Tämän näkeekin ihan suoraan. Tuo \(p^2 = (p^0)^2 - \mathbf p^2\) on invariantti, ja \(m^2\) on invariantti. Tästä seuraa, että \(\delta(p^2-m^2)=\delta((\Lambda p)^2-m^2)\).
Myös \(\Theta(p^0)\) on invariantti, kun rajoitutaan ajan suunnan säilyttävään Lorentz-muunnokseen.
Vasemman puolen \(d^4p\) on invariantti, ja se voidaan kirjoittaa \(d^4p = dp^0\ d^3p\).
Porrasfunktiosta ja massakuoresta seuraa \(p^0 = E_\mathbf p = + \sqrt{\mathbf p^2 + m^2}\), joten
\(p^2-m^2 = (p^0)^2 - \mathbf p^2 - m^2 = (p^0)^2 - E_\mathbf p^2 = (p^0 - E_\mathbf p)(p^0 + E_\mathbf p)\)
Funktion \(g(x)\) deltafunktio on
\(\displaystyle \delta(g(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}\)
missä summataan \(g\):n reaaliset juuret \(x_i\). Tässä tapauksessa
\(g(p^0) = (p^0 - E_\mathbf p)(p^0 + E_\mathbf p)\)
jonka juuret ovat \( E_\mathbf p\) ja \(-E_\mathbf p\). Nimittäjässä derivaatan itseisarvo molemmille juurille on \(2 E_\mathbf p\), ja näistä saadaan
\(\displaystyle \delta(p^2-m^2) = \frac{1}{2 E_\mathbf p}\left( \delta(p^0-E_\mathbf p) + \delta(p^0+E_\mathbf p)\right)\)
Jälkimmäinen \(\delta(p^0+E_\mathbf p)\) poistuu, kun porrasfunktion takia \(E_\mathbf p > 0\), ja siksi \(\Theta(p^0) \delta(p^0+E_\mathbf p) = 0\). Näin ollen
\(\displaystyle \Theta(p^0)\ \delta(p^2-m^2) = \frac{1}{2 E_\mathbf p} \Theta(p^0)\ \delta(p^0-E_\mathbf p)\)
Kirjoitetaan integraali
\(\displaystyle \int d^4p\ \Theta(p^0) \delta(p^2-m^2) = \int d^3p\ \frac{1}{2 E_\mathbf p}\ \int dp^0\ \Theta(p^0)\ \delta(p^0-E_\mathbf p) = \int d^3p\ \frac{1}{2 E_\mathbf p}\)
Tuosta voidaankin todeta, että
\(\displaystyle d^4p\ \Theta(p^0) \delta(p^2-m^2) = \frac{d^3 p}{2E_\mathbf p}\)
Mielestäni vasen puoli tulee ajatella siten, että se on kokonaisuutena integraalin mitta, joka on rajoitettu positiivisen energian massakuorelle. Deltafunktio rajoittaa massakuorelle, ja porrasfunktio positiiviselle energialle. Funktion \(f(p)=f(p^0,\mathbf p)\) integraalin voisi kirjoittaa
\(\displaystyle \int d^4p\ \Theta(p^0) \delta(p^2-m^2) f(p) = \int \frac{d^3 p}{2E_\mathbf p} f(E_\mathbf p, \mathbf p)\)