Mittakenttäteoriaa, pääsäiekimput ym. settiä

[QS]

...
Matriisit \(y\) ja \(t_i\) kommutoivat \([t_i,y] = 0\). Suoraa tuloa \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) vastaavan Lien algebran \(\mathfrak{su}(2)_L \oplus \mathfrak{u}(1)_Y\) voi kirjoittaa

\(\begin{align*}[t_i,t_j]&=-ig\ \epsilon_{ijk}\ t_k \\ [t_i,y]&=0\end{align*}\)

Tämä on 4-dimensioinen Lien algebra, jonka generaattorit ovat \(\{t_1,t_2,t_3,y\}\).

Tuo näytää hyvältä ja pitäisi olla varmaan ihan oikein (-miinusmerkki kommuttaatorissa?). Kai tuon kytkentävakionkin voi sinne laittaa.

Iltaa!
Joo, etumerkkivirhe, piti olla \([t_i,t_j]=ig\ \epsilon_{ijk}\ t_k\).

Voi ajatella, että unitaarinen ryhmä \(U(1)\) on kompleksilukujen \(e^{i\alpha}\), joukko, jossa \(\alpha\) on reaalinen parametri/koordinaatti.

Vähän samaan tapaan kuin Lie algebran tapauksessa, voidaan määritellä ryhmän U(1) esitys ryhmähomomorfismina (tähän keissiin sovellettuna) \(\Pi:U(1)\to Mat(4,\mathbb{C})\), siis \(\Pi(e^{i\alpha_1}e^{i\alpha_2})= \Pi(e^{i\alpha_1})\Pi (e^{i\alpha_2})\). Nyt siis matriisit \(\Pi(e^{i\alpha})\) ovat 4x4-matriiseja. Jos kaikki matriisit \(\Pi(e^{i\alpha}) \) ovat unitaarisia sisätuloavaruuden \(\mathbb{C}^4\) lineaarikuvauksena, sanotaan esityksen olevan unitaarinen.

Nyt voidaan rakentaa esityksiä ryhmälle U(1), esimerkiksi seuraava kuvaus \(\Pi_1\) on ryhmän U(1) unitaarinen esitys:

$$\Pi_1(e^{i\alpha})=\begin{pmatrix}
e^{i\alpha} & 0 & 0 & 0 \\
0 & e^{i\alpha} & 0 & 0 \\
0 & 0 & e^{i\alpha} & 0 \\
0 & 0 & 0 & e^{i\alpha} \\
\end{pmatrix}
$$
Matriisi \(\Pi_1(e^{i\alpha})\) on unitaarinen, koska \(\Pi_1(e^{i\alpha})^H\Pi_1(e^{i\alpha})=\mathbb{I}_4\)

Toinen esitys voisi olla esimerkiksi:
$$\Pi_2(e^{i\alpha})=\begin{pmatrix}
e^{i\alpha} & 0 & 0 & 0 \\
0 & e^{i2\alpha} & 0 & 0 \\
0 & 0 & e^{3i\alpha} & 0 \\
0 & 0 & 0 & e^{4i\alpha} \\
\end{pmatrix}
$$.
Myös tämä esitys on unitaarinen, sillä \(\Pi_2(e^{i\alpha})^H\Pi_2(e^{i\alpha})=\mathbb{I}_4\)

Lisää esityksiä saadaan mainitsemallasi matriisieksponentilla.

Olin tämän ryhmähomomorfismin mahdollisuuden nolosti unohtanut. Tietysti, se on ryhmän U(1) esitys \(\Pi:U(1)\to Mat(4,\mathbb{C})\), joka on unitaaristen 4x4-matriisien ryhmä.

Jätän nyt noista Lie algebran alamerkinnät Y ja L pois.

Mun yksi kirja tekee tuon hieman muodollisemmin, siinä nuo sun 4x4-matriisit ovat Lie algebran \(\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)\) esityksiä. Siinä on mulle epäselviä kohtia (erinäisiä kertoimia), joten kommentoin sitten tarkemmin myöhemmin. Idealtaan kuitenkin se menee siinä näin, että alkuperäinen Lie algebra\(\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)\) on esitettävissä 2x2-kompleksimatriiseina ja siinä määritellään (tähän tapaukseen sovelletuna) Lie algebran esityksinä \( \pi:\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)\to Mat(4,\mathbb{C})\), missä \(Mat(4,\mathbb{C})\) on 4x4-kompleksimatriisien joukko.

Lie \(\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)\) kantavektorit ovat \(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\) ja \(\beta\). Tuo \(\beta \) on suoraan kirjasta, se on kompleksiluku, koska \(\mathfrak{u}(1)\) on 1-ulotteinen, mutta se voidaan kirjoittaa 2x2-matriisina \(\beta=\beta \mathbb{I}_2\)

Nuo sun matriisit \(t_1,t_2,t_3\) ja y voidaan käsittääkseni ajatella esityksen \(\pi\) avulla:
$$\begin{align*}
\pi(\sigma_1)&=t1\\
\pi(\sigma_2)&=t2\\
\pi(\sigma_3)&=t3\\
\pi(\beta)&=y
\end{align*}$$

Nyt nuo \(t1,t2,t3,y\) voidaan ajatella määrittelevän 4-ulotteisen Lie alialgebran matriisiavaruudessa \(Mat(4,\mathbb{C})\) ja merkitä sitä \(\mathfrak{su}(2)_L \oplus \mathfrak{u}(1)_Y\).

Ihan mielenkiinnosta poimin generaattoreista \(\vec t\) ja \(y\) vasenkiraalisen osan, toisin sanoen vasemman yläkulman 2x2-matriisit. Jätin pois kytkinvakiot \(\frac{1}{2}g\) ja \(\frac{1}{2}g'\).

Kun lisätään eteen i, saadaan generaattorit

\(\begin{align*}
t_1&=i\sigma_1\\
t_2&=i\sigma_2\\
t_3&=i\sigma_3\\
t_0&=iy=i\ \mathbb{I}_2
\end{align*}\)

Nämä ovat antihermiittisiä, eli siis \(t_i^\dagger=-t_i\). Käyttämällä parametria \(a_i \in \mathbb{R}\) voidaan muodostaa generaattorien lineaarikombinaatio
$$u=\sum_{i=0}^{3}a_i\ t_i
$$Vastaavat matriisit \(G=\exp(u)\) ovat unitaaristen 2x2-matriisien ryhmä \(U(2)\). Kun i:n jättää pois, niin generaattorit ovat hermiittisiä, ja matriisieksponentti \(\exp(iu)\) antaa silloin ryhmän \(U(2)\).

Kai tuo \(U(2)\) on ymmärrettäväkin, sillä mukana oleva 2x2-matriisiesitys ryhmälle \(U(1)\) tavallaan poistaa ryhmän \(SU(2)\) ominaisuuden det(G)=1.

[QS]

Paneuduin vielä Weinbergin Lagrangen tiheyteen, ja koetin soveltaa ketjussa esillä olleita juttuja. Neljä fysiikan keinoin havaittavaa mittakenttää määritellään

\(\begin{align*}
&W^\mu=\frac{1}{\sqrt{2}}(A_1^\mu+i\ A_2^\mu)\\\\
&W^{\mu*}=\frac{1}{\sqrt{2}}(A_1^\mu-i\ A_2^\mu)\\\\
&Z^\mu=\cos\theta\ A_3^\mu+\sin\theta\ B^\mu\\\\
&A^\mu=-\sin\theta\ A_3^\mu+\cos\theta\ B^\mu
\end{align*}\)

joista viimeinen \(A^\mu\) on sähkömagneettinen kenttä. Nämä on muodostettu neljän mittakentän \(\vec A_\mu=(A^\mu_1,A^\mu_2,A^\mu_3)\) ja \(B^\mu\) lineaarikombinaatioina. Sivuseikkana: fotonin muodostuminen kahdesta mittakentästä oli taivastelun kohteena teorian aamunkoiton vuosina, mutta käsittääkseni asiasta ei ole mitään konkreettista fysiikkaa löydetty.

Ryhmän \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) generaattorit \(t_1,t_2,t_3\) ja \(y\) ovat nekin lineaarikombinaatioina Lagrangen leptonitermissä

\(\begin{align*}
i\mathcal{L'}_{e}=
-\overline{
\begin{pmatrix}
\nu_e \\ e
\end{pmatrix}}
& \bigg[\ \ \frac{1}{\sqrt{2}}\not\! W (t_{1L}-it_{2L})\\
&+ \frac{1}{\sqrt{2}}\not\! W^* (t_{1L}+it_{2L})\\
&+ \not\! Z (t_{3L}\cos\theta+y\sin\theta)\\
&+\not\! A(-t_{3L}\sin\theta+y\cos\theta)\bigg]
\begin{pmatrix}
\nu_e \\ e
\end{pmatrix}
\end{align*}\)

Laskin matriisit siten, että mukana vain vasenkiraaliset 2x2-matriisit

$$\begin{align*}
t_{1L}-it_{2L}&=\
g\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\\\\
t_{1L}+it_{2L}&=\
g\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \\\\
t_{3L}\cos\theta+y\sin\theta&=
\ \ \ \frac{g}{2}\cos\theta
\begin{pmatrix}
1& 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
+
\frac{g'}{2}\sin\theta
\begin{pmatrix}
1& 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\\\\
-t_{3L}\sin\theta+y\cos\theta&=
-\frac{g}{2}\sin\theta
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
+
\frac{g'}{2}\cos\theta\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}=
e\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\end{align*}$$

missä \(\sin\theta=-e/g\) ja \(\cos\theta=-e/g'\). Näistä matriiseista voidaan poimia

\(\begin{align*}
X&=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\\
Y&=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\\
H&=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\end{align*}\)

jotka ovat selvästi Lien algebran \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\) kanta. Kommutoinnit ovat

\(\begin{align*}[H,X]&=2X\\
[H,Y]&=-2Y\\
[X,Y]&=H
\end{align*}\)

Tämä Lien algebra on vasenkiraalisten leptonien redusoitumaton \((\frac{1}{2},0)\) -esitys.

Neljäs matriisi \(\mathbb{I}_2 = \mathrm{diag}(1,1)\) on nyt sitten ilmeisesti Lien algebran \(\mathfrak{u}(1)\) redusoituva esitys \(\pi: \mathfrak{u}(1)\to \mathrm{Mat}(2,\mathbb{C})\). Vastaava redusoitumaton esitys on \(\pi: \mathfrak{u}(1)\to \mathbb{C}\), joka on hypervarauksen 1x1-matriisi \(Y=-\frac{1}{2}\).

Viimeinen sähkövarauksen matriisi \(-t_{3L}\sin\theta+y\cos\theta\) ilmaisee sen, että leptonin sähkövaraus on peräisin kahdesta eri mittaryhmästä (isospinin \(SU(2)_L\) ja hypervarauksen \(U(1)_Y\)), eikä se ole itsenäinen \(U(1)\)-varaus kuten QED:ssä.

[Disputator]

Iltapäivää, väliaikatiedotus.

Palaan näihin kun kerkeän, olen ollut jumittuneena tiettyihin juttuihin, joita en ymmärrä. Ensimmäinen ongelma on tuo allaoleva oma kirjoitukseni ryhmäteorian esitysten kannalta. Tuo allaoleva voi olla kirjaimellisesti ottaen väärin, mutta sama vika on mun lähteessäni. Toisin sanoen, allaoleva on kyllä tavallaan oikein, mutta siinä on ongelmia. Palaan tähän kun saan jotain selvää asiasta. En ole aivan hakoteilla, koska eräs toinen kirja on paljon tarkempi tässä, en vain vielä hahmota asiaa riittävästi. Mutta palaan asiaan, koska tuo on epäselvyys aika fundamentaali.

Toinen asia johon palaan joskus lähiaikoina on se, että mikä oikeasti onkaan sähköheikon teorian mittaryhmä, onko se \(S^1\otimes SU(2)\) vai \(U(2)\) vai \(S^1\times SU(2)\)? Matemaatikolle nämä kysymykset (tai monesti vain notaatiot) ovat tärkeitä. Kaikkea kolmea olen nähnyt netissä ja muissa lähteissä. Mikä noista on se oikea. Vai ovatko ne samoja ryhmiä vain esitettynä eri notaatiossa?

Ilmeisesti se \(U(2)\) on oikein, mutta kuten sanottu, tähän pitää palata, kun (toivottavasti) ymmärrän asiaa paremmin. En siis osaa perustella \(U(2)\) valintaa, vaan luin sen jostakin. Mulle oikeastaan oli ja on tärkeämpää erotella nuo kolme ryhmää toisistaan.

Matriisin a diagonaalikomponentit ovat redusoitumattomia esityksia \(e^{-i\beta/2}\) ja 1x1-matriisi b on myös \(S^1\):n redusoitumaton esitys \(e^{-i\beta}\) missä tuo eksponentti on annettu (heikon)hypervarauksen Y avulla eli \(e^{\frac{i}{2}Y\beta}\). Kvanttiluku Y luokittelee siis ryhmän \(S^1\) redusoitumattomat esitykset. Vasenkiraalilla elektronilla ja neutriinolla on Y=-1 ja oikeakiraalilla elektronilla Y=-2. (edit: korjattu luvut)
$$
g\cdot\psi
=\begin{bmatrix}
e^{-i\beta/2} & 0 & 0 \\
0 & e^{-i\beta/2}& 0 \\
0 & 0 &e^{-i\beta}& \\
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
e_L \\
(\nu_e)_L \\
e_R \\
\end{pmatrix}
$$

[Eusa]

Iltapäivää, väliaikatiedotus.

Palaan näihin kun kerkeän, olen ollut jumittuneena tiettyihin juttuihin, joita en ymmärrä. Ensimmäinen ongelma on tuo allaoleva oma kirjoitukseni ryhmäteorian esitysten kannalta. Tuo allaoleva voi olla kirjaimellisesti ottaen väärin, mutta sama vika on mun lähteessäni. Toisin sanoen, allaoleva on kyllä tavallaan oikein, mutta siinä on ongelmia. Palaan tähän kun saan jotain selvää asiasta. En ole aivan hakoteilla, koska eräs toinen kirja on paljon tarkempi tässä, en vain vielä hahmota asiaa riittävästi. Mutta palaan asiaan, koska tuo on epäselvyys aika fundamentaali.

Toinen asia johon palaan joskus lähiaikoina on se, että mikä oikeasti onkaan sähköheikon teorian mittaryhmä, onko se \(S^1\otimes SU(2)\) vai \(U(2)\) vai \(S^1\times SU(2)\)? Matemaatikolle nämä kysymykset (tai monesti vain notaatiot) ovat tärkeitä. Kaikkea kolmea olen nähnyt netissä ja muissa lähteissä. Mikä noista on se oikea. Vai ovatko ne samoja ryhmiä vain esitettynä eri notaatiossa?

Ilmeisesti se \(U(2)\) on oikein, mutta kuten sanottu, tähän pitää palata, kun (toivottavasti) ymmärrän asiaa paremmin. En siis osaa perustella \(U(2)\) valintaa, vaan luin sen jostakin. Mulle oikeastaan oli ja on tärkeämpää erotella nuo kolme ryhmää toisistaan.

Hm. \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) on se varsinainen. Ellei heikko isospin ja hypervaraus ole eroteltu, dubit ja singletit ei pelaa kätisyyksiin kuten kuuluisi.

[QS]

Iltapäivää, väliaikatiedotus.

Palaan näihin kun kerkeän, olen ollut jumittuneena tiettyihin juttuihin, joita en ymmärrä. Ensimmäinen ongelma on tuo allaoleva oma kirjoitukseni ryhmäteorian esitysten kannalta. Tuo allaoleva voi olla kirjaimellisesti ottaen väärin, mutta sama vika on mun lähteessäni. Toisin sanoen, allaoleva on kyllä tavallaan oikein, mutta siinä on ongelmia. Palaan tähän kun saan jotain selvää asiasta. En ole aivan hakoteilla, koska eräs toinen kirja on paljon tarkempi tässä, en vain vielä hahmota asiaa riittävästi. Mutta palaan asiaan, koska tuo on epäselvyys aika fundamentaali.

Toinen asia johon palaan joskus lähiaikoina on se, että mikä oikeasti onkaan sähköheikon teorian mittaryhmä, onko se \(S^1\otimes SU(2)\) vai \(U(2)\) vai \(S^1\times SU(2)\)? Matemaatikolle nämä kysymykset (tai monesti vain notaatiot) ovat tärkeitä. Kaikkea kolmea olen nähnyt netissä ja muissa lähteissä. Mikä noista on se oikea. Vai ovatko ne samoja ryhmiä vain esitettynä eri notaatiossa?

Ilmeisesti se \(U(2)\) on oikein, mutta kuten sanottu, tähän pitää palata, kun (toivottavasti) ymmärrän asiaa paremmin. En siis osaa perustella \(U(2)\) valintaa, vaan luin sen jostakin. Mulle oikeastaan oli ja on tärkeämpää erotella nuo kolme ryhmää toisistaan.

Matriisin a diagonaalikomponentit ovat redusoitumattomia esityksia \(e^{-i\beta/2}\) ja 1x1-matriisi b on myös \(S^1\):n redusoitumaton esitys \(e^{-i\beta}\) missä tuo eksponentti on annettu (heikon)hypervarauksen Y avulla eli \(e^{\frac{i}{2}Y\beta}\). Kvanttiluku Y luokittelee siis ryhmän \(S^1\) redusoitumattomat esitykset. Vasenkiraalilla elektronilla ja neutriinolla on Y=-1 ja oikeakiraalilla elektronilla Y=-2. (edit: korjattu luvut)
$$
g\cdot\psi
=\begin{bmatrix}
e^{-i\beta/2} & 0 & 0 \\
0 & e^{-i\beta/2}& 0 \\
0 & 0 &e^{-i\beta}& \\
\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}
e_L \\
(\nu_e)_L \\
e_R \\
\end{pmatrix}
$$

Iltaa! Minäkin jäin taannoin jumiin \(U(2)\):n ja \(SU(2)\times U(1)\):n väliseen yhteyteen. Mutta päädyin siihen, että \(U(2)\) olisi väärä ryhmä sähköheikolle teorialle.

Sain käsityksen, että \(U(n)\) on ryhmän \(U(1)\) ja \(SU(n)\) ja puolisuora tulo, \(U(n)= U(1) \ltimes SU(n)\).

Tähän liittyi kaikenlaisia ominaisuuksia, joista yksi se, että tuo puolisuora tulo tekisi teorian muunnokset hyvin erilaisiksi. Kyseessä olisi yksi ei-abelinen mittaryhmä \(U(2)\), jota ei voisi jakaa kahteen itsenäiseen osaan \(U(1)\) ja \(SU(2)\) siinä vaiheessa, kun mittamuunnos toimii spinori-vektoriin.

Suora tulo \(SU(2)\times U(1)\) mahdollistaa sen, että \(g \in U(1)\) ja \(h \in SU(2)\) voidaan kohdistaa spinoreihin kummin päin vain, joko ensin \(g\) ja sitten \(h\), tai ensin \(h\) ja sitten \(g\), missä \(g\) ja \(h\) kommutoivat.

Tuo jäi multa osittain kesken, mutta tuohon pisteeseen asti pääsin.

Ajauduin itse asiassa melko syvälle fermioni-teorioiden ominaisuuksiin. Niistä voisin joskus paljon myöhemmin kirjoittaa. On jopa mahdollista luokitella symmetriaryhmät ja spinorit, jotka on mahdollisia kvantisoida siten, että klassisen teorian symmetriat toteutuvat myös kvantisoidussa teoriassa.

[QS]

No niin. Paneuduin tosiaan Weinbergiin, tällä kertaa Vol 2:n lukuun "15.2 Gauge Theory Lagrangians and Simple Lie Groups".

Luvussa käsitellään Lagrangen tiheyden \(\mathscr{L}\) termejä, joissa esiintyy mittakenttätensori \({F^\alpha}_{\mu\nu}\). Tensori on siis muodostettu mittakentistä \({A^\alpha}_\mu\), missä mittakentän indeksi \(\alpha=\{1,2,...,n\}\). Näitä indeksejä vastaavan mittaryhmän generaattorit ovat \(t_\alpha\).

Mittamuunnoksessa \(\mathscr{L}\) on invariantti, toisin sanoen mittakenttätensorit \({F^{\alpha}}_{\mu\nu}\) ja materiahiukkaset \(\psi_m\) muuntuvat siten, että
$$\begin{align*}
&\require{physics}\pdv{\mathscr{L}}{\psi_l}i{(t_\alpha)_l}^m\ \psi_m
+ \pdv{\mathscr{L}}{(D_\mu\psi_l)} i{(t_\alpha)_l}^m\ (D_\mu\psi_m)\ +...\\
&+\pdv{ \mathscr{L} }{ {F^\beta}_{\mu\nu} }\ {C^\beta}_{\gamma\alpha} {F^\gamma}_{\nu\mu}\\
&+\pdv{ \mathscr{L} }{( D_\rho{F^\beta}_{\mu\nu}) }\ {C^\beta}_{\gamma\alpha}D_\rho{F^\gamma}_{\nu\mu}\\
&+...\\\\
&=0
\end{align*}$$
Lauseke on hiukan ruuhkainen, mutta siinä on muunnoksen perusajatus. Useita termejä on jätetty pois. Notaatiossa esimerkiksi \({(t_\alpha)_l}^m\) on muunnosryhmän generaattorimatriisi, ja sen komponentit \(l\) ja \(m\). Nämä indeksit viittaavat materiahiukkaskenttiin \(\psi_m\) ja \(\psi_l\). Kenttätensorin indeksi \(\gamma\) viittaa mittakenttiin \(\gamma=\{1,2,...,n\}\).

Matriisit \({C^\beta}_{\gamma\alpha}\) ovat rakennevakioita mittaryhmän Lien algebrassa \([t_\alpha,t_\beta]=i{C^\gamma}_{\alpha\beta}t_\gamma\).

Mittakentät \(A^\alpha\) eivät sellaisenaan ole Lagrangen tiheydessä. Sen sijaan kenttävoimakkuustensorit \(F^\alpha\) ja vastaavat kovariantit derivaatat \(D\) ovat. Lorentz- ja P-symmetrian toteuttava mittakenttätermi on oltava muotoa

\(\mathscr{L}_A = -\frac{1}{2}g_{\alpha\beta}{F^{\alpha}}_{\mu\nu}F^{\beta\mu\nu}\)

missä matriisi \(g_{\alpha\beta}\) on vakio ja reaalinen. Reaalisuus takaa reaalisen Lagrangen tiheyden. Weinbergin mukaan \(\mathscr{L}_A\) toteuttaa mittainvarianssin siinä tapauksessa, että kaikille indeksin \(\delta\) arvoille pätee

\(g_{\alpha\beta}{F^{\alpha}}_{\mu\nu}{C^\beta}_{\gamma\delta}F^{\beta\mu\nu}=0\).

Tämä toteutuu, kun

\(g_{\alpha\beta}{C^\beta}_{\gamma\delta}=-g_{\gamma\beta}{C^\beta}_{\alpha\delta}\).

Lisäksi matriisin \(g_{\alpha\beta}\) on oltava positiivisesti definiitti, jotta kvantisoinnin jälkeen erinäiset skalaaritulot ovat positiivisia.

Näiden edellä asetettujen vaaatimusten pohjalta Weinberg esittää kolme ehtoa a-c, jotka ovat ekvivalentteja:

a: On olemassa reaalinen, symmetrinen ja positiivisesti definiitti matriisi \(g_{\alpha\beta}\), joka toteuttaa mittainvarianssin.

b: On olemassa Lien algebran kanta (joukko generaattoreita \(\tilde{t}_\alpha = \mathscr{S}_{\alpha\beta}\ t_\beta\), missä \(\mathscr{S}\) on reaalinen ei-singulaarinen matriisi), jonka rakennevakiot \({\tilde{C}^\alpha}_{\beta\gamma}\) ovat antisymmetrisiä siten, että antisymmetrisyys ei koske vain indeksejä \(\beta\) ja \(\gamma\), vaan kaikkia kolmea \(\alpha\), \(\beta\) ja \(\gamma\). Tässä tapauksessa rakennevakion voi kirjoittaa \({\tilde{C}}_{\alpha\beta\gamma}\).

c: Lien algebra on suora summa, jonka Lien algebrat kommutoivat, ovat kompaktit, ovat yksinkertaiset ja summa sisältää U(1) alialgebran.

Ehto c viittaa tässä mittasymmetriaryhmän Lien algebraan, ja vaikuttaa sisältävän kaiken ryhmäteorian ja ryhmien esitysteorian perusteista, ja hiukan ylikin . Alkuperäisellä Weinberg-salakielellä (jotta mun mahdolliset virheet voi korjata) ehto kuuluu näin: "The Lie algebra is the direct sum of commuting compact simple and U(1) subalgebras."

Näiden jälkeen esitellään muutama konkreettinen havainto. Esimerkiksi rotaatioryhmä on kompakti, ja sen Lien algebra on kompakti, sillä sisältää kompaktin ryhmän generaattorit. Lorentzryhmä ei ole kompakti, joten sen Lien algebra ei ole mukana kohdassa c.

Kompaktin Lien ryhmän äärellisulotteiset esitykset ovat kaikki unitaarisia. Kompaktin Lien algebran äärellisulotteiset esitykset ovat vastaavasti kaikki hermiittisiä.

Sitten kirja mainitsee Lien algebrat, jotka liittyvät edelliseen kohtaan c ja sitä kautta sähköheikon teorian symmetriaan: Lien algebrat, joiden esitykset ovat muuta kuin triviaaleja, ja joiden generaattorit \(t_\alpha\) ovat toisistaan riippumattomat, äärellisulotteiset, ja hermiittiset.

Nämä ominaisuudet ovat Lien algebroilla, jotka ovat suora summa, missä U(1):n Lien algebraan summataan kompakteja yksinkertaisia Lien algebroja. Käsittäisin, että sähköheikko mittaryhmä on tämän seurauksena suora tulo ja symmetriaryhmässä on mukana U(1). Tässähän \(Lie[G_1 \times G_2 \times G_3]\) ja \(\mathfrak{g}_1 \oplus \mathfrak{g}_2\oplus \mathfrak{g}_3\) ovat isomorfiset.

Mietin tässä kohti ryhmää U(2), joka on käsittääkseni kompakti, mutta se ei ole yksinkertainen eikä edes puoliyksinkertainen? Hmm. Se ei kai täytä näitä Weinbergin ehtoja.

Tämä kaikki yhdistyy luvun Appendix A:ssa, jossa ehtojen a,b ja c ekvivalenssi todistetaan! Varsinkin kohtaan c liittyvä todistus on oleellinen, mutta sen ymmärtäminen mulla vielä kesken.

[Disputator]

Iltapäivää! Olen myös pähkäillyt hyvin intensiivisesti kaikkea puolisuoriin tuloihin ym. liittyvää.

Iltaa! Minäkin jäin taannoin jumiin \(U(2)\):n ja \(SU(2)\times U(1)\):n väliseen yhteyteen. Mutta päädyin siihen, että \(U(2)\) olisi väärä ryhmä sähköheikolle teorialle.

Sain käsityksen, että \(U(n)\) on ryhmän \(U(1)\) ja \(SU(n)\) ja puolisuora tulo, \(U(n)= U(1) \ltimes SU(n)\).

Tämä voi olla näinkin, otin vain jostain lähteestä tuon \(U(2)\)-symmetrian sähköheikon teorian mittaryhmäksi.

Tähän liittyi kaikenlaisia ominaisuuksia, joista yksi se, että tuo puolisuora tulo tekisi teorian muunnokset hyvin erilaisiksi. Kyseessä olisi yksi ei-abelinen mittaryhmä \(U(2)\), jota ei voisi jakaa kahteen itsenäiseen osaan \(U(1)\) ja \(SU(2)\) siinä vaiheessa, kun mittamuunnos toimii spinori-vektoriin.

Suora tulo \(SU(2)\times U(1)\) mahdollistaa sen, että \(g \in U(1)\) ja \(h \in SU(2)\) voidaan kohdistaa spinoreihin kummin päin vain, joko ensin \(g\) ja sitten \(h\), tai ensin \(h\) ja sitten \(g\), missä \(g\) ja \(h\) kommutoivat.

Tuo jäi multa osittain kesken, mutta tuohon pisteeseen asti pääsin.

Tuo on aivan totta mitä kirjoitat, U(1) ja SU(2) toiminta kommutoi, jos se SH-mittaryhmä on
\(SU(2)\times U(1)\), koska tuloryhmän komponenttiryhmät kommutoivat aina keskenään.

Ajauduin itse asiassa melko syvälle fermioni-teorioiden ominaisuuksiin. Niistä voisin joskus paljon myöhemmin kirjoittaa. On jopa mahdollista luokitella symmetriaryhmät ja spinorit, jotka on mahdollisia kvantisoida siten, että klassisen teorian symmetriat toteutuvat myös kvantisoidussa teoriassa.

En varmaankaan osaa kommentoida tuota fysikaalista osuutta tuosta, mutta kirjoita ihmeessä.

Itse tosiaan olen uponnut aika syvälle tuohon puolisuoran tulon suohon ja aihe on mielenkiintoinen matemaattisestikin, mutta erityisesti siksi, että se esiintyy niin monessa geometrisessä tai fysikaalisessa tilanteessa, esimerkiksi Poincare-ryhmä, Galilei-ryhmä ym.. Ihan tasogeometrian esimerkkinä: \(O(2)= SO(2)\rtimes \{1,-1\} \), epätriviaalisti.

Jotain hajanaisia huomioita alla puolisuorasta tulosta, palaan aiheeseen tarkemmin esimerkkien kanssa, jotka ovat relevantteja tähän keissiin.

Puolisuora tulo ei ole kuitenkaan mitenkään aina yksikäsitteisesti määritelty, siis jos on annettuna kaksi ryhmää \(N\) ja \(H\), niin niille voidaan muodostaa (mahdollisesti) usealla eri tavalla puolisuora tulona uusi ryhmä \(G=N\rtimes H\), yksi niistä on tuloryhmä\(N\times H\). Eri tavoin muodostettu puolisuora tulo tuottaa mahdollisesti erilaisia (ei-isomorfisia) ryhmiä \(N\rtimes H\).

Eri tavoin tarkoittaa formaalisti seuraavaa: määritellään joku ryhmähomomorfismi \(\psi\) ryhmältä \(H\) ryhmään \(Aut(N)\), missä \(Aut(N)\) on ryhmän \(N\) bijektiivisten homomorfismien joukko, joka on myös ryhmä ja määritellään tämän \(\psi\)-kuvauksen avulla tietyllä tavalla puolisuora tulo\(N\rtimes_{\psi} H\). Tuo \(\psi\) tuossa koodaa sen puolisuoran tulon riippuvuuden kuvauksesta \(\psi\).

Toinen tilanne on, se että jos on annettuna valmiiksi ryhmä G (esimerkiksi \(U(2)\)), niin voinko esittää se puolisuorana tulona joistain G:n aliryhmistä \(N\) ja \(H\), esimerkiksi \(N=SU(2)\) ja \(H= U(1)\).

Tässä tulee vastaan probleemana se että miten \(U(2)\)-keississä, että millä tavalla tuo \(U(1)\) on "upotettu" \(U(2)\):n sisään. Koska \(U(2)\) on 2x2-matriisiryhmä, niin \(U(1)\) on myös 2x2-matriisiryhmä, mutta mikä matriisiryhmä se oikeastaan on? \(U(1)\)-ryhmä voidaan "sijoittaa" \(U(2)\):n sisälle monella eri tavalla ja miten se sitten vaikuttaa mahdolliseen \(U(2)\):n esitykseen puolisuorana tulona?

Tämä ryhmän \(U(1)\) sijoittelu ryhmän \(U(2)\) sisään jossain määrin vastaa likimääräisesti edellisen kohdan kuvauksen \(\psi\) valintaa, eli miten \(U(1)\) sijoitetaan \(U(2)\):n sisään, saadaan mahdollisesti erilaisia puolisuoria tuloja. Tätä pitää kyllä selvitellä vielä.

Tähän littyy paljon pedanttista matematiikkaa ja en ole vielä selvillä monista nyansseista, mutta palaan tähän mielellään, koska aihe on niin kiinnostava. Menee kyllä ensi viikonloppuun, kun on aikaa kirjoitella tästä aiheesta tarkemmin.

[Eusa]

Puolisuorassa tulossa on aina määriteltävä tarkasti, miten toinen ryhmä \(H\) vaikuttaa toisen ryhmän \(N\) alkioihin. Tämä vaikutin on olennaista puolisuoran tulon määrittelyssä ja erottelussa suorasta tulosta. Vaikutin määrää, miten \(H\):n alkiot muuttavat \(N\):n alkioita yhdisteltäessä pareja puolisuorassa tulossa.

Vaikutin voi olla esimerkiksi:
- Sisäinen automorfismi eli \(H\) voi muuttaa \(N\):n alkioita symmetrian, käännöksen tai jonkin muun ryhmän rakenteeseen liittyvän operaation avulla.
- Modulo- tai merkitysoperaatio eli \(H\):n alkiot voivat moduloida tai vaihtaa \(N\):n alkioiden arvoja.

Ilman erityisen vaikuttimen määrittelyä puolisuorasta tulosta ei ole oikeastaan puhumista, koska sen ryhmärakenne ja ominaisuudet riippuvat täysin siitä, miten \(H\) vaikuttaa \(N\):ään.

Samalla tuo riippuvuus tekee puolisuorasta tulosta ei-kommutoivan.

P.s. Käytin tahallani "action"-termistä sanaa "vaikutin," sillä fysiikassa puolisuoraan tuloon turvautumisen takana on todellakin erityinen vaikutin saada esitykseen jokin fysikaalinen riippuvuus.

[Disputator]

No niin. Paneuduin tosiaan Weinbergiin, tällä kertaa Vol 2:n lukuun "15.2 Gauge Theory Lagrangians and Simple Lie Groups".

...

Näiden edellä asetettujen vaaatimusten pohjalta Weinberg esittää kolme ehtoa a-c, jotka ovat ekvivalentteja:

a: On olemassa reaalinen, symmetrinen ja positiivisesti definiitti matriisi \(g_{\alpha\beta}\), joka toteuttaa mittainvarianssin.

b: On olemassa Lien algebran kanta (joukko generaattoreita \(\tilde{t}_\alpha = \mathscr{S}_{\alpha\beta}\ t_\beta\), missä \(\mathscr{S}\) on reaalinen ei-singulaarinen matriisi), jonka rakennevakiot \({\tilde{C}^\alpha}_{\beta\gamma}\) ovat antisymmetrisiä siten, että antisymmetrisyys ei koske vain indeksejä \(\beta\) ja \(\gamma\), vaan kaikkia kolmea \(\alpha\), \(\beta\) ja \(\gamma\). Tässä tapauksessa rakennevakion voi kirjoittaa \({\tilde{C}}_{\alpha\beta\gamma}\).

c: Lien algebra on suora summa, jonka Lien algebrat kommutoivat, ovat kompaktit, ovat yksinkertaiset ja summa sisältää U(1) alialgebran.

Ehto c viittaa tässä mittasymmetriaryhmän Lien algebraan, ja vaikuttaa sisältävän kaiken ryhmäteorian ja ryhmien esitysteorian perusteista, ja hiukan ylikin . Alkuperäisellä Weinberg-salakielellä (jotta mun mahdolliset virheet voi korjata) ehto kuuluu näin: "The Lie algebra is the direct sum of commuting compact simple and U(1) subalgebras."

En tietenkään ymmärtänyt tuota esittämääsi Weinbergin johdattelua noihin ehtoihin a,b,c, mutta löysin heti jotain vastaavaa kirjastani ja palaan siihen heti ensi viikonloppuna. Yllättävää kyllä, kerrankin voi edes vähän ymmärtää Weinbergia ymmärtämättä Weinbergiä itseään. Pystyin siis tunnistamaan tiettyjä avainsanoja ja selailemalla kirjallisuutta löysin sitten jotain vastaavaa matemaatikon kielellä.

Näiden jälkeen esitellään muutama konkreettinen havainto. Esimerkiksi rotaatioryhmä on kompakti, ja sen Lien algebra on kompakti, sillä sisältää kompaktin ryhmän generaattorit. Lorentzryhmä ei ole kompakti, joten sen Lien algebra ei ole mukana kohdassa c.

Kompaktin Lien ryhmän äärellisulotteiset esitykset ovat kaikki unitaarisia. Kompaktin Lien algebran äärellisulotteiset esitykset ovat vastaavasti kaikki hermiittisiä.

Sitten kirja mainitsee Lien algebrat, jotka liittyvät edelliseen kohtaan c ja sitä kautta sähköheikon teorian symmetriaan: Lien algebrat, joiden esitykset ovat muuta kuin triviaaleja, ja joiden generaattorit \(t_\alpha\) ovat toisistaan riippumattomat, äärellisulotteiset, ja hermiittiset.

Nämä ominaisuudet ovat Lien algebroilla, jotka ovat suora summa, missä U(1):n Lien algebraan summataan kompakteja yksinkertaisia Lien algebroja. Käsittäisin, että sähköheikko mittaryhmä on tämän seurauksena suora tulo ja symmetriaryhmässä on mukana U(1). Tässähän \(Lie[G_1 \times G_2 \times G_3]\) ja \(\mathfrak{g}_1 \oplus \mathfrak{g}_2\oplus \mathfrak{g}_3\) ovat isomorfiset.

Mietin tässä kohti ryhmää U(2), joka on käsittääkseni kompakti, mutta se ei ole yksinkertainen eikä edes puoliyksinkertainen? Hmm. Se ei kai täytä näitä Weinbergin ehtoja.

Totta, ei ole yksinkertainen tai puoliyksinkertainen (tai en ole ihan varma). Mutta, esimerkiksi Lien ryhmä \(G=S^1\times S^1\) on myös kompakti Lien ryhmä, joka ei ole yksinkertainen eikä edes puoliyksinkertainen. Ryhmän G yksinkertaisuus ja puoliyksinkertaisuus määritellään siis vastaavan Lien algebran kautta.

Tämä kaikki yhdistyy luvun Appendix A:ssa, jossa ehtojen a,b ja c ekvivalenssi todistetaan! Varsinkin kohtaan c liittyvä todistus on oleellinen, mutta sen ymmärtäminen mulla vielä kesken.

Palaan näihin havaintoihisi ensi viikonloppuna. Tässä on paljon asiaa pelissä ja pohdittavana.

[QS]

Itse tosiaan olen uponnut aika syvälle tuohon puolisuoran tulon suohon ja aihe on mielenkiintoinen matemaattisestikin, mutta erityisesti siksi, että se esiintyy niin monessa geometrisessä tai fysikaalisessa tilanteessa, esimerkiksi Poincare-ryhmä, Galilei-ryhmä ym.. Ihan tasogeometrian esimerkkinä: \(O(2)= SO(2)\rtimes \{1,-1\} \), epätriviaalisti.

Jotain hajanaisia huomioita alla puolisuorasta tulosta, palaan aiheeseen tarkemmin esimerkkien kanssa, jotka ovat relevantteja tähän keissiin.

Puolisuora tulo ei ole kuitenkaan mitenkään aina yksikäsitteisesti määritelty, siis jos on annettuna kaksi ryhmää \(N\) ja \(H\), niin niille voidaan muodostaa (mahdollisesti) usealla eri tavalla puolisuora tulona uusi ryhmä \(G=N\rtimes H\), yksi niistä on tuloryhmä\(N\times H\). Eri tavoin muodostettu puolisuora tulo tuottaa mahdollisesti erilaisia (ei-isomorfisia) ryhmiä \(N\rtimes H\).

Eri tavoin tarkoittaa formaalisti seuraavaa: määritellään joku ryhmähomomorfismi \(\psi\) ryhmältä \(H\) ryhmään \(Aut(N)\), missä \(Aut(N)\) on ryhmän \(N\) bijektiivisten homomorfismien joukko, joka on myös ryhmä ja määritellään tämän \(\psi\)-kuvauksen avulla tietyllä tavalla puolisuora tulo\(N\rtimes_{\psi} H\). Tuo \(\psi\) tuossa koodaa sen puolisuoran tulon riippuvuuden kuvauksesta \(\psi\).

Toinen tilanne on, se että jos on annettuna valmiiksi ryhmä G (esimerkiksi \(U(2)\)), niin voinko esittää se puolisuorana tulona joistain G:n aliryhmistä \(N\) ja \(H\), esimerkiksi \(N=SU(2)\) ja \(H= U(1)\).

Tässä tulee vastaan probleemana se että miten \(U(2)\)-keississä, että millä tavalla tuo \(U(1)\) on "upotettu" \(U(2)\):n sisään. Koska \(U(2)\) on 2x2-matriisiryhmä, niin \(U(1)\) on myös 2x2-matriisiryhmä, mutta mikä matriisiryhmä se oikeastaan on? \(U(1)\)-ryhmä voidaan "sijoittaa" \(U(2)\):n sisälle monella eri tavalla ja miten se sitten vaikuttaa mahdolliseen \(U(2)\):n esitykseen puolisuorana tulona?

Tämä ryhmän \(U(1)\) sijoittelu ryhmän \(U(2)\) sisään jossain määrin vastaa likimääräisesti edellisen kohdan kuvauksen \(\psi\) valintaa, eli miten \(U(1)\) sijoitetaan \(U(2)\):n sisään, saadaan mahdollisesti erilaisia puolisuoria tuloja. Tätä pitää kyllä selvitellä vielä.

Tähän littyy paljon pedanttista matematiikkaa ja en ole vielä selvillä monista nyansseista, mutta palaan tähän mielellään, koska aihe on niin kiinnostava. Menee kyllä ensi viikonloppuun, kun on aikaa kirjoitella tästä aiheesta tarkemmin.

Mulla ei ole yhtään kirjaa, joka käsittelisi puolisuoraa tuloa. Yksittäisiä esimerkkejä vain löytyy, kuten Poincare-ryhmä. Tarkoittaa sitä, että olen Wikipedian varassa, mikä ei ole välttämättä hyvä asia.

Mutta lämmittelen tuon \(O(2)= SO(2)\rtimes \{1,-1\}\) avulla. Tässä voi merkitä \(G = O(2)\), \(N=SO(2)\) ja

\(H=
\bigg\{ \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\bigg\}\)

\(N\) on ryhmän \(G\) normaali aliryhmä \(N \triangleleft G\), sillä kaikille \(g \in G\) ja \(n \in N\) pätee \(gng^{-1} \in N\). Ryhmä \(H\) on \(G\):n aliryhmä, jonka toteamiseen kai riittää, että \(H\) on ryhmä ja sille pätee \(O(2)\):n määritelmä \(hh^T = h^Th = I\).

Kyseessä on puolisuora tulo, kun neutraalialkion \(e\) sisältävä ryhmä \(G\) on aliryhmiensä tulo siten, että

\(G=NH=\{nh: n\in N, h\in H\}\),

missä lisäksi \(N \cap H = \{e\}\), eli ainoa yhteinen alkio on neutraalialkio. Näiden perusteella tosiaankin \(O(2)= SO(2)\rtimes \{1,-1\}\).

Koetan ymmärtää \(U(2)\):n ihan kokeilemalla, koska aihe on mulle sumuinen. Kyseessä on siis puolisuora tulo \(U(2)=SU(2) \rtimes U(1)\).

Merkitään \(G=U(2)\), \(N=SU(2)\) ja \(H=U(1)\), jotta muistan nuo vastaavat G,N ja H edelliseen esimerkkiin vertaamalla. Matriisit \(n\in SU(2)\) ovat

\(n := \left \{ \begin{pmatrix}
a & b\\
-\bar b & \bar a
\end{pmatrix}\ \bigg|\ a,b \in \mathbb{C},\ |a|^2+|b|^2=1 \right \}\)

Jossain lähteessä mainittiin \(SU(2) \triangleleft U(2)\), jota en itse todennut, mutta uskon, että näin on, joten \(N \triangleleft G\).

Seuraavaksi pitää muodostaa ryhmän \(H=U(1)\) matriisiesitys \(\Pi:U(1)\to \text{Mat}(2,\mathbb{C})\). Näitä esityksiä on useita, ja voin valita esimerkiksi

\(h_1 := \left \{ \begin{pmatrix}
e^{i\theta} & 0\\
0 & e^{i\theta}
\end{pmatrix},\ \theta\in\mathbb{R} \right\}\)

tai

\(h_2 := \left \{ \begin{pmatrix}
e^{i\theta} & 0\\
0 & e^{-i\theta}
\end{pmatrix},\ \theta\in\mathbb{R} \right\}\)

Aliryhmien tulo matriiseja \(h_1\) käyttämällä on

\(g_1=nh_1 = \left \{ \begin{pmatrix}
ae^{i\theta} & be^{i\theta}\\
-\bar be^{i\theta} & \bar ae^{i\theta}
\end{pmatrix} \right \}\)

Aliryhmien tulo matriiseja \(h_2\) käyttämällä on

\(g_2=nh_2 = \left \{ \begin{pmatrix}
ae^{-i\theta} & be^{i\theta}\\
-\bar be^{-i\theta} & \bar ae^{i\theta}
\end{pmatrix} \right \}\)

Jos oikein laskin, niin molemmat \(g_1\) ja \(g_2\) ovat unitaariset, joten \(g_1,g_2 \in U(2)\). Pitää vielä tarkistaa, että \(N \cap H = \{e\}\).

Ryhmän \(SU(2)\) diagonaalimatriisit ovat muotoa \(\text{diag}(a,\bar a)\), missä \(|a|^2=1\). Nämä ja \(h_1\in U(1)\) ovat samat vain neutraalialkion \(e=\text{diag}(1,1)\) kohdalla.

Mutta mielestäni matriisit \(h_2 \in U(1)\) ja diagonaaliset \(SU(2)\)-matriisit ovat samoja muuallakin kuin neutraalialkion kohdalla. Matriisien muodosta mielestäni voi jo päätellä, että \(\{h_2\}\) on \(SU(2)\):n aliryhmä, mutta edellinen \(\{h_1\}\) ei ole.

Tämän seurauksena matriisien \(h_2\) tapauksessa kyseessä ei olisi puolisuora tulo, sillä \(N \cap H \neq \{e\}\). Vaikuttaa siltä, että ryhmän \(U(1)\) homomorfismeille oltava jotain rajoituksia, joiden voimassa ollessa \(U(2)=SU(2) \rtimes U(1)\) ?

Voi toki olla, että laskin väärin, tai jäi joku asia huomaamatta.