Mikä on kartta?

[QS]

Iltapäivää! Lainaan tästä sun ylläolevasta viestistäsi muutaman kohdan, niin mun ei tarvitse kirjoittaa niin paljon.

Kirjoitan pintapuolisesti miten kartta (chart) ymmärretään fysiikassa. Tähän voi liittyä matemaattisia yksityiskohtia, jotka jäävät sanomatta.

Kartalla tarkoitetaan yleensä koordinaattikarttaa, joka liittää topologisen d-moniston pisteisiin koordinaatit. Eräs tärkeä ominaisuus on se, että monisto (topologinen avaruus) on paikallisesti homeomorfinen avaruuden \(\mathbb R^d\) kanssa.
...
Valitaan moniston osajoukko \(U \subset M\). Kartta määritellään parina \((U,x)\), joka muodostuu osajoukosta \(U\) ja karttakuvauksesta \(x\). Karttakuvauksen \(x: U \to x(U)\) tehtävänä on kuvata osajoukon \(U\) pisteet \(p \in U\) karttaan \((U,x)\) siten, että \(x(U) \subseteq \mathbb R^d\), missä kuvaus \(x\) on jatkuva ja kääntyvä (homeomorfismi). Sileiden monistojen tapauksessa \(x\) voi olla myös jatkuvasti differentoituva (diffeomorfismi). Yleisesti ottaen \(x\) voi olla epälineaarinen.

Karttakuvauksen \(x\) avulla pisteet \(p \in U\) kuvataan joukoksi reaalilukuja, joita on \(d\) kappaletta. Funktio \(x(p)\) määritellään siten, että
Yritän tässä lyhyesti tulkita aloittajan viestiä ja käytän sun notaatioita hyväkseni.

Kun katselin noita 2d-pintateorian esityksiä, niin monesti käytetään sun karttakuvauksen käänteisfunktiota.


\(x(p)=\left(x^1(p), x^2(p),...,x^d(p)\right)\)

jonka voi nähdä myös \(d\)-ulotteisena vektorina. Tässä on siis \(d\) kappaletta kuvauksia \(x^i: U \to \mathbb R\). Yksittäisiä kuvauksia \(x^i\) kutsutaan nimellä koordinaattikuvaus, ja funktioita \(x^i(p)\) nimellä koordinaatti.
...

 

Kun katselin noita 2d-pintateorian esityksiä, niin monesti käytetään sun karttakuvauksen \(x\) käänteisfunktiota. Merkitään \(V=x(U)\subset \mathbb R^2\). Mä käytän nyt avaruuden \(\mathbb R^3\) koordinaatteina tuttuja \(x,y,z\) ja merkitsen pintaa S, joka on upotettu avaruuteen \(\mathbb R^3\) kuvauksella

\(X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\),

missä \((u,v)\in\mathbb R^2\) ovat pinnan \(S\) lokaaleja koordinaatteja. Kuvaus \(X\) oletetaan olevan homeomorfismi pinnalle \(S\) (tässä voi toki olla, että kuvaus \(X\) ei kata koko pintaa, mutta oletan tässä nyt niin käyvän)

Kuvauksen \(X\) oletetaan olevan säännöllinen, joka tarkoittaa että avaruuden \(\mathbb R^3\) osittaisderivoimalla muodostetut vektorit:

\(X_u(u,v)=(x_u(u,v),y_u(u,v),z_u(u,v))\)
\(X_v(u,v)=(x_v(u,v),y_v(u,v),z_v(u,v))\)

ovat lineaarisesti riippumattomia. Tämä merkitsee sitä että derivaattakuvaus \(dX_{(u,v)}\) pisteen \((u,v)\) tangenttiavaruudelta pinnan \(S\) tangenttiavaruudelle on lineaarinen bijektio. Siis aloittajan hahmottelema deteminanttiehto olisi tässä \(det(dX_{(u,v)})\neq 0\) tai oikeastaan paremminkin kuvauksen \(dX_{(u,v)}\) käänteiskuvauksen \((dX_{(u,v)})^{-1}\) determinattiehto on aloittajan mukainen, kumpikin vastaa siis vaatimusta pinnan säännöllisyydestä.

Monesti tuo säännöllisyysehto esitetään ristitulon avulla muodossa \(X_u(u,v)\times X_v(u,v)\neq 0 \).

Tämä oli nyt vähän suppea, mutta noin tuo klassinen pintateoria monesti esitetään. Nuo voidaan myös yleistää siten että tarkastellaan k-ulotteista k-pintaa \(S\) upotettuna avaruuteen \(\mathbb R^n\)

Päivää! Mielestäni ymmärsin tämän, kyllä. Ainoa mikä mietityttää on \(\det(\mathrm d X_{(u,v)})\), joka viittaa neliömatriisin determinanttiin.

Tässä esimerkissä kuvaus \(X:\mathbb R^2 \to \mathbb R^3\), ja ymmärtääkseni sen seurauksena \(\mathrm d X_{(u,v)}\) on 3x2-matriisi, jolle ei ole olemassa matriisin determinanttia. Se on kyllä selkeää, että ristitulo \(X_u(u,v)\times X_v(u,v)\neq 0 \) tarkoittaa sitä, että nuo vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat.

[Disputator]

...
Kun katselin noita 2d-pintateorian esityksiä, niin monesti käytetään sun karttakuvauksen \(x\) käänteisfunktiota. Merkitään \(V=x(U)\subset \mathbb R^2\). Mä käytän nyt avaruuden \(\mathbb R^3\) koordinaatteina tuttuja \(x,y,z\) ja merkitsen pintaa S, joka on upotettu avaruuteen \(\mathbb R^3\) kuvauksella

\(X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\),

missä \((u,v)\in\mathbb R^2\) ovat pinnan \(S\) lokaaleja koordinaatteja. Kuvaus \(X\) oletetaan olevan homeomorfismi pinnalle \(S\) (tässä voi toki olla, että kuvaus \(X\) ei kata koko pintaa, mutta oletan tässä nyt niin käyvän)

Kuvauksen \(X\) oletetaan olevan säännöllinen, joka tarkoittaa että avaruuden \(\mathbb R^3\) osittaisderivoimalla muodostetut vektorit:

\(X_u(u,v)=(x_u(u,v),y_u(u,v),z_u(u,v))\)
\(X_v(u,v)=(x_v(u,v),y_v(u,v),z_v(u,v))\)

ovat lineaarisesti riippumattomia. Tämä merkitsee sitä että derivaattakuvaus \(dX_{(u,v)}\) pisteen \((u,v)\) tangenttiavaruudelta pinnan \(S\) tangenttiavaruudelle on lineaarinen bijektio. Siis aloittajan hahmottelema deteminanttiehto olisi tässä \(det(dX_{(u,v)})\neq 0\) tai oikeastaan paremminkin kuvauksen \(dX_{(u,v)}\) käänteiskuvauksen \((dX_{(u,v)})^{-1}\) determinattiehto on aloittajan mukainen, kumpikin vastaa siis vaatimusta pinnan säännöllisyydestä.

Monesti tuo säännöllisyysehto esitetään ristitulon avulla muodossa \(X_u(u,v)\times X_v(u,v)\neq 0 \).

Tämä oli nyt vähän suppea, mutta noin tuo klassinen pintateoria monesti esitetään. Nuo voidaan myös yleistää siten että tarkastellaan k-ulotteista k-pintaa \(S\) upotettuna avaruuteen \(\mathbb R^n\)

Päivää! Mielestäni ymmärsin tämän, kyllä. Ainoa mikä mietityttää on \(\det(\mathrm d X_{(u,v)})\), joka viittaa neliömatriisin determinanttiin.

Tässä esimerkissä kuvaus \(X:\mathbb R^2 \to \mathbb R^3\), ja ymmärtääkseni sen seurauksena \(\mathrm d X_{(u,v)}\) on 3x2-matriisi, jolle ei ole olemassa matriisin determinanttia. Se on kyllä selkeää, että ristitulo \(X_u(u,v)\times X_v(u,v)\neq 0 \) tarkoittaa sitä, että nuo vektorit ovat lineaarisesti riippumattomat.

Aamupäivää! Hyvä huomio tuo ylläoleva ja se on aivan oikea huomio. Yleensä tosiaankin \(\mathrm d X_{(u,v)}\) kirjoitetaan 3x2-matriisina:

\(
\mathrm d X_{(u,v)}=
\begin{bmatrix}
x_u & x_v\\
y_u & y_v\\
z_u & z_v
\end{bmatrix}.
\)

Tuo matriisi kuvaa pisteen \((u,v)\in \mathbb R^2\) tangenttiavaruuden \(T_{(u,v)} \mathbb R^2\) pinnan S pisteen \(X(u,v)\) tangenttitasoksi \(T_{X(u,v)}S\) jos ehto \(X_u(u,v)\times X_v(u,v)\neq 0 \) on voimassa. Pinnan S tangenttitaso on tässä sama asia kuin pinnan S tangenttiavaruus pisteessä X(u,v).

Tuo mun edellisen viestin determinattiehto (jonka bongasin aloittajan viestistä) tulee siitä, että jos tarkastellaankin ensin kuvausta X silleen, että se onkin kuvaus \( X:\mathbb R^2\to S\), siis kuvaus X onkin kahden 2d-moniston \( \mathbb R^2\) ja S välinen kuvaus. Silloin derivaattakuvaus \(d X_{(u,v)}\) on kuvaus moniston tangenttiavaruuksien väliillä, siis

\(d X_{(u,v)}: T_{(u,v)} \mathbb R^2\to T_{X(u,v)}S\).

Nyt siis \(d X_{(u,v)}\) on lineaarinen kuvaus kahden 2-ulotteisen vektoriavaruuden välillä ja siten sille voidaan antaa 2x2-matriisi, kun valitaan kannat kumpaankin tangenttiavaruuteen ja siten voidaan laskea matriisin determinantti \(det(d X_{(u,v)})\) (joka on kuitenkin kannoista riippumaton)

Jos \(B=\{\partial_u, \partial_v\}\) on tangenttiavaruuden \(T_{(u,v)} \mathbb R^2\) kanta niin silloin jokainen \(V\in T_{(u,v)}\in \mathbb R^2\) voidaan kirjoittaa muodossa \(V= V^u \partial_u + V^v \partial_v \) (ei summausta u ja v suhteen) ja vektorilla \(\partial_u\) on kannassa B esitys \(\partial_u =(1,0)\) ja vastaavasti \(\partial_v=(0,1)\). Nyt voidaan laskea, kun käytetään alkuperäistä pinnan S upotusta \(X:\mathbb R^2 \to \mathbb R^3\):

\(\begin{align*}
\mathrm d X_{(u,v)}\partial_u=&
\begin{bmatrix}
x_u & x_v\\
y_u & y_v\\
z_u & z_v
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}
=X_u(u,v)\\
\mathrm d X_{(u,v)}\partial_v=&
\begin{bmatrix}
x_u & x_v\\
y_u & y_v\\
z_u & z_v
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}
=X_v(u,v)
\end{align*}

\)

Vektorit \(X_u(u,v)\) ja \(X_v(u,v)\) muodostavat pinnan S tangenttitason(avaruuden) kannan jolloin supistetun kuvauksen \( X:\mathbb R^2\to S\) derivaattakuvauksen \( \mathrm d X_{(u,v)}\) matriisi voidaan antaa nyt kun kaikki kantavektorit on annettu:

\(\mathrm d X_{(u,v)}=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 &1 \end{bmatrix}\)

Post scriptum:

Olihan tuo vähän sekavaa, perusideana se että jos on olemassa lineaarikuvaus \(A:\mathbb R^2 \to \mathbb R^3\) joka on injektio, niin silloin on olemassa lineaarinen isomorfismi\( \hat{A}:\mathbb R^2\to A(\mathbb R^2)\), missä siis \(A(\mathbb R^2)\) merkitsee vektoriavaruuden \(\mathbb R^2 \) kuvajoukkoa kuvauksessa A. Tai sitten lineaarialgebran merkinnöin \(\hat{A}: \mathbb R^2\to Im(A)\).

Vastaava toimii kun on lineaarinen injektio \(A:\mathbb R^n \to \mathbb R^{n+k}\), jolla on\( (n+k)\times(n)\)-matriisi. Kuvauksella \(\hat{A}\) on silloin kääntyvä \(n \times n\)-matriisi