Mittakenttäteoriaa, pääsäiekimput ym. settiä

[QS]

...
Käytin yllä ryhmän \(S^1\times SU(2)\) ja \(S^1\) määritteleviä lausekkeita sellaisenaan, mutta tuota ylläolevaa laskua voi hieman yleistää, käyttämällä ryhmien esitysteoriaa, siten että tuo matriisi a onkin ryhmän \(S^1\times SU(2)\) redusoitumaton esitys ja 1x1-matriisi b on ryhmän \(S^1\) redusoitumaton esity. Tämä tuo mukanaan kvanttiluvut Y ja \(T_3\), kuten jo uudemmassa viestissäsi kirjoitit. Kolmas kvanttiluku Q määräytyy fysiikasta, joten Y ja \(T_3\) eivät ole aivan mielivaltaisia

Kirjani kaavassa ei tarkastella ollenkaan SU(2) osaa, vaan 2x2-matriisi a on ryhmän \(S^1\) esitys ja b on saman ryhmän 1x1-matriisiesitys.

Matriisin a diagonaalikomponentit ovat redusoitumattomia esityksia \(e^{-i\beta/2}\) ja 1x1-matriisi b on myös \(S^1\):n redusoitumaton esitys \(e^{-i\beta}\) missä tuo eksponentti on annettu (heikon)hypervarauksen Y avulla eli \(e^{\frac{i}{2}Y\beta}\). Kvanttiluku Y luokittelee siis ryhmän \(S^1\) redusoitumattomat esitykset. Vasenkiraalilla elektronilla ja neutriinolla on Y=-1 ja oikeakiraalilla elektronilla Y=-2. (edit: korjattu luvut)
$$
g\cdot\psi
=\begin{bmatrix}
e^{-i\beta/2} & 0 & 0 \\
0 & e^{-i\beta/2}& 0 \\
0 & 0 &e^{-i\beta}& \\
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
e_L \\
(\nu_e)_L \\
e_R \\
\end{pmatrix}
$$






 

 

Korjaan tässä omia virheitä ja jotain kommenttia, kirjoitin:

Matriisin a diagonaalikomponentit ovat redusoitumattomia esityksia \(e^{-i\beta/2}\) ja 1x1-matriisi b on myös \(S^1\):n redusoitumaton esitys \(e^{-i\beta}\) missä tuo eksponentti on annettu (heikon)hypervarauksen Y avulla eli \(e^{\frac{i}{2}Y\beta}\).

Tuo lauseke \(e^{-i\beta/2}\) ei ole esitys ryhmäteorian mielessä ollenkaan, jos tuo parametri \(\beta\) tulkitaan kulmaksi \(\beta(x)\in [0,2\pi)\) tai lokaalimmin \(\beta(x)\in [0,2\pi)\) , siis esitys \(\Pi\) veisi \(S^1\):n alkion \(e^{i\beta}\) alkiolle \(e^{-i\beta/2}\). Viimeksimainittu on 1x1-matriisi.

Hmm,en osaa nyt sanoa, tuossa kaavassa on fysiikkaa ja matikkaa sekaisin.

Nyt ei kerkeä enempää, täytyy palata tähänkin myöhemmin.

Kirjoittamasi herätti mut ymmärtämään taas jotain. Tämä nimittäin yhdistyy sopivasti siihen, miten sähköheikon teorian kentät ja muunnokset yleensä opetetaan ja esitetään helpolla tavalla (ei Weinbergin tavalla). Tyypillisesti Lagrangeen on kirjoitettu esimerkiksi vasenkiraalinen leptoni-termi
$$\mathcal{L}^L = \left(\bar \nu_L, \bar e_L \right)\left[i\gamma^\mu\left(\mathbb{I}_{2x2}\ \partial_\mu - ig \frac{\sigma^i}{2}A^i_\mu-ig'\frac{Y}{2} B_\mu\ \mathbb{I}_{2x2}\right)\right] \begin{pmatrix} \nu_L \\ e_L \end{pmatrix}$$
missä elektronin neutriino \(\nu_L\) ja elektoroni \(e_L\) ovat 2-komponenttisena esityksenä \((\nu_L,e_L)^T\). Tämä on siis kahden kompleksiluvun pystyvektori, jonka komponentit ovat Weylin spinorin vasenkiraaliset komponentit. Suluissa on vasenkiraalisten kenttien kovariantti derivaatta
$$D_\mu^L=\mathbb{I}_{2x2}\ \partial_\mu - ig \frac{\sigma^i}{2}A^i_\mu-ig'\frac{Y}{2} B_\mu\ \mathbb{I}_{2x2}$$
Tämä 2x2-matriisi toimii komponentteihin \(\nu_L\) ja \(e_L\). Lokaalit mittamuunnokset voidaan kirjoittaa
$$\begin{align*}
\exp[a(x)\ \frac{i}{2}\sigma^i] &\in SU(2)_L\\
\exp[\beta(x)\ \frac{i}{2}Y] &\in U(1)_L
\end{align*}$$
missä alaindeksi L ilmaisee, että kyseessä vasenkiraalinen muunnosryhmä. Hiukkastyyppien hypervaraus on \(Y=Y_{e_L}=Y_{\nu_{eL}}=-1\).

Tuo \(D_\mu^L\) voidaan kirjoittaa 2x2-matriisina
$$D_\mu^L=\begin{pmatrix}
\partial_\mu-ig'\frac{Y}{2}B_\mu-i\frac{g}{2}A_\mu^3 & -i\frac{g}{2}(A_\mu^1-iA_\mu^2) \\
-i\frac{g}{2}(A_\mu^1+iA_\mu^2) & \partial_\mu-ig'\frac{Y}{2}B_\mu+i\frac{g}{2}A_\mu^3
\end{pmatrix}$$
\(A^i\) ja \(B\) ovat aiemmin mainitut neljä mittakenttää. Kun tämä sijoitetaan, niin \(\mathcal{L}^L\) sisältää termejä, jotka ovat muotoa
$$\mathcal{L}^L \sim \bar\nu_L(...)\nu_L + \bar\nu_L(...)e_L + \bar e_L(...)\nu_L+\bar e_L(...)e_L$$
Matriisi tekee siis sen, mitä tehtäväksi on annettu. Lagrangen oikeakiraaliset termit ovat tyypillisesti muotoa
$$\mathcal{L}^R = \bar e_R\left[i\gamma^\mu\left(\partial_\mu - ig'\frac{Y^R}{2} B_\mu\right)\right]e_R$$
missä mukana vain 1-komponenttinen kompleksiluku \(e_R\), joka on Weylin spinorin oikeakiraalinen komponentti, ja siis skalaari. Hypervaraus \(Y^R=-2\), mikä poikkeaa vasenkiraalisten vastaavasta. Tässä nyt lokaali mittamuunnos on
$$\exp[\beta(x)\ \frac{i}{2}Y^R] \in U(1)_R$$
missä R esittää oikeakiraalista mittamuunnosta. Koko Lagrangen tapauksessa mainitaan usein \(U(1)_Y\), mikä viittaa vasen- ja oikeakiraalisten eri hypervaraukseen. Termit \(\mathcal{L}^L\) ja \(\mathcal{L}^R\) kirjoitetaan erikseen siten, että leptoni-termit ovat (vain osa tässä, esimerkkinä neutriino ja elektroni)
$$\begin{align*}
\mathcal{L_e} &= \mathcal{L}^L+ \mathcal{L}^R\\
&= \left(\bar \nu_L, \bar e_L \right)i\gamma^\mu\ D_\mu^L \begin{pmatrix} \nu_L \\ e_L \end{pmatrix}
\ +\ \bar e_R\ i\gamma^\mu D_\mu^R\ e_R
\end{align*}$$
missä on tavallaan väkivalloin irrotettu vasen- ja oikeakiraaliset komponentit eri termeihin, eri kovariantilla derivaatalla, ja eri muunnosryhmillä. Tämä irrotus on tehty projektioilla \(P_L\) ja \(P_R\), mutta kun mutkat on suoriksi laitettu, niin niitä ei mainita. Alkuperäiset 4-komponenttiset spinorit on kai tavallaan projektoitu spinorien kahdeksi eri aliavaruudeksi, joiden dimensio on 2 (vasen dupletti) ja 1 (oikea singletti).

Jos ei irrotettaisi, niin tulisi vastaan sun viestin tilanne, jossa ryhmien \(U(1)_L\) ja \(U(1)_R\) esityksiä on vaikea pitää erillään.

Tässä 'helpossa' Lagrangessa näkyy myös se, että oikeakiraalinen \(e_R\) muuntuu \(SU(2)_L\) -muunnoksessa "skalaarina". Tavallaan kai kyllä, mutta \(e_R\) ei itse asiassa edes ole \(SU(2)\)-muunnoksen kohteena, sillä termissä \(\mathcal{L}^R\) ja kovariantissa derivaatassa \(D_\mu^R\) ei ole ryhmän \(SU(2)\) generaattoria.

Näin ajateltuna R-komponentti ei muunnu edes skalaarina. Paremminkin \(SU(2)_R\) -muunnosta ei ole olemassa.

Weinberg rakentaa Lagrangen huomattavasti elegantimmin, mutta ei ole vielä ollut aikaa purkaa hänen salakieltään kokonaan. Teen sen jossain vaiheessa.

[QS]

...Weinbergissä ne ovat siinä Lie kyseiseen tilanteeseen sopivan algebran määrittelyssä...

Osuvasti muotoiltu. Weinbergin ryhmien suora tulo on periaatteellisesti selkeän oloinen, mutta en ole lainkaan varma mitä pitäisi kirjoittaa isomorfismin \(\text{Lie}[SU(2)_L \times U(1)_Y] \cong \mathcal{su}_L(2) \oplus\Upsilon\) kohtaan \(\Upsilon\), mikä symboloi trooppista palmupuuta tai Weinbergin esoteerista y:tä, ja jonka ehkä voisi korvata jollain tavalliselle tollolle (kuten minä) tutummalla algebralla.

[Disputator]

Weinbergilaista iltapäivää. Eli olen aamun laskenut noita Weinbergin Lie-algebra notaatioita eri konkreettisilla tavoilla. Siis yritin arvailla mitä ne tarkoittavat ja laskea koneella sitten erilaisia kommutaattoreita ym. Ei onnistunut.

Tuo esittämäsi Lagrange-formalismi vaikuttaa ihan järkeenkäyvältä ja se vastaa suurinpiirtein kirjani esitystä ja sen suurinpiirtein ymmärrän, mutta vieläkin kaikertaa tuo Weinbergin notaatio.

Kun tässä ketjussa tuli esille tuo \(SU(2)\times U(1)\)-mittaryhmä, niin etsiskelin yhdestä jos toisestakin opuksesta tietoa tuon Lie-algebralle: No se on toki \(h = su(2)\oplus\mathbb{R} \) reaalisena Lie-algebrana.

Käänteisenä kysymyksenä voisi olla se, että on löydettävä ne Lien ryhmät G, joilla on tuo Lien algebra h. Osoittautuu, että ne ovat:

- Tuloryhmä \(SU(2)\times \mathbb{R}\). Tämä on myös kvaternioryhmä \(\mathbb{H}^*\) eli nollasta poikeavat kvaterniot \(q\in\mathbb{H}\), q\(\not= 0\). Komealta haiskahtavasta nimestä huolimatta nämä voidaan konstruoida 2x2-kompleksimatriiseina käyttäen apuna Paulin matriiseita.

-Tuloryhmä \(SU(2)\times U(1)\). Tämäkin voidaan konstruoida Paulin matriisien avulla.
-Tuloryhmä \(SO(3)\times U(1)\).
-Tuloryhmä \(SO(3)\times \mathbb{R}\).
-Unitaarinen ryhmä \(U(2)\). Tämä myös voidaan konstruoida Paulin matriisien avulla.

Kirjani on yli 50 vuotta vanha ja notaation suhteen vanhahtava ja se soveltajalle tarkoitettu, joten se päättely siinä ei ole aukotonta. Mutta nuo viisi Lien ryhmää siinä ovat. Nuo ryhmät eivät ole keskenään isomorfisia, joten ne ovat aidosti eri (Lien) ryhmiä. Myöskään topologisesti eivät kaikki ole keskenään homeomorfisia.

Fyysikot haluavat monesti ryhmien olevan kompakteja ja noista \(SU(2)\times U(1),SO(3)\times U(1)\) ja \(U(2)\) ovat kompakteja.

Mun mielestä erityisen kiintoisa vertailu voidaan tehdä ryhmän \(SU(2)\times U(1)\) ja ryhmän \(U(2)\) välillä. Jos nyt en ole aivan väärässä, niin jokainen \(g\in SU(2)\times U(1)\) voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa:
$$g = u e^{i\beta}$$
missä \(\beta\in [0,2\pi)\) ja \(u\in SU(2)\). Samaan tapaan jokainen \(g\in U(2)\) voidaan esittää muodossa:
$$u e^{i\beta/2}$$
missä edelleen \(\beta\in [0,2\pi)\) ja \(u\in SU(2)\).

Tuossa tuo eksponentin vaihtuminen \(i\beta\to i\beta/2\) vaikuttaa aivan harmittomalta, mutta se tosiaankin muuttaa tuon ryhmän tyyppiä. Fysiikassa monesti tuollaiset erot kuitataan vain jonkinlaisina vaihemuunnoksina ja voidaan määritellä uusi parametri eksponentiin, esimerkiksi \(\beta' = \beta/2\) ja ongelma häviää...

Äärimmäisen tärkeä EDIT:

Vaikka jokainen \(g\in U(2)\) voidaan esittää muodossa \(u e^{i\beta/2}\), tuollaisten alkioiden tulo ei ole tavallinen matriisitulo, koska jos niin olisi, palautuisi tulo kuitenkin ryhmän \(SU(2)\times U(1)\) matriisituloksi. Muistin nimittäin tämän juuri äsken ja eräs kirjani toteaa (ilman laskuja), että \(U(2)\) on puolisuora tulo ryhmistä \(SU(2)\) ja \(U(1)\) eli jotain tyyliin:

\(U(2)= SU(2)\ltimes U(1).\)

siis samaan tapaan kuin Poincare-ryhmän määrittelyissä. Mun täytyy pohtia tämä uudestaan, sillä kirja josta nuo 5 Lien ryhmää löysin ei huomioi tuota puolisuoratulo-juttua ollenkaan.

EDIT päättyy.

Yksi sellainen notaatiohässäkkä on tässä vaarana. Mun kirjani merkitsee noista neljää ensimmäistä (reaalisena) tensorituloina:

\(SU(2)\otimes U(1)\)
\(SU(2)\otimes U(1)\)
\(SO(3)\otimes U(1)\)
\(SO(3)\otimes \mathbb{R}\)

Nuo ovat formaalisti oikein ja tässä ei tensoritulolla ja tavallisella tulolla ole eroa (toinen tensoritulon komponentti 1-ulotteinen). Yleensä ryhmille ei ole määritelty tensorituloa (lukuunottamatta ehkä jotain abstrakteja viritelmiä), mutta tässä tapauksessa ne on määritelty koska matriisien tensoritulo on määritelty ja nuo kaikki tensoritulon kompomentit ovat matriiseja, 2x2- tai 1x1-matriiseja.

[QS]

Weinbergilaista iltapäivää. Eli olen aamun laskenut noita Weinbergin Lie-algebra notaatioita eri konkreettisilla tavoilla. Siis yritin arvailla mitä ne tarkoittavat ja laskea koneella sitten erilaisia kommutaattoreita ym. Ei onnistunut.

Olen ollut samoissa harrastuksissa . Tutkin toiste edellisen viestisi sisällön, mutta inspiroiduin aiemmasta viestistäsi takaisin Weinbergin pariin:

... vektori \(\vec{v}\in\mathbb{R}^8\) voidaan esittää yksikäsitteisesti summana:
$$\vec{v}=\vec{v_1}+\vec{v_2}+\vec{v_3}+\vec{v_4}$$
missä \(\vec{v}_i\in V_i\) ovat vektoreita. Tämä vektori \(\vec{v}\) voidaan esittää muodollisena pystyvektorina:
$$\vec{v}=\begin{pmatrix}
\vec{v_1}\\
\vec{v_2} \\
\vec{v_3}\\
\vec{v_4} \\
\end{pmatrix}$$
Huomattavaa on se, että "pystyvektorin" komponentit ovat vektoreita, eivät skalaareita.

Tuohon 4 vektorin "pystyvektoriin" voidaan operoida esimerkiksi SO(4) matriisilla R:

$$\begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12} & r_{13} & r_{14}\\
r_{21} &r_{22} & r_{23} & r_{24}\\
r_{31} & r_{32} &r_{33} & r_{34}\\
r_{41} & r_{42} & r_{43} & r_{44}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec{v_1}\\
\vec{v_2} \\
\vec{v_3}\\
\vec{v_4} \\
\end{pmatrix}$$

tai kahdella eri SO(2) matriisilla, ensimmäinen vasemmassa yläkulmassa ja toinen oikeassa alakulmassa:
$$\begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12} & 0 & 0\\
r_{21} &r_{22} & 0 & 0\\
0 & 0 &r_{33} & r_{34}\\
0 & 0 & r_{43} & r_{44}
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
\vec{v_1}\\
\vec{v_2} \\
\vec{v_3}\\
\vec{v_4} \\
\end{pmatrix}$$.

Kummassakin tapauksessa matriisi operoi vektoreihin, ei skalaareihin,

Koetin selvittää hänen notaatiotaan, ja laskin matriiseja. Esimerkiksi \(\gamma_5\) ja \(P_L\) ovat

\(\gamma_5 = \begin{pmatrix}
\mathbb{I}_2 & 0 \\
0 & -\mathbb{I}_2
\end{pmatrix},\quad
P_L = \frac{1}{2}(\mathbb{I}_4 + \gamma_5)=\begin{pmatrix}
\mathbb{I}_2 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\)

ja muut Diracin matriisit

\(\gamma^0=-i\begin{pmatrix}
0 & \mathbb{I}_2 \\
\mathbb{I}_2 & 0
\end{pmatrix}, \quad
\gamma^i=-i\begin{pmatrix}
0 & \sigma_i \\
-\sigma_i & 0
\end{pmatrix}\)

missä \(\sigma_i\) ovat Paulin 2x2-matriisit standardissa muodossaan. Ryhmän \(SU(2)_L\) generaattori \(\vec t\) on

\(\begin{align*}
\vec t &= (t_{1L},\ t_{2L},\ t_{3L})\\ \\
&=\frac{g}{4}(\mathbb{I}_4+\gamma_5)\left\{
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & -i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\right\} \\ \\
&=
\left\{
\begin{pmatrix}
0 & \frac{g}{2} & 0 & 0 \\
\frac{g}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & - \frac{i g}{2} & 0 & 0 \\
\frac{i g}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
\frac{g}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{g}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\right\}
\end{align*}\)

missä detaljina se, että toisella rivillä näkyvät matriisit ovat kirjassa 2x2-matriiseina. Tulkitsin ne 4x4-lohkomatriiseiksi, joissa vasen yläkulma ja oikea alakulma kirjan mukaisilla 2x2-matriiseilla. Projektio \(\frac{1}{2}(1+\gamma_5)\) asettaa matriisien 2 alinta riviä nolliksi, mikä on tarkoituskin, kun kyseessä vasenkiraalisiin toimiva ryhmä \(SU(2)_L\).

Ryhmän \(U(1)_Y\) generaattorille laskin matriisin

\(\begin{align*}
y&=g'\left[\left(\frac{\mathbb{I}_4+\gamma_5}{4}\right)\mathbb{I}_4 + \left(\frac{\mathbb{I}_4-\gamma_5}{2}\right) \right] \\ \\
&=
\begin{pmatrix}
\frac{g'}{2} & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{g'}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & g' & 0 \\
0 & 0 & 0 & g' \\
\end{pmatrix}
\end{align*}\)

Weinberg kirjoittaa vuorovaikutustermin leptoneille ja mittakentille

$$i\mathcal{L'}_{e} = -
\overline{
\begin{pmatrix}
\nu_e \\ e
\end{pmatrix}
}

\big[\sum_{\alpha} \not\! A_\alpha t_\alpha\big]

\begin{pmatrix}
\nu_e \\ e
\end{pmatrix}$$

Tämä on niin tiivis, että tuskin tiiviimmäksi voi tehdä. Käsittääkseni \(\alpha=\{1,2,3,4\}\), ja summa käy läpi kolme t-generaattoria ja yhden y-generaattorin. Seuraavalla rivillä tuo on laskettu auki

\(\begin{align*}
i\mathcal{L'}_{e} &=
-\overline{
\begin{pmatrix}
\nu_e \\ e
\end{pmatrix}
}

\bigg[\frac{1}{\sqrt{2}}\not\! W (t_{1L}-it_{2L})
+ \frac{1}{\sqrt{2}}\not\! W^* (t_{1L}+it_{2L})\\
&+ \not\! Z (t_{3L}\cos\theta+y\sin\theta)+\not\! A(-t_{3L}\sin\theta+y\cos\theta)\bigg]

\begin{pmatrix}
\nu_e \\ e
\end{pmatrix}
\end{align*}\)

Nämä ovat suoraan kirjan notaatiolla. Toisella rivillä on Weinbergin kulmaksi kutsuttu parametri \(\theta \in \mathbb{R}\), joka liittyy muun muassa siihen, että sähkövaraus-matriisi voidaan kirjoittaa

\(q=-\sin\theta t_3 + \cos\theta y\)

missä \(g=-e/\sin\theta\) ja \(g'=-e/\cos\theta\). Laskin tuon, ja se on

\(q\ =\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -e & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -e & 0 \\0 & 0 & 0 & -e \end{pmatrix}\)

mikä on sama kuin matriisi \(q\ =\ \frac{e}{g}t_3-\frac{e}{g'}y\).

Auki lasketussa slash-notaatio tarkoittaa 4x4-matriiseja, esimerkiksi \(\not\! W = \gamma^\mu W_\mu\). Nämä siis muodostettu 4-komponenttisista mittakentistä \(W^\mu\), \(W^{\mu*}\), \(A^\mu\), \(Z^\mu\).

Pystyvektori on tuossa auki lasketussa ikään kuin 2-komponenttinen, mutta matriisit ovat 4x4. Tuon voisi ajatella siten, että \(\nu_e\) ja \(e\) ovat 2-komponenttiset Weylin spinorit, joista muodostettu 4-komponenttinen pystyvektori. Mutta tämä ajatus ei toimi, sillä oikea- ja vasenkiraaliset komponentit olisivat väärissä paikoissa pystyvektorissa.

Toinen vaihtoehto on tulkita 4x4-matriisit siten, että ovat 2x2-lohkomatriiseja. Huomasin kuitenkin, että esim kirjan alkuperäisillä 2x2-matriiseilla \((t_{1L}-it_{2L})\) on nollamatriisi. Tämä ajatus ei siis ainakaan toimi. Eikä voikaan oikeastaan toimia, sillä jos poistan 2x2 matriisista (\(\mathfrak{su}(2)\) -matriisista) alarivin käyttämällä 2x2-projektio-operaattoria, ei se ole enää \(\mathfrak{su}(2)\)-matriisi. Onko lie mikään.

Kirjan seuraavalla rivillä on laskettu auki lisää (kokeilen jossain välissä, että saanko itse saman tuloksen kuin kirjassa). Tuloksessa on kytkinvakioiden \(g\) ja \(g'\) yhdistelmiä sekä alkeisvaraus \(\textbf{e}\). Luettavuuden nimissä muokkasin siten, että kytkinvakioiden eräät lausekkeet ovat kertoimina \(G_1\) ja \(G_2\)

\(\begin{align*}
i\mathcal{L'}_{e} &=
\frac{g}{\sqrt{2}}
\bigg( \bar e \not\! W \left(\frac{1+\gamma_5}{2}\right) \nu_e \bigg)\\\\
&+
\frac{g}{\sqrt{2}}
\bigg( \bar \nu_e \not\! W^* \left(\frac{1+\gamma_5}{2}\right) e \bigg)\\\\
&-
G_1\bigg( \bar \nu_e \not\! Z \left(\frac{1+\gamma_5}{2}\right) \nu_e \bigg)\\\\
&+
G_2\bigg( \bar e \not\! Z \left(\frac{1+\gamma_5}{2}\right) e \bigg)\\\\
&+
g'\bigg( \bar e \not\! Z \left(\frac{1-\gamma_5}{2}\right) e \bigg)\\\\
&-
\textbf{e}(\bar e \not\! A\ e)
\end{align*}\)

Neljässä ensimmäisessä termissä on projektio \(P_L\), viidennessä projektio \(P_R\), ja viimeisessä ei kumpaakaan.

Tässä välivaiheessa kenttien \(\nu_e\) ja \(e\) on oltava 4-komponenttiset bispinorit \(\nu_e=(\nu_{eL}^1,\nu_{eL}^2,0,0)^T\) ja \(e=(e_L^1,e_L^2,e_R^1,e_R^2)^T\), missä neutriinon oikeakiraaliset komponentit asetettu nollaksi fysiikkaan perustuen.

Nämä kaksi spinoria olivat aiemmin pystyvektorina \((\nu_e,e)^T\). Periaatteessa siis 8 komponenttia, mutta kuten sullakin, "pystyvektorin" komponentteja on kaksi, ja ne ovat spinoreita, eivät skalaareita.

Aiemman 2-komponenttisen "pystyvektorin" spinorit on tässä siirretty matriisien molemmin puolin. Nyt ne ovat siis aidot 4-komponenttiset bispinorit \(e\),\(\bar e\), \(\nu_e\) ja \(\bar \nu_e\).

Jos tämän oikein ymmärsin, niin nyt voin kohdistaa projektiot spinoreihin (tätä ei Weinbergin kirjassa ole tehty, joten oikeellisuus-varoitus)

\(\begin{align*}
i\mathcal{L'}_{e} &=
\frac{g}{\sqrt{2}}
\bigg( \bar e_L \not\! W\ \nu_{eL} \bigg)\\\\
&+
\frac{g}{\sqrt{2}}
\bigg( \bar \nu_{eL} \not\! W^*\ e_L \bigg)\\\\
&-
G_1\bigg( \bar \nu_{eL} \not\! Z\ \nu_{eL} \bigg)\\\\
&+
G_2\bigg( \bar e_L \not\! Z\ e_L \bigg)\\\\
&+
g'\bigg( \bar e_R \not\! Z\ e_R \bigg)\\\\
&-
\textbf{e}(\bar e \not\! A\ e)
\end{align*}\)

Viimeinen termi on sähkömagneettinen kytkentä. Neljä ensimmäistä termiä miksaavat vasenkiraalisia komponentteja. Viidennessä termissä Z kytkeytyy elektronin oikeakiraalisiin komponentteihin.

Varsin erikoisten generaattorien \(\vec t\) ja \(y\) sisältämät projektiot asettavat noiden bispinorien komponentit oikeille paikoilleen, mikä on mielestäni varsin elegantisti tehty.

Näin tämä kai menee à la Weinberg.

[QS]

Kun tässä ketjussa tuli esille tuo \(SU(2)\times U(1)\)-mittaryhmä, niin etsiskelin yhdestä jos toisestakin opuksesta tietoa tuon Lie-algebralle: No se on toki \(h = su(2)\oplus\mathbb{R} \) reaalisena Lie-algebrana.

Käänteisenä kysymyksenä voisi olla se, että on löydettävä ne Lien ryhmät G, joilla on tuo Lien algebra h. Osoittautuu, että ne ovat:

- Tuloryhmä \(SU(2)\times \mathbb{R}\). Tämä on myös kvaternioryhmä \(\mathbb{H}^*\) eli nollasta poikeavat kvaterniot \(q\in\mathbb{H}\), q\(\not= 0\). Komealta haiskahtavasta nimestä huolimatta nämä voidaan konstruoida 2x2-kompleksimatriiseina käyttäen apuna Paulin matriiseita.

-Tuloryhmä \(SU(2)\times U(1)\). Tämäkin voidaan konstruoida Paulin matriisien avulla.
-Tuloryhmä \(SO(3)\times U(1)\).
-Tuloryhmä \(SO(3)\times \mathbb{R}\).
-Unitaarinen ryhmä \(U(2)\). Tämä myös voidaan konstruoida Paulin matriisien avulla.

Kirjani on yli 50 vuotta vanha ja notaation suhteen vanhahtava ja se soveltajalle tarkoitettu, joten se päättely siinä ei ole aukotonta. Mutta nuo viisi Lien ryhmää siinä ovat. Nuo ryhmät eivät ole keskenään isomorfisia, joten ne ovat aidosti eri (Lien) ryhmiä. Myöskään topologisesti eivät kaikki ole keskenään homeomorfisia.

Fyysikot haluavat monesti ryhmien olevan kompakteja ja noista \(SU(2)\times U(1),SO(3)\times U(1)\) ja \(U(2)\) ovat kompakteja.

Mun mielestä erityisen kiintoisa vertailu voidaan tehdä ryhmän \(SU(2)\times U(1)\) ja ryhmän \(U(2)\) välillä. Jos nyt en ole aivan väärässä, niin jokainen \(g\in SU(2)\times U(1)\) voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa:
$$g = u e^{i\beta}$$
missä \(\beta\in [0,2\pi)\) ja \(u\in SU(2)\). Samaan tapaan jokainen \(g\in U(2)\) voidaan esittää muodossa:
$$u e^{i\beta/2}$$
missä edelleen \(\beta\in [0,2\pi)\) ja \(u\in SU(2)\).

Tuossa tuo eksponentin vaihtuminen \(i\beta\to i\beta/2\) vaikuttaa aivan harmittomalta, mutta se tosiaankin muuttaa tuon ryhmän tyyppiä. Fysiikassa monesti tuollaiset erot kuitataan vain jonkinlaisina vaihemuunnoksina ja voidaan määritellä uusi parametri eksponentiin, esimerkiksi \(\beta' = \beta/2\) ja ongelma häviää...

Äärimmäisen tärkeä EDIT:

Vaikka jokainen \(g\in U(2)\) voidaan esittää muodossa \(u e^{i\beta/2}\), tuollaisten alkioiden tulo ei ole tavallinen matriisitulo, koska jos niin olisi, palautuisi tulo kuitenkin ryhmän \(SU(2)\times U(1)\) matriisituloksi. Muistin nimittäin tämän juuri äsken ja eräs kirjani toteaa (ilman laskuja), että \(U(2)\) on puolisuora tulo ryhmistä \(SU(2)\) ja \(U(1)\) eli jotain tyyliin:

\(U(2)= SU(2)\ltimes U(1).\)

siis samaan tapaan kuin Poincare-ryhmän määrittelyissä. Mun täytyy pohtia tämä uudestaan, sillä kirja josta nuo 5 Lien ryhmää löysin ei huomioi tuota puolisuoratulo-juttua ollenkaan.

EDIT päättyy.

Yksi sellainen notaatiohässäkkä on tässä vaarana. Mun kirjani merkitsee noista neljää ensimmäistä (reaalisena) tensorituloina:

\(SU(2)\otimes U(1)\)
\(SU(2)\otimes U(1)\)
\(SO(3)\otimes U(1)\)
\(SO(3)\otimes \mathbb{R}\)

Nuo ovat formaalisti oikein ja tässä ei tensoritulolla ja tavallisella tulolla ole eroa (toinen tensoritulon komponentti 1-ulotteinen). Yleensä ryhmille ei ole määritelty tensorituloa (lukuunottamatta ehkä jotain abstrakteja viritelmiä), mutta tässä tapauksessa ne on määritelty koska matriisien tensoritulo on määritelty ja nuo kaikki tensoritulon kompomentit ovat matriiseja, 2x2- tai 1x1-matriiseja.

Koetin myös saada jotain aikaan. Ne Weinbergin 4x4-generaattorimatriisit olivat

\(\begin{align*}
\vec t &=
g
\left\{
\begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & - \frac{i}{2} & 0 & 0 \\
\frac{i}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\right\}= (t_1,\ t_2,\ t_3),\\\\
y&=g'
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}\)

Kommutaattorit erikseen ovat \([t_i,t_j]=-ig\ \epsilon_{ijk}\ t_k\) ja \([y,y]=0\). Lien algebrat \(\mathfrak{su}(2)_L\) ja \(\mathfrak{su}(2)\) ovat selvästi isomorfiset, \(\mathfrak{su}(2)_L \cong \mathfrak{su}(2)\).

Matriisit \(y\) ja \(t_i\) kommutoivat \([t_i,y] = 0\). Suoraa tuloa \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) vastaavan Lien algebran \(\mathfrak{su}(2)_L \oplus \mathfrak{u}(1)_Y\) voi kirjoittaa

\(\begin{align*}[t_i,t_j]&=-ig\ \epsilon_{ijk}\ t_k \\ [t_i,y]&=0\end{align*}\)

Tämä on 4-dimensioinen Lien algebra, jonka generaattorit ovat \(\{t_1,t_2,t_3,y\}\).

Tuo \(y\)-generaattorilla varustettu \(U(1)_Y\) on siinä mielessä ymmärrettävä, että se on hypervaraukseen \(g'\) liittyvä abelinen ryhmä, joka toimii 4-komponenttisiin bispinoreihin, ja liittää niihin kiraalisuudesta riippuvan hypervarauksen.

Mutta erikoista on se, että \(U(1)_Y\) ei ole unitaarinen ryhmä. Mitä tuo 1 edes tarkoittaa, kun ryhmän alkiot ovat 4x4-matriiseja, jotka saadaan matriisieksponentilla \(\exp(-i\theta y)\).

Ryhmän \(U(n)\) määritelmä on käsittääkseni unitaaristen n x n -matriisien ryhmä, mutta tässä ei ole kyse 1x1-matriiseista, sillä \(y\) on 4x4-matriisi.

Tämä mun kirjoittamani näyttää nyt seinähullun hommilta

Jonkinlaisen järjen valon saan, kun ajattelen \(U(1)_Y\) -diagonaalimatriisin yksittäisiä alkioita, jotka ovat \(\exp(-i\theta g'/2)\) ja \(\exp(-i\theta g')\). Nämä alkiot erikseen tarkasteltuna ovat unitaarisia.

Kun matriisi toimii 4-komponenttiseen bispinoriin, niin sen komponentit saavat hypervarauksen \(g'\) tai \(g'/2\). Yksittäisen spinori-komponentin kannalta ryhmä \(U(1)_Y\) on siis unitaarinen, ja algebra \(\mathfrak{u}(1)_Y = \mathfrak{u}(1)\).

En nyt ole varma oliko tästä edellä kirjoittamastani hyötyä, mutta ehkä tämä vielä tästä selkenee.

[Disputator]

Aamupäivää. Olen laskeskellut vähän kaikenlaista yrittäessäni selvitellä noita Weinbergin notaatioita. Yritin aikaisemmin tulkita tämän mystisen Weinbergin notaation
$$
\vec t = \frac{g}{4}(1+\gamma_5)\left\{
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\right\}
$$
suoraviivaisesti 4x4-matriisien tulona, missä oikean puolen matriisielementit i ja 1 korvataan vastaavilla 2x2-matriiseilla (ja kytkentävakio =1). Lasku epäonnistui, mutta onnistuin sitten korjaamaan tilanteen, nähtyäni sun t-matriisit alla.

Laitan nyt kuitenkin (aluksi virheellisen) laskun näkyviin:

$$\frac{1}{4}(\mathbb{I}_4+\gamma_5)\left\{
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\right\} \\ \\
$$
Siirtämällä kerroin 1/2 tuossa ylhäälläolevassa:
$$\frac{1}{2}(\mathbb{I}_4+\gamma_5)\left\{
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\right\} \\ \\
$$

Määrittelemällä 4x4-matriisit S1,S2,S3 ylläolevan oikean puolen matriiseina:
$$\left\{ S_1,S_2,S_3\right\}=\left\{
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\right\}
$$

Tähän asti kaikki meni hyvin: Nuo S-matriisit toteuttavat Lie-algebran su(2)kommutaatiosäännöt \([S_i,S_j]=i\epsilon_{ijk}S_k\). Mutta sitten kun operoin tuolla kiraalisuusoperaatiolla \(\frac{1}{2}(\mathbb{I}_4+\gamma_5)\) kuhunkin matriisiin \(S_i\), niin lopputulos ei toteuta enää su(2) Lie-algebran kommutaatiosääntöjä, kuten pitäisi.

Koetin selvittää hänen notaatiotaan, ja laskin matriiseja. Esimerkiksi \(\gamma_5\) ja \(P_L\) ovat

\(\gamma_5 = \begin{pmatrix}
\mathbb{I}_2 & 0 \\
0 & -\mathbb{I}_2
\end{pmatrix},\quad
P_L = \frac{1}{2}(\mathbb{I}_4 + \gamma_5)=\begin{pmatrix}
\mathbb{I}_2 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\)

ja muut Diracin matriisit

\(\gamma^0=-i\begin{pmatrix}
0 & \mathbb{I}_2 \\
\mathbb{I}_2 & 0
\end{pmatrix}, \quad
\gamma^i=-i\begin{pmatrix}
0 & \sigma_i \\
-\sigma_i & 0
\end{pmatrix}\)

missä \(\sigma_i\) ovat Paulin 2x2-matriisit standardissa muodossaan. Ryhmän \(SU(2)_L\) generaattori \(\vec t\) on

\(\begin{align*}
\vec t &= (t_{1L},\ t_{2L},\ t_{3L})\\ \\
&=\frac{g}{4}(\mathbb{I}_4+\gamma_5)\left\{
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & -i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\right\} \\ \\
\end{align*}
\)

Muokkaan tuota alinta riviä hieman: siirretään kerroin 1/2 ja jätän nyt kytkentävakion pois:
$$\frac{1}{2}(\mathbb{I}_4+\gamma_5)\left\{
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
0 & -i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\right\} \\ \\
$$
Nyt nuo voidaan kirjoittaa tiiviisti, tällä on merkitystä myöhemmin:

$$\frac{1}{2}(\mathbb{I}_4+\gamma_5)\left\{

\begin{pmatrix}
\sigma_1 & 0\\
0 & \sigma_1 \\
\end{pmatrix},

\begin{pmatrix}
\sigma_2 & 0\\
0 & \sigma_2 \\
\end{pmatrix},

\begin{pmatrix}
\sigma_3 & 0\\
0 & \sigma_3 \\
\end{pmatrix},
\right\} \\ \\
$$

Jatkan seuraavassa viestissä..

[Disputator]

Jatkoa edelliseen:

Sulla oli ne Weinbergin matriisit:

$$\frac{1}{2}(\mathbb{I}_4+\gamma_5)\left\{
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
0 & -i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\right\} \\ \\
$$

Kun taas mun matriisit olivat:

$$\frac{1}{2}(\mathbb{I}_4+\gamma_5)\left\{
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\right\} \\ \\
$$
Notaatiot, merkitsen sun matriiseja kirjamilla t,T ja mun matriiseja s,S ja projektiona on
$$P_L = \frac{1}{2}(\mathbb{I}_4 + \gamma_5)=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$$
$$
\left\{T_1,T_2,T_3\right\}=\left\{
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
0 & -i & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
0 & 0 & i & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\right\}\\
$$

$$\left\{S_1,S_2,S_3\right\}=\left\{
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & -i \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & i & 0 & 0 \\
\end{pmatrix},
\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
\right\}$$

Kumpikin matriisinippu toteuttaa kommutaattorisäännöt eli \([T_i,T_j]=i\epsilon_{ijk}T_k\) ja \([S_i,S_j]=i\epsilon_{ijk}S_k\)

Käyttämällä operaattoria \(P_L\) kumpaankin saadaan merkitsemällä:

\(\left\{t_1,t_2,t_3\right\}=\left\{P_L T_1,P_L T_2,P_L T_3 \right\}\)

ja

\(\left\{s_1,s_2,s_3\right\}=\left\{P_L S_1,P_L S_2,P_L S_3 \right\}\)

Sun matriisit t toteuttavat kommuointisäännöt \([t_i,t_j]=i\epsilon_{ijk}t_k\), mutta mun matriisit s, EIVÄT TOTEUTA eli ei ole tosi että \([s_i,s_j]=i\epsilon_{ijk}s_k\)

Tämä oli se mihin jumituin. Pitkään ihmeteltyäni löysin ratkaisun, nimittäin nuo S ja T matriisit ovat melkein samoja ja huomasin sitten, että kun permutoi S matriiseista 2. ja 3. rivin ja sitten 2. 3.rivin sarakkeen saadaan nuo sun T matriisit.

Tuon voi tulkita siten, että ne ovat saman operaattorin matriiseja eri kannoissa (*kts alla) eli 2. ja 3. kantavektori on vaihdettu keskenään. Tämä sama operaatio täytyy tehdä myös sitten tuolla \(P_L\) matriisille:

Sulla oli tuo \(\gamma5 \) matriisi muodossa:
$$\gamma5=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
$$
jolloin
$$P_L = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$$
ja näitä täytyy käyttää T-matriisien kanssa.

Mulla sitten täytyy olla \(\gamma_5\) annettuna permutoidussa kannassa:

$$\gamma5=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
$$
jolloin
$$P_L = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$$
ja näitä täytyy käyttää S-matriisien kanssa. Silloin pätee \([s_i,s_j]=i\epsilon_{ijk}s_k\), mikä alkuperäisessä laskussani epäonnistui, koska en ymmärtänyt tuota kannanvaihtoa (*kts. alla).

Aikaisemmasta kommentistasi:

...Tuossa tulee esille myös se, mikä mua Weinbergin kirjassa häiritsi: Spinori-parin vasenkiraaliset komponentit ovat kaksi ylintä, ja oikeakiraaliset kaksi alinta, eli siis \((\psi^L_1, \psi^L_2, \psi^R_1, \psi^R_2)^T\). On helppo erehtyä muodostamaan pari siten, että se olisi \((\psi^L_1, \psi^R_1, \psi^L_2, \psi^R_2)^T\).

Heh, osuvasti sanottu. Siinähän se 2. ja 3. kantavektori (* kts. alla) vaihdetaan keskenään.

Eli jonkinlaisena yhteenvetona:

jos käytetään järjestystä \((\psi^L_1, \psi^L_2, \psi^R_1, \psi^R_2)^T\), on käytettävä T-matriiseita ja vastaavia projektion ja esityksiä:

$$\gamma5=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
$$
jolloin
$$P_L = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$$


Jos käytetään järjestystä \((\psi^L_1, \psi^R_1, \psi^L_2, \psi^R_2)^T\), on käytettävä S-matriiseita ja vastaavia projektion ja esityksiä:
$$\gamma5=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
$$
jolloin
$$P_L = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$$

*) Terminologisesti on hieman väärin kutsua tuota kannan vaihdoksi, koska matriisi operoi pystyriviin, jonka komponentit ovat vektoreita, eivät skalaareita. Paremminkin kai vaan jonkinlainen numerointijärjestyksen muutos.

[Disputator]

Iltapäivää, kun kokeilin eri tulkintoja tälle Weinbergin notaatiolle:
$$
\vec t = \frac{1}{4}(1+\gamma_5)
\left\{\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\right\}
$$
se matriisitulo tuli testattua edellisissä viesteissäni. Jos tuon tulkitsisikin tensoritulona, siis:
$$
\vec t = \frac{1}{4}(1+\gamma_5)\otimes
\left\{\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\right\}
$$,
missä nyt sitten \(\gamma5=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
,\;P_L=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\) ovat aitoja 2x2-matriiseja.

Kirjoittamalla tuo \(\vec t\) tensoritulon ja Paulin matriisien avulla, saadaan:

\(\vec t = \frac{1}{2}(1+\gamma_5)\otimes\left\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 \right\}= P_L\otimes\left\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 \right\}
\).

Laskemalla nuo tensori- tai Kronecker-tulot saadaan:

$$\begin{align*}
P_L\otimes\sigma_1&=t_1=\begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\\
P_L\otimes\sigma_2&=t_2=\begin{pmatrix}
0 & - \frac{i}{2} & 0 & 0 \\
\frac{i}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\\
P_L\otimes\sigma_2&=t_3=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}$$,

missä \(t_1, t_2, t_3\) ovat aikaisemmassa viestissäsi annettuja matriiseita. Eikä tässä vielä kaikki, laskin nimittäin tuon tensoritulon toisin päin :

\(\vec t' = \left\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 \right\}\otimes\frac{1}{2}(1+\gamma_5)= \left\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 \right\}\otimes P_L
\).

$$\begin{align*}
\sigma_1\otimes P_L&=s_1=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\\
\sigma_2\otimes P_L &=s_2=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0 & 0 & -i & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
i & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\\
\sigma_3\otimes P_L&=s_3=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}$$
Nuo tensoritulolla saadut kolme matriisia \(s_1,s_2,s_3\) ovat samat matriisit kuin edellisessä viestissäni olleet \(s_1,s_2,s_3\), joita en kuitenkaan siinä kirjoittanut näkyviin, mutta olin ne laskenut koneella.

Tuossa havaitsee sellaisen mahdollisuuden, että kun vaihtaa tensoritulon järjestystä, niin se vastaa "kannanvaihtoa" lopputuloksen matriisissa, koska s ja t-matriisit saadaan toisistaan 2. ja 3. rivin ja sarakkeen permutaatiolla, joka vastaa "kannan" järjestyksen muuttamista.

Mun piti sitten hakea tuollaista teoreemaa netistä ja löytyihän sellainen tulos. Wikipedian
Kronecker product kohdassa Non-commutative: sellainen mainitaan.

[Disputator]

Joo, täytyy vielä jatkaa vähäsen.

Koetin myös saada jotain aikaan. Ne Weinbergin 4x4-generaattorimatriisit olivat

\(\begin{align*}
\vec t &=
g
\left\{
\begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & - \frac{i}{2} & 0 & 0 \\
\frac{i}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\right\}= (t_1,\ t_2,\ t_3),\\\\
y&=g'
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{align*}\)

Kommutaattorit erikseen ovat \([t_i,t_j]=-ig\ \epsilon_{ijk}\ t_k\) ja \([y,y]=0\). Lien algebrat \(\mathfrak{su}(2)_L\) ja \(\mathfrak{su}(2)\) ovat selvästi isomorfiset, \(\mathfrak{su}(2)_L \cong \mathfrak{su}(2)\).

Matriisit \(y\) ja \(t_i\) kommutoivat \([t_i,y] = 0\). Suoraa tuloa \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) vastaavan Lien algebran \(\mathfrak{su}(2)_L \oplus \mathfrak{u}(1)_Y\) voi kirjoittaa

\(\begin{align*}[t_i,t_j]&=-ig\ \epsilon_{ijk}\ t_k \\ [t_i,y]&=0\end{align*}\)

Tämä on 4-dimensioinen Lien algebra, jonka generaattorit ovat \(\{t_1,t_2,t_3,y\}\).

Tuo näytää hyvältä ja pitäisi olla varmaan ihan oikein (-miinusmerkki kommuttaatorissa?). Kai tuon kytkentävakionkin voi sinne laittaa.

Jätän nyt noista Lie algebran alamerkinnät Y ja L pois.

Mun yksi kirja tekee tuon hieman muodollisemmin, siinä nuo sun 4x4-matriisit ovat Lie algebran \(\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)\) esityksiä. Siinä on mulle epäselviä kohtia (erinäisiä kertoimia), joten kommentoin sitten tarkemmin myöhemmin. Idealtaan kuitenkin se menee siinä näin, että alkuperäinen Lie algebra\(\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)\) on esitettävissä 2x2-kompleksimatriiseina ja siinä määritellään (tähän tapaukseen sovelletuna) Lie algebran esityksinä \( \pi:\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)\to Mat(4,\mathbb{C})\), missä \(Mat(4,\mathbb{C})\) on 4x4-kompleksimatriisien joukko.

Lie \(\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)\) kantavektorit ovat \(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\) ja \(\beta\). Tuo \(\beta \) on suoraan kirjasta, se on kompleksiluku, koska \(\mathfrak{u}(1)\) on 1-ulotteinen, mutta se voidaan kirjoittaa 2x2-matriisina \(\beta=\beta \mathbb{I}_2\)

Nuo sun matriisit \(t_1,t_2,t_3\) ja y voidaan käsittääkseni ajatella esityksen \(\pi\) avulla:
$$\begin{align*}
\pi(\sigma_1)&=t1\\
\pi(\sigma_2)&=t2\\
\pi(\sigma_3)&=t3\\
\pi(\beta)&=y
\end{align*}$$

Nyt nuo \(t1,t2,t3,y\) voidaan ajatella määrittelevän 4-ulotteisen Lie alialgebran matriisiavaruudessa \(Mat(4,\mathbb{C})\) ja merkitä sitä \(\mathfrak{su}(2)_L \oplus \mathfrak{u}(1)_Y\).

Lien algebrat \(\mathfrak{su}(2)_L\) ja \(\mathfrak{su}(2)\) ovat selvästi isomorfiset, \(\mathfrak{su}(2)_L \cong \mathfrak{su}(2)\).

Tuo mun muodollinen tapa käyttäen kuvausta \(\pi\) on tuo mainitsemasi isomorfismi.

Tuo \(y\)-generaattorilla varustettu \(U(1)_Y\) on siinä mielessä ymmärrettävä, että se on hypervaraukseen \(g'\) liittyvä abelinen ryhmä, joka toimii 4-komponenttisiin bispinoreihin, ja liittää niihin kiraalisuudesta riippuvan hypervarauksen.

Mutta erikoista on se, että \(U(1)_Y\) ei ole unitaarinen ryhmä. Mitä tuo 1 edes tarkoittaa, kun ryhmän alkiot ovat 4x4-matriiseja, jotka saadaan matriisieksponentilla \(\exp(-i\theta y)\).

Ryhmän \(U(n)\) määritelmä on käsittääkseni unitaaristen n x n -matriisien ryhmä, mutta tässä ei ole kyse 1x1-matriiseista, sillä \(y\) on 4x4-matriisi.

Tämä mun kirjoittamani näyttää nyt seinähullun hommilta

Jonkinlaisen järjen valon saan, kun ajattelen \(U(1)_Y\) -diagonaalimatriisin yksittäisiä alkioita, jotka ovat \(\exp(-i\theta g'/2)\) ja \(\exp(-i\theta g')\). Nämä alkiot erikseen tarkasteltuna ovat unitaarisia.

Kun matriisi toimii 4-komponenttiseen bispinoriin, niin sen komponentit saavat hypervarauksen \(g'\) tai \(g'/2\). Yksittäisen spinori-komponentin kannalta ryhmä \(U(1)_Y\) on siis unitaarinen, ja algebra \(\mathfrak{u}(1)_Y = \mathfrak{u}(1)\).

En nyt ole varma oliko tästä edellä kirjoittamastani hyötyä, mutta ehkä tämä vielä tästä selkenee.

 

Voi ajatella, että unitaarinen ryhmä \(U(1)\) on kompleksilukujen \(e^{i\alpha}\), joukko, jossa \(\alpha\) on reaalinen parametri/koordinaatti.

Vähän samaan tapaan kuin Lie algebran tapauksessa, voidaan määritellä ryhmän U(1) esitys ryhmähomomorfismina (tähän keissiin sovellettuna) \(\Pi:U(1)\to Mat(4,\mathbb{C})\), siis \(\Pi(e^{i\alpha_1}e^{i\alpha_2})= \Pi(e^{i\alpha_1})\Pi (e^{i\alpha_2})\). Nyt siis matriisit \(\Pi(e^{i\alpha})\) ovat 4x4-matriiseja. Jos kaikki matriisit \(\Pi(e^{i\alpha}) \) ovat unitaarisia sisätuloavaruuden \(\mathbb{C}^4\) lineaarikuvauksena, sanotaan esityksen olevan unitaarinen.

Nyt voidaan rakentaa esityksiä ryhmälle U(1), esimerkiksi seuraava kuvaus \(\Pi_1\) on ryhmän U(1) unitaarinen esitys:

$$\Pi_1(e^{i\alpha})=\begin{pmatrix}
e^{i\alpha} & 0 & 0 & 0 \\
0 & e^{i\alpha} & 0 & 0 \\
0 & 0 & e^{i\alpha} & 0 \\
0 & 0 & 0 & e^{i\alpha} \\
\end{pmatrix}
$$
Matriisi \(\Pi_1(e^{i\alpha})\) on unitaarinen, koska \(\Pi_1(e^{i\alpha})^H\Pi_1(e^{i\alpha})=\mathbb{I}_4\)

Toinen esitys voisi olla esimerkiksi:
$$\Pi_2(e^{i\alpha})=\begin{pmatrix}
e^{i\alpha} & 0 & 0 & 0 \\
0 & e^{i2\alpha} & 0 & 0 \\
0 & 0 & e^{3i\alpha} & 0 \\
0 & 0 & 0 & e^{4i\alpha} \\
\end{pmatrix}
$$.
Myös tämä esitys on unitaarinen, sillä \(\Pi_2(e^{i\alpha})^H\Pi_2(e^{i\alpha})=\mathbb{I}_4\)

Lisää esityksiä saadaan mainitsemallasi matriisieksponentilla.

On tullut kirjoitettua tänään aika paljon, nyt alkaa hyytymään kyllä. Palkitsen itseni oluella.

[QS]

Iltaa. Pikaisesti tähän vain. Luin viimeisimmän U(1)-viestisi, ja siinä asia tosiaan selviääkin. Luen vielä tarkemmin tulevaisuudessa.

Aiempaan liittyen: Loistava strategia ajatella ne tulot Kroneckerin tuloina. Kokeilin itsekin ja toimii. Mutta sitten tuli uusi notaatiohaaste vastaan. Weinberg määrittelee y-generaattorin

\(y=g' \left[ \left( \frac{1+\gamma_5}{4} \right)
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
+ \left( \frac{1-\gamma_5}{2} \right) \right]\)

Jos ensimmäisen termin \(\gamma_5\):n (2x2) ja vastaavan 2x2-yksikkömatriisin tulon käsittelee Kroneckerin tulona, niin saadaan 4x4-matriisi. Kuitenkin jälkimmäisessä termissä \(\frac{1-\gamma_5}{2}\) tuon \(\gamma_5\):n pitääkin olla 4x4-matriisi, jotta sen voi laskea yhteen ensimmäisen termin kanssa. Tässä olisi nyt kaksi eri \(\gamma_5\)-esitystä mukana, 2x2 ja 4x4. Hmm.

Kun käytän alkuperäisiä 4x4-matriiseja, ja oletan yksikkömatriisin olevan \(\mathbb{I}_4\), niin saan

\(y =
\begin{pmatrix}
\frac{g'}{2} & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{g'}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & g' & 0 \\
0 & 0 & 0 & g' \\
\end{pmatrix}\)

ja sähkövarauksen matriisiksi

\(q\ =\frac{e}{g}t_3-\frac{e}{g'}y=\ \textbf{e}\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)

Tuossa näyttää siltä, että varauksia -e on liikaa, sillä varaus liittyy vain elektronikentän komponentteihin (2 kpl). Tuo menee kuitenkin oikein, jos leptonit ovat bispinorina

\(\begin{pmatrix}
\nu_e \\ e
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\psi_L \\ \psi_R
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\nu_{eL} \\ e_L \\ 0 \\ e_R
\end{pmatrix}\)

Tässä kaksi ylintä komponenttia ovat redusoitumaton \((\frac{1}{2},0)\)-esitys ja kaksi alinta redusoitumaton \((0,\frac{1}{2})\)-esitys. Vektorissa olisi siis kaksi Weylin 2-komponenttista spinoria.

Kokonaisuutena tuo on redusoituva \((\frac{1}{2},0)\oplus(0,\frac{1}{2})\) -esitys. Matriisissa \(q\) on oikeakiraalisen neutriinon \(\nu_{eR}\) kohdalla \(-e\), mutta se ei haittaa, sillä spinorin kyseinen komponentti on tässä kohti Weinbergin teosta asetettu määritelmälliseti nollaksi.

Weinbergin kirjassa kuitenkin varausmatriisi q on laskettu 2x2-matriisiksi

\(q\ =\frac{e}{g}t_3-\frac{e}{g'}y=\
\textbf{e}\ \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\)

Saan tuon saman 2x2-matriisin, kun käytän aivan alusta lähtien vain 2x2-matriiseja \(\gamma_5\) ja \(t_1\),\(t_2\),\(t_3\).

Kaikessa kryptisyydessään Weinberg on kyllä antoisa eeppos siitäkin syystä, että en muista ikinä paneutuneeni näihin yksityiskohtiin tällä intensiteetillä.

Palaan muutaman päivän kuluttua, kun on aikaa. Lähden itsekin tästä viihteelle