Mielestäni tuo on oikein, ja osoittaa, että \(P^2\) muuntuu kuten Lorentz-skalaari. Kirjoitin välivaiheen toisella tavalla näinDisputator kirjoitti: ↑29.7.2025, 16:13 Iltapäivää
Huomasin pienen asian joka koskee noita Casimir-operaattoreita. Laitan nyt ensin kaavat näkyviin:
\(\begin{align}
P^2&=-(P^0)^2+(P^1)^2+(P^2)^2+(P^3)^2\\
W^2&=-(W^0)^2+(W^1)^2+(W^2)^2+(W^3)^2
\end{align}
\)
\(\begin{align}
P^2&=P_{\mu} P^{\mu}\\
W^2&=W_{\mu} W^{\mu}\\
\end{align}
\)
\(\begin{align}
W^0 &= -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J}\\
\mathbf{W}&=-P^0\mathbf{J}+\mathbf{P}\times \mathbf{K}
\end{align}\)
Nuo ovat muodostettu Poincare-ryhmän Lie-algebran alkioista, jotka ovat matriiseja. Ny se huomio. Jos käytetään ylä-ja alaindeksejä, niin tavallaan siinä implisiittisesti oletetaan, että matriisit \(W^{\mu},P^{\mu}\) muuntuvat muodollisesti samoilla kaavoilla kuin kontravariantit vektorit. Sitä tuo indeksinotaatio pitäisi tarkoittaa !?. Vastaavasti matriisit \(W_{\mu},P_{\mu}\) muuntuvat kovariantisti. Noita P:n muunnoskaavoja näkyy siellä täällä, mutta en ole törmännyt vastaaviin matriisien W tapauksessa.
Siis, jos esimerkiksi tehdään (passiivinen muunnos) Lorentz-koordinaattimuunnos \(x^{'\mu}=\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: x^{\nu}\), muuntuu matriisi \(P^{\mu}\) samalla kaavalla:
\(P^{'\mu}=\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: P^{\nu}\).
Vastaavasti alaindeksinen matriisi\( P_{\mu}\) muuntuu kaavalla:
\(P'_{\mu}=P_{\gamma}(\Lambda^{-1})^{\gamma}\:_{\mu}\).
Lasketaan:
\(P'^2\equiv P'_{\mu}\:P'^{\mu}=P_{\gamma}(\Lambda^{-1})^{\gamma}\:_{\mu}\:\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: P^{\nu}
=P_{\gamma}\:\delta^{\gamma}_{\nu}\: P^{\nu}=P_{\nu}P^{\nu}=P^2\)
Mä nyt en ole ihan varma siitä mitä mä just laskin.
\(P_{\gamma}(\Lambda^{-1})^{\gamma}\:_{\mu}\:\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: P^{\nu}
=({\Lambda_\mu}^\gamma\: P_\mu)({\Lambda^\mu}_\nu\: P^\nu)
=P_\gamma({\Lambda_\mu}^\gamma{\Lambda^\mu}_\nu)P^\nu
=P_{\gamma}\:\delta^{\gamma}_{\nu}\: P^{\nu}
=P_\nu P^\nu\)
Sama pätee käsittääkseni \(W^2\):lle, mutta tähän liittyy yksityiskohtia.
Edellä \(P^\mu\) (ja \(P_\mu\)) muuntuu nelivektorina. \(W^\mu\) on kuitenkin aiemmin mainittu pseudovektori, vaikka notaatio viittaa nelivektoriin. Tästä seuraa se, että \(W^\mu\) ei muunnu aitona nelivektorina pariteettimuunnoksessa ja ajankäännössä, vaikka \(W^2\) onkin invariantti. Pitäisi tarkastella kirjoittamiesi komponenttien \(W^0\) ja \(\mathbf{W}\) etumerkin vaihtumisia, kun tehdään pariteetti- ja ajankääntömuunnos, mutta tässä helteessä ei jaksa edes ajatella : D
Tämä ei ole ehkä kuitenkaan koko tarina. Nimittäin operaattorin \(P^\mu\) komponentit ovat operaattoreita. Tämä ei kuitenkaan tarkoita sitä, että ne ovat aina matriiseja. Asia liittyy jälleen siihen, että ovatko ne äärellisulotteisen vai ääretönulotteisen Hilbertin avaruuden operaattoreita. Jos tarkastelussa on esimerkiksi tilavektori \(\ket p\), joka on Poincare-ryhmän ääretönulotteinen unitaarinen esitys, niin \(P^\mu \ket p = p^\mu \ket p\), missä \(P^\mu\) ei ole matriisi sanan varsinaisessa merkityksessä.
Esimerkiksi kirjoittamasi tyypillinen notaatio
\(\mathbf{W}=-P^0\mathbf{J}+\mathbf{P}\times \mathbf{K}\)
ei ole ihan helppo tulkita, kun kyseessä on ääretönulotteisen Hilbertin (tai Fockin) avaruuden operaattori. Notaatiossa on hiukan 3-vektoria (\(\mathbf{P}\) vs \(P^\mu\) ??), hiukan 4-vektorin komponenttia (\(P^0\)), hiukan Lorentz-ryhmän generaattoria (\(\mathbf{K}\) ja \(\mathbf{J}\), mutta 3-vektorinotaationa) ja kirsikkana kakussa euklidisen avaruuden ristitulo \(\times\).
Joo, tuossa sun muunnelmassa on mielenkiintoista notaatioon piilotettua tietoa mukana. Matriisin \(\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\) käänteismatriisi on mun käyttämällä notatiolla se on merkitty ihan suoraviivaisesti \((\Lambda^{-1})^{\gamma}\:_{\mu}\). Sun notaatiossa käänteismatriisi on \(\Lambda_{\mu}\:^\gamma\) ja tämän notaatioero on alkuperäiseen matriisiin se, että alaindeksi on nostettu ylös ja yläindeksi on laskettu alas. Kyseessä on tosiaankin käypä notaatio, sillä Lorentz-muunnoksen tapauksessa käänteismatriisi saadaan juuri käyttämälläsi tavalla.QS kirjoitti: ↑30.7.2025, 20:12Mielestäni tuo on oikein, ja osoittaa, että \(P^2\) muuntuu kuten Lorentz-skalaari. Kirjoitin välivaiheen toisella tavalla näinDisputator kirjoitti: ↑29.7.2025, 16:13 Iltapäivää
Huomasin pienen asian joka koskee noita Casimir-operaattoreita. Laitan nyt ensin kaavat näkyviin:
\(\begin{align}
P^2&=-(P^0)^2+(P^1)^2+(P^2)^2+(P^3)^2\\
W^2&=-(W^0)^2+(W^1)^2+(W^2)^2+(W^3)^2
\end{align}
\)
\(\begin{align}
P^2&=P_{\mu} P^{\mu}\\
W^2&=W_{\mu} W^{\mu}\\
\end{align}
\)
\(\begin{align}
W^0 &= -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J}\\
\mathbf{W}&=-P^0\mathbf{J}+\mathbf{P}\times \mathbf{K}
\end{align}\)
Nuo ovat muodostettu Poincare-ryhmän Lie-algebran alkioista, jotka ovat matriiseja. Ny se huomio. Jos käytetään ylä-ja alaindeksejä, niin tavallaan siinä implisiittisesti oletetaan, että matriisit \(W^{\mu},P^{\mu}\) muuntuvat muodollisesti samoilla kaavoilla kuin kontravariantit vektorit. Sitä tuo indeksinotaatio pitäisi tarkoittaa !?
Siis, jos esimerkiksi tehdään (passiivinen muunnos) Lorentz-koordinaattimuunnos \(x^{'\mu}=\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: x^{\nu}\), muuntuu matriisi \(P^{\mu}\) samalla kaavalla:
\(P^{'\mu}=\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: P^{\nu}\).
Vastaavasti alaindeksinen matriisi\( P_{\mu}\) muuntuu kaavalla:
\(P'_{\mu}=P_{\gamma}(\Lambda^{-1})^{\gamma}\:_{\mu}\).
Lasketaan:
\(P'^2\equiv P'_{\mu}\:P'^{\mu}=P_{\gamma}(\Lambda^{-1})^{\gamma}\:_{\mu}\:\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: P^{\nu}
=P_{\gamma}\:\delta^{\gamma}_{\nu}\: P^{\nu}=P_{\nu}P^{\nu}=P^2\)
Mä nyt en ole ihan varma siitä mitä mä just laskin.
\(P_{\gamma}(\Lambda^{-1})^{\gamma}\:_{\mu}\:\Lambda^{\mu}\:_{\nu}\: P^{\nu}
=({\Lambda_\mu}^\gamma\: P_\mu)({\Lambda^\mu}_\nu\: P^\nu)
=P_\gamma({\Lambda_\mu}^\gamma{\Lambda^\mu}_\nu)P^\nu
=P_{\gamma}\:\delta^{\gamma}_{\nu}\: P^{\nu}
=P_\nu P^\nu\)
Sama pätee käsittääkseni \(W^2\):lle, mutta tähän liittyy yksityiskohtia.
Aivan, tuossa \(P^\mu\) tarkoittaa oikeastaan matriisin \(P^\mu\) esitystä Hilbert-avaruudessa ja siinä pitäisi formaalisti olla jotain tyyliin \(\pi(P^\mu)\), missä kuvaus \(\pi\) kuvaa Lie-algebran matriisit Hilbert-avaruuden operaattoreiksi, siten että kommutaattorit säilyvät.QS kirjoitti: ...
Tämä ei ole ehkä kuitenkaan koko tarina. Nimittäin operaattorin \(P^\mu\) komponentit ovat operaattoreita. Tämä ei kuitenkaan tarkoita sitä, että ne ovat aina matriiseja. Asia liittyy jälleen siihen, että ovatko ne äärellisulotteisen vai ääretönulotteisen Hilbertin avaruuden operaattoreita. Jos tarkastelussa on esimerkiksi tilavektori \(\ket p\), joka on Poincare-ryhmän ääretönulotteinen unitaarinen esitys, niin \(P^\mu \ket p = p^\mu \ket p\), missä \(P^\mu\) ei ole matriisi sanan varsinaisessa merkityksessä.
Kuten tuossa aikaisemmin sanoit:
viitatessasi siihen pseudovektoriluonteeseen eli miten \(W^\mu\) käyttäytyy ajan- ja avaruuden inversioissa joka varmasti tuo nipun komplikaatioita.QS kirjoitti:
Sama pätee käsittääkseni \(W^2\):lle, mutta tähän liittyy yksityiskohtia.
Lisäksi Casimir-operaattoreihin liittyy tietynlaista matemaattista säätämistä, sillä kuten aikaisemmassa viestissäsi kirjoitit:
Tämä on hyvä havainto, sillä tuo kertoo heti, että operaattori \(\vec J \cdot \vec J = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2\) ei ole rotaatioryhmän \(SO(3)\) Lie algebran \(so(3)\) alkio. Syy on se, että se on verrannollinen identtisen kuvauksen matriisiin eli laskemasi mukaan \(\vec J \cdot \vec J=2\mathbb{I}_{3x3}\) ja Lie algebra \(so(3)\) kuitenkin sisältää vain antisymmetrisiä matriiseja, joten \(2\mathbb{I}_{3x3}\) ei kuulu Lie algebraan \(so(3)\). Kuitenkin yleensä aina lasketaan kommutaattoreita kuten \([J^2,J_z]=\)0 vaikka tuo ei enää ole Lie-algebran \(so(3)\) kommutaattori, vaan se on 3x3-matriisien kommutaattori.QS kirjoitti: Nyt voidaan laskea
\(W^\mu W_\mu = -(W^0) + \vec W \cdot \vec W = m^2\ \vec J \cdot \vec J\)
missä \(\vec J \cdot \vec J = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 = 2\mathbb{I}_{3x3}\). Tämä on 3x3-matriisi, joka tarkoittaa sitä, että \(W^\mu W_\mu\) on operaattori, vaikka notaatio viittaa skaalaariin, joka olisi numeroarvo.
Joo, nyt kyllä pää turpoaa helteen ja siitä johtuvan nestehukan vuoksi ja täytyy ottaa jääkaapista oikein kylmä huurteinen lääkärin suosittelema tölkki juomaa..
SI Resurrection!
Disputator kirjoitti: ↑31.7.2025, 18:01Tämä on hyvä havainto, sillä tuo kertoo heti, että operaattori \(\vec J \cdot \vec J = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2\) ei ole rotaatioryhmän \(SO(3)\) Lie algebran \(so(3)\) alkio. Syy on se, että se on verrannollinen identtisen kuvauksen matriisiin eli laskemasi mukaan \(\vec J \cdot \vec J=2\mathbb{I}_{3x3}\) ja Lie algebra \(so(3)\) kuitenkin sisältää vain antisymmetrisiä matriiseja, joten \(2\mathbb{I}_{3x3}\) ei kuulu Lie algebraan \(so(3)\). Kuitenkin yleensä aina lasketaan kommutaattoreita kuten \([J^2,J_z]=\)0 vaikka tuo ei enää ole Lie-algebran \(so(3)\) kommutaattori, vaan se on 3x3-matriisien kommutaattori.QS kirjoitti: Nyt voidaan laskea
\(W^\mu W_\mu = -(W^0) + \vec W \cdot \vec W = m^2\ \vec J \cdot \vec J\)
missä \(\vec J \cdot \vec J = J_x^2 + J_y^2 + J_z^2 = 2\mathbb{I}_{3x3}\). Tämä on 3x3-matriisi, joka tarkoittaa sitä, että \(W^\mu W_\mu\) on operaattori, vaikka notaatio viittaa skaalaariin, joka olisi numeroarvo.
Joo, nyt kyllä pää turpoaa helteen ja siitä johtuvan nestehukan vuoksi ja täytyy ottaa jääkaapista oikein kylmä huurteinen lääkärin suosittelema tölkki juomaa..
Totta, että tuo \(\vec J \cdot \vec J\) ei ole \(\mathfrak{so}(3)\):n alkio. En itse ajatellut noin pitkälle. Tästä tulikin heti mieleeni, että jos kvanttikenttäteoriaan mennään, niin liikemääräoperaattori on muotoa
\(\displaystyle P^\mu=\int \frac{d^3p}{8\pi^3}\ p^\mu\ a^\dagger(p)\ a(p)\)
mikä ei ole \(\mathfrak{so}(3)\):n eikä \(SO(3)\):n alkio, eikä edes matriisi, vaan kvanttikentän operaattori. Tuo on kuitenkin operaattoriarvoinen nelivektori, jonka komponentti \(P^0\) on Hamilton ja loput \(P^i\) ovat liikemäärän operaattorit.
Mulla ei tässä kohti ole suurta viisautta sanottavana, mutta kai noistakin saadaan jotain järjellistä, kun käytetään aiemmin kirjoittamaasi määrittelyä
\(\begin{align}
W^0 &= -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J}\\
\mathbf{W}&=-P^0\mathbf{J}+\mathbf{P}\times \mathbf{K}
\end{align}\)
Ensimmäinen komponentti olisi
\(W^0 = -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J} = P^1 J_x+P^2 J_y+P^3 J_z\)
Matriisit J ovat 3x3-kulmaliikemääräoperaattoreita, joiden edessä kertoimena ääretönulotteisen Hilbertin avaruuden liikemääräoperaattorin komponentit. Komponenttien \(\mathbf{W}\) ensimmäinen termi olisi
\(-P^0\mathbf{J} =-(P^0 J_x+P^0 J_y+P^0 J_z)\)
missä Hamiltonin operaattori \(P^0\) on matriisien J kertoimena. Jälkimmäinen termi \(\mathbf{P}\times \mathbf{K}\) on jonkinlainen operaattori-ristitulo, jota kvanttimekaniikassakin näkee. No, tähän termiin täytyy keskittyä myöhemmin.
Kokonaisuutena tuo \(W^\mu\) kohdistuisi hiukkastilaan \(\ket{k,s}\), missä k on neliliikemäärä ja s on spin. Tässä tapauksessa siis vapaa kenttä ja 1-hiukkastila.
Jotain tämän suuntaista.
\(\displaystyle P^\mu=\int \frac{d^3p}{8\pi^3}\ p^\mu\ a^\dagger(p)\ a(p)\)
mikä ei ole \(\mathfrak{so}(3)\):n eikä \(SO(3)\):n alkio, eikä edes matriisi, vaan kvanttikentän operaattori. Tuo on kuitenkin operaattoriarvoinen nelivektori, jonka komponentti \(P^0\) on Hamilton ja loput \(P^i\) ovat liikemäärän operaattorit.
Mulla ei tässä kohti ole suurta viisautta sanottavana, mutta kai noistakin saadaan jotain järjellistä, kun käytetään aiemmin kirjoittamaasi määrittelyä
\(\begin{align}
W^0 &= -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J}\\
\mathbf{W}&=-P^0\mathbf{J}+\mathbf{P}\times \mathbf{K}
\end{align}\)
Ensimmäinen komponentti olisi
\(W^0 = -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J} = P^1 J_x+P^2 J_y+P^3 J_z\)
Matriisit J ovat 3x3-kulmaliikemääräoperaattoreita, joiden edessä kertoimena ääretönulotteisen Hilbertin avaruuden liikemääräoperaattorin komponentit. Komponenttien \(\mathbf{W}\) ensimmäinen termi olisi
\(-P^0\mathbf{J} =-(P^0 J_x+P^0 J_y+P^0 J_z)\)
missä Hamiltonin operaattori \(P^0\) on matriisien J kertoimena. Jälkimmäinen termi \(\mathbf{P}\times \mathbf{K}\) on jonkinlainen operaattori-ristitulo, jota kvanttimekaniikassakin näkee. No, tähän termiin täytyy keskittyä myöhemmin.
Kokonaisuutena tuo \(W^\mu\) kohdistuisi hiukkastilaan \(\ket{k,s}\), missä k on neliliikemäärä ja s on spin. Tässä tapauksessa siis vapaa kenttä ja 1-hiukkastila.
Jotain tämän suuntaista.
Keräsin itselleni hiukan lisää ymmärrystä, mutta kirjoitan vain lyhyesti. Tuo \(\mathbf{P}\times \mathbf{K}\) on tosiaan kahden operaattorin ristitulo
\(\mathbf{P}\times \mathbf{K} = (\mathbf{P}\times \mathbf{K})^i = \epsilon^{ijk} P^j K^k\)
missä indeksit ovat \(i,j,k \in \{1,2,3\}\). Tuo \(P^j\) on liikemäärän operaattori, ja \(K^k\) on puskugeneraattori, joka spin-1 esityksen tapauksessa on 3x3-matriisi. Tämän esityksen puskugeneraattoreille pätee kätevästi \(K^i = i J^i\), missä \(J^i\) on Lien algebran \(\mathfrak{so}(3)\) alkio.
Jännä sinänsä tuo 3x3-matriisiesitys Lorentz-ryhmän puskugeneraattorille, sillä mielestäni niistä ei kai muodostu kokonainen ja uskollinen Lorentzin ryhmä, jos käyttäisi matriisieksponenttia. En tiedä millä nimellä noista saatavaa ryhmää tulisi kutsua, mutta luotan lähteeseen, että ovat kelvolliset puskugeneraattorit.
Kokeilen ihan eksplisiittisesti. Oletetaan massallinen spin-1 hiukkanen, joka liikkuu z-akselin suuntaan, ja liikemäärä on \(p^\mu = (E_p,0,0,p)\). Tätä vastaa tilavektori \(\ket{\mathbf p, s}\), missä s on spin. Operaattorin \(W^\mu\) komponentit määriteltiin
\(\begin{align}
W^0 &= -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J}\\
\mathbf{W}&=-P^0\mathbf{J}+\mathbf{P}\times \mathbf{K}
\end{align}\)
Liikemääräoperaattorilla \(P^i=(P^1,P^2,P^3)\) saadaan \(P^3 \ket{\mathbf p, s} = p \ket{\mathbf p, s}\). Hamilton antaa \(P^0 \ket{\mathbf p, s} = E_p \ket{\mathbf p, s}\). Näin ollen
\(W^0 = -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J} = -pJ_z\)
Nuo mainitut ristitulot ovat auki kirjoitettuna
\(\begin{align}
(\mathbf{P}\times \mathbf{K})^1 &= P^2 K^3 - P^3 K^2 \\
(\mathbf{P}\times \mathbf{K})^2 &= P^3 K^1 - P^1 K^3 \\
(\mathbf{P}\times \mathbf{K})^3 &= P^1 K^2 - P^2 K^1 \\
\end{align}\)
Tässä z-akselin suuntaisen hiukkasen tapauksessa vain \(P^3\) antaa nollasta poikkeavan arvon, joka on siis \(p\). Kun lisäksi sijoitetaan \(K^i = i J^i\), ja lasketaan \(\mathbf{W}\), niin komponentit ovat
\(\begin{align}
W^1 = -E_p J_x + (\mathbf{P}\times \mathbf{K})^1 &= -E_p J_x-p\ iJ_y \\
W^2 = -E_p J_y + (\mathbf{P}\times \mathbf{K})^2 &= -E_p J_y + p\ i J_x \\
W^3 = -E_p J_z + (\mathbf{P}\times \mathbf{K})^3 &= -E_pJ_z \\
\end{align}\)
Mulla kesti hetken aikaa huomata, että kaavan \(\mathbf{W}=-P^0\mathbf{J}+\mathbf{P}\times \mathbf{K}\) ensimmäisessä termissä \(\mathbf{J}\) tarkoittaa komponentin \(W^i\) rotaatiogenraattoria \(J^i\). Eli siis komponenttiin \(W^1\) sijoitetaan \(J^1\) ja niin edelleen. No, mulla näköjään jäi alaindeksit x,y,z mutta asiayhteys kai selkeä.
Ehkä kaava pitäisi kirjoittaa selkeämmin \(W^i=-P^0 J^i+(\mathbf{P}\times \mathbf{K})^i\), mutta en nyt uskalla, kun en ole varma ymmärsinkö oikein. Oli miten oli, mutta tarkistin ihan tietokoneella, että komponentin \(W^3\) ominaisvektorit ovat varmasti tutut
\(\begin{align}
e_1 &= (-i,1,0)\\
e_2 &= (i,1,0) \\
e_3 &= (0,0,1) \\
\end{align}\)
ja vastaavat ominaisarvot ovat \(-E_p\), \(E_p\) ja \(0\). Nuo vektorit ovat etumerkkejä ja normitusta vaille samat kuin Weinbergin polarisaatiovektorien \(\epsilon^\mu(-1,0)\), \(\epsilon^\mu(+1,0)\) ja \(\epsilon^\mu(0,0)\) avaruuskomponentit. Nämä ovat selvästi helisiteetin ominaisvektorit z-akselin suunnassa liikkuvalle hiukkaselle.
Tämä koneisto vaikuttaa toimivan, ainakin näin käytännössä kokeiltuna. Tässä tosin esimerkiksi \(P^\mu\) on operaattoriarvoinen distribuutio tai mitä lie, mutta pienet kuprut voi kai unohtaa
\(\mathbf{P}\times \mathbf{K} = (\mathbf{P}\times \mathbf{K})^i = \epsilon^{ijk} P^j K^k\)
missä indeksit ovat \(i,j,k \in \{1,2,3\}\). Tuo \(P^j\) on liikemäärän operaattori, ja \(K^k\) on puskugeneraattori, joka spin-1 esityksen tapauksessa on 3x3-matriisi. Tämän esityksen puskugeneraattoreille pätee kätevästi \(K^i = i J^i\), missä \(J^i\) on Lien algebran \(\mathfrak{so}(3)\) alkio.
Jännä sinänsä tuo 3x3-matriisiesitys Lorentz-ryhmän puskugeneraattorille, sillä mielestäni niistä ei kai muodostu kokonainen ja uskollinen Lorentzin ryhmä, jos käyttäisi matriisieksponenttia. En tiedä millä nimellä noista saatavaa ryhmää tulisi kutsua, mutta luotan lähteeseen, että ovat kelvolliset puskugeneraattorit.
Kokeilen ihan eksplisiittisesti. Oletetaan massallinen spin-1 hiukkanen, joka liikkuu z-akselin suuntaan, ja liikemäärä on \(p^\mu = (E_p,0,0,p)\). Tätä vastaa tilavektori \(\ket{\mathbf p, s}\), missä s on spin. Operaattorin \(W^\mu\) komponentit määriteltiin
\(\begin{align}
W^0 &= -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J}\\
\mathbf{W}&=-P^0\mathbf{J}+\mathbf{P}\times \mathbf{K}
\end{align}\)
Liikemääräoperaattorilla \(P^i=(P^1,P^2,P^3)\) saadaan \(P^3 \ket{\mathbf p, s} = p \ket{\mathbf p, s}\). Hamilton antaa \(P^0 \ket{\mathbf p, s} = E_p \ket{\mathbf p, s}\). Näin ollen
\(W^0 = -\mathbf{P}\cdot \mathbf{J} = -pJ_z\)
Nuo mainitut ristitulot ovat auki kirjoitettuna
\(\begin{align}
(\mathbf{P}\times \mathbf{K})^1 &= P^2 K^3 - P^3 K^2 \\
(\mathbf{P}\times \mathbf{K})^2 &= P^3 K^1 - P^1 K^3 \\
(\mathbf{P}\times \mathbf{K})^3 &= P^1 K^2 - P^2 K^1 \\
\end{align}\)
Tässä z-akselin suuntaisen hiukkasen tapauksessa vain \(P^3\) antaa nollasta poikkeavan arvon, joka on siis \(p\). Kun lisäksi sijoitetaan \(K^i = i J^i\), ja lasketaan \(\mathbf{W}\), niin komponentit ovat
\(\begin{align}
W^1 = -E_p J_x + (\mathbf{P}\times \mathbf{K})^1 &= -E_p J_x-p\ iJ_y \\
W^2 = -E_p J_y + (\mathbf{P}\times \mathbf{K})^2 &= -E_p J_y + p\ i J_x \\
W^3 = -E_p J_z + (\mathbf{P}\times \mathbf{K})^3 &= -E_pJ_z \\
\end{align}\)
Mulla kesti hetken aikaa huomata, että kaavan \(\mathbf{W}=-P^0\mathbf{J}+\mathbf{P}\times \mathbf{K}\) ensimmäisessä termissä \(\mathbf{J}\) tarkoittaa komponentin \(W^i\) rotaatiogenraattoria \(J^i\). Eli siis komponenttiin \(W^1\) sijoitetaan \(J^1\) ja niin edelleen. No, mulla näköjään jäi alaindeksit x,y,z mutta asiayhteys kai selkeä.
Ehkä kaava pitäisi kirjoittaa selkeämmin \(W^i=-P^0 J^i+(\mathbf{P}\times \mathbf{K})^i\), mutta en nyt uskalla, kun en ole varma ymmärsinkö oikein. Oli miten oli, mutta tarkistin ihan tietokoneella, että komponentin \(W^3\) ominaisvektorit ovat varmasti tutut
\(\begin{align}
e_1 &= (-i,1,0)\\
e_2 &= (i,1,0) \\
e_3 &= (0,0,1) \\
\end{align}\)
ja vastaavat ominaisarvot ovat \(-E_p\), \(E_p\) ja \(0\). Nuo vektorit ovat etumerkkejä ja normitusta vaille samat kuin Weinbergin polarisaatiovektorien \(\epsilon^\mu(-1,0)\), \(\epsilon^\mu(+1,0)\) ja \(\epsilon^\mu(0,0)\) avaruuskomponentit. Nämä ovat selvästi helisiteetin ominaisvektorit z-akselin suunnassa liikkuvalle hiukkaselle.
Tämä koneisto vaikuttaa toimivan, ainakin näin käytännössä kokeiltuna. Tässä tosin esimerkiksi \(P^\mu\) on operaattoriarvoinen distribuutio tai mitä lie, mutta pienet kuprut voi kai unohtaa