QS kirjoitti: ↑19 Syys 2024, 18:09
...
Vapaa Diracin kenttä voidaan kirjoittaa myös massattomana
\(\mathcal{L}_{F}=i\bar\Psi\gamma_\mu\partial^\mu\Psi\)
...
Kenttiä \(\Psi\) ja \(\bar\Psi\) kutsutaan nimellä dupletti. Massaton \(\mathcal{L}_{F}\) toteuttaa globaalin \(SU(2)\)-symmetrian, jonka muunnokset ovat
\(\begin{align*}
\Psi &\to e^{ia_i\frac{\sigma_i}{2}} \Psi\\
\bar\Psi &\to \bar\Psi e^{-ia_i\frac{\sigma_i}{2}}
\end{align*}\)
....
Massaton \(\mathcal{L}_{F}\) ei toteuta lokaalia \(SU(2)\)-symmetriaa. Osoittautuu, että lokaalin symmetrian toteuttava Lagrange on
\(\mathcal{L}_{F+B}=i\bar\Psi\gamma_\mu D^\mu\Psi - \frac{1}{4}Tr(B_{\mu\nu}B^{\mu\nu})\)
missä massaton spin-½ ja \(B^\mu\) -kenttä vuorovaikuttavat.
Tästä sitten kolmas viesti, jossa massa Diracin kentän leptoneille.
Massaton \(\mathcal{L}_{F+B}\) esittää dupletin \(\Psi\) heikkoa vuorovaikutusta. Heikko vuorovaikutus (mittakenttä \(W^+\), \(W^-\) ja \(Z\)) kytkeytyy kuitenkin vain vasenkiraaliseen duplettiin \(\Psi_L\). Tämä on pystyvektori, joka sisältää kaksi 4-komponenttista spinoria
\(\Psi_L = \begin{pmatrix}\psi_1^L \\ \psi_2^L\end{pmatrix}\)
\(SU(2)\)-muunnoksessa dupletti muuntuu
\(\Psi_L \to e^{i\vec\theta\frac{\vec\sigma}{2}}\Psi_L\)
missä \(\psi_1^L\) ja \(\psi_2^L\) miksautuvat. Vasenkiraalinen \(\Psi_L\) saadaan dupletista \(\Psi\) siten, että kohdistetaan siihen projektio-operaattori \(P_L=\frac{\mathbb{1}-\gamma_5}{2}\) seuraavasti
\(P_L\Psi = \begin{pmatrix}
P_L & 0 \\
0 & P_L
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \psi_1^L \\ \psi_2^L\end{pmatrix} = \Psi_L\)
Heikon vuorovaikutuksen Lagrangen tiheyteen lisätään operaattori \(P_L\), jotta oikeakiraalinen kenttä poistuu
\(\mathcal{L}_W=i\bar\Psi\gamma_\mu (\partial^\mu-ig_wB^\mu\ P_L)\Psi - \frac{1}{4}Tr(B_{\mu\nu}B^{\mu\nu})\)
Oikeakiraalinen \(\Psi_R\) esitetään kahtena singlettinä (erilliset spinorit \(\psi_1\) ja \(\psi_2\)), jotka muuntuvat triviaalina \(SU(2)\)-esityksenä
\(\begin{align*}
\psi_1^R &\to 1\cdot\psi_1^R \\
\psi_2^R &\to 1\cdot\psi_2^R
\end{align*}\)
sillä ne eivät saa miksautua \(SU(2)\)-muunnoksessa. Dupletti ja singletti on lisättävä heikon vuorovaikutuksen Lagrangen tiheyteen esittämään vapaan Diracin kentän osuutta. Aiempi \(\mathcal{L}_{\text{QED}}\) sisältää myös vapaan Diracin termit, mutta pariteettirikko ei ole mukana, joten lokaali symmetria säilyy.
Heikkoon vuorovaikutukseen lisäys on tehtävä siten, että lokaali \(SU(2)\)-symmetria säilyy. Tämä onnistuu käyttämällä Yukawa-kytkentää, jossa skalaarikenttä \(\Phi\), dupletti \(\Psi\) ja singletti \(\psi\) yhdistyvät
\(\mathcal{L}_{\text{Yukawa}}=\mathcal{L}_{\text{Y}} + (\mathcal{L}_{\text{Y}})^\dagger\)
missä
\(\mathcal{L}_{Y}=-g_y(\bar\Psi_L\ \Phi\ \psi_2^R + \bar\psi_2^R\ \bar\Phi\ \Psi_L)\)
ja \(g_y\) on kytkinvakio. Tähän sijoitetaan dupletti \(\Psi_L\) ja skalaarikenttä
\(\Phi=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ v+\eta \end{pmatrix}\)
missä \(v+\eta\) tarkoittaa sitä, että \(\Phi\) ei ole perustilassa \(v\), vaan sen ympäristössä. 'Sombrero'-vertauskuvana \(\Phi\) on hiukan siirtynyt pois minimipotentiaalista. Kun \(\Psi_L\) ja \(\Phi\) sijoitetaan, saadaan
\(\begin{align*}
\mathcal{L}_Y&=-\frac{g_2(v+\eta)}{\sqrt{2}}(\bar\psi_2^L\ \psi_2^R + \bar\psi_2^R\ \psi_2^L)\\\\
&=-\frac{g_2(v+\eta)}{\sqrt{2}}\ \bar\psi_2\psi_2\\\\
&=-\frac{g_2\ v}{\sqrt{2}}\ \bar\psi_2\psi_2\ - \frac{g_2\ \eta}{\sqrt{2}} \bar\psi_2\psi_2
\end{align*}\)
missä dupletin \(\Psi_L\) ylempi spinori \(\psi_1\) on poistunut, ja jäljellä on vasen- ja oikeakiraaliset singletit \(\psi_2\). Singletit muuntuvat triviaalisti kuten pitääkin. Toinen rivi on saatu käyttämällä erästä spinorin identiteettiä. Kolmannella rivillä ensimmäinen termi on Diracin kentän massatermi, ja toinen termi on Diracin ja Higgsin kentän vuorovaikutus. Higgsin kenttä antaa spinorille \(\psi_2\) massan
\(m_2= \frac{g_2\ v}{\sqrt{2}}\)
\(\mathcal{L}_Y\) toteuttaa symmetriat \(U(1)\), \(SU(2)\) ja \(SO(1,3)\). Symmetria ei olisi toteutunut, jos olisi käsin lisätty massamatriisi \(m\), ja siihen ylemmän ja alemman spinorin eri suuruiset massat \(m_1\) ja \(m_2\). Higgsin kenttä poisti myös pariteettirikon aiheuttaman ongelman.
Toinen Yukawa-termi \((\mathcal{L}_{\text{Y}})^\dagger\) lasketaan käyttämällä varauskonjugoitua Higgsin duplettia
\(\Phi_c = C\Phi^* = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}v+\eta \\0 \end{pmatrix}\)
missä \(C\) on varauskonjugointimatriisi. Näin saadaan
\((\mathcal{L}_Y)^\dagger=-\frac{g_1\ v}{\sqrt{2}}\ \bar\psi_1\psi_1\ - \frac{g_1\ \eta}{\sqrt{2}} \bar\psi_1\psi_1\)
Massatermissä on spinorin \(\psi_1\) massa
\(m_1= \frac{g_1\ v}{\sqrt{2}}\).
Kvarkkien massat jätän sikseen, kun on tiivistämiseen liian hapokasta touhua. Mutta standardimalli on silti kaikessa karmeudessaan ja sekavuudessaan melko toimiva härveli, vaikka näyttää lähinnä hullujenhuoneen tuotokselta.
