Ratkaise tehtävä ja esitä uusi!

[QS]

Olet hiekkarannalla, jonka hiekka on hyvin hienojakoista. Kävelet lähellä vesirajaa. Hiekka on märkää. Kun astelet märällä hiekalla, niin huomaat, että astuessasi hiekalle se näyttää kuivuvan jalkasi kohdalta ja sen ympäriltä. Vesi ikäänkuin pakenee jalan läheisyydessä jonnekin. Tuttu ilmiö lähes kaikille. Mikä on ilmiön selitys?

hiekka.png

Jotenkin voisi ajatella, että hiekanjyvien välissä on enemmänkin vettä, koska hiekka oli märkää. Sitten jalka puristaa hiekanjyvät lähemmäksi toisiaan ja veden on virrattava jonnekkin, varmaan poispäin jalasta. Vähän sama ilmiö kuin kiertäessä rättiä kuivaksi... Mutta miksi se vesi ei sitten tule pinnalle? Lienee veden virtauksen suunta hiekan sisällä on poispäin jalasta, jonkinlainen shokkiaalto..

Noin sen helposti voisi päätellä. Yllättävää kyllä, tässä on taustalla aivan päinvastainen ilmiö.

Tämä on melko vanha probleema, jota tietääkseni tutki Osborne Reynolds jo 1800-luvulla. Hänen nimeään kantaa Reynoldsin dilatanssi, joka on eräiden fluidien ominaisuus. Märkä hiekka on fluidi, tarkemmin dilatantti fluidi.

Märän hiekan tilavuus suurenee (tiettyyn rajaan asti), kun sitä puristetaan jostain suunnasta. Vaikuttaa järjevastaiselta, mutta totta on. Hiekanjyvät jakautuvat paineessa siten, että niiden väliin jää enemmän tyhjää tilaa. Vesi valuu väleissä oleviin 'onteloihin'. Kun paine poistuu, jyvät asettuvat jälleen lähekkäin toisiaan, ja vesi leviää muualle, myös takaisin pintaa kohti.

 

Jopas oli mielenkiintoinen selitys. Tosiaan, ihan klassisessa fysiikassa on erilaisia ilmiöitä, jotka ovat ns. intuition vastaisia. Mutta miten märän hiekan tilavuus voi kasvaa, koska vesi on kokoonpuristumatonta ja hiekanjyvät myös? Mutta, kuten vastasit, siellä on jotain "ilmakuplia" tai jotain "kuplia" tai "onteloita", tai tämä on jotain merkillistä termodynamiikkaa.

Joo, näitä mössöjä varten on ihan nimityskin, ei-newtonilaiset fluidit

Hiekan ja veden sekoitus on sellainenkin, että sitä on helppo kauhalla sekoittaa, kun sekoittaa hitaasti. Mutta kun sekoittamisen nopeutta kasvattaa (mössöön kohdistuva voima suurenee), niin tuntuu, että mössö muuttuu melkein kiinteäksi, ja sekoittamiseen tarvitaan hikipisaroita ja yhä suurempi teho. Fluidin viskositeetti kasvaa.

Tuo käyttämäni "tilavuus suurenee" ei ollut kovin hyvä ilmaisu. Parempi ehkä sanoa, että puristuneen märän hiekan rakenne muuttuu siten, että ilmataskujen tilavuus suurenee. Hiekanjyvät siirtyvät siten, että niiden kohdalle jää ilmataskuja. Aineen katoamista, aineen syntymistä, tai yksittäisen kivijyväsen kokoonpuristumista/laajenemista ei toki tapahdu.

[Delay]

Tämän tehtävän kehittelin ihan itse ja tässä annetaan luvut {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ja peruslaskutoimitukset +,-,*,/ eli plus-, miinus-, kerto- ja jakolasku. Tehtävänä on laskea luvun 2 neliöjuurelle mahdollisimman hyvä likiarvo käyttäen kutakin annettua lukua täsmälleen 

3/6-2/7+8/4-9/5+1 = 1,414285...
sqrt(2) = 1,414213...

[QS]

No nyt on erikoinen integraali laskettavaksi

\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx}x\)

Ja dx on todellakin eksponentissa. Integraalin voi tulkita miten parhaaksi näkee, ja sen voi laskea, jos onnistuu hökötyksen oikein tulkitsemaan

[Disputator]

Iltaa!

No nyt on erikoinen integraali laskettavaksi

\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx}x\)

Ja dx on todellakin eksponentissa. Integraalin voi tulkita miten parhaaksi näkee, ja sen voi laskea, jos onnistuu hökötyksen oikein tulkitsemaan

Hehe.. Tämä kyllä oli aivan mahdoton tulkita, vaikka yritinkin jotain. Sitten tänään YouTubessa näin aivan sattumalta samantyyppisen "integraalin" ja siinä idea oli muokata "integraalia" seuraavalla tavalla:

\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx}x= \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{dx}x}{dx} dx\)

Integraalin sisällä on lauseke \(\frac{\sin^{dx}x}{dx}\) jota voi yrittää sieventää ajattelemalla suureen dx olevan "äärettömän pieni" joka antaa aiheen tarkastella lauseketta \(\frac{\sin^{dx}x}{dx}\) raja-arvona:

$$
\lim_{h\to 0} \frac{\sin^{h}x}{h}
$$
Mutta tuo raja-arvo on \(\infty\) (ainakin pikaisesti tarkastellen) ja siten koko "integraali"=\(\infty\).

PS:

Miten tuon lim-merkin alle saa tuon \( h\to 0\) ilman biglatex-tageja ? latex-tageilla tulos on:
\(
\lim_{h\to 0} \frac{\sin^{h}x}{h}
\)

Biglatex-tagit keskittävät tuon kaavan keskelle sivua, miten sen saa siirrettyä vasempaan laitaan?

[QS]

Iltaa!

No nyt on erikoinen integraali laskettavaksi

\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx}x\)

Ja dx on todellakin eksponentissa. Integraalin voi tulkita miten parhaaksi näkee, ja sen voi laskea, jos onnistuu hökötyksen oikein tulkitsemaan

Hehe.. Tämä kyllä oli aivan mahdoton tulkita, vaikka yritinkin jotain. Sitten tänään YouTubessa näin aivan sattumalta samantyyppisen "integraalin" ja siinä idea oli muokata "integraalia" seuraavalla tavalla:

\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx}x= \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{dx}x}{dx} dx\)

Integraalin sisällä on lauseke \(\frac{\sin^{dx}x}{dx}\) jota voi yrittää sieventää ajattelemalla suureen dx olevan "äärettömän pieni" joka antaa aiheen tarkastella lauseketta \(\frac{\sin^{dx}x}{dx}\) raja-arvona:

$$
\lim_{h\to 0} \frac{\sin^{h}x}{h}
$$
Mutta tuo raja-arvo on \(\infty\) (ainakin pikaisesti tarkastellen) ja siten koko "integraali"=\(\infty\).

PS:

Miten tuon lim-merkin alle saa tuon \( h\to 0\) ilman biglatex-tageja ? latex-tageilla tulos on:
\(
\lim_{h\to 0} \frac{\sin^{h}x}{h}
\)

Biglatex-tagit keskittävät tuon kaavan keskelle sivua, miten sen saa siirrettyä vasempaan laitaan?

Joo, kirjoittamani "integraali" on sekin jonkun internetin valopään hassuttelu, johon törmäsin sattumalta. Mutta annan pisteet yön valopilkulle, kun on kai lahjakkaasti keksinyt notaation, ja uskottavasti laskee integraalinsa. Kirjoitan laskun lähipäivinä, tulos on äärellinen reaaliluku

Kun eteen laittaa

\displaystyle

komennon, niin \(\lim_{h\to 0} \frac{\sin^{h}x}{h}\) renderöityy \(\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{\sin^{h}x}{h}\), eli kauniimmin.

[Eusa]

No nyt on erikoinen integraali laskettavaksi

\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx}x\)

Ja \(dx\) on todellakin eksponentissa. Integraalin voi tulkita miten parhaaksi näkee, ja sen voi laskea, jos onnistuu hökötyksen oikein tulkitsemaan

Eikös \(dx\) ole nollaa lähestyvä differentiaali ja \(\sin^{dx} = \sin^0 = 1\)?

\((1-1) x = 0x\) ?

Vai kerryttääkö jotain? \(0^0\) on määrittelemätön - kai noilla reunoilla pitäisi jotain tutkia...

Selvitin, että alarajalla on nolla, joten vastaukseni on \(\pi/2\).

[QS]

No nyt on erikoinen integraali laskettavaksi

\(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^{dx}x\)

Ja \(dx\) on todellakin eksponentissa. Integraalin voi tulkita miten parhaaksi näkee, ja sen voi laskea, jos onnistuu hökötyksen oikein tulkitsemaan

Eikös \(dx\) ole nollaa lähestyvä differentiaali ja \(\sin^{dx} = \sin^0 = 1\)?

\((1-1) x = 0x\) ?

Vai kerryttääkö jotain? \(0^0\) on määrittelemätön - kai noilla reunoilla pitäisi jotain tutkia...

Tehtävän outous huomioiden tuokin lienee kelvollinen vastaus : ). Mutta tuo internetin valopää näperteli asian paljon pidemmälle. Kirjoitan vaikka huomenna näkyviin.

[Disputator]

Mulla on kyllä äärimmäisen vahva näkemys, että tämä on vaan jonkinlainen notaatioiden formaali algebrallinen manipulaatio, jolla ei ole mitään oikeaa matemaattista perustelua ja voidaan pitää vain jonkinlaisena matemaattisena hassutteluna.

[Eusa]

...
Selvitin, että alarajalla on nolla, joten vastaukseni on \(\pi/2\).

Siis tähän päädyin.

[QS]

Mulla on kyllä äärimmäisen vahva näkemys, että tämä on vaan jonkinlainen notaatioiden formaali algebrallinen manipulaatio, jolla ei ole mitään oikeaa matemaattista perustelua ja voidaan pitää vain jonkinlaisena matemaattisena hassutteluna.

Kyllä, algebrallinen manipulaatio höystettynä villeillä tulkinnoilla. Voin paljastaa tuloksen, se on \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2^\pi}}\) . Tosin ei tuosta hyötyä, kun pitäisi ajatella takaperin yhtä kierosti kuin "integraalin" laatija. Mutta seassa oli faktojakin, kunhan irrottaa ne hassuttelusta. Kirjoitan huomenna auki, niin näette.