Kiihtyvyyden merkitys kaksosparadoksissa

[QS]

Pohdiskelin asiaa vielä. Ymmärrän perusperiaateen ja sen mistä tulet. Mutta kysymyksiä on vielä. Minulla ei ole riittäviä matemaattisia tietoja ja taitoja tällä hetkellä että pystyisin järkevästi esittämään ajatustani. Saatika haastamaan esitystäsi. Pelkkä sanallinen muoto ei minusta tyydyttävästi riitäisi ja tekisi oikeutta keskustelulle tästä eteenpäin.

Euklidisessa tapauksessa matematiikka kertoo saman kuin arkijärki.

Kun kappaleen vakiokiihtyvyys on \(x''(t)=a\) (paikan toinen aikaderivaatta), niin nopeus (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on \(x'(t)=v(t) =\int x''(t)\ dt = \int a\ dt = at+C\). Tuossa \(C\) on integrointivakio, mikä on se arkijärjelläkin päätelty alkunopeus \(C=v_0\).

Paikka \(x(t)=\int x'(t)\ dt = \int (at+C)\ dt = \frac{1}{2} at^2+Ct+D\), missä \(D\) on toinen integrointivakio. Tämä on kappaleen lähtöpaikka kiihdytyksen alussa, mikä on helppo asettaa origoon, jolloin \(D=x_0=0\).

Kuljettu matka aikavälillä \(t = 0...T\) on \(\Delta s = \int_{0}^{T} x'(t)\ dt = \frac{1}{2}aT^2+CT\), missä \(C\) on alkunopeus. Matka \(\Delta s\) on riippumaton lähtöpaikasta \(D\), minkä voi järjelläkin päätellä. Fancysti ilmaistuna kyseessä on translaatiosymmetria tai suomalaisemmin siirtosymmetria.

Suhteellisuusteoriassa kellon mittaama kokonaisaika lasketaan samalla periaatteella, mutta lausekkeet eivät ole yhtä tutun näköisiä.

[Eusa]

Fysiikassa toiset derivaatat liittyvät moniin perusprosesseihin, kuten kiihtyvyyteen (nopeuden muutos) tai voimiin (potentiaalin muutokset), jotka kuvaavat dynaamisia muutoksia järjestelmissä.

Ensimmäinen derivaatta kuvaa yleensä jonkin suureen muutosta ajan tai paikan suhteen, kuten nopeutta, mutta toisen derivaatan kautta saadaan vasta esiin fysikaaliset vaikutukset, kuten kiihtyvyys ja vuorovaikutukset, jotka johtavat energian siirtymiseen, liikkeen muutoksiin ja muutenkin varsinaisesti fysikaalisiin ilmiöihin.

Esimerkiksi Newtonin toinen laki \( F = ma \) perustuu kiihtyvyyteen, joka on paikan toinen derivaatta ajan suhteen. Samoin Einsteinin kenttäyhtälöt yleisessä suhteellisuusteoriassa kuvaavat avaruusajan kaarevuutta ja niissä toiset derivaatat avaruusajan metriikasta ovat keskeisiä määrittämään gravitaation vaikutuksia.

Tuollaisissa yhteyksissä toiset derivaatat kuvaavat fysikaalisten prosessien vaikutuksia ja muutoksia, joten ilman niitä mitään konkreettista muutosta tai vuorovaikutusta ei voi katsoa tapahtuvan.

Fysikaaliset muutokset tarkoittavat kappalevalinnan muuttumista avoimessa systeemissä ja silloin vain toiset ja sitä syvemmät derivaatat voivat kuvata muuttuvaa kappaletta.

Avoimessa systeemissä kappale ei ole staattinen, vaan sen ominaisuudet voivat muuttua ajan myötä vuorovaikutusten seurauksena. Esimerkiksi, jos tarkastellaan hiukkasta avoimessa systeemissä, se voi menettää tai saada energiaa ja massaa, muuttaen siten sen liiketilan ja vuorovaikutukset ympäristön kanssa. Tällöin kappaleen sisältö oikeasti muuttuu, ja tämä muutos edellyttää kehittynyttä analyysia, kuten korkeampia derivaattoja.

Noiden korkeampien derivaattojen avulla voidaan kuvata, miten kappaleen vuorovaikutukset ulkoisen ympäristön kanssa muokkaavat sitä toiseksi ajan kuluessa. Kappaleen rajoja ja siten ominaisuuksiakaan ei voida pitää kiinteinä avoimessa systeemissä.

Lopuksi tarvitsee vain todeta, että kaksosparadoksissa vain avoimen systeemin osa voi palata takaisin siihen inertaalikoordinaatiston origoon, jonka on taakseen jättänyt.

[QS]

Fysiikassa toiset derivaatat liittyvät moniin perusprosesseihin, kuten kiihtyvyyteen (nopeuden muutos) tai voimiin (potentiaalin muutokset), jotka kuvaavat dynaamisia muutoksia järjestelmissä.

Ensimmäinen derivaatta kuvaa yleensä jonkin suureen muutosta ajan tai paikan suhteen, kuten nopeutta, mutta toisen derivaatan kautta saadaan vasta esiin fysikaaliset vaikutukset, kuten kiihtyvyys ja vuorovaikutukset, jotka johtavat energian siirtymiseen, liikkeen muutoksiin ja muutenkin varsinaisesti fysikaalisiin ilmiöihin.

Esimerkiksi Newtonin toinen laki \( F = ma \) perustuu kiihtyvyyteen, joka on paikan toinen derivaatta ajan suhteen. Samoin Einsteinin kenttäyhtälöt yleisessä suhteellisuusteoriassa kuvaavat avaruusajan kaarevuutta ja niissä toiset derivaatat avaruusajan metriikasta ovat keskeisiä määrittämään gravitaation vaikutuksia.

Tuollaisissa yhteyksissä toiset derivaatat kuvaavat fysikaalisten prosessien vaikutuksia ja muutoksia, joten ilman niitä mitään konkreettista muutosta tai vuorovaikutusta ei voi katsoa tapahtuvan.

Tässä en näe perustelua sille miksi mitattu ominaisaika olisi kiihtyvyyden funktio. Jos haluaa rinnastaa dynamiikkaan, niin mekaniikan säilyvät suureet (Noetherin varaukset) ovat nekin nopeuden funktioita.

On varmasti olemassa eksoottisia järjestelmiä, joissa Noetherin varauksessa esiintyy toinen aikaderivaatta, mutta niihin liittyy kiihtyviä koordinaatistoja, jossa asiaa tarkastellaan.

[Eusa]

Fysiikassa toiset derivaatat liittyvät moniin perusprosesseihin, kuten kiihtyvyyteen (nopeuden muutos) tai voimiin (potentiaalin muutokset), jotka kuvaavat dynaamisia muutoksia järjestelmissä.

Ensimmäinen derivaatta kuvaa yleensä jonkin suureen muutosta ajan tai paikan suhteen, kuten nopeutta, mutta toisen derivaatan kautta saadaan vasta esiin fysikaaliset vaikutukset, kuten kiihtyvyys ja vuorovaikutukset, jotka johtavat energian siirtymiseen, liikkeen muutoksiin ja muutenkin varsinaisesti fysikaalisiin ilmiöihin.

Esimerkiksi Newtonin toinen laki \( F = ma \) perustuu kiihtyvyyteen, joka on paikan toinen derivaatta ajan suhteen. Samoin Einsteinin kenttäyhtälöt yleisessä suhteellisuusteoriassa kuvaavat avaruusajan kaarevuutta ja niissä toiset derivaatat avaruusajan metriikasta ovat keskeisiä määrittämään gravitaation vaikutuksia.

Tuollaisissa yhteyksissä toiset derivaatat kuvaavat fysikaalisten prosessien vaikutuksia ja muutoksia, joten ilman niitä mitään konkreettista muutosta tai vuorovaikutusta ei voi katsoa tapahtuvan.

Tässä en näe perustelua sille miksi mitattu ominaisaika olisi kiihtyvyyden funktio. Jos haluaa rinnastaa dynamiikkaan, niin mekaniikan säilyvät suureet (Noetherin varaukset) ovat nekin nopeuden funktioita.

On varmasti olemassa eksoottisia järjestelmiä, joissa Noetherin varauksessa esiintyy toinen aikaderivaatta, mutta niihin liittyy kiihtyviä koordinaatistoja, jossa asiaa tarkastellaan.

Tiedät kehitteleväsi olkiukkoja.

Perusfunktio on 4-avaruuden erillisyys, intervalli, josta ilmiöille saadaan eriasteisia derivaattoja. Eräälle koordinaatistovalinnalle eli mittarille se projisoituu nopeutena, mutta energeettisiä fysikaalisia muutoksia ilmentävät derivaatat ovat 2. ja korkeampaa astetta.

Analysoi avointa ja suljettua systeemiä sekä nopeusfunktion projektiota mittariin silloin.

[QS]

Perusfunktio on 4-avaruuden erillisyys, intervalli, josta ilmiöille saadaan eriasteisia derivaattoja. Eräälle koordinaatistovalinnalle eli mittarille se projisoituu nopeutena, mutta energeettisiä fysikaalisia muutoksia ilmentävät derivaatat ovat 2. ja korkeampaa astetta.

Analysoi avointa ja suljettua systeemiä sekä nopeusfunktion projektiota mittariin silloin.

en ymmärtänyt tästä tekstistä oikeastaan yhtään kohtaa

[Kvarkkivalo]

Tätä voi käyttää perusteena sille, että kiihtyvästä koordinaatistosta tarkasteltuna ikääntymisero on kiihtyvyyden funktio, ei nopeuden.

Mitä tarkoitat tällä loppukaneetilla?

Minun käsittääkseni erilaisia asioita voidaan esittää erilaisten asioiden funktiona. Ja joskus niitä ei voida. Mutta se että jotain asiaa ei voida esittää matemaattisesti jonkun asian funktiona, ei mielestäni vielä itsessään todista fysiikan puolelta mitään.

Esimerkiksi se, että pelkällä kiihtyvyydellä ei voida yksiselitteisesti määrittää ja esim. piirtää funktiota ajoneuvon sijainnista, ei tarkoita että kiihtyvyys olisi jotenkin ilmiönä merkityksettömämpi, kuin kiihtyvyyden avulla laskettu hetkellinen tai laskennallinen keskinopeus.

Emmekä voi suinkaan heivata kiihtyvyyttä merkityksettömänä etenemän kannalta vain sen takia, että alkunopeus voi olla mitä vain. Erityisesti kun alkunopeus itsessään voi jo olla seurausta kiihtyvyydestä.

[QS]

Tätä voi käyttää perusteena sille, että kiihtyvästä koordinaatistosta tarkasteltuna ikääntymisero on kiihtyvyyden funktio, ei nopeuden.

Mitä tarkoitat tällä loppukaneetilla?

Ei se ollut loppukaneetti. Sen sijaan lause sen jälkeen oli: "Mutta onko tämä esittämäni näkemys sittenkin vain silmänkääntötemppu ? "

Ketjun parilla seuraavalla sivulla käy ilmi, että on silmänkääntötemppu.

[Eusa]

Perusfunktio on 4-avaruuden erillisyys, intervalli, josta ilmiöille saadaan eriasteisia derivaattoja. Eräälle koordinaatistovalinnalle eli mittarille se projisoituu nopeutena, mutta energeettisiä fysikaalisia muutoksia ilmentävät derivaatat ovat 2. ja korkeampaa astetta.

Analysoi avointa ja suljettua systeemiä sekä nopeusfunktion projektiota mittariin silloin.

en ymmärtänyt tästä tekstistä oikeastaan yhtään kohtaa

Tuskinpa haluatkaan ymmärtää.

[Kvarkkivalo]

Tätä voi käyttää perusteena sille, että kiihtyvästä koordinaatistosta tarkasteltuna ikääntymisero on kiihtyvyyden funktio, ei nopeuden.

Mitä tarkoitat tällä loppukaneetilla?

Ei se ollut loppukaneetti. Sen sijaan lause sen jälkeen oli: "Mutta onko tämä esittämäni näkemys sittenkin vain silmänkääntötemppu ? "

Ketjun parilla seuraavalla sivulla käy ilmi, että on silmänkääntötemppu.

Niinpä näkyy. Taisin hakea virvokkeen tuossa kohdassa ja unohdin jatkaa loppuun. Erehdyin myös matkalla mielestäni ajattelemaan jotain. Kuulokkeissakin oli podcast jossa puhutiin Pirkkalan-monisteesta.
Jälkeenpäin ajateltuna ihme että pysyin noinkin lähellä aihetta.

Jouduin muuten googlettamaan onko virallinen muoto "virvoke" vai "virvoike". Ja huomasin että itseasiassa on olemassa "virvoke" ja "virvoitusjuoma".

Tuo i:n ilmestyminen tähän väliin hämmentää jotenkin.

[Eusa]

Yritetäänkö kuitenkin avata...

Tarkastellaan gravitaatiokentän erästä pallokuorigradienttia, jossa gravitaatio näyttää pudottavan kappaleita kiihtyvyydellä g. Olkoon kuorella differentiaalinen paksuus nopeusmääritteisenä. Silloin se sisältää kaikki 4 aika-avaruuden vapausastetta.

Perusfunktio gradienttikuorella on invariantit 4-intervallit, joiden tulee olla hyvässä järjestyksessä.

Kiihtyvyyden g on suhtauduttava gradientin läpi putoavaan tilavuuteen niin, että tulo saa 4-ulotteisen metriikan.

\[
1/g \propto {dV}
\]
Tarkistetaan dimensio: s²/m × m³ = s² m² on 4-ulotteinen.

Aika-avaruuden kaarevuus voidaan kuvata nosteisena tyhjöä itseiskiihdyttävänä prosessina, joka pudotuttaa gravitaation. Silloin gradientin sisältä ainekenttä kuluttaa energiaa itseiskiihtyvyyteen g suorassa suhteessa kuten voiman lausekkeessa kiihtyvyys × massa.

\[
g \propto {dE}
\]
Yhdistetään tiedot.

\[\frac{G}{g^2} = \kappa \frac{dV}{dE}\]
Missä \(\kappa\) on mittakaavakerroin.

Näin löydettiin gravitaatiovakio G ja kaarevan aika-avaruuden dynamiikka, jossa ainekenttä käyttää energiaa itseiskiihtyvyyksiin, minkä vastikkeeksi putoaa tilavuutta purkaen aika-avaruuden potentiaalia niin, ettei ainerakenne häiriinny eikä kulu.

Energiavuo tarkoittaa entropiaa eli gradienttikuoren sisällön kaikkien mikrotilajärjestysten lukumäärää korreloiden arvoon g. Tunnetusti entropia lisääntyy. Koska staattisessa gravitaatiossa g säilyy eräällä vakiokokoisella pallokuorella, lisääntyvä entropia leviää ja vaikuttaa kaikkeuden yleisen laajenemisen.

Tämän sormiharjoituksen tarkoitus on valottaa sitä, kuinka aika-avaruus on hyvinkin dynaaminen näennäisestä tyhjyydestään ja rauhallisuudestaan huolimatta ja että tasaiset nopeudet ja inertiaalikoordinaatistot ovat suljettujen systeemien ideaaleja ilman kosketusta todellisuuteen.