Mittakenttäteoriaa, pääsäiekimput ym. settiä

[QS]

...
Matriisit \(y\) ja \(t_i\) kommutoivat \([t_i,y] = 0\). Suoraa tuloa \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) vastaavan Lien algebran \(\mathfrak{su}(2)_L \oplus \mathfrak{u}(1)_Y\) voi kirjoittaa

\(\begin{align*}[t_i,t_j]&=-ig\ \epsilon_{ijk}\ t_k \\ [t_i,y]&=0\end{align*}\)

Tämä on 4-dimensioinen Lien algebra, jonka generaattorit ovat \(\{t_1,t_2,t_3,y\}\).

Tuo näytää hyvältä ja pitäisi olla varmaan ihan oikein (-miinusmerkki kommuttaatorissa?). Kai tuon kytkentävakionkin voi sinne laittaa.

Iltaa!
Joo, etumerkkivirhe, piti olla \([t_i,t_j]=ig\ \epsilon_{ijk}\ t_k\).

Voi ajatella, että unitaarinen ryhmä \(U(1)\) on kompleksilukujen \(e^{i\alpha}\), joukko, jossa \(\alpha\) on reaalinen parametri/koordinaatti.

Vähän samaan tapaan kuin Lie algebran tapauksessa, voidaan määritellä ryhmän U(1) esitys ryhmähomomorfismina (tähän keissiin sovellettuna) \(\Pi:U(1)\to Mat(4,\mathbb{C})\), siis \(\Pi(e^{i\alpha_1}e^{i\alpha_2})= \Pi(e^{i\alpha_1})\Pi (e^{i\alpha_2})\). Nyt siis matriisit \(\Pi(e^{i\alpha})\) ovat 4x4-matriiseja. Jos kaikki matriisit \(\Pi(e^{i\alpha}) \) ovat unitaarisia sisätuloavaruuden \(\mathbb{C}^4\) lineaarikuvauksena, sanotaan esityksen olevan unitaarinen.

Nyt voidaan rakentaa esityksiä ryhmälle U(1), esimerkiksi seuraava kuvaus \(\Pi_1\) on ryhmän U(1) unitaarinen esitys:

$$\Pi_1(e^{i\alpha})=\begin{pmatrix}
e^{i\alpha} & 0 & 0 & 0 \\
0 & e^{i\alpha} & 0 & 0 \\
0 & 0 & e^{i\alpha} & 0 \\
0 & 0 & 0 & e^{i\alpha} \\
\end{pmatrix}
$$
Matriisi \(\Pi_1(e^{i\alpha})\) on unitaarinen, koska \(\Pi_1(e^{i\alpha})^H\Pi_1(e^{i\alpha})=\mathbb{I}_4\)

Toinen esitys voisi olla esimerkiksi:
$$\Pi_2(e^{i\alpha})=\begin{pmatrix}
e^{i\alpha} & 0 & 0 & 0 \\
0 & e^{i2\alpha} & 0 & 0 \\
0 & 0 & e^{3i\alpha} & 0 \\
0 & 0 & 0 & e^{4i\alpha} \\
\end{pmatrix}
$$.
Myös tämä esitys on unitaarinen, sillä \(\Pi_2(e^{i\alpha})^H\Pi_2(e^{i\alpha})=\mathbb{I}_4\)

Lisää esityksiä saadaan mainitsemallasi matriisieksponentilla.

Olin tämän ryhmähomomorfismin mahdollisuuden nolosti unohtanut. Tietysti, se on ryhmän U(1) esitys \(\Pi:U(1)\to Mat(4,\mathbb{C})\), joka on unitaaristen 4x4-matriisien ryhmä.

Jätän nyt noista Lie algebran alamerkinnät Y ja L pois.

Mun yksi kirja tekee tuon hieman muodollisemmin, siinä nuo sun 4x4-matriisit ovat Lie algebran \(\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)\) esityksiä. Siinä on mulle epäselviä kohtia (erinäisiä kertoimia), joten kommentoin sitten tarkemmin myöhemmin. Idealtaan kuitenkin se menee siinä näin, että alkuperäinen Lie algebra\(\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)\) on esitettävissä 2x2-kompleksimatriiseina ja siinä määritellään (tähän tapaukseen sovelletuna) Lie algebran esityksinä \( \pi:\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)\to Mat(4,\mathbb{C})\), missä \(Mat(4,\mathbb{C})\) on 4x4-kompleksimatriisien joukko.

Lie \(\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)\) kantavektorit ovat \(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\) ja \(\beta\). Tuo \(\beta \) on suoraan kirjasta, se on kompleksiluku, koska \(\mathfrak{u}(1)\) on 1-ulotteinen, mutta se voidaan kirjoittaa 2x2-matriisina \(\beta=\beta \mathbb{I}_2\)

Nuo sun matriisit \(t_1,t_2,t_3\) ja y voidaan käsittääkseni ajatella esityksen \(\pi\) avulla:
$$\begin{align*}
\pi(\sigma_1)&=t1\\
\pi(\sigma_2)&=t2\\
\pi(\sigma_3)&=t3\\
\pi(\beta)&=y
\end{align*}$$

Nyt nuo \(t1,t2,t3,y\) voidaan ajatella määrittelevän 4-ulotteisen Lie alialgebran matriisiavaruudessa \(Mat(4,\mathbb{C})\) ja merkitä sitä \(\mathfrak{su}(2)_L \oplus \mathfrak{u}(1)_Y\).

Ihan mielenkiinnosta poimin generaattoreista \(\vec t\) ja \(y\) vasenkiraalisen osan, toisin sanoen vasemman yläkulman 2x2-matriisit. Jätin pois kytkinvakiot \(\frac{1}{2}g\) ja \(\frac{1}{2}g'\).

Kun lisätään eteen i, saadaan generaattorit

\(\begin{align*}
t_1&=i\sigma_1\\
t_2&=i\sigma_2\\
t_3&=i\sigma_3\\
t_0&=iy=i\ \mathbb{I}_2
\end{align*}\)

Nämä ovat antihermiittisiä, eli siis \(t_i^\dagger=-t_i\). Käyttämällä parametria \(a_i \in \mathbb{R}\) voidaan muodostaa generaattorien lineaarikombinaatio
$$u=\sum_{i=0}^{3}a_i\ t_i
$$Vastaavat matriisit \(G=\exp(u)\) ovat unitaaristen 2x2-matriisien ryhmä \(U(2)\). Kun i:n jättää pois, niin generaattorit ovat hermiittisiä, ja matriisieksponentti \(\exp(iu)\) antaa silloin ryhmän \(U(2)\).

Kai tuo \(U(2)\) on ymmärrettäväkin, sillä mukana oleva 2x2-matriisiesitys ryhmälle \(U(1)\) tavallaan poistaa ryhmän \(SU(2)\) ominaisuuden det(G)=1.

[QS]

Paneuduin vielä Weinbergin Lagrangen tiheyteen, ja koetin soveltaa ketjussa esillä olleita juttuja. Neljä fysiikan keinoin havaittavaa mittakenttää määritellään

\(\begin{align*}
&W^\mu=\frac{1}{\sqrt{2}}(A_1^\mu+i\ A_2^\mu)\\\\
&W^{\mu*}=\frac{1}{\sqrt{2}}(A_1^\mu-i\ A_2^\mu)\\\\
&Z^\mu=\cos\theta\ A_3^\mu+\sin\theta\ B^\mu\\\\
&A^\mu=-\sin\theta\ A_3^\mu+\cos\theta\ B^\mu
\end{align*}\)

joista viimeinen \(A^\mu\) on sähkömagneettinen kenttä. Nämä on muodostettu neljän mittakentän \(\vec A_\mu=(A^\mu_1,A^\mu_2,A^\mu_3)\) ja \(B^\mu\) lineaarikombinaatioina. Sivuseikkana: fotonin muodostuminen kahdesta mittakentästä oli taivastelun kohteena teorian aamunkoiton vuosina, mutta käsittääkseni asiasta ei ole mitään konkreettista fysiikkaa löydetty.

Ryhmän \(SU(2)_L \times U(1)_Y\) generaattorit \(t_1,t_2,t_3\) ja \(y\) ovat nekin lineaarikombinaatioina Lagrangen leptonitermissä

\(\begin{align*}
i\mathcal{L'}_{e}=
-\overline{
\begin{pmatrix}
\nu_e \\ e
\end{pmatrix}}
& \bigg[\ \ \frac{1}{\sqrt{2}}\not\! W (t_{1L}-it_{2L})\\
&+ \frac{1}{\sqrt{2}}\not\! W^* (t_{1L}+it_{2L})\\
&+ \not\! Z (t_{3L}\cos\theta+y\sin\theta)\\
&+\not\! A(-t_{3L}\sin\theta+y\cos\theta)\bigg]
\begin{pmatrix}
\nu_e \\ e
\end{pmatrix}
\end{align*}\)

Laskin matriisit siten, että mukana vain vasenkiraaliset 2x2-matriisit

$$\begin{align*}
t_{1L}-it_{2L}&=\
g\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\\\\
t_{1L}+it_{2L}&=\
g\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix} \\\\
t_{3L}\cos\theta+y\sin\theta&=
\ \ \ \frac{g}{2}\cos\theta
\begin{pmatrix}
1& 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
+
\frac{g'}{2}\sin\theta
\begin{pmatrix}
1& 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}\\\\
-t_{3L}\sin\theta+y\cos\theta&=
-\frac{g}{2}\sin\theta
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
+
\frac{g'}{2}\cos\theta\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}=
e\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\end{align*}$$

missä \(\sin\theta=-e/g\) ja \(\cos\theta=-e/g'\). Näistä matriiseista voidaan poimia

\(\begin{align*}
X&=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}\\
Y&=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}\\
H&=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\end{align*}\)

jotka ovat selvästi Lien algebran \(\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\) kanta. Kommutoinnit ovat

\(\begin{align*}[H,X]&=2X\\
[H,Y]&=-2Y\\
[X,Y]&=H
\end{align*}\)

Tämä Lien algebra on vasenkiraalisten leptonien redusoitumaton \((\frac{1}{2},0)\) -esitys.

Neljäs matriisi \(\mathbb{I}_2 = \mathrm{diag}(1,1)\) on nyt sitten ilmeisesti Lien algebran \(\mathfrak{u}(1)\) redusoituva esitys \(\pi: \mathfrak{u}(1)\to \mathrm{Mat}(2,\mathbb{C})\). Vastaava redusoitumaton esitys on \(\pi: \mathfrak{u}(1)\to \mathbb{C}\), joka on hypervarauksen 1x1-matriisi \(Y=-\frac{1}{2}\).

Viimeinen sähkövarauksen matriisi \(-t_{3L}\sin\theta+y\cos\theta\) ilmaisee sen, että leptonin sähkövaraus on peräisin kahdesta eri mittaryhmästä (isospinin \(SU(2)_L\) ja hypervarauksen \(U(1)_Y\)), eikä se ole itsenäinen \(U(1)\)-varaus kuten QED:ssä.