Matematiikan syvin olemus

[Abezethibou]

Kävin lukemassa tuota toista "tiede" foorumia johon minulla on elinikäinen porttikielto ja toden totta kun asiaa miettii, niin piin arvon voi ilmaista hyvinkin lyhyesti mutta silti tarkasti jos haluaa. Itselle tulee mieleen nämä:

\(\pi\)
\(\pi = \frac{\text{ympyrän kehä}}{\text{halkaisija}}\)
\(\pi = 4 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k + 1}\)
\(\pi = 2 \cdot \inf\{x > 0 : \sin x = 0\}\)
\(e^{i\pi} + 1 = 0\)

No joo ; ). Muistan kun joskus avasin tämän ketjun. Tajunnanvirta ja ajatusten tonava kai lähti historiallisesta kysymyksestä, että onko matematiikka luonnossa valmiina vai onko se ihmisen keksimä järjestelmä, joka voidaan määritellä:

"Mathematics involves the description and manipulation of abstract objects that consist of either abstractions from nature or—in modern mathematics—purely abstract entities that are stipulated to have certain properties, called axioms"

Näin ollen pii on luonnosta poimittu abstraktio. Tässä voi kysyä, että jos kaikki universumin älykkäät (mitä älykäs ikinä tarkoittaakaan) lopettavat olemassaolonsa nyt (ottamatta kantaa ajan suhteellisuuteen), niin jääkö piin määritelmä tästäkin huolimatta luontoon odottamaan sitä, että seuraava sivilisaatio sen löytää. Mielestäni kyllä jää. Mutta asian voi varmasti nähdä muillakin tavoilla.

Älä yllytä hullua kissaa karvaan. Tämä on yksi lempiaiheitani. Itse uskon, että matematiikka löydetään ja myös John Conwayn tavoin, että suuret matemaattiset oivallukset annetaan tietyille valituille matemaatikoille. Uskon siis jonkinlaiseen Platonin ikuisten ideoiden taivaaseen. Nykyään puhutaan matemaattisesta platonismista jossa matemaattiset objektit on abstrakteja ajattomasti olemassa olevia entiteettejä jotka ei riipu ihmisen mielestä. Ihan oikeaa filosofiaa siis joskin minulla se on puhtaasti kyökkifilosofiaa.

Keittiösofiaan minäkin nojaan kun heikko filosofian osaamistaso. Tarkoitin konkreettisesti luonnossa, en ideana tai ajatuksena tai muutenkaan mieleen sidottuna. Konkreettisesti jokaisessa universumin tarpeeksi täydellisessä ympyrässä tai pallossa tallessa siis. Riippumatta onko olemassa älykkäitä sivilisaatioita.

Joo miksipä ei ja niitä melko täydellisiä palloja löytyy paljonkin. Vaikka jokin neutronitähti jos ei sitten pyöri liian lujaa. Jos oikein hörhöttään alkaa, niin matemaattisen platonismin kannattaja saattaa nähdä kvanttimekaniikan monimaailmatulkinnan matemaattisena välttämättömyytenä eikä filosofisena spekulaationa. Niels Bohrin näkemys matematiikasta ennustamisen työkaluna taas olisi ristiriidassa platonismin kanssa yhdessä köpiksen tulkinnan kanssa. Näin ainakin keittiöfilosofisesti.

Tarpeeksi täydellisiä lienee tarpeeksi suuri määrä. Tottahan on, että ympyrä tai pallo on abstraktio, sillä luonnossa näitä absoluuttisen täydellisiä objekteja ei ole. Mutta en minä Platonin ideaoppiakaan sulata. Jos nyt oletetaan se, että jonnekin syntyy vajaassa miljardissa vuodessa älyllinen sivilisaatio, niin eivät he erityistä ideamaailmaa tarvitse, josta ympyrän ja piin löytävät. Riittää, että luonnosta löytyy ympyrän kaltaisia muotoja, ja hiukan mittatikkuja, mittanauhoja ja päättelykykyä, niin pii on löytynyt. Platonin ideataivaan koen hiukan liian ihmiskeskeisenä. Kun taas pii ei ole lainkaan ihmiskeskeinen, vaan varsin universuminlaajuinen ominaisuus ja ennen kaikkea erittäin konkreettinen.

Platonin oppi vaatiikin lujaa uskoa. Pii on vielä helppo kun se tosiaan löytyy luonnosta, mutta matematiikassahan on vaikka mitä erikoista luonnotonta kun ei ole fysiikan rajoitteita.

[QS]

No joo ; ). Muistan kun joskus avasin tämän ketjun. Tajunnanvirta ja ajatusten tonava kai lähti historiallisesta kysymyksestä, että onko matematiikka luonnossa valmiina vai onko se ihmisen keksimä järjestelmä, joka voidaan määritellä:

"Mathematics involves the description and manipulation of abstract objects that consist of either abstractions from nature or—in modern mathematics—purely abstract entities that are stipulated to have certain properties, called axioms"

Näin ollen pii on luonnosta poimittu abstraktio. Tässä voi kysyä, että jos kaikki universumin älykkäät (mitä älykäs ikinä tarkoittaakaan) lopettavat olemassaolonsa nyt (ottamatta kantaa ajan suhteellisuuteen), niin jääkö piin määritelmä tästäkin huolimatta luontoon odottamaan sitä, että seuraava sivilisaatio sen löytää. Mielestäni kyllä jää. Mutta asian voi varmasti nähdä muillakin tavoilla.

Älä yllytä hullua kissaa karvaan. Tämä on yksi lempiaiheitani. Itse uskon, että matematiikka löydetään ja myös John Conwayn tavoin, että suuret matemaattiset oivallukset annetaan tietyille valituille matemaatikoille. Uskon siis jonkinlaiseen Platonin ikuisten ideoiden taivaaseen. Nykyään puhutaan matemaattisesta platonismista jossa matemaattiset objektit on abstrakteja ajattomasti olemassa olevia entiteettejä jotka ei riipu ihmisen mielestä. Ihan oikeaa filosofiaa siis joskin minulla se on puhtaasti kyökkifilosofiaa.

Keittiösofiaan minäkin nojaan kun heikko filosofian osaamistaso. Tarkoitin konkreettisesti luonnossa, en ideana tai ajatuksena tai muutenkaan mieleen sidottuna. Konkreettisesti jokaisessa universumin tarpeeksi täydellisessä ympyrässä tai pallossa tallessa siis. Riippumatta onko olemassa älykkäitä sivilisaatioita.

Joo miksipä ei ja niitä melko täydellisiä palloja löytyy paljonkin. Vaikka jokin neutronitähti jos ei sitten pyöri liian lujaa. Jos oikein hörhöttään alkaa, niin matemaattisen platonismin kannattaja saattaa nähdä kvanttimekaniikan monimaailmatulkinnan matemaattisena välttämättömyytenä eikä filosofisena spekulaationa. Niels Bohrin näkemys matematiikasta ennustamisen työkaluna taas olisi ristiriidassa platonismin kanssa yhdessä köpiksen tulkinnan kanssa. Näin ainakin keittiöfilosofisesti.

Tarpeeksi täydellisiä lienee tarpeeksi suuri määrä. Tottahan on, että ympyrä tai pallo on abstraktio, sillä luonnossa näitä absoluuttisen täydellisiä objekteja ei ole. Mutta en minä Platonin ideaoppiakaan sulata. Jos nyt oletetaan se, että jonnekin syntyy vajaassa miljardissa vuodessa älyllinen sivilisaatio, niin eivät he erityistä ideamaailmaa tarvitse, josta ympyrän ja piin löytävät. Riittää, että luonnosta löytyy ympyrän kaltaisia muotoja, ja hiukan mittatikkuja, mittanauhoja ja päättelykykyä, niin pii on löytynyt. Platonin ideataivaan koen hiukan liian ihmiskeskeisenä. Kun taas pii ei ole lainkaan ihmiskeskeinen, vaan varsin universuminlaajuinen ominaisuus ja ennen kaikkea erittäin konkreettinen.

Platonin oppi vaatiikin lujaa uskoa. Pii on vielä helppo kun se tosiaan löytyy luonnosta, mutta matematiikassahan on vaikka mitä erikoista luonnotonta kun ei ole fysiikan rajoitteita.

Kyllä, mutta mielestäni Platonia ei silti tarvita. Kun luonnosta on löydetty ympyrät, neliöt, kuutiot, pii, kulman käsite, luonnolliset luvut, reaaliluvut ja muutama muu juttu, niin lisäämällä kohtuu suoraviivaisia aksioomia (luonnosta poimittuna) on periaatteessa mahdollista rakentaa ihan sama aksiomaattinen järjestelmä kuin ihminenkin on rakentanut. Eli Platonin ideataivas ei ole rajoittavana ehtona, vaan se, että voidaan tehdä havaintoja luonnosta, poimia luonnosta joukko aksioomia (todennäköisyyaksiooma, yhdensuuntaisaksiooma jne jne) ja tekemällä näitä hyödyntäen loogista päättelyä.

Vaikka matematiikassa on erittäin abstrakteja ja luonnottomia rakenteita, niin ne voidaan aina tavalla tai toisella palauttaa luonnosta löytyviin perus-sääntöihin ja joukkoon luonnosta poimittuja aksioomia.

Tietysti jos havaintokyky eli aistit, ja looginen päättelykyky puuttuvat, niin tuo matematiikan kaltainen aksiomaattinen järjestelmä jää rakentamatta. Mutta oletus olisikin, että on "älyllisiä" sivilisaatioita, vaikka älyllisen määritelmä onkin kohtuu lavea.

[Abezethibou]

Älä yllytä hullua kissaa karvaan. Tämä on yksi lempiaiheitani. Itse uskon, että matematiikka löydetään ja myös John Conwayn tavoin, että suuret matemaattiset oivallukset annetaan tietyille valituille matemaatikoille. Uskon siis jonkinlaiseen Platonin ikuisten ideoiden taivaaseen. Nykyään puhutaan matemaattisesta platonismista jossa matemaattiset objektit on abstrakteja ajattomasti olemassa olevia entiteettejä jotka ei riipu ihmisen mielestä. Ihan oikeaa filosofiaa siis joskin minulla se on puhtaasti kyökkifilosofiaa.

Keittiösofiaan minäkin nojaan kun heikko filosofian osaamistaso. Tarkoitin konkreettisesti luonnossa, en ideana tai ajatuksena tai muutenkaan mieleen sidottuna. Konkreettisesti jokaisessa universumin tarpeeksi täydellisessä ympyrässä tai pallossa tallessa siis. Riippumatta onko olemassa älykkäitä sivilisaatioita.

Joo miksipä ei ja niitä melko täydellisiä palloja löytyy paljonkin. Vaikka jokin neutronitähti jos ei sitten pyöri liian lujaa. Jos oikein hörhöttään alkaa, niin matemaattisen platonismin kannattaja saattaa nähdä kvanttimekaniikan monimaailmatulkinnan matemaattisena välttämättömyytenä eikä filosofisena spekulaationa. Niels Bohrin näkemys matematiikasta ennustamisen työkaluna taas olisi ristiriidassa platonismin kanssa yhdessä köpiksen tulkinnan kanssa. Näin ainakin keittiöfilosofisesti.

Tarpeeksi täydellisiä lienee tarpeeksi suuri määrä. Tottahan on, että ympyrä tai pallo on abstraktio, sillä luonnossa näitä absoluuttisen täydellisiä objekteja ei ole. Mutta en minä Platonin ideaoppiakaan sulata. Jos nyt oletetaan se, että jonnekin syntyy vajaassa miljardissa vuodessa älyllinen sivilisaatio, niin eivät he erityistä ideamaailmaa tarvitse, josta ympyrän ja piin löytävät. Riittää, että luonnosta löytyy ympyrän kaltaisia muotoja, ja hiukan mittatikkuja, mittanauhoja ja päättelykykyä, niin pii on löytynyt. Platonin ideataivaan koen hiukan liian ihmiskeskeisenä. Kun taas pii ei ole lainkaan ihmiskeskeinen, vaan varsin universuminlaajuinen ominaisuus ja ennen kaikkea erittäin konkreettinen.

Platonin oppi vaatiikin lujaa uskoa. Pii on vielä helppo kun se tosiaan löytyy luonnosta, mutta matematiikassahan on vaikka mitä erikoista luonnotonta kun ei ole fysiikan rajoitteita.

Kyllä, mutta mielestäni Platonia ei silti tarvita. Kun luonnosta on löydetty ympyrät, neliöt, kuutiot, pii, kulman käsite, luonnolliset luvut, reaaliluvut ja muutama muu juttu, niin lisäämällä kohtuu suoraviivaisia aksioomia (luonnosta poimittuna) on periaatteessa mahdollista rakentaa ihan sama aksiomaattinen järjestelmä kuin ihminenkin on rakentanut. Eli Platonin ideataivas ei ole rajoittavana ehtona, vaan se, että voidaan tehdä havaintoja luonnosta, poimia luonnosta joukko aksioomia (todennäköisyyaksiooma, yhdensuuntaisaksiooma jne jne) ja tekemällä näitä hyödyntäen loogista päättelyä.

Vaikka matematiikassa on erittäin abstrakteja ja luonnottomia rakenteita, niin ne voidaan aina tavalla tai toisella palauttaa luonnosta löytyviin perus-sääntöihin ja joukkoon luonnosta poimittuja aksioomia.

Tietysti jos havaintokyky eli aistit, ja looginen päättelykyky puuttuvat, niin tuo matematiikan kaltainen aksiomaattinen järjestelmä jää rakentamatta. Mutta oletus olisikin, että on "älyllisiä" sivilisaatioita, vaikka älyllisen määritelmä onkin kohtuu lavea.

Kaipa se noinkin on. joskin Eugene Wignerin sanoin matematiikan kohtuuton tehokkuus luonnontieteissä on selitettävissä paremmin jos matematiikka on luonnon kieli kuin ihmisen keksintö. Luonnon kielen voi nähdä tässä myös Platonin ideataivaana jos toki toisinkin. Hyberbolista geometriaa ei vissiin löydetty luonnosta mutta huomattiin myöhemmin että sillä on käyttöä fysiikassa. Kvaternionit, Hilbert-avaruudet, transfiniteettiluvut no kaipa ne toinenkin sivilisaatio löytää sieltä Platonin ideataivaasta. No joo ei siihen kai pakosta Platonia tarvita.

[QS]

Keittiösofiaan minäkin nojaan kun heikko filosofian osaamistaso. Tarkoitin konkreettisesti luonnossa, en ideana tai ajatuksena tai muutenkaan mieleen sidottuna. Konkreettisesti jokaisessa universumin tarpeeksi täydellisessä ympyrässä tai pallossa tallessa siis. Riippumatta onko olemassa älykkäitä sivilisaatioita.

Joo miksipä ei ja niitä melko täydellisiä palloja löytyy paljonkin. Vaikka jokin neutronitähti jos ei sitten pyöri liian lujaa. Jos oikein hörhöttään alkaa, niin matemaattisen platonismin kannattaja saattaa nähdä kvanttimekaniikan monimaailmatulkinnan matemaattisena välttämättömyytenä eikä filosofisena spekulaationa. Niels Bohrin näkemys matematiikasta ennustamisen työkaluna taas olisi ristiriidassa platonismin kanssa yhdessä köpiksen tulkinnan kanssa. Näin ainakin keittiöfilosofisesti.

Tarpeeksi täydellisiä lienee tarpeeksi suuri määrä. Tottahan on, että ympyrä tai pallo on abstraktio, sillä luonnossa näitä absoluuttisen täydellisiä objekteja ei ole. Mutta en minä Platonin ideaoppiakaan sulata. Jos nyt oletetaan se, että jonnekin syntyy vajaassa miljardissa vuodessa älyllinen sivilisaatio, niin eivät he erityistä ideamaailmaa tarvitse, josta ympyrän ja piin löytävät. Riittää, että luonnosta löytyy ympyrän kaltaisia muotoja, ja hiukan mittatikkuja, mittanauhoja ja päättelykykyä, niin pii on löytynyt. Platonin ideataivaan koen hiukan liian ihmiskeskeisenä. Kun taas pii ei ole lainkaan ihmiskeskeinen, vaan varsin universuminlaajuinen ominaisuus ja ennen kaikkea erittäin konkreettinen.

Platonin oppi vaatiikin lujaa uskoa. Pii on vielä helppo kun se tosiaan löytyy luonnosta, mutta matematiikassahan on vaikka mitä erikoista luonnotonta kun ei ole fysiikan rajoitteita.

Kyllä, mutta mielestäni Platonia ei silti tarvita. Kun luonnosta on löydetty ympyrät, neliöt, kuutiot, pii, kulman käsite, luonnolliset luvut, reaaliluvut ja muutama muu juttu, niin lisäämällä kohtuu suoraviivaisia aksioomia (luonnosta poimittuna) on periaatteessa mahdollista rakentaa ihan sama aksiomaattinen järjestelmä kuin ihminenkin on rakentanut. Eli Platonin ideataivas ei ole rajoittavana ehtona, vaan se, että voidaan tehdä havaintoja luonnosta, poimia luonnosta joukko aksioomia (todennäköisyyaksiooma, yhdensuuntaisaksiooma jne jne) ja tekemällä näitä hyödyntäen loogista päättelyä.

Vaikka matematiikassa on erittäin abstrakteja ja luonnottomia rakenteita, niin ne voidaan aina tavalla tai toisella palauttaa luonnosta löytyviin perus-sääntöihin ja joukkoon luonnosta poimittuja aksioomia.

Tietysti jos havaintokyky eli aistit, ja looginen päättelykyky puuttuvat, niin tuo matematiikan kaltainen aksiomaattinen järjestelmä jää rakentamatta. Mutta oletus olisikin, että on "älyllisiä" sivilisaatioita, vaikka älyllisen määritelmä onkin kohtuu lavea.

Kaipa se noinkin on. joskin Eugene Wignerin sanoin matematiikan kohtuuton tehokkuus luonnontieteissä on selitettävissä paremmin jos matematiikka on luonnon kieli kuin ihmisen keksintö. Luonnon kielen voi nähdä tässä myös Platonin ideataivaana jos toki toisinkin. Hyberbolista geometriaa ei vissiin löydetty luonnosta mutta huomattiin myöhemmin että sillä on käyttöä fysiikassa. Kvaternionit, Hilbert-avaruudet, transfiniteettiluvut no kaipa ne toinenkin sivilisaatio löytää sieltä Platonin ideataivaasta. No joo ei siihen kai pakosta Platonia tarvita.

Joo, tunnustan olevani tässä aiheessa vahvasti Wigneristi, en Platonisti. Eugene Wigner oli muutoinkin viime vuosisadan ehdottomia tähtiä, Einsteinin veroinen ellei enemmänkin.

[Eusa]

Gödelin epätäydellisyysteoreema osoittaa, että matematiikka on luonnon logiikassa ja vain odottaa löytäjäänsä.

Gödel itse oli muistaakseni platonisti, mutta hänen teoreemansa minusta kertoo lähinnä matematiikan tai logiikan puutteista.

Se kertoo aksioomavalinnan epätäydellisyydestä. Ihminen ei kykene valitsemaan sellaisia aksioomeja, joiden puitteissa voisi todistaa niiden pitävyyden fundamentaaleimmassa logiikassa.

Logiikka voidaan nähdä luonnon perusrakenteena, joka "toimii" riippumatta siitä, olemmeko me määritelleet sitä formaalisti. Luonnon toiminta noudattaa loogisia periaatteita ilman että niitä on koodattu mihinkään kieleen.