Ajankääntö ja pariteetti fysiikassa

[Disputator]

Iltaa!

Netflix-vertaus oli loistava, ymmärrän täysin tuskan

...
Tämä tekee Weinbergin kirjasta mielenkiintoisen rakennustyömaan, kun kenttäyhtälötkin löytyvät tilavektorien (=particle) symmetrioista. Tehtävä ei tietysti ole helppo, mutta monen mutkan kautta luvussa 5.5 kirjoitetaan vapaa Diracin kenttä:

\(\begin{align}
\psi_\ell^+(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ u_\ell(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(\mathbf p,\sigma) \\
\psi_\ell^{-c}(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ v_\ell(\mathbf p,\sigma)e^{-ip\cdot x}\ a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)
...

Meillä on tässä hyvin paljon rakennustyömaata rakennettavana Nyt tuo Weinbergin notaatio \(\psi^{-c}(x)\), mikä on sen tarkoitus? Mikä tuo \(-c \) on eksponentissa? Miksi siinä on -c eikä c. Tuo viittaa kai johonkin hypoteettiseen varauskonjugaatioon. Kuitenkin toinen on merkitty vain plusmerkillä \(\psi^+(x)\). Yleensä perinteellisesti esimerkiksi luomisoperaattorit ovat muotoa \(a^{\dagger}, b^{\dagger}\) , mutta sulla (Weinbergistä) esimerkiksi on epätriviaaleja notaatioita, kuten \(\ a^{c\dagger}\). Niillä on toki Weinbergin esityksessä tietty merkitys, mutta ne eivät oikein avaudu, jos ei lue Weinbergin kirjaa alusta alkaen.

Kyllä, työmaat aloitetaan kivijalasta, tai jopa maanrakennuksesta, jotta hökkeli ei sorru heti. Weinbergin \(\psi^+\) ja \(\psi^-\) saavat yläindeksin eksponenttifunktiosta \(e^{+ip\cdot x}\) tai \(e^{-ip\cdot x}\), mutta ei suoraan etumerkistä, vaan aika-riippuvuutta kuvaavan termin etumerkistä.

Kentän \( \psi^+\) eksponentissa on sisätulo \(ip\cdot x = i(-\omega t + \mathbf p \cdot \mathbf x) = -i\omega t+ i\mathbf p \cdot \mathbf x\), ja aikariippuvuus on \(e^{-i\omega t}\). Kun signatuuri on (-,+,+,+), niin \(\omega\) tarkoittaa positiivisen kulmataajuuden aaltoa.

Vastaavasti \(\psi^-\):n eksponentissa on sisätulo \(-ip\cdot x = -i(-\omega t + \mathbf p \cdot \mathbf x) = i\omega t - i\mathbf p \cdot \mathbf x\), ja aikariippuvuus on \(e^{i\omega t}\). Signatuurissa (-,+,+,+) tämä tarkoittaa sitä, että \(-\omega\) on negatiivisen kulmataajuuden aalto.

Jos \(\psi^+\) ja \(\psi^-\) kirjoitettaisiin signatuurissa (+,-,-,-), niin aikariippuvuuden etumerkin sääntö on (käsitykseni mukaan) sama, mutta lausekkeet muuttuvat siten, että \(\psi^+\):ssa onkin termi \(e^{-ip\cdot x}\) ja \(\psi^-\):ssa on termi \(e^{ip\cdot x}\). Eli tuo eksponentin etumerkki riippuu signatuurista.

Nyt sitten logiikka on se, että \(\psi^+\) ja \(\psi^{+c\dagger}\) ovat poistokenttiä, eli + tarkoittaa poistoa, ja se sisältää poisto-operaattorit \(a\) ja \(a^c\). Vastaavasti \(\psi^{-\dagger}\) ja \(\psi^{-c}\) ovat luontikenttiä, eli - tarkoittaa luontioperaattoreita \(a^\dagger\) ja \(a^{c\dagger}\). Muistisääntönä se, että plussat ja miinukset ovat loogisesti väärin päin. Lisäksi \(\dagger\) vaihtaa paikkaa, joka sotkee notaatiota, ja muistisääntönä se, että dagger sotkee notaatiota ; )

\(\psi^+\) --> hiukkasen poisto \(a\)
\(\psi^{-c}\) --> antihiukkasen luonti \(a^{c\dagger}\)

\(\psi^{-\dagger}\) --> hiukkasen luonti \(a^\dagger\)
\(\psi^{+c\dagger}\) --> antihiukkasen poisto \(a^c\)

Koko kenttä kirjoitetaan

\(\psi = \psi^+ + \psi^{-c}\),

missä yhdistetty hiukkasen poisto ja antihiukkasen luonti. Tuon kentän Hermiten konjugaatti (ilman summia ja kertoimia) on

\(\begin{align}
\psi^\dagger &= (\psi^+)^\dagger + (\psi^{-c})^\dagger \\
&= \int d^3p\ u^\dagger e^{-ip\cdot x}\ a^\dagger + \int d^3p\ v^\dagger e^{ip\cdot x}\ a^c \\
&= \psi^{-\dagger} + \psi^{+c\dagger}
\end{align}\)

Tässä on yhdistetty hiukkasen luonti ja antihiukkasen poisto. Operaattorit konjugoidaan, ja samalla eksponentin etumerkki vaihtuu. Viimeisen rivin \(\psi^{-\dagger}\) luo hiukkasen, ja \(\psi^{+c\dagger}\) poistaa antihiukkasen. Sama +/- sääntö, eli miinus luo ja plus poistaa. Konjugoinnissa kentän yläindeksi vaihtuu, koska aika-riippuvuuden etumerkin vaihtumisen takia notaatio vaihtuu loogisesti siten, että \((\psi^+)^\dagger = \psi^{-\dagger}\) ja \((\psi^{-c})^\dagger = \psi^{+c\dagger}\).

Ja sitten varauskonjugoinnin notaatio c, joka esitellään luvussa 5.2 Causal scalar fields. Tämä on jälleen hiukan kryptinen juttu, ja se perustuu Hamiltonin tiheyteen \(\mathscr H(x)\), joka on niin sanottu vuorovaikutuksen tiheys (interaction density).

Kun \(\psi\) poistaa ja luo hiukkasia, joilla on kvanttiluku (esimerkiksi varaus), niin \(\mathscr H(x)\) säliyttää kvanttiluvun jos ja vain jos jokaisessa \(\mathscr H(x)\):n termissä on sama määrä operaattoreita \(a(\mathbf p)\) ja \(a^\dagger(\mathbf p)\). Jotta \(\mathscr H\) ja varausoperaattori \(Q\) saadaan kommutoimaan, niin kenttäoperaattorien \(\phi\) ja \(Q\):n kommutointi on oltava muotoa

\(\left[Q,\phi^+(x)\right] = -q\phi^+(x)\\\\
\left[Q,\phi^{+\dagger}(x)\right] = +q\phi^{+\dagger}(x)\)

Luku 5.2 käsittelee bosoneja, mutta edellisestä päätellään, että on olemassa kaksi spinitöntä ja samanmassaista bosonia siten, että niillä on vastakkaiset varaukset \(+q\) ja \(-q\). Tällä perusteella esitellään poistokentät \(\phi^+\) ja \(\phi^{+c}\), jotka poistavat hiukkasen varauksella \(+q\) ja "c-hiukkasen" varauksella \(-q\). Tämä sama logiikka näkyy Diracin kentän yhteydessä, ja ennen Diracin varauskonjugointi-operaattorin \(C\) esittelyä.

Skalaarikentälle varauskonjugointi määritellään

\(\begin{align}
\mathrm C\ \phi^+(x)\ \mathrm C^{-1} = \xi^* \phi^{+c}(x) \\
\mathrm C\ \phi^{+c\dagger}(x)\ \mathrm C^{-1} = \xi^c \phi^{+\dagger}(x)
\end{align}
\)

Joo, tässä oli nyt niin paljon juonenkäänteitä, että jäi varmaankin enemmän kysymyksiä kuin tuli vastauksia

Kiitoksia tästä! On mukavaa, että on joku joka laatii mulle tiivistelmän jostain ongelmakohdista, ettei tartte itse etsiä. Yritin vastata tiettyyn aikaisempaan viestiisi aikaisemmin illalla, mutta jostain syystä palsta ei aina tuottanut edes LaTex-koodista kaavoja esikatselussa, joten palaan siihen ja tähänkin sitten myöhemmin.