Distribuutioiden teoria on mulle mysteerio, vain perusasioita tiedän siitä. Olisi mielenkiintoista tutustua syvemmin.
Sisäinen palo ajoi kertaamaan kentän ja tilavektorin relativistista muunnosta. Yleisellä tasolla asia on helppo, mutta kiemuroita on, sillä Lorentzryhmällä ei ole äärellisulotteisia unitaareja esityksiä.
Esimerkiksi Weylin spinori muuntuu äärellisulotteisena redusoitumattomana Lorentzryhmän esityksenä, joka ei ole unitaari. Yleisemminkin äärelliset vektoriavaruudet, joihin Lorentzryhmän esitykset toimivat, eivät ole fysikaalisia tila-avaruuksia.
Fysikaaliset muuttujat (liikemäärä, kulmaliikemäärä, energiaimpulssitensori, paikka jne) sekä äärellisulotteiset objektit kuten sähkömagneettinen kenttä, Diracin kenttä, relativistinen aaltofunktio jne muuntuvat siis Lorentzryhmän esityksinä, mutta ne eivät ole fysikaalisia tilavektoreita unitaarisuuden puuttuessa. Näitä esityksiä ovat (½,0), (0,½), (½,0)⊕(0,½), (½,½) ja (1,0)⊕(0,1).
Fysikaalinen tilavektori sen sijaan muuntuu Poincareryhmän eli epähomogeeninen Lorentzryhmän ääretönulotteisena esityksenä, joka on unitaari.
Kvanttikenttäteoria on rakennelma, joka yhdistää näiden kahden ryhmän eri dimensioiset esitysavaruudet, joissa esitykset ovat ei-unitaareja (fysikaaliset muuttujat ja funktiot) tai unitaareja (fysikaaliset tilavektorit). Esitysavaruudella tarkoitan tässä vektoriavaruutta, jonka vektoreita ryhmän matriisi muuntaa. Esitys ja esitysavaruus voivat tarkoittaa ainakin fysiikan lähteissä eri asioita kirjoittajasta riippuen.
Oma utuinen käsitykseni on, että edellä mainittu 'ongelma' on eräs syy matemaattisesti täsmällisen ja aksiomaattisen kvanttikenttäteorian puuttumiselle. Teoria on monimutkainen, rehellisesti sanottuna sekava, ja efektiivinen. On silti mainio ja erittäin ennustusvoimainen tekele.
Fysikaalinen tilavektori massahiukkaselle on Wignerin luokituksen mukaisesti | m, s,
p, λ 〉, missä m on massa, s on spin,
p on liikemäärä ja λ on helisiteetti. Helisiteetti on operaattorin
J·
P/|
p| ominaisarvo, joka on kulmaliikemäärästä riippuva skalaari.
Lepokehyksessä tila on | m, s, 0 〉, missä helisiteetti λ on määrittelemätön. Invariantteja ominaisuuksia ovat m ja s, mutta λ on koordinaatistoriippuva. Vastaava massattoman hiukkasen tila on | p, λ 〉, missä λ on helisiteetti.
Nuo tila-avaruudet ovat ääretönulotteisia. Massattoman hiukkasen tilavektori muuntuu ääretönulotteisena Poincare-esityksenä
\(|\mathbf{p},\lambda \rangle \to U(\Lambda,a)\ |\mathbf{p},\lambda \rangle = e^{-i\lambda\Theta(\Lambda,\mathbf{p})}|\Lambda\mathbf{p},\lambda \rangle\)
missä U on siis unitaari operaattori. Muunnetussa tilassa on vaihekerroin, missä mukana kulma \(\Theta(\Lambda,\mathbf{p})\). Massallinen tila muuntuu myös unitaaristi
\(|m,s,\mathbf{p},\lambda \rangle \to U(\Lambda,a)\ |m,s,\mathbf{p},\lambda \rangle = {D^s[W(\Lambda,\mathbf{p})]^{\lambda'}}_\lambda\ |m,s,\Lambda\mathbf{p},\lambda' \rangle\)
missä D
s on spin-s hiukkasen esitys, ja W on Wignerin rotaatio. Notaatiossa korostuu, että m ja s ovat invariantteja. Muuntuvat ominaisuudet ovat
p ja λ.
Nyt sitten mm. Diracin tai Maxwellin aaltoratkaisut \(\psi^\alpha\) ja \(A^\mu\) ovat relativistisia aaltofunktioita, jotka muuntuvat Lorentzryhmän ei-unitaareina äärellisulotteisina esityksinä. Esimerkiksi
\(\psi^\alpha \to \psi'^{\alpha} = {D[\Lambda]^\alpha}_\beta \ \psi^\beta(\Lambda^{-1}x)\)
missä \(\psi^\alpha\) on (klassinen) aaltoratkaisu, jonka komponentit Diracin kentän tapauksessa \(\alpha=\{0,1,2,3\}\). Kvantisoitu aaltoratkaisu muuntuu niin ikään äärellisulotteisena
\(\Psi^\alpha \to U[\Lambda]\ \Psi^{\alpha}\ U[\Lambda]^{-1} = {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \Psi^\beta(\Lambda x)\)
Tuo operaattoriarvoinen aaltoratkaisu voidaan kirjoittaa
\(\Psi^\alpha(x) = \sum_{\lambda}\ \int d\tilde{p}\ \left( \ a^\dagger(\mathbf{p},\lambda)\ u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ + h.k\ \right ) \qquad \qquad \qquad (1)\)
missä \(d\tilde{p}\) on relativistisesti invariantti mitta, ja h.k ei ole helsingin kauppiaat vaan Hermiten konjugaatti. Paikka on \(x=x^\mu\), missä indeksit\( \mu=\{0,1,2,3\}\), ja helisiteetti on diskreetti indeksi \(\lambda\). Funktio \(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\) on Diracin yhtälön klassinen aaltoratkaisu.
Tuo \(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\) on spinori, minkä voi ajatella pystyvektorina, jonka komponentit ovat \(\alpha=\{0,1,2,3\}\). Funktio sisältää kuitenkin fysikaalisen tilavektorin ääretönulotteiset Poincare-indeksit \(\mathbf{p}\) ja \(\lambda\). Mutta samalla myös indeksit \(\alpha\) ja paikan x neljä indeksiä \(\mu\), jokta molemmat ovat äärellisulotteisen Lorentzesityksen indeksejä.
Sitten vielä operaattori \( a^\dagger(\mathbf{p},\lambda)\) , joka luo vakuumiin fysikaalisen tilavektorin (m ja s ei näkyvissä)
\(|\mathbf{p},\lambda \rangle = a^\dagger(\mathbf{p},\lambda)\ |0\rangle\)
Tilavektorin muunnoksesta voidaan johtaa operaattorin muunnos
\(U[\Lambda]\ a^\dagger(\mathbf{p},\lambda)\ U[\Lambda]^{-1} = {D[W(\Lambda,\mathbf{p})]^{\lambda'}}_\lambda\ a^\dagger(\Lambda\mathbf{p},\lambda')\)
Operaattori \(a^\dagger\) muuntuu siis Poincare-ryhmän ääretönulotteisena unitaarina esityksenä.
Kaavassa (1) vasen puoli muuntuu äärellisulotteisena (4-dim) ei-unitaarina Lorentzyhmän esityksenä, jonka indeksit ovat \(\alpha\) ja \(\mu\)
Oikealla puolella on Poincare-ryhmän unitaari esitys \(a^\dagger(\mathbf{p},\lambda)\), mutta myös Lorentzryhmän ei-unitaari esitys \(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\), jossa Lorentzindeksit \(\alpha\) ja \(\mu\). Ja samaan aikaan myös Poincare-indeksit \(\mathbf{p}\) ja \(\lambda\).
Tämä \(\Psi^\alpha\) luo ja tuhoaa tilavektoreita, jotka asuvat ääretönulotteisessa unitaaristi muuntuvassa Poincare-esitysten avaruudessa. Ryhmäteoreettisesti tämä rakennelma on mielestäni vähintäänkin erikoinen
Legendaarisessa edesmenneessä Pahkasikalehdessä oli muistaakseni joku pyörätuoliin sidottu tutkija, joka julkaisi jotain käänteentekeviä tutkimuksia mustien eukkojen singulariteettipisteistä..
. Mulla on paha tapa pukea sanoiksi päässäni näkyviä fysikaalisia kuvia, joilla on matemaattinen täsmällinen esitystapa, mutta en saa asiaa ilmaistua.