. Tällä kertaa tarkastelussa on massallinen spin-1 hiukkanen (vektori-hiukkanen tai -bosoni), ja vastaava spin-1 vektorikenttä (*).Spin-1 hiukkanen voidaan määritellä siten, että sen tilavektorin muunnos on Poincare-ryhmän ääretönulotteinen, redusoitumaton ja unitaarinen esitys. Poincare-operaattori \(U(\Lambda,a)\) muuntaa ääretönulotteisen Hilbertin avaruuden tilavektorin \(\require{braket} \ket \psi\) unitaarisesti
\(\bra{\psi}{U^\dagger U}\ket{\psi}= \langle \psi | \psi \rangle\)
missä siis \(U^\dagger U=\mathbb{I}\). Poincare-ryhmän generaattoreita ovat energia \(P^0\), liikemäärä \(P^i\), kulmaliikemäärä \(J^i\) ja pusku \(K^i\), jotka määritellään hermiittisinä operaattoreina. Osoittautuu, että massallisen spin-1 hiukkasen tilavektori sisältää liikemäärän \(\mathbf p\) lisäksi kulmaliikemäärän, jolla on kolme diskreettiä arvoa \(\lambda=\{-1, 0, +1\}\). Nämä ovat spinin projektiot liikemäärävektorille \(\mathbf p\), ja niitä kutsutaan nimellä helisiteetti.
Helisiteetin ja liikemäärän ominaistila voidaan kirjoittaa \(\ket{\mathbf p,\lambda}\), ja yleisempi helisiteetti-tila näiden lineaarikombinaationa. Massallisen hiukkasen \(\lambda\) on havaitsijariippuva, ja esimerkiksi seuraava muunnos on mahdollinen
\(\ket{\mathbf p, +1} \to U(\Lambda)\ket{\mathbf p, +1} = a_-\ket{\mathbf{\Lambda p}, -1} + a_0\ket{\mathbf{\Lambda p}, 0}+a_+\ket{\mathbf{\Lambda p}, +1}\)
Kun hiukkasen liikemäärä \(\mathbf p\) asetetaan z-akselin suuntaiseksi, niin helisiteetti saadaan kulmaliikemääräoperaattorin \(J_z\) (3x3 matriisi) ominaisarvona. Voidaan myös määritellä helisiteetti-operaattori \(\hat h = \hat{\mathbf J} \cdot \hat{\mathbf p}/|\mathbf p|\), missä \(\hat{\mathbf p}\) on liikemääräoperaattori ja \(\hat{\mathbf J}\) on kulmaliikemääräoperaattori. Tällä saadaan helisiteetti liikemäärän suunnassa, \(\hat h \ket{\mathbf p,\lambda} = \lambda \ket{\mathbf p,\lambda}\). Tuo \(\hat h\) ei tosin ole määritelty lepokehyksessä, jonka takia \(J_z\) on elegantimpi.
Massallisen spin-1 hiukkasen vektorikenttä on 4-dimensioinen \(V^\mu(x)\), ja se toteuttaa Procan yhtälön
\((\partial_\nu \partial^\nu+m^2)V^\mu-\partial^\mu(\partial_\nu V^\nu)=0\)
Tämän tasoaaltoratkaisu on muotoa \(V^\mu(x)=\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda)\ e^{ipx}\). Polarisaatiovektorin \(\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda)\) parametrit ovat liikemäärä \(\mathbf p\) ja helisiteetti \(\lambda\).
Koordinaatit ovat \(x=(t,\mathbf x)=(x^0,x^1,x^2,x^3)\), ja liikemäärä \( p=(E_p, \mathbf p)=(p^0,p^1,p^2,p^3)\). Signatuurilla (-,+,+,+) Minkowski-sisätulo on \(px = -E_p t + \mathbf p \cdot \mathbf x = -p^0 x^0 + \mathbf p \cdot \mathbf x\), ja energia on \(E_p = p^0 = \sqrt{\mathbf p^2 + m^2}\).
Kenttä \(V^\mu\) muuntuu Lorentzin ryhmän äärellisenä ja ei-unitaarisena \(\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)-vektoriesityksenä siten, että
\(V^\mu(x)\to{\Lambda^{\mu}}_\nu\ V^\nu(\Lambda^{-1} x)\)
missä \(\Lambda\) on Lorentzin ryhmän perusesitys, 4x4 matriisi. Valitaan hiukkasen lepokehyksen \((\mathbf p=0)\) z-koordinaatti siten, että polarisaatiovektorit ovat 4-dimensioisen \((J_z)_{4x4}\) -operaattorin ominaistiloja
\(\begin{align}
\epsilon^\mu(0,-1) &= (0,1,-i,0)/\sqrt 2\\\\
\epsilon^\mu(0,0) &= (0,0,0,1)\\\\
\epsilon^\mu(0,+1) &= (0,-1,-i,0)/\sqrt 2
\end{align}\)
Oikealla puolella on aika-avaruuden komponentit kullekin vektorille. Lepokehyksessä \((\mathbf p = 0)\) polarisaatiovektorin aika-komponentti on nolla, ja polarisaatiot ovat puhtaasti avaruudellisia. Vektori \(\epsilon^\mu(0,0)\) vastaa pitkittäispolarisaatiota, jonka helisiteetti \(\lambda = 0\). Tämä ei siis ole spin-0, vaan spin-1 ominaistila, jonka helisiteetti on nolla.
Polarisaatiovektorit muuntuvat siis vektoriesityksenä \({L(\mathbf p)^\mu}_\nu\), jonka rapiditeetit voidaan kirjoittaa \(\sinh \eta = \frac{|\mathbf p|}{m}\) ja \(\cosh \eta = \frac{E_p}{m}\). Liikemäärän \(\mathbf p\) vektori \(\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda)\) määritellään siten, että
\(\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda) \equiv {L(\mathbf p)^\mu}_\nu\epsilon^\nu(0,\lambda)\)
Määrittelystä seuraa, että \(\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda)\) ja sitä vastaava liikemäärä \( p_\mu=(-E_p,\mathbf p)\) ovat Minkowski-ortogonaaliset
\(p_\mu\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda)=0\)
Esimerkiksi vektorin \(\epsilon^\mu(0,0) = (0,0,0,1)\) pusku z-akselin suuntaan muuntaa vektorit siten, että signatuurilla (-,+,+,+)
\(\begin{align}
\epsilon'^\mu(\mathbf p,0) &= \left(\frac{p}{m}, 0,0, \frac{E_p}{m}\right)\\
p'_\mu&=(-E_p,0,0,p)
\end{align}\)
Muunnetut vektoritkin ovat Minkowski-ortogonaaliset (\(p'_\mu\epsilon'^\mu(\mathbf p,\lambda)=0\)), vaikka 3-dimensioisesti \(\epsilon'^\mu(0,\mathbf p)\) ja \(\mathbf p\) ovatkin samansuuntaiset. Poikittaispolarisaation vektorit \(\epsilon^\mu(0,-1)\) ja \(\epsilon^\mu(0,+1)\) eivät muunnu z-akselin suuntaisessa puskussa, sillä komponentit ovat vain x- ja y-akselin suuntiin.
Kun lepokehyksen z-akseli on valittu oikein, niin polarisaatiovektorin helisiteetti \(\lambda\), joka siis saadaan operaattorilla \((J_z)_{4x4}\), ei muutu edes mielivaltaisessa Lorentzmuunnoksessa. Mielenkiintoista on myös se, että Procan yhtälö sallii massalliselle kentälle vain mainitut kolme polarisaatiota. Kun Procan yhtälöstä otetaan divergenssi \(\partial_\mu\), niin jäljelle jää (en kirjoita laskua auki)
\(m^2(\partial_\mu V^\mu)=0\)
Massalliselle kentälle tämä toteutuu vain kun \(\partial_\mu V^\mu = 0\). Kun sijoitetaan vektorikenttä \(V^\mu(x)=\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda)e^{ipx}\), niin saadaan
\(\partial_\mu(\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda)e^{ip_\mu x^\mu})=ip_\mu\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda)e^{ip_\mu x^\mu}\)
Oikea puoli on nolla, kun
\(p_\mu\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda) = 0\)
mikä on edellä mainittu liikemäärän ja polarisaation ortogonaalisuuden ehto. Jos esimerkiksi lepokehyksessä \(p_\mu=(-m,0,0,0)\) olisi polarisaatio, jonka muoto \(\epsilon^\mu \sim (1,0,0,0)\), niin divergenssiehto ei toteutuisi, sillä
\(p_\mu \epsilon^\mu = -m\)
Massallisen vektorikentän polarisaatiot sisältävät näin ollen vain avaruudelliset polarisaatiot, joita on kolme. Tämä ominaisuus mahdollistaa vektorikentän liittämisen kolmeen helisiteettiin -1,0 ja +1, jotka ovat vektoribosonin kvanttilukuja.
Kvanttikenttä, eli siis operaattorikenttä \(\hat V^\mu\), kirjoitetaan kolmen helisiteetti-tilan summana
\(\displaystyle \hat V^\mu(x)=\sum_{\lambda=-1}^{\lambda=+1}\int_{}^{}\frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}}\frac{1}{\sqrt{2E_p}}\left[\epsilon^\mu(\mathbf p,\lambda)\ a(\mathbf p,\lambda)\ e^{ipx}+ \epsilon^{\mu*}(\mathbf p,\lambda)\ a^\dagger(\mathbf p,\lambda)\ e^{-ipx}\right]\)
missä \(^*\) on kompleksikonjugaatti, \(a(\mathbf p,\lambda)\) on poisto-operaattori, ja \(a^\dagger(\mathbf p,\lambda)\) on luontioperaattori. Myös operaattorikenttä muuntuu ei-unitaarisena Lorentz-esityksenä, mutta tähän ei paneuduta, sillä vaikka muunnos on helpohko kirjoittaa, niin sen seuraukset ovat melko epätriviaaleja.
Kentän helisiteetti-tilat \(\lambda=\pm1\) vastaavat poikittaispolarisaatiota (vrt. fotoni), ja \(\lambda=0\) vastaa pitkittäispolarisaatiota liikemäärän suunnassa, mikä on mahdollinen vain massalliselle hiukkaselle.
Edellä mainitut ominaisuudet toteutuvat vektoribosoneissa \(W^{\pm}\) ja \(Z^0\).
===
(*) Lähteenä muun muassa: S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields Vol I, luvut 2.5, 5.1 ja 5.3
Eli arkikielellä ilmaistuna tarkoittaa mitä ?
" muodossa, eli siis Hilbertin avaruuden tilavektoreina \(\ket{\psi}\) ja samalla lähes klassisen vektori/spinori-kentän muodossa (pl. lisätyt poisto/luontioperaattorit), on teorian raivostuttavin piirre. Kahteen eri maailmaan jakautuneesta sopasta on vaikea luoda mitään intuitiota, että missä fysiikka tapahtuu ja miten. Nuo maailmat ovat tavallaan todella hyvin liimattu toisiinsa kiinni, mutta niiden käyttäytminen on aivan erilaista. Esimerkiksi artikkeli käsittelee vektoria \(\ket{p,\lambda}\) ja metrin päässä vieressä joku toinen artikkeli pyörittää samaa asiaa halvatun polarisaatiovektorin \(\epsilon^\mu(p,\lambda)\) kautta, ja molemmat käsittelevät samaa asiaa, jotka ovat samassa teoriassa aivan eri vektoriavaruuksissa, ja ihan tarkasti kukaan ei pysty sanomaan, että miksi ne molemmat pitää olla mukana. Tai pystyy, mutta ei kovin intuitiivisesti.
