Varsin luonnollinen reaktio, että Weinbergia ei heti ymmärrä
. Mutta mitä enemmän kirjaa lukee, sitä enemmän esitystapa alkaa addiktoida.
Tein ajan kuluksi yhteenvedon kryptisen näköisistä muunnos-ominaisuuksista.
Kirjan notaatiossa \(\alpha\),\(\beta\),\(\gamma\),\(\delta\),\(\epsilon\) ovat matriisin tai mittakentän komponentin indeksit. Kirjaimet \(\mu\),\(\nu\),\(\rho\) ovat aika-avaruuden indeksit. Lisäksi \(\ell\) ja \(m\) ovat materiakentän indeksit.
Kun kenttään \(\psi_\ell(x)\) kohdistetaan äärellinen muunnos, jonka generoi Lien algebran kanta \(t_\alpha\), voidaan muunnos kirjoittaa
\(\psi_\ell(x) \to \psi_\ell'=\Big[\exp\Big(it_\alpha\mathcal{E}^\alpha(x)\Big)\Big]_{\ell m}\psi_m(x)\)
missä \(\mathcal{E}^\alpha(x)\) on paikasta riippuva reaalinen funktio, joka on generaattorin \(t_\alpha\) parametri. Ryhmän esitysmatriisin rivi- ja sarakeindeksit ovat \(\ell\) ja \(m\), ja muunnos miksaa materiakentän komponentteja \(\psi_m\).
Weinberg kuitenkin rakentaa teorian infinitesimaaleista muunnoksista. Koko Lagrangen tiheyden \(\mathscr{L}\) on oltava invariantti, kun kenttään \(\psi_m(x)\) kohdistetaan infinitesimaali muunnos
$$\delta\psi_\ell=i\epsilon^\alpha(x)\ {(t_\alpha)_\ell}^m\ \psi_m(x)\tag{1}$$
missä \(t_\alpha\) on joukko lineaarisesti riippumattomia matriiseja. Matriiseilla \(t_\alpha\) on pisteestä \(x\) riippuva parametri \(\epsilon^\alpha(x)\). Symmetriamuunnoksille \(t_\alpha\) oletetaan pätevän kommutoinnit
$$[t_\alpha,t_\beta]=i\ {C^\gamma}_{\alpha\beta}\ t_\gamma \tag{2}$$
missä \({C^\gamma}_{\alpha\beta}\) ovat reaaliset kertoimet, Lien algebran rakennevakiot. Kommutoinnin antisymmetrisyyden seurauksena \({C^\gamma}_{\alpha\beta} = -{C^\gamma}_{\beta\alpha}\). Kommutoinnin Jacobin identiteetistä seuraa lisäksi
$$0 = {C^\delta}_{\alpha\beta}{C^\epsilon}_{\delta\gamma}+{C^\delta}_{\gamma\alpha}{C^\epsilon}_{\delta\beta}+{C^\delta}_{\beta\gamma}{C^\epsilon}_{\delta\alpha}$$
Vakiot \({C^\gamma}_{\alpha\beta}\) määrittelevät vähintään yhden joukon matriiseja
$${({t^A}_\alpha)^\beta}_\gamma \equiv -i\ {C^\beta}_{\gamma\alpha}\tag{3}$$
missä matriisin \({t^A}_\alpha\) rivit ja sarakkeet (\(\beta\) ja \(\gamma\)) ovat rakennevakioita \({C^\beta}_{\gamma\alpha}\). Matriisit toteuttavat kommutoinnit (2). Matriisit \({t^A}_\alpha\) ovat Lien algebran adjungoitu esitys, jonka määritelmä tuo (3) onkin matriisiesitysten tapauksessa.
Kirja käyttää esimerkkinä alkuperäistä Yang-Mills teoriaa, jonka protoni- ja neutronikentät ovat dupletti
\(\psi=\begin{pmatrix} \psi_p\\ \psi_n \end{pmatrix}\)
ja infinitesimaalit 2x2-muunnosmatriisit eli siis matriisit \(t_\alpha\), ovat
\(t_1=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad
t_2=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix},\quad
t_3=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\)
Nämä toteuttavat kommutoinnit (2) rakennevakioilla
\({C^\gamma}_{\alpha\beta}=\varepsilon_{\gamma\alpha\beta}\)
missä \(\varepsilon_{\gamma\alpha\beta}\) on Levi-Civita-symboli. Tämä on 3-dim rotaatioiden Lien algebra. Matriisit \(t_\alpha\) ovat tuon Lien algebran spin-½ esitys. Määritelmän (3) mukainen
adjungoitu esitys on
\(t^A_1=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & -i\\
0 & i & 0
\end{bmatrix},\quad
t^A_2=\begin{bmatrix}
0 & 0 & i\\
0 & 0 & 0\\
-i & 0 & 0
\end{bmatrix},\quad
t^A_3=\begin{bmatrix}
0 & -i & 0\\
i & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\)
missä rivit ja sarakkeet \(\beta,\gamma=\{1,2,3\}\). Nämä ovat 3-dim rotaatioiden Lien algebran
spin-1 esitys, mikä on vihje mittabosoneista.
Mittakentän ja -muunnoksen kirja rakentaa perinteiseen tapaan siten, että muunnokseen (1) liittyvän kentän \(\psi_m\) derivaatat muunnetaan infinitesimaalisti
\(\delta\Big(\partial_\mu\psi_\ell(x)\Big)=i\epsilon^\alpha(x){(t_\alpha)_\ell}^m\Big(\partial_\mu\psi_m(x)\Big)+i\Big(\partial_\mu\epsilon^\alpha(x)\Big)
{(t_\alpha)_\ell}^m\psi_m(x)\)
Lagrange pysyy invarianttina, kun jälkimmäinen termi kumotaan mittakentällä \({A^\alpha}_\mu\), jonka komponenttien määrä on \(\alpha\), ja kullakin komponentilla aika-avaruusindeksit \(\mu\).
Mittakentän indeksiin \(\alpha\) liittyvät samat matriisit \(t_\alpha\) kuin muunnoksessa (1), mutta niiden adjungoituna esityksenä \({t^A}_\alpha\). Tämä tarkoittaa siis sitä, että materiakentän \(\psi_m\) komponentit muuntuvat Lien algebran esityksenä, ja mittakentän \(A^\alpha\) komponentit saman Lien algebran adjungoituna esityksenä.
Mittakentän muunnoksen Weinberg kirjoittaa
\(\delta{A^\beta}_\mu=\partial_\mu\epsilon^\beta + i\epsilon^\alpha{({t^A}_\alpha)^\beta}_\gamma {A^\gamma}_\mu\)
mikä on määrittelyä (3) käyttämällä
\(\delta{A^\beta}_\mu=\partial_\mu\epsilon^\beta + {C^\beta}_{\gamma\alpha}\epsilon^\alpha {A^\gamma}_\mu\)
Tässä jälkimmäisessä rakennevakiot \({C^\beta}_{\gamma\alpha}\) on sijoitettu Lien algebran adjungoidun esityksen \({({t^A}_\alpha)^\beta}_\gamma\) tilalle, mikä on kätevää. Tämän jälkeen kirja johtaa materiakentille kovariantin derivaatan
\(\big(D_\mu\psi(x)\big)_\ell =\partial_\mu\psi_\ell(x)-i{A^\beta}_\mu(x){(t_\beta)_\ell}^m\psi_m(x)\)
ja kovarianttiin derivaattaan kohdistuvan infinitesimaalin symmetriamuunnoksen
\(\delta(D_\mu\psi)_\ell=i\epsilon^\alpha{(t_\alpha)_\ell}^m(D_\mu\psi)_m\)
jonka voi kirjoittaa mittakenttä näkyvissä
\(\begin{align*}
\delta(D_\mu\psi)_\ell=&i\epsilon^\alpha{(t_\alpha)_\ell}^m\partial_\mu\psi_m - i{C^\beta}_{\gamma\alpha}\epsilon^\alpha{A^\gamma}_\mu{(t_\beta)_\ell}^m\psi_m\\
&+ {A^\gamma}_\mu{(t_\gamma)_\ell}^m{(t_\alpha)_m}^n\psi_n
\end{align*}\)
Tässä esim \({(t_\alpha)_\ell}^m\) on Lien algebran matriisi \(\alpha\) ja sen rivi- ja sarakeindeksit \(\ell\) ja \(m\). Mittakenttän komponentit \(A^\gamma\) miksautuvat Lien algebran adjungoituna esityksenä, joka on kirjoitettu rakennevakioilla \({C^\beta}_{\gamma\alpha}\).
Mittakentän derivaatoille vastaava infinitesimaali muunnos määritellään
\(\begin{align*}
\delta({F^\beta}_{\nu\mu})&\equiv i\epsilon^\alpha{({t^A}_\alpha)^\beta}_\gamma{F^\gamma}_{\nu\mu}\\
&=\epsilon^\alpha{C^\beta}_{\gamma\alpha}{F^\gamma}_{\nu\mu}
\end{align*}\)
missä toisella rivillä jälleen Lien algebran adjungoitu esitys käyttämällä rakennevakioita. Kenttävoimakkuustensorin yläindeksit \(\beta\), \(\gamma\) ovat mittakentän komponentti-indeksit. Alaindeksit ovat aika-avaruuden, jotka ovat peräisin kenttävoimakkuustensorin määritelmästä
\({F^\gamma}_{\nu\mu}\equiv \partial_\nu{A^\gamma}_\mu - \partial_\mu{A^\gamma}_\nu+{C^\gamma}_{\alpha\beta}{A^\alpha}_\nu {A^\beta}_\mu\)
Lopuksi kaksi ei-abelista kovarianttia derivaattaa kohdistetaan materiakenttiin kommutoinnilla
\(\Big([D_\mu,D_\nu]\psi\Big)_\ell=-i{(t_\gamma)_\ell}^m{F^\gamma}_{\nu\mu}\psi_m\).
Näissä määrittelyissä ja muunnoksissa on paljon indeksejä, mutta kun notaation ja indeksien tarkoituksen saa järjestykseen, niin tämä on itse asiassa vallan mainiosti yleistetty esitystapa. Lagrangen tiheys on funktionaali
\(\mathscr{L} = \mathscr{L}(\psi,D_\mu\psi,D_\nu D_\mu\psi,...,{F^\alpha}_{\mu\nu},D_\rho{F^\alpha}_{\mu\nu},...)\)
jota pyörittelemällä saadaan ne edellisen viestini melko kryptiset invarinassi-ehdot.
. Alkuperäisellä Weinberg-salakielellä (jotta mun mahdolliset virheet voi korjata) ehto kuuluu näin: "The Lie algebra is the direct sum of commuting compact simple and U(1) subalgebras."
. Mutta mitä enemmän kirjaa lukee, sitä enemmän esitystapa alkaa addiktoida.