Higgsin mekanismi

E
Eusa
Viestit: 181

Re: Higgsin mekanismi

Viesti Kirjoittaja Eusa »

QS kirjoitti: 22 Syys 2024, 15:25
Eusa kirjoitti: 22 Syys 2024, 12:52
Esittämässäni asetelmassa mittaus tapahtuu aina jommassa kummassa antipodaalisektorissa, jonka suhteen saadaan tietysti tuo energia. Mutta Higgsin mekaniikan matematiikassa efektiivistä on \(H^2\) eli \(H\) sinänsä voisi olla negatiivinenkin tulosten
...
tyhjön odotusarvo \(H\) voi periaatteessa aivan hyvin olla n. \(246 \: GeV/c²\) tai \(-246 \: GeV/c²\) sektoreittain mittaustulosten puitteissa.
Yksiköistä sen verran, että odotusarvon yksikkö on GeV. Higgsin bosonin massa on n. 125 \(GeV/c^2\).

 
Juu. Esitin massaekvivalentin yksikkömuodon kenttäeksitaation näkökulmasta. Tiedossa on, että odotusarvo ja hiukkasen massaenergia ovat samassa skaalassa. Higgsin bosoni voitaisiin ajatella Goldstonen bosonin "massiivisena versiona", joka syntyy, kun symmetria rikkoutuu ja kenttä saa odotusarvon tyhjössä.
Tässä mielessä Higgsin bosoni voitaisiin nähdä Goldstonen bosonin "projektiona" uuteen, symmetrian rikkovaan tilaan. Perustellun epäilyn piirissä on, että suhteella 2:1 olisikin jotain roolia, mutta eipä epäselvästä asiasta enempää kuin vihjaus, että jos olisi vastakkaisvaiheiset sektorit ja odotusarvo on heilahdusarvo vastakkaiseen vaiheeseen saakka, puolikkaalle eksitaatioarvolle olisi motiivi.

Sombreroanalogia on suht' oireellinen. Muutoin logiikka ei muutu olisipa Higgs-sektoreita kuinka paljon tahansa; omassa sektorissaan arvot ovat aina itseisarvollisia erillisyyksiä. Tutkimustahan on siitä, olisiko Higgsin hiukkasia useampia ja siten eri sektoreita, mutta mitään osviittaa toisen massan Higgsistä ei ole saatu.
Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
Q
QS
Viestit: 333

Re: Higgsin mekanismi

Viesti Kirjoittaja QS »

Eusa kirjoitti: 22 Syys 2024, 17:15
QS kirjoitti: 22 Syys 2024, 15:25
Eusa kirjoitti: 22 Syys 2024, 12:52
...
tyhjön odotusarvo \(H\) voi periaatteessa aivan hyvin olla n. \(246 \: GeV/c²\) tai \(-246 \: GeV/c²\) sektoreittain mittaustulosten puitteissa.
Yksiköistä sen verran, että odotusarvon yksikkö on GeV. Higgsin bosonin massa on n. 125 \(GeV/c^2\).
Juu. Esitin massaekvivalentin yksikkömuodon
joo, energian E yksikkö on GeV. Massan yksikkö [m]=EV -2, joka kirjoitetaan GeV/c².

Luonnollisissa yksiköissä [c]=1, joten massan ja energian yksiköt ovat samat [E]=GeV ja [m]=GeV. Tämä siksi, että nopeuden yksikkö [V]=1.

Kentän arvosta puhuttaessa ei yleensä kirjoiteta GeV/c², joka on massaa varten. Muissa kuin luonnollisissa yksiköissä energian ja massan yksiköt eivät ole samoja. Siksi tuo c² näkyy massassa mutta ei energiassa.

Tosin ei tällä isoa merkitystä tässä kohti ole.
Q
QS
Viestit: 333

Re: Higgsin mekanismi

Viesti Kirjoittaja QS »

QS kirjoitti: 19 Syys 2024, 18:09
...
Vapaa Diracin kenttä voidaan kirjoittaa myös massattomana

\(\mathcal{L}_{F}=i\bar\Psi\gamma_\mu\partial^\mu\Psi\)
...
Kenttiä \(\Psi\) ja \(\bar\Psi\) kutsutaan nimellä dupletti. Massaton \(\mathcal{L}_{F}\) toteuttaa globaalin \(SU(2)\)-symmetrian, jonka muunnokset ovat

\(\begin{align*}
\Psi &\to e^{ia_i\frac{\sigma_i}{2}} \Psi\\
\bar\Psi &\to \bar\Psi e^{-ia_i\frac{\sigma_i}{2}}
\end{align*}\)
....
Massaton \(\mathcal{L}_{F}\) ei toteuta lokaalia \(SU(2)\)-symmetriaa. Osoittautuu, että lokaalin symmetrian toteuttava Lagrange on

\(\mathcal{L}_{F+B}=i\bar\Psi\gamma_\mu D^\mu\Psi - \frac{1}{4}Tr(B_{\mu\nu}B^{\mu\nu})\)

missä massaton spin-½ ja \(B^\mu\) -kenttä vuorovaikuttavat.
Tästä sitten kolmas viesti, jossa massa Diracin kentän leptoneille.

Massaton \(\mathcal{L}_{F+B}\) esittää dupletin \(\Psi\) heikkoa vuorovaikutusta. Heikko vuorovaikutus (mittakenttä \(W^+\), \(W^-\) ja \(Z\)) kytkeytyy kuitenkin vain vasenkiraaliseen duplettiin \(\Psi_L\). Tämä on pystyvektori, joka sisältää kaksi 4-komponenttista spinoria

\(\Psi_L = \begin{pmatrix}\psi_1^L \\ \psi_2^L\end{pmatrix}\)

\(SU(2)\)-muunnoksessa dupletti muuntuu

\(\Psi_L \to e^{i\vec\theta\frac{\vec\sigma}{2}}\Psi_L\)

missä \(\psi_1^L\) ja \(\psi_2^L\) miksautuvat. Vasenkiraalinen \(\Psi_L\) saadaan dupletista \(\Psi\) siten, että kohdistetaan siihen projektio-operaattori \(P_L=\frac{\mathbb{1}-\gamma_5}{2}\) seuraavasti

\(P_L\Psi = \begin{pmatrix}
P_L & 0 \\
0 & P_L
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \psi_1^L \\ \psi_2^L\end{pmatrix} = \Psi_L\)

Heikon vuorovaikutuksen Lagrangen tiheyteen lisätään operaattori \(P_L\), jotta oikeakiraalinen kenttä poistuu

\(\mathcal{L}_W=i\bar\Psi\gamma_\mu (\partial^\mu-ig_wB^\mu\ P_L)\Psi - \frac{1}{4}Tr(B_{\mu\nu}B^{\mu\nu})\)

Oikeakiraalinen \(\Psi_R\) esitetään kahtena singlettinä (erilliset spinorit \(\psi_1\) ja \(\psi_2\)), jotka muuntuvat triviaalina \(SU(2)\)-esityksenä

\(\begin{align*}
\psi_1^R &\to 1\cdot\psi_1^R \\
\psi_2^R &\to 1\cdot\psi_2^R
\end{align*}\)

sillä ne eivät saa miksautua \(SU(2)\)-muunnoksessa. Dupletti ja singletti on lisättävä heikon vuorovaikutuksen Lagrangen tiheyteen esittämään vapaan Diracin kentän osuutta. Aiempi \(\mathcal{L}_{\text{QED}}\) sisältää myös vapaan Diracin termit, mutta pariteettirikko ei ole mukana, joten lokaali symmetria säilyy.

Heikkoon vuorovaikutukseen lisäys on tehtävä siten, että lokaali \(SU(2)\)-symmetria säilyy. Tämä onnistuu käyttämällä Yukawa-kytkentää, jossa skalaarikenttä \(\Phi\), dupletti \(\Psi\) ja singletti \(\psi\) yhdistyvät

\(\mathcal{L}_{\text{Yukawa}}=\mathcal{L}_{\text{Y}} + (\mathcal{L}_{\text{Y}})^\dagger\)

missä

\(\mathcal{L}_{Y}=-g_y(\bar\Psi_L\ \Phi\ \psi_2^R + \bar\psi_2^R\ \bar\Phi\ \Psi_L)\)

ja \(g_y\) on kytkinvakio. Tähän sijoitetaan dupletti \(\Psi_L\) ja skalaarikenttä

\(\Phi=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 \\ v+\eta \end{pmatrix}\)

missä \(v+\eta\) tarkoittaa sitä, että \(\Phi\) ei ole perustilassa \(v\), vaan sen ympäristössä. 'Sombrero'-vertauskuvana \(\Phi\) on hiukan siirtynyt pois minimipotentiaalista. Kun \(\Psi_L\) ja \(\Phi\) sijoitetaan, saadaan

\(\begin{align*}
\mathcal{L}_Y&=-\frac{g_2(v+\eta)}{\sqrt{2}}(\bar\psi_2^L\ \psi_2^R + \bar\psi_2^R\ \psi_2^L)\\\\
&=-\frac{g_2(v+\eta)}{\sqrt{2}}\ \bar\psi_2\psi_2\\\\
&=-\frac{g_2\ v}{\sqrt{2}}\ \bar\psi_2\psi_2\ - \frac{g_2\ \eta}{\sqrt{2}} \bar\psi_2\psi_2
\end{align*}\)

missä dupletin \(\Psi_L\) ylempi spinori \(\psi_1\) on poistunut, ja jäljellä on vasen- ja oikeakiraaliset singletit \(\psi_2\). Singletit muuntuvat triviaalisti kuten pitääkin. Toinen rivi on saatu käyttämällä erästä spinorin identiteettiä. Kolmannella rivillä ensimmäinen termi on Diracin kentän massatermi, ja toinen termi on Diracin ja Higgsin kentän vuorovaikutus. Higgsin kenttä antaa spinorille \(\psi_2\) massan

\(m_2= \frac{g_2\ v}{\sqrt{2}}\)

\(\mathcal{L}_Y\) toteuttaa symmetriat \(U(1)\), \(SU(2)\) ja \(SO(1,3)\). Symmetria ei olisi toteutunut, jos olisi käsin lisätty massamatriisi \(m\), ja siihen ylemmän ja alemman spinorin eri suuruiset massat \(m_1\) ja \(m_2\). Higgsin kenttä poisti myös pariteettirikon aiheuttaman ongelman.

Toinen Yukawa-termi \((\mathcal{L}_{\text{Y}})^\dagger\) lasketaan käyttämällä varauskonjugoitua Higgsin duplettia

\(\Phi_c = C\Phi^* = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}v+\eta \\0 \end{pmatrix}\)

missä \(C\) on varauskonjugointimatriisi. Näin saadaan

\((\mathcal{L}_Y)^\dagger=-\frac{g_1\ v}{\sqrt{2}}\ \bar\psi_1\psi_1\ - \frac{g_1\ \eta}{\sqrt{2}} \bar\psi_1\psi_1\)

Massatermissä on spinorin \(\psi_1\) massa

\(m_1= \frac{g_1\ v}{\sqrt{2}}\).

Kvarkkien massat jätän sikseen, kun on tiivistämiseen liian hapokasta touhua. Mutta standardimalli on silti kaikessa karmeudessaan ja sekavuudessaan melko toimiva härveli, vaikka näyttää lähinnä hullujenhuoneen tuotokselta.
D
Disputator
Viestit: 199

Re: Higgsin mekanismi

Viesti Kirjoittaja Disputator »

QS kirjoitti: 19 Syys 2024, 18:09
Koetan tiivistää Higgsin yhteen viestiin samalla, kun kertaan asian itselleni. Jätän pois paljon laskuja, yksityiskohtia ja selityksiä. Vain periaatteet mukana.
...
Yksi viesti riitti hädin tuskin puoleen väliin. Kirjoitan joskus toisen viestin. Joskus 🤔
 
Iltapäivää!

Tämä ja seuraava kirjoituksesi oli aivan mahtava johdatus Higgsin mekanismiin, kun kirjoitustasi tarkemmin tutkin. Kirjassa Physics from Symmetry on (paljon painovirheitä) enemmän ja vähemmän samanlainen esitys, mutta en ole koskaan siihen mitenkään suuremmin tutustunut, koska aihe on vaikuttanut hyvin hankalalta monimutkaisine laskelmineen. Nämä tiivistyksesi ovat olleet oikein hyviä, sillä ne ovat ikäänkuin tiekartta, mitä pitkin edetä päämäärään, askel askeleellta. Minulle tuli jopa fiilis, että ensi kerrran oikeasti ymmärsin jotain tästä Higgs-jutusta. Voisin jopa kirjoittaa tästä jotain kun asiaa lisää opiskelen.

Avaan myös aiheeseen liittyvän mittakenttäteoriaketjun tässä kohta.
SI Resurrection!
Q
QS
Viestit: 333

Re: Higgsin mekanismi

Viesti Kirjoittaja QS »

Disputator kirjoitti: 25 Syys 2024, 14:02
QS kirjoitti: 19 Syys 2024, 18:09
Koetan tiivistää Higgsin yhteen viestiin samalla, kun kertaan asian itselleni. Jätän pois paljon laskuja, yksityiskohtia ja selityksiä. Vain periaatteet mukana.
...
Yksi viesti riitti hädin tuskin puoleen väliin. Kirjoitan joskus toisen viestin. Joskus 🤔
 
Iltapäivää!

Tämä ja seuraava kirjoituksesi oli aivan mahtava johdatus Higgsin mekanismiin, kun kirjoitustasi tarkemmin tutkin. Kirjassa Physics from Symmetry on (paljon painovirheitä) enemmän ja vähemmän samanlainen esitys, mutta en ole koskaan siihen mitenkään suuremmin tutustunut, koska aihe on vaikuttanut hyvin hankalalta monimutkaisine laskelmineen. Nämä tiivistyksesi ovat olleet oikein hyviä, sillä ne ovat ikäänkuin tiekartta, mitä pitkin edetä päämäärään, askel askeleellta. Minulle tuli jopa fiilis, että ensi kerrran oikeasti ymmärsin jotain tästä Higgs-jutusta. Voisin jopa kirjoittaa tästä jotain kun asiaa lisää opiskelen.

Avaan myös aiheeseen liittyvän mittakenttäteoriaketjun tässä kohta.
Iltaa! Yksi näiden kolmen Higgs-postaukseni lähteistä oli juurikin Physics from Symmetry. Higgs-aloitusviestin nähtyäni kertasin aihetta Peskin & Schröder:stä ja Weinbergin Volume 2:sta. P&S:ssä on siisti notaatio, joka periytyi noihin viesteihin.

Kun olin koettanut yhdistää P&S:n ja Weinbergin jutut tiivistykseksi, niin muistin Physics from Symmetry:n erään pienen pedagogisen neronleimauksen: heikko hypervaraus ja heikko isospin on jätetty pois Higgsin mekanismin johdatuksesta. Tein samoin, jonka myötä viestien synkkyys väheni reilusti, kun kaiken maailman ryhmien rakennevakiot ja generaattorien ominaisarvot jäivät pois. Higgsin kenttä sekä lokaalit U(1) ja SU(2)-symmetriat pääsevät sujuvammin näyttämölle. Siinä mielessä tuon kirjan tapa on vallan mainio.

Mutta Physics from Symmetry on jotenkin hähmäinen ja ylimalkainen. Esimerkiksi Higgsin kentän unitaarimitta kuvaillaan niin monisanaisesti, että en edes ymmärtänyt. Asiaan on helppokin selitys, johon voisi joskus palata.

Kirjoitin myös tahallani näkyviin kyseisestä teoksesta singletin SU(2)-muunnokset \(\psi_1^R \to 1\cdot\psi_1^R\) jne. Kirja ei kerro miten spinori \(\psi\) voi muuntua triviaalina SU(2)-esityksenä samoin kuin skalaari! Eihän ole mahdollista, sillä spinori ei ole skalaari. Joku voisi sanoa, että tässä on jopa virhe.

Kirjoitin tuon syötiksi mahdolliselle jatkoruotimiselle. Hyvä teos kertoisi mitä singletit ja dupletit ovat. Weinberg perusteleekin asiaa käyttämällä sähköheikon yhtenäisteorian laajinta mahdollista symmetriaryhmää \(SU(2)_L \times U(1)_L \times U(1)_R\), missä tuo viimeinen \(U(1)_R\) vihjaa asian suuntaan. Tästä ehkä joskus toiste lisää.

Mutta siis Higgsiin ja sähköheikkoon yhtenäisteoriaan liittyy mielenkiintoisia yksityiskohtia, joita voisi tosiaan ajan kanssa ihmetellä. Ja kiitos palautteesta, että onnistuin kohtuullisesti tässä melko sekavan sopan lyhyessä kuvailussa.
E
Eusa
Viestit: 181

Re: Higgsin mekanismi

Viesti Kirjoittaja Eusa »

Eusa kirjoitti: 04 Syys 2024, 03:15
https://www.quantamagazine.org/how-the- ... -20240903/

Ymmärrettävä fysikaalisuuteen pohjautuva sopivasti popularisoiva selostus.


Tämä on välttämätöntä oheistaa. Erityisesti ihastutti Mattin jäsentelyn selkeys koskien symmetrioita ja eroa kuvaussymmetrian ja fysikaalisen ratkaisusymmetrian välillä; symmetriarikko on tieteellinen valinta eikä niinkään tuomio, etteikö kokonaisuus noudattaisi ehjää symmetriaa loppuun asti, vaikka aineeseen ja mittaukseen vääjämättä se kuuluukin.

Moni pohdinta fundamentaalisuuksista oli puolestaan häilyvää. Tosin sietää hyvin ollakin, koska aika-avaruuden rakenteesta työ on vielä vaiheessa.
Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹
K
Kores
Viestit: 1

Re: Higgsin mekanismi

Viesti Kirjoittaja Kores »

Higgsin hiukkasta etsivä Zernin kiihdytin on saatanan suuruudenhullun työn tulos, sillä hän on suuruudenhullu, ahne ja viettelijä ja jos katsomme ympärillämme olevaa tarpeetonta, eikö se näin ole. 
Vastaa Viestiin