esitys \(e^{-i\beta}\) missä tuo eksponentti on annettu (heikon)hypervarauksen Y avulla eli \(e^{\frac{i}{2}Y\beta}\). Kvanttiluku Y luokittelee siis ryhmän \(S^1\) redusoitumattomat esitykset. Vasenkiraalilla elektronilla ja neutriinolla on Y=-1 ja oikeakiraalilla elektronilla Y=-2. (edit: korjattu luvut)
$$
g\cdot\psi
=\begin{bmatrix}
e^{-i\beta/2} & 0 & 0 \\
0 & e^{-i\beta/2}& 0 \\
0 & 0 &e^{-i\beta}& \\
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
e_L \\
(\nu_e)_L \\
e_R \\
\end{pmatrix}
$$

 

 

Korjaan tässä omia virheitä ja jotain kommenttia, kirjoitin:

Matriisin a diagonaalikomponentit ovat redusoitumattomia esityksia \(e^{-i\beta/2}\) ja 1x1-matriisi b on myös \(S^1\):n redusoitumaton esitys \(e^{-i\beta}\) missä tuo eksponentti on annettu (heikon)hypervarauksen Y avulla eli \(e^{\frac{i}{2}Y\beta}\).

Tuo lauseke \(e^{-i\beta/2}\) ei ole esitys ryhmäteorian mielessä ollenkaan, jos tuo parametri \(\beta\) tulkitaan kulmaksi \(\beta(x)\in [0,2\pi)\) tai lokaalimmin \(\beta(x)\in [0,2\pi)\) , siis esitys \(\Pi\) veisi \(S^1\):n alkion \(e^{i\beta}\) alkiolle \(e^{-i\beta/2}\). Viimeksimainittu on 1x1-matriisi.

Hmm,en osaa nyt sanoa, tuossa kaavassa on fysiikkaa ja matikkaa sekaisin.

Nyt ei kerkeä enempää, täytyy palata tähänkin myöhemmin.