QS kirjoitti: ↑29 Loka 2024, 16:27Eusa kirjoitti: ↑27 Loka 2024, 22:48QS kirjoitti: ↑27 Loka 2024, 19:39Lainaan erästä artikkelinpätkää, jossa asia laskettu.
Tarkastelussa on kaksi inertiaalikelloa \(K_1\) ja \(K_2\), joista \(K_1\) kiertää pallosymmetrisen pyörimättömän massakappaleen nk. vapaan pudotuksen inertiaalissa. Kiertorata on vakioetäisyydellä \(r_1\).
\(K_2\) heitetään säteen suunnassa ulos siten, että se kohtaa kellon \(K_1\) kahdesti: ensin ulos päin etäisyydellä \(r_1\), ja myöhemmin sisään päin samalla etäisyydellä \(r_1\), jolloin \(K_1\) on kiertänyt täyden kierroksen. \(K_2\) käy etäisyydellä \(r_2\), josta se putoaa takaisin sisään päin.
Molempien liikeradat ovat geodeettisia käyriä. Ideana on valita \(r_2\) siten, että kellot kohtaavat tapahtumassa, jossa \(K_1\) on tehnyt yhden kokonaisen kierroksen.
Kirjoitan oleelliset kaavat ilman pitkiä laskuja. Yhdellä kokonaisella kierroksella \(K_1\) mittaa ominaisajan
$$\Delta\tau_1=2 \pi r_1 \sqrt{\frac{2r_1-3R}{R}}$$
missä \(R=2GM\) ja \(r_1\) on kiertoradan etäisyys keskipisteestä Schwarzschildin koordinaateilla. Vastaava koordinaattiaika on
$$\Delta t_1=2 \pi \sqrt{\frac{2 r_1^3}{R}}$$
\(K_2\) mittaa kohtaamistapahtumien välisen ominaisajan
$$\Delta \tau_2=2 \int_{r_1}^{r_2} dr \frac{1}{\sqrt{R(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2})}}
= 2 \frac{ r_2-r_1 + r_2 \sqrt{ \frac{r_2}{r_1}-1 }\ \arctan (\frac{r_2}{r_1}-1)} { \sqrt{R(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2})} }$$
Vastaava koordinaattiaika on
$$\begin{align*}
\Delta t_2 &= 2 \Bigg [\pi \left (\sqrt{R(r_2-R)}+\frac{r_2}{2} \sqrt{\frac{r_2-R}{R}} \right )\\ &+ \sqrt{\frac{r_1(r_2-r_1)(R_2-R)}{R}}-(2R+r_2) \sqrt{\frac{r_2-R}{R}} \arcsin \left (\sqrt{\frac{r_1}{r_2}} \right)\\ &+ R \ln \left ( \frac{R(r_2-r_1)}{\sqrt{R r_1 (r_2-R)(r_2-r_1)}}-R(r_2-r_1) \right) + R \ln \left (1+\sqrt{\frac{r_1(r_2-R)}{R(r_2-r_1)}} \right )\Bigg]
\end{align*}$$
Lausekkeista saa käytännössä selvyyden vain numeerisesti. Mitattuja aikoja voi tarkastella kuvasta:
TwinGR.png
Vaaka-akseli on kiertoradan \(r_1\) ja Schwarzschildin säteeseen \(R\) välinen suhde. Pystyakseli on mitatun ominaisajan \(\Delta \tau\) ja Schwarzschildin säteeseen \(R\) välinen suhde.
Oranssi käyrä (\(\tau_1/R\)) on kiertoradalla olevan kellon \(K_1\) ominaisaika, ja vihreä (\(\tau_2/R\)) on kellon \(K_2\) ominaisaika. Selvästi \(K_1\) mittaa pienemmän ajan kuin \(K_2\).
Suurin aika mitataan Schwartzschild-koordinaateilla \(t/R\).
Kellojen \(K_1\) ja \(K_2\) ominaiskiihtyvyys on koko ajan nolla. Ikääntymisero on seuraus aika-avaruuden metriikasta ja aika-avaruuden käyrien 'pituuserosta', ei ominaiskiihtyvyydestä. Muitakaan kiihtyvyyksiä asetelmaan ei liity.Muuten kiva, mutta kelloihinkin kohdistuu jännityksiä kiihtyvyyksinä vuorovesivoimista ja niitähän lähdettiin tarkemmin tutkimaan.
Laakeassa avaruudessa hiukkasiin ei kohdistu voimia, mutta ikääntymisero on olemassa. Olisi perin outoa, jos ilmiö pitäisi selittää gravitaatiossa toisin kuin laakeassa avaruudessa.
Ei ole ikääntymiseroa laakeassa aika-avaruudessa - on vain projektiivinen aikadilataatio. Ymmärtänet asian ihan hyvin.
Jos vain aikaosuus on kaareutunut, kuten sanomasi voisi ymmärtää, se pätee vain koordinaatistovalinnassa - toisessa koordinaatistossa myös avaruusosaan projisoituisi kaarevuutta.
Jos vain aikaosuus on kaareutunut, kuten sanomasi voisi ymmärtää, se pätee vain koordinaatistovalinnassa - toisessa koordinaatistossa myös avaruusosaan projisoituisi kaarevuutta.
