Spinori

Vastaa Viestiin
D
Disputator
Viestit: 238

Re: Spinori

Viesti Kirjoittaja Disputator »

Hermiittisten jäljettömien 2x2-matriisien 3d-avaruuteen H määritelty normi ||X||2=<X,X>=det(X) on pätevä sellaisenaan, mutta kun lisätään "nollas" Paulin matriisi ja tarkastellaan lineaarikombinaatioita X=xμσμ ja samaistetaan nämä matriisit Minkowskiavaruuden kanssa niin kysymys metriikan signatuurista tulee esille ja miten se vaikuttaa normin määritelmään determinantin avulla:

Signatuurilla (-1,1,1,1) on vektorin X sisätulo itsensä kanssa:

<X,X>=det(X)

Signatuurilla (1,-1,-1,-1) on vektorin X sisätulo itsensä kanssa:

<X,X>=det(X)

Nämä huomioiden edellisen kirjoituksen päättely toimii sellaisenaan. Lisäksi on huomattava että ||X||2-merkintä on korvattu <X,X>-merkinnällä. Jälkimmäinen ei implikoi että on olemassa luku ||X|| jonka neliö on negatiivinen, kuten suhteellisuusteoriassa olisi.
SI Resurrection!
D
Disputator
Viestit: 238

Re: Spinori

Viesti Kirjoittaja Disputator »

Disputator kirjoitti: 27 Joulu 2023, 17:40
...
Tämä on matemaatikolle ryhmän SU(2) "adjoint" esitys. Nimestä viis, mutta se muistuttaa sinun viimeistä kaavaa lainauksessani. Itse asiassa samankaltainen kaava on voimassa Lorentz-ryhmälle, kun määritellään "nollas" Paulin matriisi σ0=id, jolloin samankaltaisella päättelyllä saadaan kaava 4d-vektoreille X=Σxμσμ

AXA=Λμνxν,

missä ASL(2,C) ja Λ=ΛμνSO(1,3)..

Nyt tuo näyttää samankaltaiselta kuin sinun kaavasi, toki multa puuttuu se kenttä Ψ, joka riippuu koordinaateista x. Sen sijaan kyseessä on Minkowskiavaruuden vektori X. Tämä on on myös nimeltään adjoint esitys Lorentz-ryhmälle SO(1,3).
...
 
Aina sitä vaan kirjoittaa vääriä juttuja. Tuo boldattu ei ole totta, koska ryhmän SO(1,3) adjoint (adjungoitu ?) esitys on muotoa:

AXA1=Λμνxν.

eli siinä on käänteismatriisi A1SL(2,C) eikäA. Ainoastaan rajoittumalla aliryhmään SU(2) on esitys adjungoitu.
SI Resurrection!
Q
QS
Viestit: 571

Re: Spinori

Viesti Kirjoittaja QS »

Disputator kirjoitti: 27 Joulu 2023, 17:40
Back in business! Iltaa!
QS kirjoitti: 30 Marras 2023, 22:18
...
Sisäinen palo ajoi kertaamaan kentän ja tilavektorin relativistista muunnosta. Yleisellä tasolla asia on helppo, mutta kiemuroita on, sillä Lorentzryhmällä ei ole äärellisulotteisia unitaareja esityksiä.
...

Nyt sitten mm. Diracin tai Maxwellin aaltoratkaisut ψα ja Aμ ovat relativistisia aaltofunktioita, jotka muuntuvat Lorentzryhmän ei-unitaareina äärellisulotteisina esityksinä. Esimerkiksi

ψαψα=D[Λ]αβ ψβ(Λ1x)

missä ψα on (klassinen) aaltoratkaisu, jonka komponentit Diracin kentän tapauksessa α={0,1,2,3}. Kvantisoitu aaltoratkaisu muuntuu niin ikään äärellisulotteisena

ΨαU[Λ] Ψα U[Λ]1=D[Λ1]αβ Ψβ(Λx)
...
Palaan nyt ihan perusasioihin, koska ymmärrän vain vähänlaisesti tuosta QFT:n ajatusmaailmasta, mutta lupaan yrittää ymmärtää enemmän ja sitten osaan paremmin kommentoida siihen liittyviä asioita, esimerkiksin tuo Wignerin luokittelu, josta jotain ymmärrän, mutta...

Nuo pari viimeistä kaavaasi muistuttaa rakenteeltaan paljon ihan yksinkertaisempia kaavoja, josta pari esimerkkiä:

Jos σ1,σ2,σ3 ovat Paulin matriiseja, niin voidaan määritellä jäljettömien hermiittisten 2x2-matriisien muodostama 3d-reaalinen vektoriavaruus H:

H={XMat(2,C)|Tr(X)=0,X=X}.

Jokainen XH voidaan esittää Paulin matriisien reaalisena lineaarikombinaationa:

X=Σxiσi=xiσi.

Eli H on 3d reaalinen vektoriavaruus, jossa Paulin matriisien kannassa on:

X=(x1,x2,x3).

Avaruuteen H voidaan määritellä vektorin X normi kaavalla ||X||2=det(X). Tämä normi määrää avaruuteen H sisätulon, joka on sama 3d-avaruuden standardisisätulo. Nyt jos U on unitaarinen 2x2-matriisi, jolle det(U) = 1 eli USU(2), niin
UXU on edelleen hermiittinen eli UXUH. Lisäksi det(UXU)=det(X), koska U oli unitaarinen ja det(U) =1. Siis kuvaus

XUXU

on säilyttää normin (ja sisätulon) eli se määrittelee SO(3):n alkion R ja voidaan kirjoittaa:

UXU\dag=Rjixi.

Tämä on matemaatikolle ryhmän SU(2) "adjoint" esitys. Nimestä viis, mutta se muistuttaa sinun viimeistä kaavaa lainauksessani. Itse asiassa samankaltainen kaava on voimassa Lorentz-ryhmälle, kun määritellään "nollas" Paulin matriisi σ0=id, jolloin samankaltaisella päättelyllä saadaan kaava 4d-vektoreille X=Σxμσμ

AXA=Λμνxν,

missä ASL(2,C) ja Λ=ΛμνSO(1,3)..

Nyt tuo näyttää samankaltaiselta kuin sinun kaavasi, toki multa puuttuu se kenttä Ψ, joka riippuu koordinaateista x.


 
Joo, näyttää saman kaltaiselta kuin operaattorikentän muunnos

ΨαU[Λ] Ψα U[Λ]1=D[Λ1]αβ Ψβ(Λx)

Tässä muunnoksessa on vaan se ero, että notaatiossa operaattori U ei ole unitaari, sillä Lorentzryhmällä ei ole äärellisulotteisia (tässä spinorin indeksit α={0,1,2,3} ) unitaareja esityksiä.

Asia on vielä erikoisempi, kun operaattorikentän kirjoittaa eksplisiittisesti ilman helisiteettiä λ

Ψα(x)=dp~ ( a(p) uα(p) eipx +h.k )

Kun yksinkertaistan tätä poimimalla integraalista yhden termin ilman vastaavaa Hermiten konjugaattia h.k, niin termi on muotoa

Ψα(x)= a(p) uα(p) eipx

missä nyt p on vakio. Tämä on siis eräs integraalin osa, joka on aaltoyhtälön ratkaisu liikemäärällä p. Tuo uα(p) on 4-komponenttinen spinori, jonka voi ajatella pystyvektorina. Viimeinen eipx on kompleksiluku. Ensimmäinen a(p) on operaattori, jonka seurauksena kenttä Ψα(x) on operaattoriarvoinen.

Operaattori luo vakuumiin Poincareryhmän ääretönulotteisen esityksen (kuulostaa hullulta sanamuodolta, mutta ei tartuta tähän, koska QFT:ssä seinähullut maalailut on sallittuja), mikä on siis fysikaalinen tilavektori

|p=a(p) |0

Tämä vektori on siis Poincareryhmän ääretönulotteinen, ja unitaarina esityksenä muuntuva (Wigner). Myös operaattori muuntuu unitaaristi

U[Λ] a(p) U[Λ]1=D[W(p)] a(Λp)

missä U on unitaari toisin kuin koko aaltoratkaisun Ψα(x) muunnos tuossa ylempänä, missä myös notaationa U.

Tässä on sellainen hulluus, että aaltoratkaisun spinori uα(p) jää tuohon fysikaalisen tilavektorin |p eteen pystyvektoriksi, mikä ei samaistu ääretönulotteisen Poincareryhmän esityksen kanssa. Se on äärellisulotteinen Lorentzryhmän esitys, joka ei ole unitaari.

On helppo kirjoittaa abstraktisti

ΨαU[Λ] Ψα U[Λ]1

ja todeta, että siinä nyt operaattorikenttä muuntuu. Mutta eksplisiittisesti tarkasteltuna tämä on omituinen lauseke. Tuo Ψα muodostuu useasta eri ryhmän esityksestä. Mielestäni en voi kirjoittaa eksplisiittisesti matriisia U, joka muunnoksen toteuttaa, vaan joudun käsittelemään kenttäoperaattorin termit erikseen ja sen jälkeen vielä toteamaan, että vektoriavaruus (fysikaalinen tilavektorijoukko {|p>} ), johon se operoi, ei muunnu samoin kuin operaattorikenttä.

Ja sitten vielä ihan laadukkaissa QFT:n perusteoksissa sanotaan, että 'universumi muodostuu aika-avaruudessa värähtelevistä kvanttikentistä'. Kun tuollaisen sekasikiönΨα laittaa universumiin värähtelemään, niin se on maailmanloppu sanon minä. QFT:n myyntityössä on 1900-luvulla tehty vallan villejä lupauksia :raised:

Jos joku päivä saisin selvyyden siitä mainitusta distribuutioteoriasta ja siinä esille tulevista muunnoksista, niin ehkä saisin jonkinlaisen selvyyden tähän päätä vaivaavaan sotkuun.
D
Disputator
Viestit: 238

Re: Spinori

Viesti Kirjoittaja Disputator »

QS kirjoitti: 28 Joulu 2023, 14:24
Disputator kirjoitti:
...
Tämä on matemaatikolle ryhmän SU(2) "adjoint" esitys. Nimestä viis, mutta se muistuttaa sinun viimeistä kaavaa lainauksessani. Itse asiassa samankaltainen kaava on voimassa Lorentz-ryhmälle, kun määritellään "nollas" Paulin matriisi σ0=id, jolloin samankaltaisella päättelyllä saadaan kaava 4d-vektoreille X=Σxμσμ

AXA=Λμνxν,

missä ASL(2,C) ja Λ=ΛμνSO(1,3)..

Nyt tuo näyttää samankaltaiselta kuin sinun kaavasi, toki multa puuttuu se kenttä Ψ, joka riippuu koordinaateista x.
 
Joo, näyttää saman kaltaiselta kuin operaattorikentän muunnos

ΨαU[Λ] Ψα U[Λ]1=D[Λ1]αβ Ψβ(Λx)

Tässä muunnoksessa on vaan se ero, että notaatiossa operaattori U ei ole unitaari, sillä Lorentzryhmällä ei ole äärellisulotteisia (tässä spinorin indeksit α={0,1,2,3} ) unitaareja esityksiä.
Hmm, eikös tuossa tuo U[Λ] ole juuri unitaarinen operaattori? Siis U on tilanteeseen liitetyn ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattori eli ΛU[Λ] on Lorentz-ryhmän unitaarinen esitys. Tuo kaavasi oikealla puolella esiintyvä Lorentz-ryhmän esitys ΛD[Λ] on matriisina äärellisulotteinen ja siten se ei voi olla unitaarinen.

Olen nyt yrittänyt ymmärtää näitä operaattorien ja distribuutioarvoisten operaattorien eroja, niin jossain oli että:

kvanttikenttä (tai kentän komponentti) Ψα on operaattoriarvoinen funktio Ψα aika-avruudessa, siis:

Ψα=Ψα(x)=Ψα(t,x).

Tämä otus muuntuu ymmärtääkseni seuraavasti:

ΨαU[Λ] Ψα U[Λ]1=D[Λ1]αβ Ψβ(Λ1x)

Sitten on se operaattoriarvoinen Ψ^α, merkitsen siis hatulla distribuutiota. Distribuution määritelmä lyhyesti on tässä se, että se ottaa sisään funktion f, joka on määritelty aika-avaruudessa ja antaa ulos tavallisen Hilbert-avaruuden operaattorin Ψ^α(f). Tällä otuksella on muunnoskaava:

Ψ^α(f)U[Λ] Ψ^α(f) U[Λ]1=D[Λ1]αβ Ψ^β(f(Λ1x))

Tuossa on huomattavaa se, että sekä Ψ^α(f) ja Ψ^β(f(Λ1x)) ovat ihan "tavallisia" Hilbert-avaruuden operaattoreita annetulla kiinteällä f. Niissä ei ole mitään mystistä sinänsä. Toki koko konstruktio on suuri mysteeri heh.. :o

Tuossa siis distribuutioonΨ^α argumentiksi sisäänmenevä funktio f muutetaan uudeksi sisäänmeneväksi funktioksi f(Λ1x).

Sitten on se ongelmia aiheuttava muoto (lähteeni mukaan):

Ψ^α(x)U[Λ] Ψ^α(x) U[Λ]1=D[Λ1]αβ Ψ^β(Λx)

Tuossa siis raiskataan notaatiota melkoisesti. Siinä on distribuutioarvoinen operaattori Ψ^α joka ottaa sisään funktion sijasta aika-avaruuden pisteen x !

Lähteeni sanoo, että tämä on voimassa vain kun distribuutioarvoinen operaattori Ψ^β on määritelty tavallisen aika-avaruuden operaattorin Ψβ(x) avulla. Miten se tapahtuu ei lähteeni avaa asiaa tarkemmin. Käsittääkseni siinä on kuitenkin ihan kyse distribuution ja funktion erosta, esimerkiksi funktion f tapauksessa f(x) on mielekäs, mutta distribuution tapauksessa ei, esimerkiksi Diracin delta ei ole funktio vaan distribuutio, mutta sitä merkitään lähes aina funktionotaatiolla δ(x).

Tuo nurinkurinen muunnos tuossa kaavan oikealla puolella selittynee sillä, että siinä ollaan muka muuntamassa funktiota vaikka muunnetaan distribuutiota tms. Diracin deltallekkin voi johtaa muunnoskaavoja ikäänkuin se olisi funktio. Mä yritän selvitellä tuota distribuution munnoskaavaa myöhemmin.

Sulla oli paljon mielenkiintoista pohdintaa loppuosassa viestiäsi, mutta en nyt kerkeä kommentoimaan, mutta sitten myöhemmin.

Tämä on kyllä hyvin sanottu:
QS kirjoitti:
...
Ja sitten vielä ihan laadukkaissa QFT:n perusteoksissa sanotaan, että 'universumi muodostuu aika-avaruudessa värähtelevistä kvanttikentistä'. Kun tuollaisen sekasikiönΨα laittaa universumiin värähtelemään, niin se on maailmanloppu sanon minä. QFT:n myyntityössä on 1900-luvulla tehty vallan villejä lupauksia :raised:
...
:laughsweat:
SI Resurrection!
D
Disputator
Viestit: 238

Re: Spinori

Viesti Kirjoittaja Disputator »

Yes, nyt on vähän joutoaikaa.

Mä en edellisessä viestissä mitenkään määritellyt mitä nuo funktiot f ovat joita syötetään distribuutio-operaattoriin ym. asioita. Funktiot f ovat Schwartzin avaruuden alkioita, jotka ovat sileitä reaali-tai konpleksifunktioita ja häviävät "nopeasti" äärettömyydessä
Disputator kirjoitti: 31 Joulu 2023, 10:35
...
Sitten on se ongelmia aiheuttava muoto (lähteeni mukaan):

Ψ^α(x)U[Λ] Ψ^α(x) U[Λ]1=D[Λ1]αβ Ψ^β(Λx)

Tuossa siis raiskataan notaatiota melkoisesti. Siinä on distribuutioarvoinen operaattori Ψ^α joka ottaa sisään funktion sijasta aika-avaruuden pisteen x !

Lähteeni sanoo, että tämä on voimassa vain kun distribuutioarvoinen operaattori Ψ^β on määritelty tavallisen aika-avaruuden operaattorin Ψβ(x) avulla. Miten se tapahtuu ei lähteeni avaa asiaa tarkemmin. Käsittääkseni siinä on kuitenkin ihan kyse distribuution ja funktion erosta, esimerkiksi funktion f tapauksessa f(x) on mielekäs, mutta distribuution tapauksessa ei, esimerkiksi Diracin delta ei ole funktio vaan distribuutio, mutta sitä merkitään lähes aina funktionotaatiolla δ(x).

Tuo nurinkurinen muunnos tuossa kaavan oikealla puolella selittynee sillä, että siinä ollaan muka muuntamassa funktiota vaikka muunnetaan distribuutiota tms. Diracin deltallekkin voi johtaa muunnoskaavoja ikäänkuin se olisi funktio. Mä yritän selvitellä tuota distribuution munnoskaavaa myöhemmin.
Mä löysin mun yhdestä kirjasta( joka ei ollenkaan käsittele mitenkään QFT:n kiemuroita, vaan ryhmäteoriaa helpohkolla tavalla kvanttimekaniikassa) yhden selityksen tuolle nurinkurisellle muuntumiselle, jonka laitan nyt näkyviin tähän. Se on kirjoitettu hieman eri juttuja silmällä pitäen joten joudun muuntamaan selitystä miten osaan.

Oletetaan annettuna Hilbert avaruuden kvanttikenttä Ψ(x), siis aika-avaruuden koordinaatista x riippuva ihan tavallinen Hilbert-avaruuden operaattori ja yritetään määritellä vastaava operaattoriarvoinen distribuutio Ψ^. Olkoon f aika-avaruudessa määritelty funktio ja määritellään

Ψ^(f)R4f(x)Ψ(x)d4x

Tuossa siis integroidaan operaattoriarvoista funktiota yli aika-avaruuden ja lopputulos on Hilbert-avaruuden operaattori. Nyt kirjani määrittelee Lorentz-ryhmän toiminnan tuohon integraaliina esitettyyn operaattoriin:

[ΛΨ^](f)=R4f(Λ1x)Ψ(x)d4x.

Tehdään koordinaatistomuunnos y=Λ1x jolloin detΛ=1 ja silloin saadaan:

[ΛΨ^](f)=R4f(Λ1x)Ψ(x)d4x=R4f(y)Ψ(Λy)d4y.

Voidaan vielä vaihtaa tuossa viimeisessä lausekkeessa y muuttujaksi x jolloin saadaan:

[ΛΨ^](f)=R4f(x)Ψ(Λx)d4x.

No niin, siellä se nyt sitten on se Ψ(Λx) eikä Ψ(Λ1x). :o :o
SI Resurrection!
D
Disputator
Viestit: 238

Re: Spinori

Viesti Kirjoittaja Disputator »

Disputator kirjoitti: 31 Joulu 2023, 10:35
QS kirjoitti: 28 Joulu 2023, 14:24
Disputator kirjoitti:
...
Tämä on matemaatikolle ryhmän SU(2) "adjoint" esitys. Nimestä viis, mutta se muistuttaa sinun viimeistä kaavaa lainauksessani. Itse asiassa samankaltainen kaava on voimassa Lorentz-ryhmälle, kun määritellään "nollas" Paulin matriisi σ0=id, jolloin samankaltaisella päättelyllä saadaan kaava 4d-vektoreille X=Σxμσμ

AXA=Λμνxν,

missä ASL(2,C) ja Λ=ΛμνSO(1,3)..

Nyt tuo näyttää samankaltaiselta kuin sinun kaavasi, toki multa puuttuu se kenttä Ψ, joka riippuu koordinaateista x.
 
Joo, näyttää saman kaltaiselta kuin operaattorikentän muunnos

ΨαU[Λ] Ψα U[Λ]1=D[Λ1]αβ Ψβ(Λx)

Tässä muunnoksessa on vaan se ero, että notaatiossa operaattori U ei ole unitaari, sillä Lorentzryhmällä ei ole äärellisulotteisia (tässä spinorin indeksit α={0,1,2,3} ) unitaareja esityksiä.
Hmm, eikös tuossa tuo U[Λ] ole juuri unitaarinen operaattori? Siis U on tilanteeseen liitetyn ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattori eli ΛU[Λ] on Lorentz-ryhmän unitaarinen esitys. Tuo kaavasi oikealla puolella esiintyvä Lorentz-ryhmän esitys ΛD[Λ] on matriisina äärellisulotteinen ja siten se ei voi olla unitaarinen.

Olen nyt yrittänyt ymmärtää näitä operaattorien ja distribuutioarvoisten operaattorien eroja, niin jossain oli että:

kvanttikenttä (tai kentän komponentti) Ψα on operaattoriarvoinen funktio Ψα aika-avruudessa, siis:

Ψα=Ψα(x)=Ψα(t,x).

Tämä otus muuntuu ymmärtääkseni seuraavasti:

ΨαU[Λ] Ψα U[Λ]1=D[Λ1]αβ Ψβ(Λ1x)

...
Joo, mun pitää vielä yrittää ymmärtää paremmin. Tuo mun viimeinen kaavani on todennäköisesti väärin ja antamasi muoto oikea. :laughsweat:
Mun lähde käytti matriisin U sijasta käänteismatriisia, joten kaavat menivät vastaavasti käänteisesti ja pieleen.
SI Resurrection!
Q
QS
Viestit: 571

Re: Spinori

Viesti Kirjoittaja QS »

Disputator kirjoitti: 31 Joulu 2023, 10:35
QS kirjoitti: 28 Joulu 2023, 14:24
Disputator kirjoitti:
...
Tämä on matemaatikolle ryhmän SU(2) "adjoint" esitys. Nimestä viis, mutta se muistuttaa sinun viimeistä kaavaa lainauksessani. Itse asiassa samankaltainen kaava on voimassa Lorentz-ryhmälle, kun määritellään "nollas" Paulin matriisi σ0=id, jolloin samankaltaisella päättelyllä saadaan kaava 4d-vektoreille X=Σxμσμ

AXA=Λμνxν,

missä ASL(2,C) ja Λ=ΛμνSO(1,3)..

Nyt tuo näyttää samankaltaiselta kuin sinun kaavasi, toki multa puuttuu se kenttä Ψ, joka riippuu koordinaateista x.
 
Joo, näyttää saman kaltaiselta kuin operaattorikentän muunnos

ΨαU[Λ] Ψα U[Λ]1=D[Λ1]αβ Ψβ(Λx)

Tässä muunnoksessa on vaan se ero, että notaatiossa operaattori U ei ole unitaari, sillä Lorentzryhmällä ei ole äärellisulotteisia (tässä spinorin indeksit α={0,1,2,3} ) unitaareja esityksiä.
Hmm, eikös tuossa tuo U[Λ] ole juuri unitaarinen operaattori? Siis U on tilanteeseen liitetyn ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattori eli ΛU[Λ] on Lorentz-ryhmän unitaarinen esitys. Tuo kaavasi oikealla puolella esiintyvä Lorentz-ryhmän esitys ΛD[Λ] on matriisina äärellisulotteinen ja siten se ei voi olla unitaarinen.

 
Tutustun distribuutiota koskeviin juttuihisi alkuvuodesta. On asia, jonka aion vielä ymmärtää ja alustamasi asiat on hyvä lähtökohta. Jes.

Sitten tämä U. Kyllä, tuo Ψα on operaattoriarvoinen 'vektori', missä 4 komponenttia. Aika-avaruuden komponentit ovat mukana, kun operaattorikenttä on paikkariippuva Ψα(x).

Olet itse asiassa varmaankin oikeassa, että U on unitaari muunnos, sillä operaattori Ψα kohdistetaan tilavektoreihin, jotka ovat ääretönulotteisen Hilbertin avaruuden vektoreita. Voidaan siis olettaa, että on olemassa unitaari U. Vedän takaisin tuon väitteeni, että U ei olisi unitaari.

Mutta edelleen jotenkin hämärää se, että oikealla puolella on epäunitaari muunnos D[Λ1]αβ Ψβ(Λx), joka muuntaa 4-dimensioisen Hilbertin avaruuden C4 spinoreita uα(p) eipx.

Tämän lisäksi Ψα(x) sisältää luonti- ja tuhoamisoperaattorit, jotka eivät muunnu matriisilla D[Λ1]αβ, vaan unitaarilla Poincare-ryhmän muunnoksella.

Yleisesti ottaenhan on niin, että operaattori on tilanteeseen liitetyn Hilbertin avaruuden operaattori, kuten sanoitkin. Mutta tässä tapauksessa operaattori muodostuu objekteista, joissa on mukana muitakin Hilbertin avaruuksia kuin tuo tilanteeseen liitetty ääretönulotteinen Poincare-ryhmän esitysten avaruus. Mun pitää ajan kanssa tähänkin tutustua lisää. Kun välillä tuntuu, että tuo operaattori Ψα on useamman eri dimensoisen Hilbertin avaruuden tensoritulo, tai jotain sinne päin.

Mutta kerta kaikkiaan mielenkiintoinen suo. Ja tutustun tosiaan distribuutioviesteihisi myöhemmin.
Q
QS
Viestit: 571

Re: Spinori

Viesti Kirjoittaja QS »

Ennen distribuutioihin syventymistä selvitin itselleni tämän äärellisulotteisen operaattorikentän Ψα(x) ja vastaavan ääretönulotteisen tilavektoriavaruuden muunnokset, ja näiden välisen yhteyden. Tilavektorien avaruus on kantavektorijoukon {|p} virittämä.

Tilavektoreita luo ja poistaa mainittu operaattoriarvoinen Diracin kvanttikenttä

Ψα(x)=λ=±12d3p(2π)3/2 ( a(p,λ) uα(p,λ) eipx + ac(p,λ) vα(p,λ) eipx )

missä e±ipx on Lorentzinvariantti. ac(p,λ) luo antihiukkasen liikemäärällä p ja spinillä λ=±12. Vastaava a(p,λ) poistaa hiukkasen. Diracin spinorit uα ja vα muodostuvat 2-komponenttisista Weylin spinoreista, jotka ovat oikea- ja vasenkiraalisia.

Adjungaattikentän Ψα=(Ψα)γ0 operaattori a luo hiukkasen ja ac poistaa antihiukkasen. Tuon kentän adjungaattispinorit ovat uα=(uα)γ0 ja vα=(vα)γ0 .

Liikemäärän p=0 spinorit ovat uα(0,λ) ja vα(0,λ), missä vasen- ja oikeakiraaliset Weylin spinorit komponenteissa α=1,2 ja α=3,4. Spinorit muuntuvat matriisilla

(D(12,0)(0,12)[Λ])αβ=[D(12,0)[Λ]00D(0,12)[Λ]]=[exp(αp^σ2)00exp(αp^σ2)]

mikä on siis 2-komponenttisia Weylin spinoreita vastaavien muunnosten suora summa. Paulin matriisit ovat σ. Lisäksi α=tanh1(p|/p0) ja p^ on puskun liikemäärävektorin suuntainen yksikkövektori.

Liikemäärän p=(p0,p) spinori muodostetaan nollaliikemäärän spinorista

uα(p,λ)=mp0 (D(12,0)(0,12)[Λ(p)])αβuβ(0,λ)

ja sama kaava spinorille vα . MatriisiD(12,0)(0,12) on ryhmän SO(1,3) äärellisulotteinen esitys.

Fysikaalinen tilavektori |p,λ on liikemäärä- ja spinoperaattorin ominaisvektori, toisin sanoen P|p,λ=p|p,λ ja Sz|p,λ=λ|p,λ.

Yksihiukkastila liikemäärällä p=0 kirjoitetaan käyttämällä luontioperaattoria a (antihiukkaselle ac)

|0,λ=a(0,λ) |0

missä |0 on Lorentzinvariantti vakuumitila. Liikemäärän p hiukkastila voidaan kirjoittaa |(p0,p) ,λ=|p,λ . Tämä tilavektori saadaan tilasta |0,λ kohdistamalla siihen unitaarinen Poincareryhmän muunnos U[Λ(p)]

|p,λ=mp0 U[Λ(p)] |0,λ

Tämä esittää hiukkasta, jonka liikemäärä on p ja z-akselin suuntainen spin on λ. Tilaan voidaan edelleen kohdistaa unitaarinen muunnos U[Λ]

U[Λ] |p,λ=(Λp)0p0 λ=±12 Dλλ[W(Λ)] |Λp,λ

missä tuloksena on puskun jälkeinen liikemäärä Λp sekä spin-tilojen λ lineaarikombinaatio. Muunnoksessa esiintyy Wignerin rotaatio W(Λ). Tilanne on vastaava kuin epärelativistisessa rotaatiossa, jossa spinin ominaistila muuntuu lineaarikombinaatioksi.

Tilavektoreita vastaavat luonti- ja poisto-operaattorit muuntuvat unitaarisesti

U[Λ] a(p,λ) U1[Λ]=(Λp)0p0 λ=±12 Dλλ[W1(Λ)] a(Λp,λ)

U[Λ] a(p,λ) U1[Λ]=(Λp)0p0 λ=±12 Dλλ[W1(Λ)] a(Λp,λ)

missä * on kompleksikonjugaatti ja D sama kuin tilavektorin muunnoksessa. Tästä päästään notaatioon, jolla esitetään operaattorikentän unitaarinen muunnos

U[Λ] Ψα(x) U1[Λ]=λ=±12d3p(2π)3/2 ( U[Λ] a(p,λ) U1[Λ] uα(p,λ) eipx + U[Λ] ac(p,λ) U1[Λ] vα(p,λ) eipx )

missä U on siirretty operaattorien a ja ac kohdalle. Operaattorit ja spinorit on lausuttu vektorin p sijasta 4-liikemäärällä p, mutta spinoreihin u ja v ei ole kohdistettu muunnosta. Käyttämällä kohtuu työlästä algebrallista ponnistelua voidaan osoittaa, että Ψα(x) muuntuu oikein ja lisäksi kenttälausekkeen sisään siirretty U voidaan korvata siten, että lausutaankin muunnos muodossa

U[Λ] Ψα(x) U1[Λ]=λ=±12(D(12,0)(0,12)[Λ1])αβd3p(2π)3/2 ( a(p,λ) uβ(p,λ) eip(Λx) + ac(p,λ) vβ(p,λ) eip(Λx) )

missä luonti- ja poistoperaattorien edessä ei ole enää muunnosmatriisia, vaan se on siirtynyt osaksi spinorien muunnosta. Tämä on (eräänlainen) eksplisiittinen lauseke aiemmin esillä olleeseen

ΨαU[Λ] Ψα U[Λ]1=D[Λ1]αβ Ψβ(Λx)

mikä on tosiaankin muunnoksena unitaarinen siinä ääretönulotteisessa Hilbertin avaruudessa, jossa fysikaaliset tilavektorit asuvat, vaikka oikean puolen D ei sellaisenaan olisikaan unitaarinen.
Q
QS
Viestit: 571

Re: Spinori

Viesti Kirjoittaja QS »

Disputator kirjoitti: 31 Joulu 2023, 12:55
Mä löysin mun yhdestä kirjasta( joka ei ollenkaan käsittele mitenkään QFT:n kiemuroita, vaan ryhmäteoriaa helpohkolla tavalla kvanttimekaniikassa) yhden selityksen tuolle nurinkurisellle muuntumiselle, jonka laitan nyt näkyviin tähän. Se on kirjoitettu hieman eri juttuja silmällä pitäen joten joudun muuntamaan selitystä miten osaan.

Oletetaan annettuna Hilbert avaruuden kvanttikenttä Ψ(x), siis aika-avaruuden koordinaatista x riippuva ihan tavallinen Hilbert-avaruuden operaattori ja yritetään määritellä vastaava operaattoriarvoinen distribuutio Ψ^. Olkoon f aika-avaruudessa määritelty funktio ja määritellään

Ψ^(f)R4f(x)Ψ(x)d4x

Tuossa siis integroidaan operaattoriarvoista funktiota yli aika-avaruuden ja lopputulos on Hilbert-avaruuden operaattori. Nyt kirjani määrittelee Lorentz-ryhmän toiminnan tuohon integraaliina esitettyyn operaattoriin:

[ΛΨ^](f)=R4f(Λ1x)Ψ(x)d4x.

Tehdään koordinaatistomuunnos y=Λ1x jolloin detΛ=1 ja silloin saadaan:

[ΛΨ^](f)=R4f(Λ1x)Ψ(x)d4x=R4f(y)Ψ(Λy)d4y.

Voidaan vielä vaihtaa tuossa viimeisessä lausekkeessa y muuttujaksi x jolloin saadaan:

[ΛΨ^](f)=R4f(x)Ψ(Λx)d4x.

No niin, siellä se nyt sitten on se Ψ(Λx) eikä Ψ(Λ1x). :o :o
 
Jännästi tuo viimeinen muunnoskaavasi muistuttaa edellisessä viestissä kirjoittamaani

U(Λ) Ψα(x) U1(Λ)=λ=±12(D(12,0)(0,12)[Λ1])αβd3p(2π)3/2 ( a(p,λ) uβ(p,λ) eip(Λx) + ac(p,λ) vβ(p,λ) eip(Λx) )

Tässä f(x):n kaltainen termi on operaattori a(p,λ), missä ei ole muunnettuna Λp. Vastaavasti Ψ(Λx):n kaltainen on spinori uβ(p,λ) eip(Λx) missä puolestaan on Λx. Toki komponentit miksautuu matriisilla D, mutta periaatteeltaan saman näköinen.
D
Disputator
Viestit: 238

Re: Spinori

Viesti Kirjoittaja Disputator »

Olen nyt opiskellut/kertaillut noita QFT:n perusteita ja tuo Diracin yhtälön ratkaisun ymmärtäminen on työn alla. Sulla oli oikein hyvä tietopaketti tuosta edellisissä viesteissä ja olen jollain tasolla ymmärtänyt mitä siinä tapahtuu. Matkalla on tullut vastaan kuitenkin monia asioita joita vielä selvittelen.

Yksi asia monen ohella on se, että missä Hilbertin avaruudessa QFT:n operaattorit toimivat?

Olen ymmärtänyt, että QFT:n alkeissa muodostetaan ensin yhden hiukkasen tilaa kuvaava Hilbert-avaruus H1 samalla tavalla kuin aaltofunktioiden tai tilavektorien kvanttimekaaniikassa ja sitten muodostetaan Fock-avaruus suorana summana avaruudesta H1 muodostetuista antisymmetrisoiduita/symmetrisoiduista tensorituloista, antisymmetriset (fermionit):

H=H0H1(H1aH1)(H1aH1aH1)....

ja symmetriset (bosonit):

H=H0H1(H1sH1)(H1sH1sH1)....

Tuossa H0 on yksiulotteinen avaruus (vakuumin virittämä..?), jonka virittää vektori |Ω>.

Nyt jos on annettu joku operaattoriA:H1H1, niin se voidaan laajentaa koko avaruuteen operaattoriksi
A:HH, jossa siis käytetään samaa merkintää A tälle laajennetulle operaattorille. Näin täytyy mielestäni olla, koska muuten monet QFT:n jutut eivät ole mielekkäitä. Esimerkiksi erilaiset unitaariset U:H1H1 on laajennettavissa koko avaruuteen:

U:HH.

Tämä laajennettu U on myös unitaarinen, jos Fock-avaruus varustetaan sopivalla sisätulolla, jonka indusoi H1:n sisätulo.

Samoin luomis-ja hävitysoperaattorit laajentuu koko Fockin avaruuden H operaattoreiksi, muuten ei oikein ole mielekästä operoida sellaisella n-hiukkastilaan josta sitten tulee (n+1)-hiukkastila tai (n-1)-hiukkastila.

En nyt laittanut mitään eksplisiittisiä kaavoja näkyviin, koska ne löytyy monesta lähteestä.

edit: pari kertaa
SI Resurrection!
Vastaa Viestiin