Disputator kirjoitti: ↑11 Touko 2025, 15:03 Iltapäivää!Tämä pitää suorastaan syvällisesti paikkansa. Tuo on oikeasti mielestäni todellinen ongelma tässä aiheessa, kun näitä yrittää oikeasti ymmärtää. Lähteissä on niin vaihtelevia esityksiä määritelmineen ja päättelyineen ja kaavat näyttävät samoilta olematta samoja jne.
Kun olen tutustunut Noetherin ensimmäiseen lauseeseen (niitä on kaksi, se mitä yleensä käsitellään on se eka) niin myös teoreeman esittely ja johtaminen vaihtelevat lähteestä (kirjat tai netti) riippuen melkoisen paljon. Matemaattisesti suuntautuneet lähteet ovat mielestäni jotenkin konservatiivisempia kuin fyysikoiden vastaavat ja tavallaan suosin niitä, mutta siitä sitten myöhemmin lisää.
Aihe on kuitenkin keskeinen fysiikassa, joten tähän kannattaa panostaa eli kirjoittelen lisää sitten myöhemmin.
Taivahan totta. Kirjoitan ensin perusasioita, jotta orientoidun notaatioon, ja tuleepa samalla kerrattua. Stationäärisen vaikutuksen periaate on lyhyesti \(\delta S = 0\), missä \(S \equiv \int_{t_0}^{t_1} dt\ L(q,\dot q)\). Tämä voidaan kirjoittaa myös
\(\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q]-S[q] = 0\)
missä infinitesimaali variaatio \(\delta q\) katoaa päätepisteissä, toisin sanoen \(\delta q(t_0) = \delta q(t_1) = 0\). Variaatio voidaan nyt laskea
\(\require{physics} \begin{align}
\delta S[q, \delta q] &= S[q + \delta q]-S[q] \\
&=\int_{t_0}^{t_1}dt\ \left(\pdv{L}{q}\delta q + \pdv{L}{\dot q}\delta\dot q\right)\\
&=\int_{t_0}^{t_1}dt\ \left(\pdv{L}{q}\delta q\right)\ + \eval {\pdv{L}{\dot q}\delta q}_{t_0}^{t_1}-\int_{t_0}^{t_1}dt\ \left(\dv{t}\pdv{L}{\dot q}\delta q\right)\\
&=\int_{t_0}^{t_1}dt\left(\pdv{L}{q}-\dv{t}\pdv{L}{\dot q}\right)\delta q
\end{align}\)
missä \(\delta \dot q = \dv{t}(\delta q)\). Toiseksi viimeisen rivin keskimmäinen termi katoaa, sillä \(\delta q\) katoaa päätepisteissä. Viimeisellä rivillä on Eulerin-Lagrangen yhtälö
\(\displaystyle \pdv{L}{q}-\dv{t}\pdv{L}{\dot q}=0\)
jonka ratkaisu on ekstremaali \(\hat q\). Tämä ei kuitenkaan kerro mitään symmetrioista. Vaikutuksen \(S\) eräs symmetria on \(S[q'] = S[q]\), missä \(q' = q + \delta q\). Tuo \(\delta q\) on infinitesimaali muunnos, joka kohdistuu mielivaltaiseen funktioon \(q\) siten, että \(S\) on invariantti. Symmetria voidaan kirjoittaa
$$S[q + \delta q] - S[q] = 0 \tag{1}$$
missä oleellista on se, että \(q\) on mielivaltainen, ja ei välttämättä EL-yhtälön ratkaisu. Yhtälö \((1)\) näyttää samalta kuin ekstremaalin \(\delta S = 0\), mutta tässä ei ratkaista ekstremaalia \(\hat q\), vaan haetaan symmetriamuunnosta \(\delta q\), joka pätee kaikille \(q\). Yhtälön \((1)\) toteuttava symmetriamuunnos \(\delta q\) on yleisemmin \(S\):n, ja myös \(L(q,\dot q)\):n ominaisuus. Se ei ole vain ekstremaaliin \(\hat q\) ominaisuus.
Toinen, ja vähemmän tiukka \(S\):n variaatio voidaan kirjoittaa
$$\begin{align}
\delta S[q,\hat{\delta q}] &= S[q + \hat{\delta q}] - S[q]\\ &= \int_{t_0}^{t_1} \text{d}t \dv{F}{t}\tag{2}
\end{align}$$
missä \(q\) on mielivaltainen, mutta \(\hat{\delta q}\) on tietty muunnos, joka tuottaa oikean puolen raunatermin. Oikealla puolella on funktio F, joka on käytännössä lauseke, joka voi sisältää funktiot \(q\) ja \(\dot q\), sekä myös vakioita. Tämäkin on \(S\):n yleinen ominaisuus, ei vain ekstremaalin \(\hat q\) ominaisuus. Tuo \(\hat{\delta q}\) riippuu siitä miten \(L(q,\dot q)\) ja sitä kautta \(S\) on kirjoitettu. Seuraavaksi rajoitutaan ekstremaaliin \(\hat q\), ja oletetaan \(\delta q\) mielivaltaiseksi. Variaatio on
$$\begin{align}
\delta S[\hat q, \delta q] &= S[\hat q + \delta q]-S[\hat q] \\
&=\int_{t_0}^{t_1}\text dt\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot{\hat q}}\delta q\right)
\end{align}
\tag{3}$$
Tässä siis \(\hat q\) on EL-yhtälön ratkaisu. Kuitenkin \(\delta q\) on mielivaltainen, toisin kuin yhtälössä \((2)\). Nyt voidaan yhdistää \((2)\) ja \((3)\) siten, että yhtälöön \((2)\) sijoitetaan \(q=\hat q\) ja yhtälöön \((3)\) sijoitetaan \(\delta q = \hat{\delta q}\). Näin saadaan yhtälöpari
\(\begin{align}
S[\hat q + \hat{\delta q}] - S[\hat q]&=\int_{t_0}^{t_1} \text{d}t \dv{F}{t}\\
S[\hat q + \hat{\delta q}]-S[\hat q]&=\int_{t_0}^{t_1}\text dt\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot{\hat q}}\hat{\delta q}\right)
\end{align}\)
Vasemmat puolet ovat samat, joten
\(\displaystyle \dv{t} \left(F-\pdv{L}{\dot{\hat q}}\hat{\delta q}\right)=0\)
missä \(\hat q\) on EL-yhtälön ratkaisu ja \(\hat{\delta q}\) on muunnos, joka on saatu yhtälöstä (2). Suluissa oleva termi
\(\displaystyle Q=F-\pdv{L}{\dot{\hat q}}\hat{\delta q}\)
on Noetherin varaus, jonka säilymislaki on \(\dv{t}Q=0\).
Että näin. Yleisellä tasolla ymmärrän mitä tässä tapahtuu, mutta kun mennään yksityiskohtiin, niin asia sumenee. Esimerkiksi funktion F löytäminen ei käsittääkseni ole suoraviivainen juttu. Sitä ei voi ratkaista helposti, vaikka yhtälö \((2)\) on kirjoitettu. Tuossa yhtälössä \(\hat{\delta q}\) ja \(F\) ovat jollain tavalla toisistaan riippuvat, mutta miten. Hmm.
Toinen juttu on yhtälö (1). Jos kirjoitetaan Langrangen funktio \(L(q,\dot q)\), ja löydetään ekstremaali \(\hat q\), joka on fysikaalisesti ihan oikea, niin onko aina edes olemassa \(\delta q\), joka yhtälön (1) symmetrian toteuttaa. Kokeilin jotain ihan helppoa Lagrangea, mutta en löytänyt \((1)\):een ratkaisua.
Ja sitten Noetherin ensimmäinen ja toinen lause. En tiedä olivatko tässä mukana vai eivät. Olen itsekin kuullut Noether ykkösestä ja kakkosesta, mutta en tarkaan tiedä miten ne lausutaan.
\(\delta S[q, \delta q] = S[q + \delta q]-S[q] = 0\)
missä infinitesimaali variaatio \(\delta q\) katoaa päätepisteissä, toisin sanoen \(\delta q(t_0) = \delta q(t_1) = 0\). Variaatio voidaan nyt laskea
\(\require{physics} \begin{align}
\delta S[q, \delta q] &= S[q + \delta q]-S[q] \\
&=\int_{t_0}^{t_1}dt\ \left(\pdv{L}{q}\delta q + \pdv{L}{\dot q}\delta\dot q\right)\\
&=\int_{t_0}^{t_1}dt\ \left(\pdv{L}{q}\delta q\right)\ + \eval {\pdv{L}{\dot q}\delta q}_{t_0}^{t_1}-\int_{t_0}^{t_1}dt\ \left(\dv{t}\pdv{L}{\dot q}\delta q\right)\\
&=\int_{t_0}^{t_1}dt\left(\pdv{L}{q}-\dv{t}\pdv{L}{\dot q}\right)\delta q
\end{align}\)
missä \(\delta \dot q = \dv{t}(\delta q)\). Toiseksi viimeisen rivin keskimmäinen termi katoaa, sillä \(\delta q\) katoaa päätepisteissä. Viimeisellä rivillä on Eulerin-Lagrangen yhtälö
\(\displaystyle \pdv{L}{q}-\dv{t}\pdv{L}{\dot q}=0\)
jonka ratkaisu on ekstremaali \(\hat q\). Tämä ei kuitenkaan kerro mitään symmetrioista. Vaikutuksen \(S\) eräs symmetria on \(S[q'] = S[q]\), missä \(q' = q + \delta q\). Tuo \(\delta q\) on infinitesimaali muunnos, joka kohdistuu mielivaltaiseen funktioon \(q\) siten, että \(S\) on invariantti. Symmetria voidaan kirjoittaa
$$S[q + \delta q] - S[q] = 0 \tag{1}$$
missä oleellista on se, että \(q\) on mielivaltainen, ja ei välttämättä EL-yhtälön ratkaisu. Yhtälö \((1)\) näyttää samalta kuin ekstremaalin \(\delta S = 0\), mutta tässä ei ratkaista ekstremaalia \(\hat q\), vaan haetaan symmetriamuunnosta \(\delta q\), joka pätee kaikille \(q\). Yhtälön \((1)\) toteuttava symmetriamuunnos \(\delta q\) on yleisemmin \(S\):n, ja myös \(L(q,\dot q)\):n ominaisuus. Se ei ole vain ekstremaaliin \(\hat q\) ominaisuus.
Toinen, ja vähemmän tiukka \(S\):n variaatio voidaan kirjoittaa
$$\begin{align}
\delta S[q,\hat{\delta q}] &= S[q + \hat{\delta q}] - S[q]\\ &= \int_{t_0}^{t_1} \text{d}t \dv{F}{t}\tag{2}
\end{align}$$
missä \(q\) on mielivaltainen, mutta \(\hat{\delta q}\) on tietty muunnos, joka tuottaa oikean puolen raunatermin. Oikealla puolella on funktio F, joka on käytännössä lauseke, joka voi sisältää funktiot \(q\) ja \(\dot q\), sekä myös vakioita. Tämäkin on \(S\):n yleinen ominaisuus, ei vain ekstremaalin \(\hat q\) ominaisuus. Tuo \(\hat{\delta q}\) riippuu siitä miten \(L(q,\dot q)\) ja sitä kautta \(S\) on kirjoitettu. Seuraavaksi rajoitutaan ekstremaaliin \(\hat q\), ja oletetaan \(\delta q\) mielivaltaiseksi. Variaatio on
$$\begin{align}
\delta S[\hat q, \delta q] &= S[\hat q + \delta q]-S[\hat q] \\
&=\int_{t_0}^{t_1}\text dt\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot{\hat q}}\delta q\right)
\end{align}
\tag{3}$$
Tässä siis \(\hat q\) on EL-yhtälön ratkaisu. Kuitenkin \(\delta q\) on mielivaltainen, toisin kuin yhtälössä \((2)\). Nyt voidaan yhdistää \((2)\) ja \((3)\) siten, että yhtälöön \((2)\) sijoitetaan \(q=\hat q\) ja yhtälöön \((3)\) sijoitetaan \(\delta q = \hat{\delta q}\). Näin saadaan yhtälöpari
\(\begin{align}
S[\hat q + \hat{\delta q}] - S[\hat q]&=\int_{t_0}^{t_1} \text{d}t \dv{F}{t}\\
S[\hat q + \hat{\delta q}]-S[\hat q]&=\int_{t_0}^{t_1}\text dt\dv{t}\left(\pdv{L}{\dot{\hat q}}\hat{\delta q}\right)
\end{align}\)
Vasemmat puolet ovat samat, joten
\(\displaystyle \dv{t} \left(F-\pdv{L}{\dot{\hat q}}\hat{\delta q}\right)=0\)
missä \(\hat q\) on EL-yhtälön ratkaisu ja \(\hat{\delta q}\) on muunnos, joka on saatu yhtälöstä (2). Suluissa oleva termi
\(\displaystyle Q=F-\pdv{L}{\dot{\hat q}}\hat{\delta q}\)
on Noetherin varaus, jonka säilymislaki on \(\dv{t}Q=0\).
Että näin. Yleisellä tasolla ymmärrän mitä tässä tapahtuu, mutta kun mennään yksityiskohtiin, niin asia sumenee. Esimerkiksi funktion F löytäminen ei käsittääkseni ole suoraviivainen juttu. Sitä ei voi ratkaista helposti, vaikka yhtälö \((2)\) on kirjoitettu. Tuossa yhtälössä \(\hat{\delta q}\) ja \(F\) ovat jollain tavalla toisistaan riippuvat, mutta miten. Hmm.
Toinen juttu on yhtälö (1). Jos kirjoitetaan Langrangen funktio \(L(q,\dot q)\), ja löydetään ekstremaali \(\hat q\), joka on fysikaalisesti ihan oikea, niin onko aina edes olemassa \(\delta q\), joka yhtälön (1) symmetrian toteuttaa. Kokeilin jotain ihan helppoa Lagrangea, mutta en löytänyt \((1)\):een ratkaisua.
Ja sitten Noetherin ensimmäinen ja toinen lause. En tiedä olivatko tässä mukana vai eivät. Olen itsekin kuullut Noether ykkösestä ja kakkosesta, mutta en tarkaan tiedä miten ne lausutaan.