Mittakenttäteoriaa, pääsäiekimput ym. settiä

[Eusa]

Itse tosiaan olen uponnut aika syvälle tuohon puolisuoran tulon suohon ja aihe on mielenkiintoinen matemaattisestikin, mutta erityisesti siksi, että se esiintyy niin monessa geometrisessä tai fysikaalisessa tilanteessa, esimerkiksi Poincare-ryhmä, Galilei-ryhmä ym.. Ihan tasogeometrian esimerkkinä: $O(2)=SO(2)⋊\{1,-1\}$, epätriviaalisti.

Jotain hajanaisia huomioita alla puolisuorasta tulosta, palaan aiheeseen tarkemmin esimerkkien kanssa, jotka ovat relevantteja tähän keissiin.

Puolisuora tulo ei ole kuitenkaan mitenkään aina yksikäsitteisesti määritelty, siis jos on annettuna kaksi ryhmää $N$ ja $H$, niin niille voidaan muodostaa (mahdollisesti) usealla eri tavalla puolisuora tulona uusi ryhmä $G=N⋊H$, yksi niistä on tuloryhmä$N\times H$. Eri tavoin muodostettu puolisuora tulo tuottaa mahdollisesti erilaisia (ei-isomorfisia) ryhmiä $N⋊H$.

Eri tavoin tarkoittaa formaalisti seuraavaa: määritellään joku ryhmähomomorfismi $\psi$ ryhmältä $H$ ryhmään $Aut(N)$, missä $Aut(N)$ on ryhmän $N$ bijektiivisten homomorfismien joukko, joka on myös ryhmä ja määritellään tämän $\psi$-kuvauksen avulla tietyllä tavalla puolisuora tulo$N{⋊}_{\psi }H$. Tuo $\psi$ tuossa koodaa sen puolisuoran tulon riippuvuuden kuvauksesta $\psi$.

Toinen tilanne on, se että jos on annettuna valmiiksi ryhmä G (esimerkiksi $U(2)$), niin voinko esittää se puolisuorana tulona joistain G:n aliryhmistä $N$ ja $H$, esimerkiksi $N=SU(2)$ ja $H=U(1)$.

Tässä tulee vastaan probleemana se että miten $U(2)$-keississä, että millä tavalla tuo $U(1)$ on "upotettu" $U(2)$:n sisään. Koska $U(2)$ on 2x2-matriisiryhmä, niin $U(1)$ on myös 2x2-matriisiryhmä, mutta mikä matriisiryhmä se oikeastaan on? $U(1)$-ryhmä voidaan "sijoittaa" $U(2)$:n sisälle monella eri tavalla ja miten se sitten vaikuttaa mahdolliseen $U(2)$:n esitykseen puolisuorana tulona?

Tämä ryhmän $U(1)$ sijoittelu ryhmän $U(2)$ sisään jossain määrin vastaa likimääräisesti edellisen kohdan kuvauksen $\psi$ valintaa, eli miten $U(1)$ sijoitetaan $U(2)$:n sisään, saadaan mahdollisesti erilaisia puolisuoria tuloja. Tätä pitää kyllä selvitellä vielä.

Tähän littyy paljon pedanttista matematiikkaa ja en ole vielä selvillä monista nyansseista, mutta palaan tähän mielellään, koska aihe on niin kiinnostava. Menee kyllä ensi viikonloppuun, kun on aikaa kirjoitella tästä aiheesta tarkemmin.

Mulla ei ole yhtään kirjaa, joka käsittelisi puolisuoraa tuloa. Yksittäisiä esimerkkejä vain löytyy, kuten Poincare-ryhmä. Tarkoittaa sitä, että olen Wikipedian varassa, mikä ei ole välttämättä hyvä asia.

Mutta lämmittelen tuon $O(2)=SO(2)⋊\{1,-1\}$ avulla. Tässä voi merkitä $G=O(2)$, $N=SO(2)$ ja

$H=\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\}$

$N$ on ryhmän $G$ normaali aliryhmä $N◃G$, sillä kaikille $g\in G$ ja $n\in N$ pätee $gn{g}^{-1}\in N$. Ryhmä $H$ on $G$:n aliryhmä, jonka toteamiseen kai riittää, että $H$ on ryhmä ja sille pätee $O(2)$:n määritelmä $h{h}^T=h^{T}h=I$.

Kyseessä on puolisuora tulo, kun neutraalialkion $e$ sisältävä ryhmä $G$ on aliryhmiensä tulo siten, että

$G=NH=\{nh:n\in N,h\in H\}$,

missä lisäksi $N\cap H=\{e\}$, eli ainoa yhteinen alkio on neutraalialkio. Näiden perusteella tosiaankin $O(2)=SO(2)⋊\{1,-1\}$.

Koetan ymmärtää $U(2)$:n ihan kokeilemalla, koska aihe on mulle sumuinen. Kyseessä on siis puolisuora tulo $U(2)=SU(2)⋊U(1)$.

Merkitään $G=U(2)$, $N=SU(2)$ ja $H=U(1)$, jotta muistan nuo vastaavat G,N ja H edelliseen esimerkkiin vertaamalla. Matriisit $n\in SU(2)$ ovat

$n:=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -\overline{b}& \overline{a}\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{C},|a{|}^2+|b{|}^2=1\}$

Jossain lähteessä mainittiin $SU(2)◃U(2)$, jota en itse todennut, mutta uskon, että näin on, joten $N◃G$.

Seuraavaksi pitää muodostaa ryhmän $H=U(1)$ matriisiesitys $\mathrm{\Pi }:U(1)\to \text{Mat}(2,\mathbb{C})$. Näitä esityksiä on useita, ja voin valita esimerkiksi

$h_1:=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{i\theta }\end{array}\right),\theta \in \mathbb{R}\}$

tai

$h_2:=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{-i\theta }\end{array}\right),\theta \in \mathbb{R}\}$

Aliryhmien tulo matriiseja $h_1$ käyttämällä on

$g_1=n{h}_1=\left\{\left(\begin{array}{cc}a{e}^{i\theta }& b{e}^{i\theta }\\ -\overline{b}{e}^{i\theta }& \overline{a}{e}^{i\theta }\end{array}\right)\right\}$

Aliryhmien tulo matriiseja $h_2$ käyttämällä on

$g_2=n{h}_2=\left\{\left(\begin{array}{cc}a{e}^{-i\theta }& b{e}^{i\theta }\\ -\overline{b}{e}^{-i\theta }& \overline{a}{e}^{i\theta }\end{array}\right)\right\}$

Jos oikein laskin, niin molemmat $g_1$ ja $g_2$ ovat unitaariset, joten $g_1,g_2\in U(2)$. Pitää vielä tarkistaa, että $N\cap H=\{e\}$.

Ryhmän $SU(2)$ diagonaalimatriisit ovat muotoa $\text{diag}(a,\overline{a})$, missä $|a{|}^2=1$. Nämä ja $h_1\in U(1)$ ovat samat vain neutraalialkion $e=\text{diag}(1,1)$ kohdalla.

Mutta mielestäni matriisit $h_2\in U(1)$ ja diagonaaliset $SU(2)$-matriisit ovat samoja muuallakin kuin neutraalialkion kohdalla. Matriisien muodosta mielestäni voi jo päätellä, että $\{h_2\}$ on $SU(2)$:n aliryhmä, mutta edellinen $\{h_1\}$ ei ole.

Tämän seurauksena matriisien $h_2$ tapauksessa kyseessä ei olisi puolisuora tulo, sillä $N\cap H\ne \{e\}$. Vaikuttaa siltä, että ryhmän $U(1)$ homomorfismeille oltava jotain rajoituksia, joiden voimassa ollessa $U(2)=SU(2)⋊U(1)$ ?

Voi toki olla, että laskin väärin, tai jäi joku asia huomaamatta.

Ryhmä $U(2)$ voidaan tulkita puolisuorana tulona $SU(2)⋊U(1)$, jossa vaikutin (action) määrittyy $U(1)$:n vaiheella kerrottuna. Tämä vaikutin tekee yhdistelmästä puolisuoran tulon, koska $U(1)$:n elementtien vaikutus näkyy $SU(2)$:n alkioden vaiheen muuttumisena.

Vaikutin on siis vaihemultiplikaatio, eli jokainen $SU(2)$:n alkio kerrotaan $U(1)$:n vaiheella $e^{i\theta }$. Tämä tarkoittaa, että jokaiselle $e^{i\theta }\in U(1)$ ja $M\in SU(2)$ yhdistämme:
$$(e^{i\theta },M)\mapsto e^{i\theta }M.$$
Näin muodostuva rakenne säilyttää $SU(2)$ osaryhmän rakenteen modulo $U(1)$ vaiheen, joten voimme ajatella rakenteen puolisuorana tulona.

[QS]

...
jokainen $SU(2)$:n alkio kerrotaan $U(1)$:n vaiheella $e^{i\theta }$. Tämä tarkoittaa, että jokaiselle $e^{i\theta }\in U(1)$ ja $M\in SU(2)$ yhdistämme:
$$(e^{i\theta },M)\mapsto e^{i\theta }M.$$
Näin muodostuva rakenne säilyttää $SU(2)$ osaryhmän rakenteen modulo $U(1)$ vaiheen, joten voimme ajatella rakenteen puolisuorana tulona.

Mielestäni tässä on se ongelma, että $U(1)\cap M=\{\mathbb{I},-\mathbb{I}\}$, jonka seurauksena kyseessä on suora tulo, ei puolisuora tulo.

Tuo $-\mathbb{I}$ saavutetaan ryhmässä $U(1)$ parametrilla $\theta =\pi$. Vastaava ryhmässä $SU(2)$ on $\text{diag}(a,\overline{a})=\text{diag}(-1,-1)$.

...
Matriisit $n\in SU(2)$ ovat

$n:=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -\overline{b}& \overline{a}\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{C},|a{|}^2+|b{|}^2=1\}$

...

...ryhmän $H=U(1)$ matriisiesitys $\mathrm{\Pi }:U(1)\to \text{Mat}(2,\mathbb{C})$. Näitä esityksiä on useita, ja voin valita esimerkiksi

$h_1:=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{i\theta }\end{array}\right),\theta \in \mathbb{R}\}$

...


Aliryhmien tulo matriiseja $h_1$ käyttämällä on

$g_1=n{h}_1=\left\{\left(\begin{array}{cc}a{e}^{i\theta }& b{e}^{i\theta }\\ -\overline{b}{e}^{i\theta }& \overline{a}{e}^{i\theta }\end{array}\right)\right\}$

....

Pitää vielä tarkistaa, että $N\cap H=\{e\}$

Ryhmän $SU(2)$ diagonaalimatriisit ovat muotoa $\text{diag}(a,\overline{a})$. Nämä ja $h_1\in U(1)$ ovat samat vain neutraalialkion $e=\text{diag}(1,1)$ kohdalla.

Huomasin edellisestä viestistäni virheen. Ryhmien $N$ ja $H$ leikkaus sisältää myös $-\mathbb{I}$, kun saisi olla vain $\mathbb{I}$, joten viestini matriiseista molemmat $h_1$ ja $h_2$ tuottavat vain suoran tulon, ei puolisuoraa.

Mutta tuli mieleeni, että saisin kai sittenkin puolisuoran tulon, jos valitsen $U(1)$ esityksen

$h_1:=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\theta \in \mathbb{R}\}$

Tässä tapauksessa $U(1)\cap SU(2)=\mathbb{I}$.

[Eusa]

...
jokainen $SU(2)$:n alkio kerrotaan $U(1)$:n vaiheella $e^{i\theta }$. Tämä tarkoittaa, että jokaiselle $e^{i\theta }\in U(1)$ ja $M\in SU(2)$ yhdistämme:
$$(e^{i\theta },M)\mapsto e^{i\theta }M.$$
Näin muodostuva rakenne säilyttää $SU(2)$ osaryhmän rakenteen modulo $U(1)$ vaiheen, joten voimme ajatella rakenteen puolisuorana tulona.

Mielestäni tässä on se ongelma, että $U(1)\cap M=\{\mathbb{I},-\mathbb{I}\}$, jonka seurauksena kyseessä on suora tulo, ei puolisuora tulo.

Tuo $-\mathbb{I}$ saavutetaan ryhmässä $U(1)$ parametrilla $\theta =\pi$. Vastaava ryhmässä $SU(2)$ on $\text{diag}(a,\overline{a})=\text{diag}(-1,-1)$.

...
Matriisit $n\in SU(2)$ ovat

$n:=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -\overline{b}& \overline{a}\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{C},|a{|}^2+|b{|}^2=1\}$

...

...ryhmän $H=U(1)$ matriisiesitys $\mathrm{\Pi }:U(1)\to \text{Mat}(2,\mathbb{C})$. Näitä esityksiä on useita, ja voin valita esimerkiksi

$h_1:=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{i\theta }\end{array}\right),\theta \in \mathbb{R}\}$

...


Aliryhmien tulo matriiseja $h_1$ käyttämällä on

$g_1=n{h}_1=\left\{\left(\begin{array}{cc}a{e}^{i\theta }& b{e}^{i\theta }\\ -\overline{b}{e}^{i\theta }& \overline{a}{e}^{i\theta }\end{array}\right)\right\}$

....

Pitää vielä tarkistaa, että $N\cap H=\{e\}$

Ryhmän $SU(2)$ diagonaalimatriisit ovat muotoa $\text{diag}(a,\overline{a})$. Nämä ja $h_1\in U(1)$ ovat samat vain neutraalialkion $e=\text{diag}(1,1)$ kohdalla.

Huomasin edellisestä viestistäni virheen. Ryhmien $N$ ja $H$ leikkaus sisältää myös $-\mathbb{I}$, kun saisi olla vain $\mathbb{I}$, joten viestini matriiseista molemmat $h_1$ ja $h_2$ tuottavat vain suoran tulon, ei puolisuoraa.

Mutta tuli mieleeni, että saisin kai sittenkin puolisuoran tulon, jos valitsen $U(1)$ esityksen

$h_1:=\{\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\theta \in \mathbb{R}\}$

Tässä tapauksessa $U(1)\cap SU(2)=\mathbb{I}$.

Jos ajattelemme, että ryhmä $U(2)$ kuvaa syvemmin todellisuutta, mutta mittaustapahtuma projisoi siitä vasenkätisen aliryhmän, voisimme tulkita, että kätisyyden valinta onkin mittauksen tuottama sopimus.

 

Mittaustapahtuma voi synnyttää epäsymmetrian kätisyydessä, joka on pohjimmiltaan seurausta mittausprosessista eikä objektiivisesta todellisuuden ominaisuudesta.

 

Tällöin olisi mahdollista, että koko ryhmä $U(2)$ sisältäisi sekä vasen- että oikeakätisyyden, mutta mittausprosessissa vain yksi kätisyys valikoituu mittarirakenteen sopimuksenmukaisuuteen. Tuo voisi vihjata siitä, että symmetriarikko seuraakin vain valmiiksi kätisyyksiin asettuneesta mittarirakenteesta, mikä johtaisi aina sähköheikon vuorovaikutuksen näyttäytymiseen vasenkätisenä.

 

Tämä tarkoittaisi, että sähköheikko vuorovaikutus sisältää potentiaalisesti molemmat kätisyydet, mutta mittausprosessissa aina vain toinen tulee näkyviin. Tämä piilevä symmetria voisi siis olla universaalia, mutta mittauksessa ilmenevä osuus olisi aina valikoitunut, ja tällöin mittari tulkitsisi sen vasenkätiseksi sopimuksen mukaan.

 

Ajatus siitä, että $U(2)$:n koko symmetria sisältää molemmat kätisyydet, mutta mittaus projisoi siitä vasenkätisen osan, voi avata syvällisen mahdollisuuden tarkastella mittauksen roolia todellisuuden muovaajana. Jos kätisyys on mittausprosessin tuottama valinta, voi olla mahdollista, että todellisuudessa sähköheikko vuorovaikutus on itse asiassa symmetrinen molempiin suuntiin, mutta mittaus voi saada siitä vain yhden tulkinnan. Tämä ajatus asettaa mittauksen keskeiseen asemaan fysikaalisen todellisuuden rakentumisessa, mikä antaa uuden näkökulman symmetrioihin ja mittausten objektiivisuuteen.

Jatkopohdinnat voisivat liittyä kausaalisen jatkumon pariteettia säilyttävään kenttärakenteeseen ja tarjota selityksen kuinka lomittuneet kvanttitilat säilyttävät vastakkaisuutensa etäisyyksienkin yli riippumatta kumpi vasenkätiseen sopimusmaailmaan mitataan. Mitattava on vapaampi symmetria kuin mittarirakenne.

[QS]

..

Mittaustapahtuma voi synnyttää epäsymmetrian kätisyydessä, joka on pohjimmiltaan seurausta mittausprosessista eikä objektiivisesta todellisuuden ominaisuudesta.

..

Pidän todennäköisenä, että mittalaitteessa pätee samat luonnonlait kuin mittalaitteen ulkopuolella. Luonto ei lähtökohtaisesti välitä siitä, onko härveli mittalaite vai ei

[Eusa]

..

Mittaustapahtuma voi synnyttää epäsymmetrian kätisyydessä, joka on pohjimmiltaan seurausta mittausprosessista eikä objektiivisesta todellisuuden ominaisuudesta.

..

Pidän todennäköisenä, että mittalaitteessa pätee samat luonnonlait kuin mittalaitteen ulkopuolella. Luonto ei lähtökohtaisesti välitä siitä, onko härveli mittalaite vai ei

Siis tämä juolahdus liittyykin suoraan siihen, että mittalaite mittaa samaa fysikaalista rakennetta, jonka osa se itse on. Lienet kuullut kvanttimekaniikan mittausongelmasta?

Werner Heisenberg esitti epätarkkuusperiaatteen, jonka mukaan korreloivien fysikaalisten ominaisuuksien yhtäaikainen tarkka mittaaminen erikseen ei ole mahdollista. Tämä johti havahtumiseen siihen, ettei mittausprosessi voi olla vaikuttamatta mitattavan kohteen tilaan. Tämä ei ole vain tekninen ongelma, vaan periaatteellinen rajoite, joka liittyy mittalaitteen ja mitattavan kohteen väistämättömään keskinäisriippuvuuteen.

[QS]

..

Mittaustapahtuma voi synnyttää epäsymmetrian kätisyydessä, joka on pohjimmiltaan seurausta mittausprosessista eikä objektiivisesta todellisuuden ominaisuudesta.

..

Pidän todennäköisenä, että mittalaitteessa pätee samat luonnonlait kuin mittalaitteen ulkopuolella. Luonto ei lähtökohtaisesti välitä siitä, onko härveli mittalaite vai ei

Siis tämä juolahdus liittyykin suoraan siihen, että mittalaite mittaa samaa fysikaalista rakennetta, jonka osa se itse on. Lienet kuullut kvanttimekaniikan mittausongelmasta?

voe tokkiinsta tiedän erinomaisen hyvin mittausongelman.

Palataan takaisin siihen, mitä manoit: "Mittaustapahtuma voi synnyttää epäsymmetrian kätisyydessä, joka on pohjimmiltaan seurausta mittausprosessista"

Voidaan laatia teoria, jossa on oikeakiraaliset neutriinot, jotka osallistuvat heikkoon vuorovaikutukseen. Hyvä. Puolet on oikeakiraalisia ja puolet vasenkiraalisia. Kun mitataan, niin oikeakiraalisia ei löydy. Lisäksi säilymislait jne menevät rikki, kun energia ja liikemäärä katoaa näkymättömiin hiukkasiin, joita ei voi hypoteesin mukaan mitata.

Teoria ennustaisi kärjistettynä sen, että aine, energia ja liikemäärä muuttuu vahvan vuorovaikutuksen seurauksena hiukkasiksi, jota voi kutsua nimellä "oikea-pimeä hiukkanen". Samalla vuorovaikutuksen muiden osapuolien massa, energia ja liikemäärä katoaa universumista

En usko, että teoria olisi listan kärjessä, kun haetaan rahoitusta hiukkaskiihdyttimissä tehtäviä kokeita varten ; )

[Eusa]

..

Mittaustapahtuma voi synnyttää epäsymmetrian kätisyydessä, joka on pohjimmiltaan seurausta mittausprosessista eikä objektiivisesta todellisuuden ominaisuudesta.

..

Pidän todennäköisenä, että mittalaitteessa pätee samat luonnonlait kuin mittalaitteen ulkopuolella. Luonto ei lähtökohtaisesti välitä siitä, onko härveli mittalaite vai ei

Siis tämä juolahdus liittyykin suoraan siihen, että mittalaite mittaa samaa fysikaalista rakennetta, jonka osa se itse on. Lienet kuullut kvanttimekaniikan mittausongelmasta?

voe tokkiinsta tiedän erinomaisen hyvin mittausongelman.

Palataan takaisin siihen, mitä manoit: "Mittaustapahtuma voi synnyttää epäsymmetrian kätisyydessä, joka on pohjimmiltaan seurausta mittausprosessista"

Voidaan laatia teoria, jossa on oikeakiraaliset neutriinot, jotka osallistuvat heikkoon vuorovaikutukseen. Hyvä. Puolet on oikeakiraalisia ja puolet vasenkiraalisia. Kun mitataan, niin oikeakiraalisia ei löydy. Lisäksi säilymislait jne menevät rikki, kun energia ja liikemäärä katoaa näkymättömiin hiukkasiin, joita ei voi hypoteesin mukaan mitata.

Teoria ennustaisi kärjistettynä sen, että aine, energia ja liikemäärä muuttuu vahvan vuorovaikutuksen seurauksena hiukkasiksi, jota voi kutsua nimellä "oikea-pimeä hiukkanen". Samalla vuorovaikutuksen muiden osapuolien massa, energia ja liikemäärä katoaa universumista

En usko, että teoria olisi listan kärjessä, kun haetaan rahoitusta hiukkaskiihdyttimissä tehtäviä kokeita varten ; )

Enpä tuolta pohjalta näe syytä jatkaa kanssasi keskustelua kuinka perustodellisuus voisi oikeasti olla riippumaton kätisyydestä ja kuinka vuorovaikutus voisi ottaa kantaa paikallisesti kuinka lomittuneet vastakkaiset tilat asettuvat suhteessa rakenteeseen, kun vain vastakkaisuus on tieto, ei kätisyys/spin/pariteetti tai toisaalta varaus.

[QS]

vain vastakkaisuus on tieto, ei kätisyys/spin/pariteetti tai toisaalta varaus.

Kiraalisuudella on nimenomaan kaksi vastakkaista arvoa +1 ja -1, jotka ovat havaitsijasta riippumattomia.

[Eusa]

vain vastakkaisuus on tieto, ei kätisyys/spin/pariteetti tai toisaalta varaus.

Kiraalisuudella on nimenomaan kaksi vastakkaista arvoa +1 ja -1, jotka ovat havaitsijasta riippumattomia.

"Vastakkaisuus on tieto" tarkoittaa, että vastakkaisuus säilyy mutta ei tieto kumpi on kumpi. Kiraalisuus on prioriteettitodellisuudessa tila (+1/-1) = (-1/+1) eli kvanttitilalla on duaali suhde globaaliin taustaan olla vastakkaisessa tilassa kuin sille antipodinen kvanttitila. Mittauksessa vastakkaisuus ei romahda, mutta tilan arvo mittarin rakenteen ja sen kanssa kausaalin jatkumon suhteen romahtaa.

Idea on laillaan päinvastainen kuin tuossa käsityksessäsi; kiraalisuudella ei ole kahta arvoa vaan vain tieto siitä, että se säilyttää vastakkaisuuden dualiteetin suhteen ja se mitä mitataan, +1 tai -1, riippuvat havaitsijasta - käytännössä mittaavan rakenne-eksitaation rotaatio-orientaatiosta.

[QS]

vain vastakkaisuus on tieto, ei kätisyys/spin/pariteetti tai toisaalta varaus.

Kiraalisuudella on nimenomaan kaksi vastakkaista arvoa +1 ja -1, jotka ovat havaitsijasta riippumattomia.

"Vastakkaisuus on tieto" tarkoittaa, että vastakkaisuus säilyy mutta ei tieto kumpi on kumpi.

On sopimuskysymys kumpi on +1 ja kumpi -1 (voidaan asettaa vaikka -59 ja +59, jos halutaan). Idea on se, että kiraalisuusoperaattorilla on kaksi ominaisarvoa, jotka ovat vastakkaisia. Sillä ei ole merkitystä kumpi on + ja kumpi -.