Kyllä, tätä juuri haettiin. Bongasin tämän eräästä vanhasta kirjasta. Toki olen ennenkin laskenut jollain alkuehdoilla ratoja (ellipsejä tai 1D--harmoninen värähtelijä), mutta ihan yleinen ratkaisu on jäännyt pahemmin tutustumatta. Toki sun ratkaisusi on yhtä yleinen idealtaan.QS kirjoitti: ↑29 Elo 2023, 17:11Vaikuttaa hyvältä tehtävältä, koska muotoa \((\frac{d^2}{dt^2}+k^2)f = 0\) olevat yhtälöt eivät ole fysiikasta kadonneet, vaikka 1600-luvulta lähtien on liitua kulutettuDisputator kirjoitti: ↑27 Elo 2023, 22:01Laitetaan tälläinen edelliseen hieman liittyvä tehtävä, tässäkin toinen (aika)derivaatta on verrannollinen itse funktioon.
Kappale liikkuu xy-tasossa siten että siihen vaikuttaa voima, joka on verrannollinen etäisyyteen \( r =||\mathbf{r}||\), kun \(\mathbf{r}=(x,y)\) eli:
\(\frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2}=-4\mathbf{r}\).
Kaaava voidaan kirjoittaa komponenttimuodossa:
\(\frac{d^2 x}{dt^2}=-4x\)
\(\frac{d^2 y}{dt^2}=-4y\)
Määrättävä kappaleen rata.
Tehtävä on hieman työläs jos ottaa mielivaltaiset alkuehdot, mutta saa säätää alkuehtoja halutessaan. Ei saa (liikaa) luntata netistä, idea on se että olet 1600-luvun lopun tiedemies ja nyt olet ratkaisemassa planeetan rataa käyttäen pelkästään noita yhtälöitä. Tosin oikea planeetta noudattaa Newtonin painovoimalakia, eikä mun yhtälöä, mutta ei anneta sen asian häiritä. Plussaa saa siitä että ratkaisee tämän monella eri tavalla...
Tämä on eräs malli keskeisvoiman alaisena liikkuvalle planeetalle, jossa keskuskappale oletetaan liikkumattomaksi. Tämä ja Newtonin etäisyyden toiseen potenssiin heikkenevä keskeisvoima ovat kaksi potenssimuotoista vetovoimalakia \(F\sim r^n\), missä siis \( n=1, n=-2\) ovat erikoistapauksia jossain asiassa (missä?)
Joo, onhan vähän hassu tehtävä, mutta tavallaan ainakin minä tuosta olen tykännyt.
Antamiesi yhtälöiden ratkaisut (k=2) ovat
\(x = A \cos(2t) + B \sin(2t)\), ja
\(y = C \cos(2t) + D \sin(2t)\).
Alkuehtona asetan paikan vakioksi r(0) = ( x(0), y(0) ) = ( 0, 1 ), mutta vastaavat x'(0)=vx ja y'(0)=vy, jotta saan jotain muunneltavuutta, kun vx ja vy kulkeva mukana. Alkuehdoista ratkaisen \(A=0, B=\frac{v_{x}}{2}\), sekä \(C=1, D=\frac{v_{y}}{2}\).
Parametrimuodossa rata on
\(x = \frac{v_{x}}{2} \sin(2t),\)
\(y = \cos(2t) + \frac{v_{y}}{2} \sin(2t)\).
Kun sijoitan vaikkapa vx = -3 ja vy = 0, saan ellipsin, jonka x-akselin suuntainen puoliakseli on pidempi kuin y-akselin suuntainen. Identteettiä sin2(2t) + cos2(2t) = 1 hyödyntämällä saan tuon liikeradan esitettyä myös muodossa
\( \frac{x^2}{\frac{9}{4}} + \frac{y^2}{1} = 1\),
mikä on tosiaan ellipsi, jonka puoliakselien pituudet ovat 3/2 ja 1.
Kun sijoitan vx = -1, saan ympyrän
\(x^2 + y^2 = 1\).
Vielä erikoistapaus vx=0 ja vy=0, joka johtaa liikerataan
\(y = \cos(2t), x = 0\),
mikä on y-akselin suuntainen 1-dimensioinen harmoninen värähtelijä. Täysin yleinen ratkaisu lienee työläs, mutta alkuehtojen asettaminen tässä sallittiin.
Kirjani päätteli jotenkin näin (ihan yleinen tapaus alkuehtojen suhteen), ratkaisusi:
\(x = A \cos(2t) + B \sin(2t)\)
\(y = C \cos(2t) + D \sin(2t)\).
on yleinen ratkaisu, missä \(A,B,C,D\in\mathbb{R}\) integroimisvakioita. Nyt laskemalla näkee, että
\( (Cx-Ay)^2 + (Dx-By)^2 = (AD-BC)^2 \)
ja kirjani toteaa, että ellipsihän se selvästi on, jos \(AD-BC\neq 0\)
. No, onhan se joo, mutta piti tosiaan vähän kaivaa joku analyyttistä geometriaa käsittelevä kirja esiin ja katsoa, että mites nyt niin. Tuon kun sieventää, niin kyllä siitä tulee toisen asteen neliömuoto muuttujien \(x,y\) suhteen, joka on positiividefiniitti jne.
