Kiihtyvyyden merkitys kaksosparadoksissa

[Eusa]

Testasin geneerisen AI:n kykyä suorittaa differentiaalilaskentaa. Mallini antaa teoreettisen perusteen laskea galaksin pimeän aineen massaekvivalentti tyhjöitseiskiihtyvyyksiin tarvittavana energiana.

Pyysin laskemaan Linnunradan suurinpiirtein näkyvän halkaisijan sisällä havaitusta rotaatiovauhdista laskennallisesti saatavan kiihtyvyyden mukaan.

Tulos on yllättävän kannustava. Koska suuri osa vaikuttavasta massasta arvioidaan ympäröivän galaksia halona, pitäisi laskea tietysti vielä suuremman halkaisijan mukaan - voidaan approksimoida kertomalla luvulla 2³ ja saadaankin täsmälleen Linnunradan arvioitu pimeän aineen massa n. 5×10⁴².

Vielä kun joku jaksaisi tarkastaa laskelmat.

AI:
"Tässä on vaihe vaiheelta laskelmat aiemmin saatuun tyhjöenergian massaekvivalenttiin $5.98\times {10}^{41}$ kg, kun säde on $R=5\times {10}^{20}$ metriä ja reunalla oleva kiihtyvyys $g=8\times {10}^{-11}{\text{m/s}}^2$. Käytämme seuraavaa kaavaa energiadifferentiaalille:

$$dE=\frac{k{g}^2}{G}dV$$

missä:
- $k=\frac{1}{8\pi }$ on vakio,
- $G\approx 6.674\times {10}^{-11}{\text{m}}^3/\text{kg}\cdot {\text{s}}^2$ on gravitaatiovakio,
- $g=8\times {10}^{-11}{\text{m/s}}^2$ on kiihtyvyys tyhjössä reunan säteellä $R$,
- $dV=4\pi r^{2}dr$ on ohuen kuoren tilavuus säteellä $r$,
- ja $R=5\times {10}^{20}\text{m}$ on galaksin tyhjökuoren säde.

### Vaihe 1: Energiatiheyden laskeminen

Energiatiheys ${\rho }_E$ saadaan yllä olevasta kaavasta jakamalla $dE$ tilavuuselementillä $dV$:
$${\rho }_E=\frac{dE}{dV}=\frac{k{g}^2}{G}.$$

### Vaihe 2: Vakion $k$ laskeminen

Vakio $k$ on annettu seuraavasti:
$$k=\frac{1}{8\pi }.$$

Kun asetamme $\pi \approx 3.14159$, saadaan:
$$k=\frac{1}{8\times 3.14159}\approx 0.0398.$$

### Vaihe 3: Kokonaisenergiatiheyden laskeminen

Nyt voimme laskea energiatiheyden ${\rho }_E$ antamallamme kiihtyvyydellä $g$ ja gravitaatiovakiolla $G$:
$${\rho }_E=\frac{0.0398\times (8\times {10}^{-11}{)}^2}{6.674\times {10}^{-11}}.$$

Laskutoimitus:
1. Laske $g^2$: $(8\times {10}^{-11}{)}^2=6.4\times {10}^{-21}$.
2. Kerro tämä $k$: $0.0398\times 6.4\times {10}^{-21}\approx 2.5472\times {10}^{-22}$.
3. Jaa gravitaatiovakiolla $G$:
$${\rho }_E\approx \frac{2.5472\times {10}^{-22}}{6.674\times {10}^{-11}}\approx 3.816\times {10}^{-12}{\text{J/m}}^3.$$

### Vaihe 4: Kokonaisenergian integrointi tilavuudessa

Kokonaisenergia $E$ saadaan integroimalla energiatiheys tilavuudessa säteeseen $R=5\times {10}^{20}\text{m}$ asti:

$$E={\int }_0^R{\rho }_{E}dV={\rho }_E{\int }_0^{R}4\pi r^{2}dr={\rho }_E\cdot 4\pi {\int }_0^R{r}^{2}dr.$$

Lasketaan ensin integraali:
$${\int }_0^R{r}^{2}dr={\left[\frac{r^3}{3}\right]}_0^R=\frac{R^3}{3}.$$

Sijoitetaan tämä kokonaisenergian kaavaan:
$$E={\rho }_E\cdot 4\pi \cdot \frac{R^3}{3}.$$

### Vaihe 5: Kokonaisenergian laskeminen

Sijoitetaan tunnetut arvot ${\rho }_E$, $R$, ja $\pi$ kaavaan:
$$E=3.816\times {10}^{-12}\times 4\times 3.14159\times \frac{(5\times {10}^{20}{)}^3}{3}.$$

Lasketaan tämä vaiheittain:
1. $R^3=(5\times {10}^{20}{)}^3=1.25\times {10}^{62}{\text{m}}^3$.
2. Kertoimet: $4\times 3.14159/3\approx 4.18879$.
3. Kokonaisenergia:
$$E\approx 3.816\times {10}^{-12}\times 4.18879\times 1.25\times {10}^{62}\approx 1.996\times {10}^{51}\text{J}.$$

### Vaihe 6: Energia massaekvivalentiksi

Energia voidaan muuntaa massaekvivalentiksi kaavalla $E=m{c}^2$, eli $m=\frac{E}{c^2}$, missä $c\approx 3\times {10}^8\text{m/s}$.

$$m=\frac{1.996\times {10}^{51}}{(3\times {10}^8{)}^2}\approx 5.98\times {10}^{41}\text{kg}.$$

### Yhteenveto

Näin ollen saamme galaksin tyhjöenergiasta syntyväksi massaekvivalentiksi $5.98\times {10}^{41}\text{kg}$ säteellä $R=5\times {10}^{20}$ metriä ja kiihtyvyydellä $g=8\times {10}^{-11}{\text{m/s}}^2$. Tämä vastaa suuruusluokaltaan havaittua Linnunradan pimeän aineen arvioitua massaa."

[Eusa]

Mallini tarjoaa vakuuttavan uuden tavan ymmärtää Tully-Fisher-suhteen taustalla olevaa fysikaalista mekanismia ilman oletusta pimeän aineen haloista.

Laskelmassa ei simuloida varsinaisten syyllisten eli kertyneiden ajanluonteisten hiukkasten kontribuutiota vaan vain pimeää ainetta vastaavaa massaekvivalenttia.

Syvemmällä kentässä hiukkasia kohti g kasvaa mutta dV vastaavasti pienenee lineaarisesti. Ajanluonteisen aineen massaa kertyy muuttuvalla g:llä integrointinopeudella g²/g = g ja tietysti jakauman mukaan f(R)-funktiona.

Koska pimeä rakennejännitysten aine hallitsee monikertaisella määrällään, ajanlaatuinen näkyvä aine, vaikkakin divergoitumisellaan kaikkeen syypää, jää massaltaan valonlaatuisen kimppuuntumisen muistirakenne-energiaan verrattaessa vähemmistöksi.

Mietittäväksi jää onko tuo tyhjöenergia luonteeltaan itse asiassa avaruudenlaatuista, koska vaikka kimpuissa korrelaatiot ovatkin aivan infinitesimaalisin eroin, eihän siinä mitään tiedonvaihtoa voi sallia - ainakaan kausaliteetin vauhdin c puitteissa, kun kimppunippujen sisältö itse propagoi jatkuvasti vauhdissa c. Voisi tietysti olla vastasuuntaisten vaikutusten pilotointia jonkinlaisena seisovana aallokkona, mutta aihe vaatii tarkkaa syventelyä...

Voisiko mekanismi liittyä CP-symmetrian pitämiseen samalla kun pitää kausaalirintamatkin eli vastata tarpeeseen, johon postuloitiin axionit?

[QS]

Testasin geneerisen AI:n kykyä suorittaa differentiaalilaskentaa. Mallini antaa teoreettisen perusteen laskea galaksin pimeän aineen massaekvivalentti tyhjöitseiskiihtyvyyksiin tarvittavana energiana.


 

Oleellisesti AI selvitti tuossa euklidisen R-säteisen pallon massan, kun sen tiheys on $\rho =\frac{g^{2}k}{c^{2}G}$, missä erinäiset vakiot valittu siten, että tiheyden dimensio on L^-3M (SI-yksiköt kg/m³).

[Eusa]

Testasin geneerisen AI:n kykyä suorittaa differentiaalilaskentaa. Mallini antaa teoreettisen perusteen laskea galaksin pimeän aineen massaekvivalentti tyhjöitseiskiihtyvyyksiin tarvittavana energiana.





 

Oleellisesti AI selvitti tuossa euklidisen R-säteisen pallon massan, kun sen tiheys on $\rho =\frac{k{g}^2}{c^{2}G}$, missä erinäiset vakiot valittu siten, että tiheyden dimensio on L^-3M (SI-yksiköt kg/m³).

Niin. Ei vuosi pari sitten kyllä kovinkaan luotettavasti osannut sanallisesta kuvauksesta rakentaa.

Ymmärtänet epäilyni, että jokin virhe on oltava, kun tulos osui "liiankin hyvin".

AI:n generoinneissa on myös havaittavissa taipumusta hallusinoida kysyjää miellyttävään suuntaan.

Mitähän tarkoittaa, kun Messier M87 -simuloinnin AI haluaa laskea tarkemmin muuttuvilla g- ja dV-arvoilla ja ilmoitti, että laskenta valmistunee vasta huomenna? Epäilen, että pyrkiikö vain ohjaamaan kalliimman tilaussopimuksen pariin...

Lankaan liittyen, oleellista oli tietysti löytää ainekentän dynamiikka tyhjön itseiskiihtyvyyksin ja sen mukainen tasapainoyhtälö.

Suoritettu laskelma on täysin yksinkertaistettu asetelma. Simulaatiot monipuolisessa jakaumassa vasta kertovat voiko yhtälö todella toimia ilman sovitusparametrimaisia translaatiotermejä.

Yleisessä suhteellisuusteoriassa perusyhtälön asettelussa on erotusmuoto sekä kosmomoginen vakio sovitustermeinä. Pimeä aine ja pimeä energia ovat myös sovitustermejä kunnes löytyvät. Tässä touhussa saattoi pimeä aine löytyä ainekentän tyhjöosuudesta energiatiheytenä, joka kiihdyttää valonlaatuisuutta tasarintamaiselle kaarelle.

[Eusa]

Syvemmällä kentässä hiukkasia kohti g kasvaa mutta dV vastaavasti pienenee lineaarisesti. Ajanluonteisen aineen massaa kertyy muuttuvalla g:llä integrointinopeudella g²/g = g ja tietysti jakauman mukaan f(R)-funktiona.

Tuossa höpötin huolimattomasti. Tasapainoyhtälössäni on kyse vain tyhjöenergian kaarevuuden tidal-jännityksiin liittyvästä energiatiheydestä. Varsinaisten ajanlaatuisten hiukkaseksitaatioiden energia pitää vielä täydentää teoriaan. Jotain kvanttidiskretiaa siinä takuulla tarvitaan.

[Disputator]

Taitaa Eusan nuo "kehitelmät" kuulua ihan omaan ketjuunsa, ei ainakaan viimeaikaisilla jutuilla ole mitään tekemistä otsikon aiheen kanssa. Joku Eusafysiikan oma ketju olisi varmaan paikallaan, sieltä sitten aiheesta kiinnostuneet voisivat löytää vaikka mitä mielenkiintoista. Ja sinne voisi oikeastaan siirtää lähes kaikki Eusan jutut. IMHO.

[Eusa]

Taitaa Eusan nuo "kehitelmät" kuulua ihan omaan ketjuunsa, ei ainakaan viimeaikaisilla jutuilla ole mitään tekemistä otsikon aiheen kanssa. Joku Eusafysiikan oma ketju olisi varmaan paikallaan, sieltä sitten aiheesta kiinnostuneet voisivat löytää vaikka mitä mielenkiintoista. Ja sinne voisi oikeastaan siirtää lähes kaikki Eusan jutut. IMHO.

On totta, että kiihtyvyyden merkitys on otsikoitu "kaksosparadoksissa", mutta kyllä tässä on jo kauan syvennytty sen erikoistapaukseen eli olisiko kaarevassa aika-avaruudessa mahdollisuus eri mittaisiin polun pituuksiin (itseisaika) ilman kiihtyvyyden liittymistä asiaan.

Silloin tutkittavana on gravitaatiokiihtyvyys, onhan se näennäistä, mutta myös vuorovesikiihtyvyydet ja erityisesti on tutkittu mikä olisi ekvivalenssiperiaatteen mukainen newtonilaisen voiman tuottama itseiskiihtyvyys, jonka suhteen kappaleelle aiheutuu näennäistä kiihtymistä vapaasti pudotessaan. Löysin tyhjöitseiskiihtyvyyden, ilmeten kaarevuutena, osana gravitaatiodominantin ainekenttää.

Metajutustelun sijaan sinulla olisi mahdollisuus kommentoida itse aihesisältöä.

[QS]

...kiihtyvyyden merkitys on otsikoitu "kaksosparadoksissa"
...
erikoistapaukseen eli olisiko kaarevassa aika-avaruudessa mahdollisuus eri mittaisiin polun pituuksiin (itseisaika) ilman kiihtyvyyden liittymistä asiaan.

Lainaan erästä artikkelinpätkää, jossa asia laskettu.

Tarkastelussa on kaksi inertiaalikelloa $K_1$ ja $K_2$, joista $K_1$ kiertää pallosymmetrisen pyörimättömän massakappaleen nk. vapaan pudotuksen inertiaalissa. Kiertorata on vakioetäisyydellä $r_1$.

$K_2$ heitetään säteen suunnassa ulos siten, että se kohtaa kellon $K_1$ kahdesti: ensin ulos päin etäisyydellä $r_1$, ja myöhemmin sisään päin samalla etäisyydellä $r_1$, jolloin $K_1$ on kiertänyt täyden kierroksen. $K_2$ käy etäisyydellä $r_2$, josta se putoaa takaisin sisään päin.

Molempien liikeradat ovat geodeettisia käyriä. Ideana on valita $r_2$ siten, että kellot kohtaavat tapahtumassa, jossa $K_1$ on tehnyt yhden kokonaisen kierroksen.

Kirjoitan oleelliset kaavat ilman pitkiä laskuja. Yhdellä kokonaisella kierroksella $K_1$ mittaa ominaisajan

$$\mathrm{\Delta }{\tau }_1=2\pi r_1\sqrt{\frac{2r_1-3R}{R}}$$

missä $R=2GM$ ja $r_1$ on kiertoradan etäisyys keskipisteestä Schwarzschildin koordinaateilla. Vastaava koordinaattiaika on

$$\mathrm{\Delta }{t}_1=2\pi \sqrt{\frac{2r_1^3}{R}}$$

$K_2$ mittaa kohtaamistapahtumien välisen ominaisajan

$$\mathrm{\Delta }{\tau }_2=2{\int }_{r_1}^{r_2}dr\frac{1}{\sqrt{R(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2})}}=2\frac{r_2-r_1+r_2\sqrt{\frac{r_2}{r_1}-1}\arctan (\frac{r_2}{r_1}-1)}{\sqrt{R(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2})}}$$

Vastaava koordinaattiaika on

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{t}_2& =2[\pi (\sqrt{R(r_2-R)}+\frac{r_2}{2}\sqrt{\frac{r_2-R}{R}})\\ & +\sqrt{\frac{r_1(r_2-r_1)(R_2-R)}{R}}-(2R+r_2)\sqrt{\frac{r_2-R}{R}}\arcsin \left(\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}\right)\\ & +R\ln (\frac{R(r_2-r_1)}{\sqrt{R{r}_1(r_2-R)(r_2-r_1)}}-R(r_2-r_1))+R\ln (1+\sqrt{\frac{r_1(r_2-R)}{R(r_2-r_1)}})]\end{array}$$

Lausekkeista saa käytännössä selvyyden vain numeerisesti. Mitattuja aikoja voi tarkastella kuvasta:

TwinGR.png (14.66 KiB) Katsottu 11627 kertaa

Vaaka-akseli on kiertoradan $r_1$ ja Schwarzschildin säteeseen $R$ välinen suhde. Pystyakseli on mitatun ominaisajan $\mathrm{\Delta }\tau$ ja Schwarzschildin säteeseen $R$ välinen suhde.

Oranssi käyrä (${\tau }_1/R$) on kiertoradalla olevan kellon $K_1$ ominaisaika, ja vihreä (${\tau }_2/R$) on kellon $K_2$ ominaisaika. Selvästi $K_1$ mittaa pienemmän ajan kuin $K_2$.

Suurin aika mitataan Schwartzschild-koordinaateilla $t/R$.

Kellojen $K_1$ ja $K_2$ ominaiskiihtyvyys on koko ajan nolla. Ikääntymisero on seuraus aika-avaruuden metriikasta ja aika-avaruuden käyrien 'pituuserosta', ei ominaiskiihtyvyydestä. Muitakaan kiihtyvyyksiä asetelmaan ei liity.

[Eusa]

...kiihtyvyyden merkitys on otsikoitu "kaksosparadoksissa"
...
erikoistapaukseen eli olisiko kaarevassa aika-avaruudessa mahdollisuus eri mittaisiin polun pituuksiin (itseisaika) ilman kiihtyvyyden liittymistä asiaan.

Lainaan erästä artikkelinpätkää, jossa asia laskettu.

Tarkastelussa on kaksi inertiaalikelloa $K_1$ ja $K_2$, joista $K_1$ kiertää pallosymmetrisen pyörimättömän massakappaleen nk. vapaan pudotuksen inertiaalissa. Kiertorata on vakioetäisyydellä $r_1$.

$K_2$ heitetään säteen suunnassa ulos siten, että se kohtaa kellon $K_1$ kahdesti: ensin ulos päin etäisyydellä $r_1$, ja myöhemmin sisään päin samalla etäisyydellä $r_1$, jolloin $K_1$ on kiertänyt täyden kierroksen. $K_2$ käy etäisyydellä $r_2$, josta se putoaa takaisin sisään päin.

Molempien liikeradat ovat geodeettisia käyriä. Ideana on valita $r_2$ siten, että kellot kohtaavat tapahtumassa, jossa $K_1$ on tehnyt yhden kokonaisen kierroksen.

Kirjoitan oleelliset kaavat ilman pitkiä laskuja. Yhdellä kokonaisella kierroksella $K_1$ mittaa ominaisajan

$$\mathrm{\Delta }{\tau }_1=2\pi r_1\sqrt{\frac{2r_1-3R}{R}}$$

missä $R=2GM$ ja $r_1$ on kiertoradan etäisyys keskipisteestä Schwarzschildin koordinaateilla. Vastaava koordinaattiaika on

$$\mathrm{\Delta }{t}_1=2\pi \sqrt{\frac{2r_1^3}{R}}$$

$K_2$ mittaa kohtaamistapahtumien välisen ominaisajan

$$\mathrm{\Delta }{\tau }_2=2{\int }_{r_1}^{r_2}dr\frac{1}{\sqrt{R(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2})}}=2\frac{r_2-r_1+r_2\sqrt{\frac{r_2}{r_1}-1}\arctan (\frac{r_2}{r_1}-1)}{\sqrt{R(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2})}}$$

Vastaava koordinaattiaika on

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{t}_2& =2[\pi (\sqrt{R(r_2-R)}+\frac{r_2}{2}\sqrt{\frac{r_2-R}{R}})\\ & +\sqrt{\frac{r_1(r_2-r_1)(R_2-R)}{R}}-(2R+r_2)\sqrt{\frac{r_2-R}{R}}\arcsin \left(\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}\right)\\ & +R\ln (\frac{R(r_2-r_1)}{\sqrt{R{r}_1(r_2-R)(r_2-r_1)}}-R(r_2-r_1))+R\ln (1+\sqrt{\frac{r_1(r_2-R)}{R(r_2-r_1)}})]\end{array}$$

Lausekkeista saa käytännössä selvyyden vain numeerisesti. Mitattuja aikoja voi tarkastella kuvasta:


TwinGR.png


Vaaka-akseli on kiertoradan $r_1$ ja Schwarzschildin säteeseen $R$ välinen suhde. Pystyakseli on mitatun ominaisajan $\mathrm{\Delta }\tau$ ja Schwarzschildin säteeseen $R$ välinen suhde.

Oranssi käyrä (${\tau }_1/R$) on kiertoradalla olevan kellon $K_1$ ominaisaika, ja vihreä (${\tau }_2/R$) on kellon $K_2$ ominaisaika. Selvästi $K_1$ mittaa pienemmän ajan kuin $K_2$.

Suurin aika mitataan Schwartzschild-koordinaateilla $t/R$.

Kellojen $K_1$ ja $K_2$ ominaiskiihtyvyys on koko ajan nolla. Ikääntymisero on seuraus aika-avaruuden metriikasta ja aika-avaruuden käyrien 'pituuserosta', ei ominaiskiihtyvyydestä. Muitakaan kiihtyvyyksiä asetelmaan ei liity.

Muuten kiva, mutta kelloihinkin kohdistuu jännityksiä kiihtyvyyksinä vuorovesivoimista ja niitähän lähdettiin tarkemmin tutkimaan.

Samoin suljettuun järjestelmään on huomioitava koko kenttää doimoiva massakappale liiketiloineen, minkä fysiikan olen myös tutkinut ja sinä sen ohitat.

Tilanne on vastaava kuin ilo karusellilaskelmasta, vaikka siihen kiinnitetty vastamassa maapallo unohtui huomioida.

[QS]

...kiihtyvyyden merkitys on otsikoitu "kaksosparadoksissa"
...
erikoistapaukseen eli olisiko kaarevassa aika-avaruudessa mahdollisuus eri mittaisiin polun pituuksiin (itseisaika) ilman kiihtyvyyden liittymistä asiaan.

Lainaan erästä artikkelinpätkää, jossa asia laskettu.

Tarkastelussa on kaksi inertiaalikelloa $K_1$ ja $K_2$, joista $K_1$ kiertää pallosymmetrisen pyörimättömän massakappaleen nk. vapaan pudotuksen inertiaalissa. Kiertorata on vakioetäisyydellä $r_1$.

$K_2$ heitetään säteen suunnassa ulos siten, että se kohtaa kellon $K_1$ kahdesti: ensin ulos päin etäisyydellä $r_1$, ja myöhemmin sisään päin samalla etäisyydellä $r_1$, jolloin $K_1$ on kiertänyt täyden kierroksen. $K_2$ käy etäisyydellä $r_2$, josta se putoaa takaisin sisään päin.

Molempien liikeradat ovat geodeettisia käyriä. Ideana on valita $r_2$ siten, että kellot kohtaavat tapahtumassa, jossa $K_1$ on tehnyt yhden kokonaisen kierroksen.

Kirjoitan oleelliset kaavat ilman pitkiä laskuja. Yhdellä kokonaisella kierroksella $K_1$ mittaa ominaisajan

$$\mathrm{\Delta }{\tau }_1=2\pi r_1\sqrt{\frac{2r_1-3R}{R}}$$

missä $R=2GM$ ja $r_1$ on kiertoradan etäisyys keskipisteestä Schwarzschildin koordinaateilla. Vastaava koordinaattiaika on

$$\mathrm{\Delta }{t}_1=2\pi \sqrt{\frac{2r_1^3}{R}}$$

$K_2$ mittaa kohtaamistapahtumien välisen ominaisajan

$$\mathrm{\Delta }{\tau }_2=2{\int }_{r_1}^{r_2}dr\frac{1}{\sqrt{R(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2})}}=2\frac{r_2-r_1+r_2\sqrt{\frac{r_2}{r_1}-1}\arctan (\frac{r_2}{r_1}-1)}{\sqrt{R(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2})}}$$

Vastaava koordinaattiaika on

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{t}_2& =2[\pi (\sqrt{R(r_2-R)}+\frac{r_2}{2}\sqrt{\frac{r_2-R}{R}})\\ & +\sqrt{\frac{r_1(r_2-r_1)(R_2-R)}{R}}-(2R+r_2)\sqrt{\frac{r_2-R}{R}}\arcsin \left(\sqrt{\frac{r_1}{r_2}}\right)\\ & +R\ln (\frac{R(r_2-r_1)}{\sqrt{R{r}_1(r_2-R)(r_2-r_1)}}-R(r_2-r_1))+R\ln (1+\sqrt{\frac{r_1(r_2-R)}{R(r_2-r_1)}})]\end{array}$$

Lausekkeista saa käytännössä selvyyden vain numeerisesti. Mitattuja aikoja voi tarkastella kuvasta:


TwinGR.png


Vaaka-akseli on kiertoradan $r_1$ ja Schwarzschildin säteeseen $R$ välinen suhde. Pystyakseli on mitatun ominaisajan $\mathrm{\Delta }\tau$ ja Schwarzschildin säteeseen $R$ välinen suhde.

Oranssi käyrä (${\tau }_1/R$) on kiertoradalla olevan kellon $K_1$ ominaisaika, ja vihreä (${\tau }_2/R$) on kellon $K_2$ ominaisaika. Selvästi $K_1$ mittaa pienemmän ajan kuin $K_2$.

Suurin aika mitataan Schwartzschild-koordinaateilla $t/R$.

Kellojen $K_1$ ja $K_2$ ominaiskiihtyvyys on koko ajan nolla. Ikääntymisero on seuraus aika-avaruuden metriikasta ja aika-avaruuden käyrien 'pituuserosta', ei ominaiskiihtyvyydestä. Muitakaan kiihtyvyyksiä asetelmaan ei liity.

Muuten kiva, mutta kelloihinkin kohdistuu jännityksiä kiihtyvyyksinä vuorovesivoimista ja niitähän lähdettiin tarkemmin tutkimaan.

Laakeassa avaruudessa hiukkasiin ei kohdistu voimia, mutta ikääntymisero on olemassa. Olisi perin outoa, jos ilmiö pitäisi selittää gravitaatiossa toisin kuin laakeassa avaruudessa.