Spinori

[Disputator]

Hermiittisten jäljettömien 2x2-matriisien 3d-avaruuteen H määritelty normi \(||X||^2 =<X,X>= -det(X) \) on pätevä sellaisenaan, mutta kun lisätään "nollas" Paulin matriisi ja tarkastellaan lineaarikombinaatioita \(X = x^\mu \sigma_\mu \) ja samaistetaan nämä matriisit Minkowskiavaruuden kanssa niin kysymys metriikan signatuurista tulee esille ja miten se vaikuttaa normin määritelmään determinantin avulla:

Signatuurilla (-1,1,1,1) on vektorin X sisätulo itsensä kanssa:

\( <X,X> = -det(X)\)

Signatuurilla (1,-1,-1,-1) on vektorin X sisätulo itsensä kanssa:

\(<X,X> = det(X)\)

Nämä huomioiden edellisen kirjoituksen päättely toimii sellaisenaan. Lisäksi on huomattava että \(||X||^2\)-merkintä on korvattu <X,X>-merkinnällä. Jälkimmäinen ei implikoi että on olemassa luku ||X|| jonka neliö on negatiivinen, kuten suhteellisuusteoriassa olisi.

[Disputator]

...
Tämä on matemaatikolle ryhmän SU(2) "adjoint" esitys. Nimestä viis, mutta se muistuttaa sinun viimeistä kaavaa lainauksessani. Itse asiassa samankaltainen kaava on voimassa Lorentz-ryhmälle, kun määritellään "nollas" Paulin matriisi \(\sigma_0 =id\), jolloin samankaltaisella päättelyllä saadaan kaava 4d-vektoreille \(X= \Sigma x^{\mu} \sigma_{\mu}\)

\(A X A^{\dagger}= {\Lambda^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}\),

missä \(A \in SL(2,\mathbb{C})\) ja \(\Lambda = {\Lambda^{\mu}}_{\nu}\in SO(1,3).\).

Nyt tuo näyttää samankaltaiselta kuin sinun kaavasi, toki multa puuttuu se kenttä \(\Psi\), joka riippuu koordinaateista x. Sen sijaan kyseessä on Minkowskiavaruuden vektori X. Tämä on on myös nimeltään adjoint esitys Lorentz-ryhmälle SO(1,3).
...
 

Aina sitä vaan kirjoittaa vääriä juttuja. Tuo boldattu ei ole totta, koska ryhmän SO(1,3) adjoint (adjungoitu ?) esitys on muotoa:

\(A X A^{-1}= {\Lambda^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}\).

eli siinä on käänteismatriisi \( A^{-1}\in SL(2,\mathbb{C})\) eikä\( A^{\dagger}\). Ainoastaan rajoittumalla aliryhmään SU(2) on esitys adjungoitu.

[QS]

Back in business! Iltaa!

...
Sisäinen palo ajoi kertaamaan kentän ja tilavektorin relativistista muunnosta. Yleisellä tasolla asia on helppo, mutta kiemuroita on, sillä Lorentzryhmällä ei ole äärellisulotteisia unitaareja esityksiä.
...

Nyt sitten mm. Diracin tai Maxwellin aaltoratkaisut \(\psi^\alpha\) ja \(A^\mu\) ovat relativistisia aaltofunktioita, jotka muuntuvat Lorentzryhmän ei-unitaareina äärellisulotteisina esityksinä. Esimerkiksi

\(\psi^\alpha \to \psi'^{\alpha} = {D[\Lambda]^\alpha}_\beta \ \psi^\beta(\Lambda^{-1}x)\)

missä \(\psi^\alpha\) on (klassinen) aaltoratkaisu, jonka komponentit Diracin kentän tapauksessa \(\alpha=\{0,1,2,3\}\). Kvantisoitu aaltoratkaisu muuntuu niin ikään äärellisulotteisena

\(\Psi^\alpha \to U[\Lambda]\ \Psi^{\alpha}\ U[\Lambda]^{-1} = {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \Psi^\beta(\Lambda x)\)
...

Palaan nyt ihan perusasioihin, koska ymmärrän vain vähänlaisesti tuosta QFT:n ajatusmaailmasta, mutta lupaan yrittää ymmärtää enemmän ja sitten osaan paremmin kommentoida siihen liittyviä asioita, esimerkiksin tuo Wignerin luokittelu, josta jotain ymmärrän, mutta...

Nuo pari viimeistä kaavaasi muistuttaa rakenteeltaan paljon ihan yksinkertaisempia kaavoja, josta pari esimerkkiä:

Jos \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\) ovat Paulin matriiseja, niin voidaan määritellä jäljettömien hermiittisten 2x2-matriisien muodostama 3d-reaalinen vektoriavaruus H:

\(H = \{X\in Mat(2,\mathbb{C})|\quad Tr(X)=0, X^{\dagger}=X\}\).

Jokainen \(X\in H\) voidaan esittää Paulin matriisien reaalisena lineaarikombinaationa:

\(X= \Sigma x^i \sigma_i= x^i \sigma_i\).

Eli H on 3d reaalinen vektoriavaruus, jossa Paulin matriisien kannassa on:

\(X = (x^1,x^2,x^3)\).

Avaruuteen H voidaan määritellä vektorin X normi kaavalla \(||X||^2 =-det(X)\). Tämä normi määrää avaruuteen H sisätulon, joka on sama 3d-avaruuden standardisisätulo. Nyt jos U on unitaarinen 2x2-matriisi, jolle det(U) = 1 eli \(U\in SU(2)\), niin
\(U X U^{\dagger}\) on edelleen hermiittinen eli \(U X U^{\dagger}\in H\). Lisäksi \(det(U X U^{\dagger}) = det(X)\), koska U oli unitaarinen ja det(U) =1. Siis kuvaus

\(X \to U X U^{\dagger}\)

on säilyttää normin (ja sisätulon) eli se määrittelee SO(3):n alkion R ja voidaan kirjoittaa:

\(U X U^{\dag}= {R^j}_{i} x^i\).

Tämä on matemaatikolle ryhmän SU(2) "adjoint" esitys. Nimestä viis, mutta se muistuttaa sinun viimeistä kaavaa lainauksessani. Itse asiassa samankaltainen kaava on voimassa Lorentz-ryhmälle, kun määritellään "nollas" Paulin matriisi \(\sigma_0 =id\), jolloin samankaltaisella päättelyllä saadaan kaava 4d-vektoreille \(X= \Sigma x^{\mu} \sigma_{\mu}\)

\(A X A^{\dagger}= {\Lambda^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}\),

missä \(A \in SL(2,\mathbb{C})\) ja \(\Lambda = {\Lambda^{\mu}}_{\nu}\in SO(1,3).\).

Nyt tuo näyttää samankaltaiselta kuin sinun kaavasi, toki multa puuttuu se kenttä \(\Psi\), joka riippuu koordinaateista x.


 

Joo, näyttää saman kaltaiselta kuin operaattorikentän muunnos

\(\Psi^\alpha \to U[\Lambda]\ \Psi^{\alpha}\ U[\Lambda]^{-1} = {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \Psi^\beta(\Lambda x)\)

Tässä muunnoksessa on vaan se ero, että notaatiossa operaattori U ei ole unitaari, sillä Lorentzryhmällä ei ole äärellisulotteisia (tässä spinorin indeksit \(\alpha=\{0,1,2,3\}\) ) unitaareja esityksiä.

Asia on vielä erikoisempi, kun operaattorikentän kirjoittaa eksplisiittisesti ilman helisiteettiä \(\lambda\)

\(\Psi^\alpha(x) = \int d\tilde{p}\ \left( \ a^\dagger(\mathbf{p})\ u^\alpha(\mathbf{p})\ e^{-ipx}\ + h.k\ \right )\)

Kun yksinkertaistan tätä poimimalla integraalista yhden termin ilman vastaavaa Hermiten konjugaattia h.k, niin termi on muotoa

\(\Psi^\alpha(x) = \ a^\dagger(\mathbf{p})\ u^\alpha(\mathbf{p})\ e^{-ipx}\)

missä nyt \(\mathbf{p}\) on vakio. Tämä on siis eräs integraalin osa, joka on aaltoyhtälön ratkaisu liikemäärällä \(\mathbf{p}\). Tuo \(u^\alpha(\mathbf{p})\) on 4-komponenttinen spinori, jonka voi ajatella pystyvektorina. Viimeinen \(e^{-ipx}\) on kompleksiluku. Ensimmäinen \(a^\dagger(\mathbf{p})\) on operaattori, jonka seurauksena kenttä \( \Psi^\alpha(x)\) on operaattoriarvoinen.

Operaattori luo vakuumiin Poincareryhmän ääretönulotteisen esityksen (kuulostaa hullulta sanamuodolta, mutta ei tartuta tähän, koska QFT:ssä seinähullut maalailut on sallittuja), mikä on siis fysikaalinen tilavektori

\(|\mathbf{p}\rangle = a^\dagger(\mathbf{p})\ |0\rangle\)

Tämä vektori on siis Poincareryhmän ääretönulotteinen, ja unitaarina esityksenä muuntuva (Wigner). Myös operaattori muuntuu unitaaristi

\(U[\Lambda]\ a^\dagger(\mathbf{p})\ U[\Lambda]^{-1} = D[W(\mathbf{p})]\ a^\dagger(\Lambda\mathbf{p})\)

missä U on unitaari toisin kuin koko aaltoratkaisun \(\Psi^\alpha(x)\) muunnos tuossa ylempänä, missä myös notaationa U.

Tässä on sellainen hulluus, että aaltoratkaisun spinori \(u^\alpha(\mathbf{p})\) jää tuohon fysikaalisen tilavektorin \(|\mathbf{p}\rangle\) eteen pystyvektoriksi, mikä ei samaistu ääretönulotteisen Poincareryhmän esityksen kanssa. Se on äärellisulotteinen Lorentzryhmän esitys, joka ei ole unitaari.

On helppo kirjoittaa abstraktisti

\(\Psi^\alpha \to U[\Lambda]\ \Psi^{\alpha}\ U[\Lambda]^{-1}\)

ja todeta, että siinä nyt operaattorikenttä muuntuu. Mutta eksplisiittisesti tarkasteltuna tämä on omituinen lauseke. Tuo \(\Psi^{\alpha}\) muodostuu useasta eri ryhmän esityksestä. Mielestäni en voi kirjoittaa eksplisiittisesti matriisia U, joka muunnoksen toteuttaa, vaan joudun käsittelemään kenttäoperaattorin termit erikseen ja sen jälkeen vielä toteamaan, että vektoriavaruus (fysikaalinen tilavektorijoukko {|p>} ), johon se operoi, ei muunnu samoin kuin operaattorikenttä.

Ja sitten vielä ihan laadukkaissa QFT:n perusteoksissa sanotaan, että 'universumi muodostuu aika-avaruudessa värähtelevistä kvanttikentistä'. Kun tuollaisen sekasikiön\( \Psi^\alpha\) laittaa universumiin värähtelemään, niin se on maailmanloppu sanon minä. QFT:n myyntityössä on 1900-luvulla tehty vallan villejä lupauksia

Jos joku päivä saisin selvyyden siitä mainitusta distribuutioteoriasta ja siinä esille tulevista muunnoksista, niin ehkä saisin jonkinlaisen selvyyden tähän päätä vaivaavaan sotkuun.

[Disputator]

...
Tämä on matemaatikolle ryhmän SU(2) "adjoint" esitys. Nimestä viis, mutta se muistuttaa sinun viimeistä kaavaa lainauksessani. Itse asiassa samankaltainen kaava on voimassa Lorentz-ryhmälle, kun määritellään "nollas" Paulin matriisi \(\sigma_0 =id\), jolloin samankaltaisella päättelyllä saadaan kaava 4d-vektoreille \(X= \Sigma x^{\mu} \sigma_{\mu}\)

\(A X A^{\dagger}= {\Lambda^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}\),

missä \(A \in SL(2,\mathbb{C})\) ja \(\Lambda = {\Lambda^{\mu}}_{\nu}\in SO(1,3).\).

Nyt tuo näyttää samankaltaiselta kuin sinun kaavasi, toki multa puuttuu se kenttä \(\Psi\), joka riippuu koordinaateista x.
 

Joo, näyttää saman kaltaiselta kuin operaattorikentän muunnos

\(\Psi^\alpha \to U[\Lambda]\ \Psi^{\alpha}\ U[\Lambda]^{-1} = {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \Psi^\beta(\Lambda x)\)

Tässä muunnoksessa on vaan se ero, että notaatiossa operaattori U ei ole unitaari, sillä Lorentzryhmällä ei ole äärellisulotteisia (tässä spinorin indeksit \(\alpha=\{0,1,2,3\}\) ) unitaareja esityksiä.

Hmm, eikös tuossa tuo \(U[\Lambda]\) ole juuri unitaarinen operaattori? Siis U on tilanteeseen liitetyn ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattori eli \(\Lambda\to U[\Lambda]\) on Lorentz-ryhmän unitaarinen esitys. Tuo kaavasi oikealla puolella esiintyvä Lorentz-ryhmän esitys \(\Lambda\to D[\Lambda]\) on matriisina äärellisulotteinen ja siten se ei voi olla unitaarinen.

Olen nyt yrittänyt ymmärtää näitä operaattorien ja distribuutioarvoisten operaattorien eroja, niin jossain oli että:

kvanttikenttä (tai kentän komponentti) \(\Psi^\alpha\) on operaattoriarvoinen funktio \(\Psi^\alpha\) aika-avruudessa, siis:

\(\Psi^\alpha=\Psi^\alpha(x) =\Psi^\alpha(t,\mathbf{x}) \).

Tämä otus muuntuu ymmärtääkseni seuraavasti:

\(\Psi^\alpha \to U[\Lambda]\ \Psi^{\alpha}\ U[\Lambda]^{-1} = {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \Psi^\beta(\Lambda^{-1} x)\)

Sitten on se operaattoriarvoinen \(\hat{\Psi}^\alpha\), merkitsen siis hatulla distribuutiota. Distribuution määritelmä lyhyesti on tässä se, että se ottaa sisään funktion f, joka on määritelty aika-avaruudessa ja antaa ulos tavallisen Hilbert-avaruuden operaattorin \(\hat{\Psi}^\alpha(f)\). Tällä otuksella on muunnoskaava:

\(\hat{\Psi}^\alpha(f) \to U[\Lambda]\ \hat{\Psi}^{\alpha}(f)\ U[\Lambda]^{-1} = {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \hat{\Psi}^\beta(f(\Lambda^{-1} x))\)

Tuossa on huomattavaa se, että sekä \(\hat{\Psi}^\alpha(f)\) ja \(\hat{\Psi}^\beta(f(\Lambda^{-1} x))\) ovat ihan "tavallisia" Hilbert-avaruuden operaattoreita annetulla kiinteällä f. Niissä ei ole mitään mystistä sinänsä. Toki koko konstruktio on suuri mysteeri heh..

Tuossa siis distribuutioon\( \hat{\Psi}^\alpha\) argumentiksi sisäänmenevä funktio f muutetaan uudeksi sisäänmeneväksi funktioksi \(f(\Lambda^{-1} x)\).

Sitten on se ongelmia aiheuttava muoto (lähteeni mukaan):

\(\hat{\Psi}^\alpha(x) \to U[\Lambda]\ \hat{\Psi}^{\alpha}(x)\ U[\Lambda]^{-1} = {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \hat{\Psi}^\beta(\Lambda x)\)

Tuossa siis raiskataan notaatiota melkoisesti. Siinä on distribuutioarvoinen operaattori \(\hat{\Psi}^\alpha\) joka ottaa sisään funktion sijasta aika-avaruuden pisteen x !

Lähteeni sanoo, että tämä on voimassa vain kun distribuutioarvoinen operaattori \(\hat{\Psi}^\beta\) on määritelty tavallisen aika-avaruuden operaattorin \(\Psi^\beta(x)\) avulla. Miten se tapahtuu ei lähteeni avaa asiaa tarkemmin. Käsittääkseni siinä on kuitenkin ihan kyse distribuution ja funktion erosta, esimerkiksi funktion f tapauksessa f(x) on mielekäs, mutta distribuution tapauksessa ei, esimerkiksi Diracin delta ei ole funktio vaan distribuutio, mutta sitä merkitään lähes aina funktionotaatiolla \(\delta(x)\).

Tuo nurinkurinen muunnos tuossa kaavan oikealla puolella selittynee sillä, että siinä ollaan muka muuntamassa funktiota vaikka muunnetaan distribuutiota tms. Diracin deltallekkin voi johtaa muunnoskaavoja ikäänkuin se olisi funktio. Mä yritän selvitellä tuota distribuution munnoskaavaa myöhemmin.

Sulla oli paljon mielenkiintoista pohdintaa loppuosassa viestiäsi, mutta en nyt kerkeä kommentoimaan, mutta sitten myöhemmin.

Tämä on kyllä hyvin sanottu:

...
Ja sitten vielä ihan laadukkaissa QFT:n perusteoksissa sanotaan, että 'universumi muodostuu aika-avaruudessa värähtelevistä kvanttikentistä'. Kun tuollaisen sekasikiön\( \Psi^\alpha\) laittaa universumiin värähtelemään, niin se on maailmanloppu sanon minä. QFT:n myyntityössä on 1900-luvulla tehty vallan villejä lupauksia
...

[Disputator]

Yes, nyt on vähän joutoaikaa.

Mä en edellisessä viestissä mitenkään määritellyt mitä nuo funktiot f ovat joita syötetään distribuutio-operaattoriin ym. asioita. Funktiot f ovat Schwartzin avaruuden alkioita, jotka ovat sileitä reaali-tai konpleksifunktioita ja häviävät "nopeasti" äärettömyydessä

...
Sitten on se ongelmia aiheuttava muoto (lähteeni mukaan):

\(\hat{\Psi}^\alpha(x) \to U[\Lambda]\ \hat{\Psi}^{\alpha}(x)\ U[\Lambda]^{-1} = {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \hat{\Psi}^\beta(\Lambda x)\)

Tuossa siis raiskataan notaatiota melkoisesti. Siinä on distribuutioarvoinen operaattori \(\hat{\Psi}^\alpha\) joka ottaa sisään funktion sijasta aika-avaruuden pisteen x !

Lähteeni sanoo, että tämä on voimassa vain kun distribuutioarvoinen operaattori \(\hat{\Psi}^\beta\) on määritelty tavallisen aika-avaruuden operaattorin \(\Psi^\beta(x)\) avulla. Miten se tapahtuu ei lähteeni avaa asiaa tarkemmin. Käsittääkseni siinä on kuitenkin ihan kyse distribuution ja funktion erosta, esimerkiksi funktion f tapauksessa f(x) on mielekäs, mutta distribuution tapauksessa ei, esimerkiksi Diracin delta ei ole funktio vaan distribuutio, mutta sitä merkitään lähes aina funktionotaatiolla \(\delta(x)\).

Tuo nurinkurinen muunnos tuossa kaavan oikealla puolella selittynee sillä, että siinä ollaan muka muuntamassa funktiota vaikka muunnetaan distribuutiota tms. Diracin deltallekkin voi johtaa muunnoskaavoja ikäänkuin se olisi funktio. Mä yritän selvitellä tuota distribuution munnoskaavaa myöhemmin.

Mä löysin mun yhdestä kirjasta( joka ei ollenkaan käsittele mitenkään QFT:n kiemuroita, vaan ryhmäteoriaa helpohkolla tavalla kvanttimekaniikassa) yhden selityksen tuolle nurinkurisellle muuntumiselle, jonka laitan nyt näkyviin tähän. Se on kirjoitettu hieman eri juttuja silmällä pitäen joten joudun muuntamaan selitystä miten osaan.

Oletetaan annettuna Hilbert avaruuden kvanttikenttä \(\Psi(x)\), siis aika-avaruuden koordinaatista x riippuva ihan tavallinen Hilbert-avaruuden operaattori ja yritetään määritellä vastaava operaattoriarvoinen distribuutio \(\hat{\Psi}\). Olkoon f aika-avaruudessa määritelty funktio ja määritellään

\(\hat{\Psi}(f)\equiv\int_{\mathbf{R}^4} f(x) \Psi(x) d^4 x\)

Tuossa siis integroidaan operaattoriarvoista funktiota yli aika-avaruuden ja lopputulos on Hilbert-avaruuden operaattori. Nyt kirjani määrittelee Lorentz-ryhmän toiminnan tuohon integraaliina esitettyyn operaattoriin:

\([\Lambda\cdot \hat{\Psi}](f)=\int_{\mathbf{R}^4} f(\Lambda^{-1}x) \Psi(x) d^4 x\).

Tehdään koordinaatistomuunnos \(y = \Lambda^{-1} x\) jolloin \(det\Lambda =1\) ja silloin saadaan:

\([\Lambda\cdot \hat{\Psi}](f)=\int_{\mathbf{R}^4} f(\Lambda^{-1}x) \Psi(x) d^4 x =\int_{\mathbf{R}^4} f(y) \Psi(\Lambda y) d^4 y\).

Voidaan vielä vaihtaa tuossa viimeisessä lausekkeessa y muuttujaksi x jolloin saadaan:

\([\Lambda\cdot \hat{\Psi}](f)=\int_{\mathbf{R}^4} f(x) \Psi(\Lambda x) d^4 x\).

No niin, siellä se nyt sitten on se \( \Psi(\Lambda x)\) eikä \( \Psi(\Lambda^{-1} x)\).

[Disputator]

...
Tämä on matemaatikolle ryhmän SU(2) "adjoint" esitys. Nimestä viis, mutta se muistuttaa sinun viimeistä kaavaa lainauksessani. Itse asiassa samankaltainen kaava on voimassa Lorentz-ryhmälle, kun määritellään "nollas" Paulin matriisi \(\sigma_0 =id\), jolloin samankaltaisella päättelyllä saadaan kaava 4d-vektoreille \(X= \Sigma x^{\mu} \sigma_{\mu}\)

\(A X A^{\dagger}= {\Lambda^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}\),

missä \(A \in SL(2,\mathbb{C})\) ja \(\Lambda = {\Lambda^{\mu}}_{\nu}\in SO(1,3).\).

Nyt tuo näyttää samankaltaiselta kuin sinun kaavasi, toki multa puuttuu se kenttä \(\Psi\), joka riippuu koordinaateista x.
 

Joo, näyttää saman kaltaiselta kuin operaattorikentän muunnos

\(\Psi^\alpha \to U[\Lambda]\ \Psi^{\alpha}\ U[\Lambda]^{-1} = {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \Psi^\beta(\Lambda x)\)

Tässä muunnoksessa on vaan se ero, että notaatiossa operaattori U ei ole unitaari, sillä Lorentzryhmällä ei ole äärellisulotteisia (tässä spinorin indeksit \(\alpha=\{0,1,2,3\}\) ) unitaareja esityksiä.

Hmm, eikös tuossa tuo \(U[\Lambda]\) ole juuri unitaarinen operaattori? Siis U on tilanteeseen liitetyn ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattori eli \(\Lambda\to U[\Lambda]\) on Lorentz-ryhmän unitaarinen esitys. Tuo kaavasi oikealla puolella esiintyvä Lorentz-ryhmän esitys \(\Lambda\to D[\Lambda]\) on matriisina äärellisulotteinen ja siten se ei voi olla unitaarinen.

Olen nyt yrittänyt ymmärtää näitä operaattorien ja distribuutioarvoisten operaattorien eroja, niin jossain oli että:

kvanttikenttä (tai kentän komponentti) \(\Psi^\alpha\) on operaattoriarvoinen funktio \(\Psi^\alpha\) aika-avruudessa, siis:

\(\Psi^\alpha=\Psi^\alpha(x) =\Psi^\alpha(t,\mathbf{x}) \).

Tämä otus muuntuu ymmärtääkseni seuraavasti:

\(\Psi^\alpha \to U[\Lambda]\ \Psi^{\alpha}\ U[\Lambda]^{-1} = {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \Psi^\beta(\Lambda^{-1} x)\)

...

Joo, mun pitää vielä yrittää ymmärtää paremmin. Tuo mun viimeinen kaavani on todennäköisesti väärin ja antamasi muoto oikea.
Mun lähde käytti matriisin U sijasta käänteismatriisia, joten kaavat menivät vastaavasti käänteisesti ja pieleen.

[QS]

...
Tämä on matemaatikolle ryhmän SU(2) "adjoint" esitys. Nimestä viis, mutta se muistuttaa sinun viimeistä kaavaa lainauksessani. Itse asiassa samankaltainen kaava on voimassa Lorentz-ryhmälle, kun määritellään "nollas" Paulin matriisi \(\sigma_0 =id\), jolloin samankaltaisella päättelyllä saadaan kaava 4d-vektoreille \(X= \Sigma x^{\mu} \sigma_{\mu}\)

\(A X A^{\dagger}= {\Lambda^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}\),

missä \(A \in SL(2,\mathbb{C})\) ja \(\Lambda = {\Lambda^{\mu}}_{\nu}\in SO(1,3).\).

Nyt tuo näyttää samankaltaiselta kuin sinun kaavasi, toki multa puuttuu se kenttä \(\Psi\), joka riippuu koordinaateista x.
 

Joo, näyttää saman kaltaiselta kuin operaattorikentän muunnos

\(\Psi^\alpha \to U[\Lambda]\ \Psi^{\alpha}\ U[\Lambda]^{-1} = {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \Psi^\beta(\Lambda x)\)

Tässä muunnoksessa on vaan se ero, että notaatiossa operaattori U ei ole unitaari, sillä Lorentzryhmällä ei ole äärellisulotteisia (tässä spinorin indeksit \(\alpha=\{0,1,2,3\}\) ) unitaareja esityksiä.

Hmm, eikös tuossa tuo \(U[\Lambda]\) ole juuri unitaarinen operaattori? Siis U on tilanteeseen liitetyn ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattori eli \(\Lambda\to U[\Lambda]\) on Lorentz-ryhmän unitaarinen esitys. Tuo kaavasi oikealla puolella esiintyvä Lorentz-ryhmän esitys \(\Lambda\to D[\Lambda]\) on matriisina äärellisulotteinen ja siten se ei voi olla unitaarinen.

 

Tutustun distribuutiota koskeviin juttuihisi alkuvuodesta. On asia, jonka aion vielä ymmärtää ja alustamasi asiat on hyvä lähtökohta. Jes.

Sitten tämä U. Kyllä, tuo \(\Psi^\alpha\) on operaattoriarvoinen 'vektori', missä 4 komponenttia. Aika-avaruuden komponentit ovat mukana, kun operaattorikenttä on paikkariippuva \(\Psi^\alpha(x)\).

Olet itse asiassa varmaankin oikeassa, että U on unitaari muunnos, sillä operaattori \(\Psi^\alpha\) kohdistetaan tilavektoreihin, jotka ovat ääretönulotteisen Hilbertin avaruuden vektoreita. Voidaan siis olettaa, että on olemassa unitaari U. Vedän takaisin tuon väitteeni, että U ei olisi unitaari.

Mutta edelleen jotenkin hämärää se, että oikealla puolella on epäunitaari muunnos \( {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \Psi^\beta(\Lambda x)\), joka muuntaa 4-dimensioisen Hilbertin avaruuden \(\mathbb{C}^4\) spinoreita \(u^\alpha(\mathbf{p})\ e^{-ipx}\).

Tämän lisäksi \(\Psi^\alpha(x)\) sisältää luonti- ja tuhoamisoperaattorit, jotka eivät muunnu matriisilla \( {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \), vaan unitaarilla Poincare-ryhmän muunnoksella.

Yleisesti ottaenhan on niin, että operaattori on tilanteeseen liitetyn Hilbertin avaruuden operaattori, kuten sanoitkin. Mutta tässä tapauksessa operaattori muodostuu objekteista, joissa on mukana muitakin Hilbertin avaruuksia kuin tuo tilanteeseen liitetty ääretönulotteinen Poincare-ryhmän esitysten avaruus. Mun pitää ajan kanssa tähänkin tutustua lisää. Kun välillä tuntuu, että tuo operaattori \(\Psi^\alpha\) on useamman eri dimensoisen Hilbertin avaruuden tensoritulo, tai jotain sinne päin.

Mutta kerta kaikkiaan mielenkiintoinen suo. Ja tutustun tosiaan distribuutioviesteihisi myöhemmin.

[QS]

Ennen distribuutioihin syventymistä selvitin itselleni tämän äärellisulotteisen operaattorikentän \(\Psi^\alpha(x)\) ja vastaavan ääretönulotteisen tilavektoriavaruuden muunnokset, ja näiden välisen yhteyden. Tilavektorien avaruus on kantavektorijoukon \(\{|\mathbf{p}\rangle \}\) virittämä.

Tilavektoreita luo ja poistaa mainittu operaattoriarvoinen Diracin kvanttikenttä

\(\Psi^\alpha(x) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(\mathbf{p},\lambda)\ u^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{ipx}\ + \ a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\ v^\alpha(\mathbf{p},\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

missä \(e^{\pm ipx}\) on Lorentzinvariantti. \(a^{\dagger}_c(\mathbf{p},\lambda)\) luo antihiukkasen liikemäärällä \(\mathbf{p}\) ja spinillä \(\lambda=\pm \frac{1}{2}\). Vastaava \(a(\mathbf{p},\lambda)\) poistaa hiukkasen. Diracin spinorit \(u^\alpha\) ja \(v^\alpha\) muodostuvat 2-komponenttisista Weylin spinoreista, jotka ovat oikea- ja vasenkiraalisia.

Adjungaattikentän \(\overline{\Psi}^\alpha = (\Psi^\alpha)^\dagger \gamma^0\) operaattori \(a^{\dagger}\) luo hiukkasen ja \(a_c\) poistaa antihiukkasen. Tuon kentän adjungaattispinorit ovat \(\overline{u}^\alpha = ({u^\alpha})^\dagger \gamma^0\) ja \(\overline{v}^\alpha = ({v^\alpha})^\dagger \gamma^0\) .

Liikemäärän p=0 spinorit ovat \(u^\alpha(\mathbf{0},\lambda)\) ja \(v^\alpha(\mathbf{0},\lambda)\), missä vasen- ja oikeakiraaliset Weylin spinorit komponenteissa \(\alpha=1,2\) ja \(\alpha=3,4\). Spinorit muuntuvat matriisilla

\({\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda] \right )^\alpha}_\beta = \begin{bmatrix} D^{(\frac{1}{2},0)}[\Lambda] & 0\\ 0 & D^{(0,\frac{1}{2})}[\Lambda] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \exp (-\alpha \hat{\mathbf{p}}\cdot \frac{\mathbf{\sigma}}{2})&0 \\ 0 & \exp (\alpha \hat{\mathbf{p}}\cdot \frac{\mathbf{\sigma}}{2}) \end{bmatrix}\)

mikä on siis 2-komponenttisia Weylin spinoreita vastaavien muunnosten suora summa. Paulin matriisit ovat \(\mathbf{\sigma}\). Lisäksi \(\alpha = \tanh^{-1}(\mathbf{p}|/p^0)\) ja \(\hat{\mathbf{p}}\) on puskun liikemäärävektorin suuntainen yksikkövektori.

Liikemäärän \(p=(p^0,\mathbf{p})\) spinori muodostetaan nollaliikemäärän spinorista

\(u^\alpha(\mathbf{p},\lambda) = \sqrt{\frac{m}{p^0}}\ {\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda(p)] \right )^\alpha}_\beta \; u^\beta(\mathbf{0},\lambda)\)

ja sama kaava spinorille \(v^\alpha\) . Matriisi\( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}\) on ryhmän SO(1,3) äärellisulotteinen esitys.

Fysikaalinen tilavektori \(| \mathbf{p},\lambda \rangle\) on liikemäärä- ja spinoperaattorin ominaisvektori, toisin sanoen \(\mathbf{P}| \mathbf{p},\lambda \rangle = \mathbf{p}| \mathbf{p},\lambda \rangle\) ja \(S_z| \mathbf{p},\lambda \rangle = \lambda| \mathbf{p},\lambda \rangle\).

Yksihiukkastila liikemäärällä p=0 kirjoitetaan käyttämällä luontioperaattoria \(a^\dagger\) (antihiukkaselle \(a^{\dagger}_c\))

\(| \mathbf{0},\lambda \rangle = a^\dagger(\mathbf{0},\lambda)\ | 0 \rangle\)

missä \(| 0 \rangle\) on Lorentzinvariantti vakuumitila. Liikemäärän p hiukkastila voidaan kirjoittaa \(| (p^0,\mathbf{p})\ ,\lambda \rangle = |p,\lambda \rangle\) . Tämä tilavektori saadaan tilasta \(|0,\lambda \rangle\) kohdistamalla siihen unitaarinen Poincareryhmän muunnos \(U[\Lambda(p)]\)

\(|p,\lambda \rangle = \sqrt{\frac{m}{p^0}}\ U[\Lambda(p)]\ |0,\lambda \rangle\)

Tämä esittää hiukkasta, jonka liikemäärä on p ja z-akselin suuntainen spin on \(\lambda\). Tilaan voidaan edelleen kohdistaa unitaarinen muunnos \(U[\Lambda]\)

\(U[\Lambda]\ |p,\lambda \rangle=\sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}}\ \sum_{\lambda'=\pm \frac{1}{2}}\ D_{\lambda'\lambda}[W(\Lambda)]\ |\Lambda p, \lambda' \rangle\)

missä tuloksena on puskun jälkeinen liikemäärä \(\Lambda p\) sekä spin-tilojen \(\lambda'\) lineaarikombinaatio. Muunnoksessa esiintyy Wignerin rotaatio \(W(\Lambda)\). Tilanne on vastaava kuin epärelativistisessa rotaatiossa, jossa spinin ominaistila muuntuu lineaarikombinaatioksi.

Tilavektoreita vastaavat luonti- ja poisto-operaattorit muuntuvat unitaarisesti

\(
U[\Lambda]\ a^\dagger(p,\lambda)\ U^{-1}[\Lambda] = \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}}\ \sum_{\lambda'=\pm \frac{1}{2}}\ D^\ast _{\lambda'\lambda}[W^{-1}(\Lambda)]\ a^\dagger(\Lambda p,\lambda')\)

\(U[\Lambda]\ a(p,\lambda)\ U^{-1}[\Lambda] = \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}}\ \sum_{\lambda'=\pm \frac{1}{2}}\ D_{\lambda'\lambda}[W^{-1}(\Lambda)]\ a(\Lambda p,\lambda')\)

missä * on kompleksikonjugaatti ja D sama kuin tilavektorin muunnoksessa. Tästä päästään notaatioon, jolla esitetään operaattorikentän unitaarinen muunnos

\(U[\Lambda]\ \Psi^\alpha(x)\ U^{-1}[\Lambda] = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ U[\Lambda]\ a(p,\lambda)\ U^{-1}[\Lambda]\ u^\alpha(p,\lambda)\ e^{ipx}\ + \ U[\Lambda]\ a^{\dagger}_c(p,\lambda)\ U^{-1}[\Lambda]\ v^\alpha(p,\lambda)\ e^{-ipx}\ \right )\)

missä U on siirretty operaattorien \(a\) ja \(a^{\dagger}_c\) kohdalle. Operaattorit ja spinorit on lausuttu vektorin \(\mathbf{p}\) sijasta 4-liikemäärällä p, mutta spinoreihin u ja v ei ole kohdistettu muunnosta. Käyttämällä kohtuu työlästä algebrallista ponnistelua voidaan osoittaa, että \(\Psi^\alpha(x)\) muuntuu oikein ja lisäksi kenttälausekkeen sisään siirretty U voidaan korvata siten, että lausutaankin muunnos muodossa

\(U[\Lambda]\ \Psi^\alpha(x)\ U^{-1}[\Lambda] = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\; {\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda^{-1}] \right )^\alpha}_\beta \; \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(p,\lambda)\ u^\beta(p,\lambda)\ e^{ip(\Lambda x)}\ + \ a^{\dagger}_c(p,\lambda)\ v^\beta(p,\lambda)\ e^{-ip(\Lambda x)}\ \right )\)

missä luonti- ja poistoperaattorien edessä ei ole enää muunnosmatriisia, vaan se on siirtynyt osaksi spinorien muunnosta. Tämä on (eräänlainen) eksplisiittinen lauseke aiemmin esillä olleeseen

\(\Psi^\alpha \to U[\Lambda]\ \Psi^{\alpha}\ U[\Lambda]^{-1} = {D[\Lambda^{-1}]^\alpha}_\beta \ \Psi^\beta(\Lambda x)\)

mikä on tosiaankin muunnoksena unitaarinen siinä ääretönulotteisessa Hilbertin avaruudessa, jossa fysikaaliset tilavektorit asuvat, vaikka oikean puolen D ei sellaisenaan olisikaan unitaarinen.

[QS]

Mä löysin mun yhdestä kirjasta( joka ei ollenkaan käsittele mitenkään QFT:n kiemuroita, vaan ryhmäteoriaa helpohkolla tavalla kvanttimekaniikassa) yhden selityksen tuolle nurinkurisellle muuntumiselle, jonka laitan nyt näkyviin tähän. Se on kirjoitettu hieman eri juttuja silmällä pitäen joten joudun muuntamaan selitystä miten osaan.

Oletetaan annettuna Hilbert avaruuden kvanttikenttä \(\Psi(x)\), siis aika-avaruuden koordinaatista x riippuva ihan tavallinen Hilbert-avaruuden operaattori ja yritetään määritellä vastaava operaattoriarvoinen distribuutio \(\hat{\Psi}\). Olkoon f aika-avaruudessa määritelty funktio ja määritellään

\(\hat{\Psi}(f)\equiv\int_{\mathbf{R}^4} f(x) \Psi(x) d^4 x\)

Tuossa siis integroidaan operaattoriarvoista funktiota yli aika-avaruuden ja lopputulos on Hilbert-avaruuden operaattori. Nyt kirjani määrittelee Lorentz-ryhmän toiminnan tuohon integraaliina esitettyyn operaattoriin:

\([\Lambda\cdot \hat{\Psi}](f)=\int_{\mathbf{R}^4} f(\Lambda^{-1}x) \Psi(x) d^4 x\).

Tehdään koordinaatistomuunnos \(y = \Lambda^{-1} x\) jolloin \(det\Lambda =1\) ja silloin saadaan:

\([\Lambda\cdot \hat{\Psi}](f)=\int_{\mathbf{R}^4} f(\Lambda^{-1}x) \Psi(x) d^4 x =\int_{\mathbf{R}^4} f(y) \Psi(\Lambda y) d^4 y\).

Voidaan vielä vaihtaa tuossa viimeisessä lausekkeessa y muuttujaksi x jolloin saadaan:

\([\Lambda\cdot \hat{\Psi}](f)=\int_{\mathbf{R}^4} f(x) \Psi(\Lambda x) d^4 x\).

No niin, siellä se nyt sitten on se \( \Psi(\Lambda x)\) eikä \( \Psi(\Lambda^{-1} x)\).
 

Jännästi tuo viimeinen muunnoskaavasi muistuttaa edellisessä viestissä kirjoittamaani

\(U(\Lambda)\ \Psi^\alpha(x)\ U^{-1}(\Lambda) = \sum_{\lambda=\pm \frac{1}{2}}\; {\left( D^{(\frac{1}{2},0)\oplus (0,\frac{1}{2})}[\Lambda^{-1}] \right )^\alpha}_\beta \; \int \frac{d^3\mathbf{p}}{(2 \pi)^{3/2}}\ \left( \ a(p,\lambda)\ u^\beta(p,\lambda)\ e^{ip(\Lambda x)}\ + \ a^{\dagger}_c(p,\lambda)\ v^\beta(p,\lambda)\ e^{-ip(\Lambda x)}\ \right )\)

Tässä \(f(x)\):n kaltainen termi on operaattori \(a(p,\lambda)\), missä ei ole muunnettuna \(\Lambda p\). Vastaavasti \(\Psi(\Lambda x)\):n kaltainen on spinori \(u^\beta(p,\lambda)\ e^{ip(\Lambda x)}\) missä puolestaan on \(\Lambda x\). Toki komponentit miksautuu matriisilla D, mutta periaatteeltaan saman näköinen.

[Disputator]

Olen nyt opiskellut/kertaillut noita QFT:n perusteita ja tuo Diracin yhtälön ratkaisun ymmärtäminen on työn alla. Sulla oli oikein hyvä tietopaketti tuosta edellisissä viesteissä ja olen jollain tasolla ymmärtänyt mitä siinä tapahtuu. Matkalla on tullut vastaan kuitenkin monia asioita joita vielä selvittelen.

Yksi asia monen ohella on se, että missä Hilbertin avaruudessa QFT:n operaattorit toimivat?

Olen ymmärtänyt, että QFT:n alkeissa muodostetaan ensin yhden hiukkasen tilaa kuvaava Hilbert-avaruus H₁ samalla tavalla kuin aaltofunktioiden tai tilavektorien kvanttimekaaniikassa ja sitten muodostetaan Fock-avaruus suorana summana avaruudesta H₁ muodostetuista antisymmetrisoiduita/symmetrisoiduista tensorituloista, antisymmetriset (fermionit):

\(H= H_0\oplus H_1\oplus(H_1\otimes_a H_1)\oplus (H_1\otimes_a H_1\otimes_a H_1)...\).

ja symmetriset (bosonit):

\(H= H_0\oplus H_1\oplus(H_1\otimes_s H_1)\oplus (H_1\otimes_s H_1\otimes_s H_1)...\).

Tuossa H₀ on yksiulotteinen avaruus (vakuumin virittämä..?), jonka virittää vektori \(|\Omega>\).

Nyt jos on annettu joku operaattori\( A:H_1\to H_1\), niin se voidaan laajentaa koko avaruuteen operaattoriksi
\(A:H\to H\), jossa siis käytetään samaa merkintää A tälle laajennetulle operaattorille. Näin täytyy mielestäni olla, koska muuten monet QFT:n jutut eivät ole mielekkäitä. Esimerkiksi erilaiset unitaariset \( U:H_1\to H_1\) on laajennettavissa koko avaruuteen:

\( U:H\to H\).

Tämä laajennettu U on myös unitaarinen, jos Fock-avaruus varustetaan sopivalla sisätulolla, jonka indusoi H₁:n sisätulo.

Samoin luomis-ja hävitysoperaattorit laajentuu koko Fockin avaruuden H operaattoreiksi, muuten ei oikein ole mielekästä operoida sellaisella n-hiukkastilaan josta sitten tulee (n+1)-hiukkastila tai (n-1)-hiukkastila.

En nyt laittanut mitään eksplisiittisiä kaavoja näkyviin, koska ne löytyy monesta lähteestä.

edit: pari kertaa