Tähän voi kirjoitella kaikkea otsikkoon liittyvää, mutta minulla oli inspiraationa ketjun avaamiseen tietty erikoistapaus, jonka bongasin netistä.
Differentiaaligeometriassa käytetään tangenttiavaruuden vektoreina derivaattaoperaattoreita, jotka operoivat moniston M tietyn pisteen p ympäristössä määriteltyihin funktioihin. Oletetaan seuraavassa, että M on \(\mathbb R^2\) ja valitaan \(p=(x,y)\). Oltetetaan että on annettu staattinen lämpötilajakauma \(T = T(x,y)\), joka on annetu kelvineinä K, siis T:n yksikkö [T] = K.
Nyt sitten osittaisderivaatat \(\frac{\partial T}{\partial x}\) ja\( \frac{\partial T}{\partial y}\) mittaavat lämpötilan muutosta x- ja y-akselin suunnassa x- ja y-akselin yksikkönä käytetään metriä m. Yksiköt kummallekkin ovat:
\([\frac{\partial T}{\partial x}]=[\frac{\partial T}{\partial x}] =K/m \)
Koska pisteen p tangenttiavaruuden tangenttivektorit:
\(\begin{align*}
X=\partial_x &= \frac{\partial}{\partial x}\\
Y=\partial_y &= \frac{\partial}{\partial y}
\end{align*}\)
ovat derivaattaoperaattoreita saadaan ylläolevat kaavat operoimalla operaattoreilla X ja Y lämpötilajakaumaan T(x,y). Operaattorilla operointi tuottaa siis yksiköihin metrillä m jakamisen, kuten derivoimisessa pitääkin tapahtua.
Siirrytään napakoordinaatteihin \((r,\phi) \), jolloin tangenttiavaruuden kantavektoreina on vektorit:
\(\begin{align*}
R=\partial_r &= \frac{\partial}{\partial r}\\
\Phi=\partial_{\phi} &= \frac{\partial}{\partial \phi}
\end{align*}\)
ja lämpötilajakauma on annettu \(T =T(r,\phi)\). Nyt osittaisderivaatoilla \(\frac{\partial T}{\partial r}\) ja \(\frac{\partial T}{\partial \phi}\) on eri fysikaaliset yksiköt:
\(\begin{align*}
\left [\frac{\partial T}{\partial r} \right]&=K/m\\
\left [\frac{\partial T}{\partial \phi} \right]&=K/rad = K
\end{align*}\)
Tuossa siis on merkitty selvyyden vuoksi kulman yksikköä rad eli radiaanilla. Se ei kuitenkaan ole oikea yksikkö, koska kulma on dimensioton suure.
Okei, tuossa ei ole ollut tähän mennessä mitään ongelmallista, mutta ongelmia syntyy, kun muistetaan että tangettiavaruus on vektoriavaruus eli voidaan esimerkiksi laskea vektoreita yhteen. Lasketaan siis vektorisumma \(R+\Phi \) ja operoidaan sillä lämpötilajakaumaan \(T(r,\phi)\). Tulokseksi saadaan:
\((R+\Phi)T(r,\phi)= \frac{\partial T}{\partial r}+\frac{\partial T}{\partial \phi}\)
Tuo näyttää ihan hyvältä mutta siinä on eri fysikaaliset dimensiot ensimmäisellä = K/m ja toisella termillä = K, siis ongelma on sama kuin vaikka nopeuden v ja kiihtyvyyden a yhteenlasku \(v+a\).
Jotain tuossa menee pieleen, mutta mitä? Sieltä mistä tämän bongasin, ei löytynyt mitään selitystä tälle tai sitten en ymmärtänyt asiaa, mikä toki on mahdollista.
Sama tulee vastaan eräänlaisen "nopeusvektorin" määrittelyssä napakoordinaatistossa:
\(v= \dot{r}\partial_r + \dot{\phi} \partial_{\phi}\).
Tämä ei ole sama kuin yleensä annettu napakoordinaatiston kaava nopeudelle, vaan paremminkin yleinen parametristä t riippuvan käyrän tangenttivektorin kaava. tuollaisen "nopeuden" dimensio on \([v] = 1/t\)
Tämä oli hyvä kysymys, ja saman tyyppisten kanssa itsekin olen joskus näpertänyt. Tuo kirjoittamasi operaattori
\((R+\Phi)T(r,\phi)= \frac{\partial T}{\partial r}+\frac{\partial T}{\partial \phi}\)
on matematiikaltaan täysin kelvollinen, mutta fysikaalisesti epäkelpo, kuten dimensioanalyysillä osoititkin.
Kysymys ratkeaa, kun mietitään, mikä tuo operaattori itse asiassa on. Onko se taivaan lahja (eli siis matematiikan laitoksen lahja) maan päälle, vai onko sen muodostamiseen ollut fysikaalinen tarve. Jälkimmäinen tarkoittaa sitä, että joku fyysikonretku tutkii teoreettisesti tai kokeellisesti lämpötilajakaumaa napakoordinaateilla. Jos näin on, niin hän saattaa päätyä eri operaattoriin.
Voisi sanoa, että klassinen fysiikka on harrastus, joka keskittyy liikerata-käyrien derivointiin ja integrointiin, ja juuri muuta ei tehdäkään
. Esimerkiksi auton nopeusmittari derivoi liikeratakäyrää ajan suhteen, kiihtyvyysmittari samoin, ja matkamittari integroi samaista käyrää. Harrastus perustuu liikeradan esitykseen sopivassa koordinaatistossa siten, että liikeradan käyräparametri on aika, ja loput on derivointia ja integrointia. Hiukan kehittyneempi tekeminen toki konfiguraatio- ja faasiavaruudessa, mutta pohjimmiltaan sama perusta.
Tässä tapauksessa voidaan ajatella, että fyysikonretku seuraa moniston M käyrää \(\gamma\) siten, että hänellä on mittari, joka mittaa funktion \(T \in C^\infty(M)\) ominaisuuksia. Käyrän \(\gamma\) parametri on aika \(t\), ja käyrä määritellään
\(\gamma: t \mapsto \left(r(t),\phi(t)\right) \in \mathbb{R}^2\)
missä jätän karttakuvauksen ja koordinaattifunktiot pois, vaikka ovat oleellisia, jos asian haluaa käsitellä täsmällisesti. Tuo käyräparametri \(t\) on kaiken lähtökohtana tärkeä myös siksi, että periaate säilyy samana, kun fyysikko on relativistinen. Silloin parametri olisi ominaisaika \(\tau\).
Karttakuvauksen määrittely olisi tässä tärkeää siksi, että koordinaattikanta \(\{\partial_r, \partial_\phi\}\) indusoi käyrän \(\gamma\) tangenttiavaruuden kannan. Fysiikassa on luonnollista määritellä \(\gamma\):n tangenttivektori nopeusvektorina, jonka koordinaattiesitys on
\(\require{physics} \displaystyle \dot \gamma(t) = \dv{r}{t}\partial_r + \dv{\phi}{t}\partial_\phi = \dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\)
Tässä tangenttiavaruuden kanta on \(\{\partial_r, \partial_\phi\}\), ja tangenttivektorin komponentit ovat \((\dot r,\dot \phi)\). Tämä on juurikin sun viestin lopussa mainittu nopeusvektori \(v\).
Komponenttien dimensiot ovat \(\left[\dv{r}{t}\right]=\text{L/T}\) ja \(\left[\dv{\phi}{t}\right]=\text{1/T}\). Kantavektorien dimensiot ovat \(\left[\partial_r\right]=\text{1/L}\) ja \(\left[\partial_\phi\right]=\text 1\). Koko nopeusvektorin dimensio on siis \(\left[\dot \gamma(t)\right]=\text{1/T}\). Tämä tarkoittaa sitä, että derivaattaoperaattori (jota fyysikko pitää kädessään) on kytketty kellolaitteeseen, ja operaattori kohdistetaan lämpötilaan siten, että
\(\dot \gamma(T)= \left(\dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\right)\ T(r,\phi)\)
Näin saadaan lämpötilan \(T(r,\phi)\) muutosnopeus, jonka dimensio on \(\Theta/\text T\), missä \(\Theta\) on lämpötilan dimensio. SI-yksiköissä tämä on K/s. Aikaderivoinnin näkee siitäkin, että mittaus voidaan kirjoittaa myös
\(\dot \gamma(T)= \dv t\ T(\gamma(t))\)
mistä saadaan tuo edellinen lauseke ihan derivoinnin ketjusäännöllä. Jos fyysikonretku haluaa lämpötilan muutoksen per pituusyksikkö, niin tarvitaan suunnatun derivaatan operaattori. Tuo on tietysti täysin mahdollista, ja sillon napakoordinaattien metriikan seurauksena dimensiot asettuvat oikein \(\Theta/\text L\). Nyt en tätä jaksanut vielä työstää, mutta sen voisi tehdä. Oli aluksi vain yleistä, ja erityisesti ajalla paremetrisoidun käyrän hehkuttamista.
==
Edit: T-kirjaimien muotoilu
\((R+\Phi)T(r,\phi)= \frac{\partial T}{\partial r}+\frac{\partial T}{\partial \phi}\)
on matematiikaltaan täysin kelvollinen, mutta fysikaalisesti epäkelpo, kuten dimensioanalyysillä osoititkin.
Kysymys ratkeaa, kun mietitään, mikä tuo operaattori itse asiassa on. Onko se taivaan lahja (eli siis matematiikan laitoksen lahja) maan päälle, vai onko sen muodostamiseen ollut fysikaalinen tarve. Jälkimmäinen tarkoittaa sitä, että joku fyysikonretku tutkii teoreettisesti tai kokeellisesti lämpötilajakaumaa napakoordinaateilla. Jos näin on, niin hän saattaa päätyä eri operaattoriin.
Voisi sanoa, että klassinen fysiikka on harrastus, joka keskittyy liikerata-käyrien derivointiin ja integrointiin, ja juuri muuta ei tehdäkään
. Esimerkiksi auton nopeusmittari derivoi liikeratakäyrää ajan suhteen, kiihtyvyysmittari samoin, ja matkamittari integroi samaista käyrää. Harrastus perustuu liikeradan esitykseen sopivassa koordinaatistossa siten, että liikeradan käyräparametri on aika, ja loput on derivointia ja integrointia. Hiukan kehittyneempi tekeminen toki konfiguraatio- ja faasiavaruudessa, mutta pohjimmiltaan sama perusta.Tässä tapauksessa voidaan ajatella, että fyysikonretku seuraa moniston M käyrää \(\gamma\) siten, että hänellä on mittari, joka mittaa funktion \(T \in C^\infty(M)\) ominaisuuksia. Käyrän \(\gamma\) parametri on aika \(t\), ja käyrä määritellään
\(\gamma: t \mapsto \left(r(t),\phi(t)\right) \in \mathbb{R}^2\)
missä jätän karttakuvauksen ja koordinaattifunktiot pois, vaikka ovat oleellisia, jos asian haluaa käsitellä täsmällisesti. Tuo käyräparametri \(t\) on kaiken lähtökohtana tärkeä myös siksi, että periaate säilyy samana, kun fyysikko on relativistinen. Silloin parametri olisi ominaisaika \(\tau\).
Karttakuvauksen määrittely olisi tässä tärkeää siksi, että koordinaattikanta \(\{\partial_r, \partial_\phi\}\) indusoi käyrän \(\gamma\) tangenttiavaruuden kannan. Fysiikassa on luonnollista määritellä \(\gamma\):n tangenttivektori nopeusvektorina, jonka koordinaattiesitys on
\(\require{physics} \displaystyle \dot \gamma(t) = \dv{r}{t}\partial_r + \dv{\phi}{t}\partial_\phi = \dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\)
Tässä tangenttiavaruuden kanta on \(\{\partial_r, \partial_\phi\}\), ja tangenttivektorin komponentit ovat \((\dot r,\dot \phi)\). Tämä on juurikin sun viestin lopussa mainittu nopeusvektori \(v\).
Komponenttien dimensiot ovat \(\left[\dv{r}{t}\right]=\text{L/T}\) ja \(\left[\dv{\phi}{t}\right]=\text{1/T}\). Kantavektorien dimensiot ovat \(\left[\partial_r\right]=\text{1/L}\) ja \(\left[\partial_\phi\right]=\text 1\). Koko nopeusvektorin dimensio on siis \(\left[\dot \gamma(t)\right]=\text{1/T}\). Tämä tarkoittaa sitä, että derivaattaoperaattori (jota fyysikko pitää kädessään) on kytketty kellolaitteeseen, ja operaattori kohdistetaan lämpötilaan siten, että
\(\dot \gamma(T)= \left(\dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\right)\ T(r,\phi)\)
Näin saadaan lämpötilan \(T(r,\phi)\) muutosnopeus, jonka dimensio on \(\Theta/\text T\), missä \(\Theta\) on lämpötilan dimensio. SI-yksiköissä tämä on K/s. Aikaderivoinnin näkee siitäkin, että mittaus voidaan kirjoittaa myös
\(\dot \gamma(T)= \dv t\ T(\gamma(t))\)
mistä saadaan tuo edellinen lauseke ihan derivoinnin ketjusäännöllä. Jos fyysikonretku haluaa lämpötilan muutoksen per pituusyksikkö, niin tarvitaan suunnatun derivaatan operaattori. Tuo on tietysti täysin mahdollista, ja sillon napakoordinaattien metriikan seurauksena dimensiot asettuvat oikein \(\Theta/\text L\). Nyt en tätä jaksanut vielä työstää, mutta sen voisi tehdä. Oli aluksi vain yleistä, ja erityisesti ajalla paremetrisoidun käyrän hehkuttamista.
==
Edit: T-kirjaimien muotoilu
Yes, oli oikein hyvin selitetty. Lainaan kirjoituksestasi vain osan, koska kommentoin ihan lyhyesti vaan, myöhemmin sitten enemmän.
Kirjassa tuo käyrä \(\gamma\) on kuvaus meidän keissiin sovitettuna \(\gamma: \mathbb R^1\to \mathbb R^2\) ja parametriavaruudessa \(\mathbb R\) on pisteen t tangenttiavaruuden \(T_t \mathbb R\) eräs kantavektori \(\frac{d}{d t}\) ja sen push-forward kuvauksessa \(\gamma \) on juurikin tuo antamasi:
\(\gamma_{*}(\frac{d}{d t}) =\dot{\gamma}=\dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\)
Tuosta sitten voi päätellä sen, että push-forward-kuvaus ei muuta fysikaalista dimensiota.
edit: väärä yksikkö korj.
Ihmettelin aikaisemmin juuri tuota tangenttivektorin dimensiota 1/T ja kirjoituksesi teki asian hyvin ymmärrettäväksi ja luonnolliseksi suorastaan. Tuosta sitten muistuikin mieleen jotain tuttua ja katsoin sitten kirjastani mitä siellä sanotaan.QS kirjoitti: ↑7.9.2025, 18:20 ...
\(\gamma: t \mapsto \left(r(t),\phi(t)\right) \in \mathbb{R}^2\)
missä jätän karttakuvauksen ja koordinaattifunktiot pois, vaikka ovat oleellisia, jos asian haluaa käsitellä täsmällisesti. Tuo käyräparametri \(t\) on kaiken lähtökohtana tärkeä myös siksi, että periaate säilyy samana, kun fyysikko on relativistinen. Silloin parametri olisi ominaisaika \(\tau\).
Karttakuvauksen määrittely olisi tässä tärkeää siksi, että koordinaattikanta \(\{\partial_r, \partial_\phi\}\) indusoi käyrän \(\gamma\) tangenttiavaruuden kannan. Fysiikassa on luonnollista määritellä \(\gamma\):n tangenttivektori nopeusvektorina, jonka koordinaattiesitys on
\(\require{physics} \displaystyle \dot \gamma(t) = \dv{r}{t}\partial_r + \dv{\phi}{t}\partial_\phi = \dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\)
Tässä tangenttiavaruuden kanta on \(\{\partial_r, \partial_\phi\}\), ja tangenttivektorin komponentit ovat \((\dot r,\dot \phi)\). Tämä on juurikin sun viestin lopussa mainittu nopeusvektori \(v\).
Komponenttien dimensiot ovat \(\left[\dv{r}{t}\right]=L/T\) ja \(\left[\dv{\phi}{t}\right]=1/T\). Kantavektorien dimensiot ovat \(\left[\partial_r\right]=1/L\) ja \(\left[\partial_\phi\right]=1\). Koko nopeusvektorin dimensio on siis \(\left[\dot \gamma(t)\right]=1/T\). Tämä tarkoittaa sitä, että derivaattaoperaattori (jota fyysikko pitää kädessään) on kytketty kellolaitteeseen, ja operaattori kohdistetaan lämpötilaan siten, että
\(\dot \gamma(T)= \left(\dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\right)\ T(r,\phi)\)
Näin saadaan lämpötilan \(T(r,\phi)\) muutosnopeus, jonka dimensio on \(\Theta/T\), missä \(\Theta\) on lämpötilan dimensio. SI-yksiköissä tämä on K/s. Aikaderivoinnin näkee siitäkin, että mittaus voidaan kirjoittaa myös
\(\dot \gamma(T)= \dv t\ T(\gamma(t))\)
mistä saadaan tuo edellinen lauseke ihan derivoinnin ketjusäännöllä.
...
Kirjassa tuo käyrä \(\gamma\) on kuvaus meidän keissiin sovitettuna \(\gamma: \mathbb R^1\to \mathbb R^2\) ja parametriavaruudessa \(\mathbb R\) on pisteen t tangenttiavaruuden \(T_t \mathbb R\) eräs kantavektori \(\frac{d}{d t}\) ja sen push-forward kuvauksessa \(\gamma \) on juurikin tuo antamasi:
\(\gamma_{*}(\frac{d}{d t}) =\dot{\gamma}=\dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\)
Tuosta sitten voi päätellä sen, että push-forward-kuvaus ei muuta fysikaalista dimensiota.
edit: väärä yksikkö korj.
SI Resurrection!
Totta, en tuota edellä edes ajatellut. Nyt kun push-forwardin toit esille, niin tavallaan asia on kai looginen. KäyräDisputator kirjoitti: ↑7.9.2025, 19:03 Kirjassa tuo käyrä \(\gamma\) on kuvaus meidän keissiin sovitettuna \(\gamma: \mathbb R^1\to \mathbb R^2\) ja parametriavaruudessa \(\mathbb R\) on pisteen t tangenttiavaruuden \(T_t \mathbb R\) eräs kantavektori \(\frac{d}{d t}\) ja sen push-forward kuvauksessa \(\gamma \) on juurikin tuo antamasi:
\(\gamma_{*}(\frac{d}{d t}) =\dot{\gamma}=\dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\)
Tuosta sitten voi päätellä sen, että push-forward-kuvaus ei muuta fysikaalista dimensiota.
\(\gamma: \mathbb R \to M\)
on kuvaus parameteriavaruudesta \(\mathbb R\) monistolle \(M\). Push-forward voidaan nähdä sileän kuvauksen differentiaalina, joka on lineaarinen kuvaus
\(\text d \gamma_t: T_t \mathbb R \to T_{\gamma(t)} M\)
Tässä tangenttiavaruuden \(T_t \mathbb R\) vektori pisteessä \(t\) kuvataan tangenttiavaruuden \(T_{\gamma(t)} M\) vektoriksi pisteessä \( \gamma(t)\). Kun parametriavaruuden tangenttivektoriksi valitaan \(\require{physics} \dv t \in T_t \mathbb R\), niin \(\text d \gamma_t\) työntää sen moniston \(M\) tangenttivektoriksi \(\dot \gamma(t) \in T_{\gamma(t)} M\), jonka voi kirjoittaa
\(\gamma_{*}(\dv t) = \text d \gamma_t (\dv t) = \dot{\gamma} \in T_{\gamma(t)} M\)
mikä on käytännössä käyrän \(\gamma\) aikaderivaatta pisteessä t, ja sen fysikaalinen dimensio ei ole muuttunut, vaikka vektori on 'työnnetty' monistoon \(M\), ja sen pisteen \(\gamma(t) \in M\) kohdalla olevaan tangenttiavaruuteen.
No, en nyt tiedä toistinko vain hauki on kala, mutta ainakin noita erilaisia notaatioita. Tuo koordinaatti-kanta edelleen vähän kismittää, joten teen siitä yhteenvedon joku päivä. En koskaan muista ulkoa miten kanta siirtyy tangenttiavaruuteen. Mulla on yksi lähde, joka käsittelee asian niin perusteellisesti, että mikään ei jää arvailujen varaan.
Hahmottelin toista mahdollista derivaattaoperaattoria, joka antaa lämpötilan muutoksen per pituusyksikkö.
Lämpötila oli sileä kuvaus \(T: M \to \mathbb R\), joka on koordinaattiesityksenä funktio \(T(r,\phi)\), ja sen dimensio on \([T]=\Theta\). Käyrän \(\gamma\) tangenttiavaruuden \(T_{\gamma(t)} M\) nopeusvektori oli koordinaattiesityksenä \(\require{physics} \displaystyle \dot \gamma(t) = \dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\). Tuon dimensio on \(\left[\dot \gamma(t)\right]=\text{1/T}\). Seuraavaksi tarvitaan käyrän vauhti
\(\lVert \dot \gamma(t) \rVert = \sqrt{g(\dot \gamma, \dot \gamma)}\)
missä \(g\) on metriikka. Napakoordinaatiston metriikkaa on \(g_{ij}=\text{diag}(1,r^2)\), jota käyttämällä saadaan vauhdin koordinaattiesitys (\(\dot x^1 = \dot r\) ja \(\dot x^2 = \dot \phi\))
\(\lVert\dot\gamma(t)\rVert = \sqrt{g_{ij}\dot x^i\dot x^j} = \sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\phi^2}\)
Tässä dimensiot ovat \(\left[\dot r\right]=\text{L/T}\), \(\left[\dot\phi\right]=\text{1/T}\) ja \(\left[r\right]=\text L\), joista saadaan vauhdin dimensio \(\left[\ \lVert\dot\gamma\rVert\ \right]=\text{L/T}\). Määritellään nyt tangenttiavaruuteen \(T_{\gamma(t)} M\) yksikkötangenttivektori
\(\displaystyle \hat \gamma(t) = \frac{\dot \gamma(t)}{\lVert\dot\gamma(t)\rVert}\)
Tämän normi on määrittelyn seurauksena \(\lVert\hat\gamma(t)\rVert = g(\hat \gamma, \hat \gamma) = 1\), ja dimensio on \([\hat \gamma]=[\dot\gamma]/\left[\ \lVert\dot\gamma\rVert\ \right] =\text{(1/T)/(L/T)}=\text{1/L}\). Tuo \(\hat \gamma\) on koordinaattiesityksenä vektori, jonka komponentit ja kanta ovat
\(\displaystyle \hat \gamma = \frac{\dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi}{\lVert\dot\gamma(t)\rVert} = \frac{\dot r}{\sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\phi^2}}\partial_r + \frac{\dot \phi}{\sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\phi^2}}\partial_\phi\)
Ensimmäisen komponentin dimensio on \(\text{(L/T)/(L/T)} = \text 1\) ja jälkimmäisen \(\text{(1/T)/(L/T)} = \text{1/L}\). Koordinaattikannan dimensiot olivat \(\left[\partial_r\right]=\text{1/L}\) ja \(\left[\partial_\phi\right]=\text 1\), joten koko operaattorin dimensio on \(\left[\hat \gamma\right]=\text{1/L}\). Kun \(\hat \gamma\) kohdistetaan lämpötilaan \(T(r,\phi)\), niin saadun suureen dimensio on \(\left[\hat \gamma(T)\right]=\Theta/\text L\).
SI-yksiköissä saadaan K/m, ja se on lämpötilan suunnattu derivaatta yksikkötangenttivektorin \(\hat \gamma\) suuntaan. Mittaukseen tämä on ihan kelpo vekotin, sillä se huomioi havaitsijan vauhdin, ja antaa siis oikean arvon riippumatta havaitsijan nopeudesta käyrällä.
Hmm. Silti en ole täysin tyytyväinen tähän rakennelmaani, sillä tästä puuttuu edelleen moniston tangenttiavaruuden ja koordinaattiesityksen täsmällinen yhteys. Mutta suuntaviivat näin, ja dimensiot ovat oikein.
Lämpötila oli sileä kuvaus \(T: M \to \mathbb R\), joka on koordinaattiesityksenä funktio \(T(r,\phi)\), ja sen dimensio on \([T]=\Theta\). Käyrän \(\gamma\) tangenttiavaruuden \(T_{\gamma(t)} M\) nopeusvektori oli koordinaattiesityksenä \(\require{physics} \displaystyle \dot \gamma(t) = \dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\). Tuon dimensio on \(\left[\dot \gamma(t)\right]=\text{1/T}\). Seuraavaksi tarvitaan käyrän vauhti
\(\lVert \dot \gamma(t) \rVert = \sqrt{g(\dot \gamma, \dot \gamma)}\)
missä \(g\) on metriikka. Napakoordinaatiston metriikkaa on \(g_{ij}=\text{diag}(1,r^2)\), jota käyttämällä saadaan vauhdin koordinaattiesitys (\(\dot x^1 = \dot r\) ja \(\dot x^2 = \dot \phi\))
\(\lVert\dot\gamma(t)\rVert = \sqrt{g_{ij}\dot x^i\dot x^j} = \sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\phi^2}\)
Tässä dimensiot ovat \(\left[\dot r\right]=\text{L/T}\), \(\left[\dot\phi\right]=\text{1/T}\) ja \(\left[r\right]=\text L\), joista saadaan vauhdin dimensio \(\left[\ \lVert\dot\gamma\rVert\ \right]=\text{L/T}\). Määritellään nyt tangenttiavaruuteen \(T_{\gamma(t)} M\) yksikkötangenttivektori
\(\displaystyle \hat \gamma(t) = \frac{\dot \gamma(t)}{\lVert\dot\gamma(t)\rVert}\)
Tämän normi on määrittelyn seurauksena \(\lVert\hat\gamma(t)\rVert = g(\hat \gamma, \hat \gamma) = 1\), ja dimensio on \([\hat \gamma]=[\dot\gamma]/\left[\ \lVert\dot\gamma\rVert\ \right] =\text{(1/T)/(L/T)}=\text{1/L}\). Tuo \(\hat \gamma\) on koordinaattiesityksenä vektori, jonka komponentit ja kanta ovat
\(\displaystyle \hat \gamma = \frac{\dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi}{\lVert\dot\gamma(t)\rVert} = \frac{\dot r}{\sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\phi^2}}\partial_r + \frac{\dot \phi}{\sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\phi^2}}\partial_\phi\)
Ensimmäisen komponentin dimensio on \(\text{(L/T)/(L/T)} = \text 1\) ja jälkimmäisen \(\text{(1/T)/(L/T)} = \text{1/L}\). Koordinaattikannan dimensiot olivat \(\left[\partial_r\right]=\text{1/L}\) ja \(\left[\partial_\phi\right]=\text 1\), joten koko operaattorin dimensio on \(\left[\hat \gamma\right]=\text{1/L}\). Kun \(\hat \gamma\) kohdistetaan lämpötilaan \(T(r,\phi)\), niin saadun suureen dimensio on \(\left[\hat \gamma(T)\right]=\Theta/\text L\).
SI-yksiköissä saadaan K/m, ja se on lämpötilan suunnattu derivaatta yksikkötangenttivektorin \(\hat \gamma\) suuntaan. Mittaukseen tämä on ihan kelpo vekotin, sillä se huomioi havaitsijan vauhdin, ja antaa siis oikean arvon riippumatta havaitsijan nopeudesta käyrällä.
Hmm. Silti en ole täysin tyytyväinen tähän rakennelmaani, sillä tästä puuttuu edelleen moniston tangenttiavaruuden ja koordinaattiesityksen täsmällinen yhteys. Mutta suuntaviivat näin, ja dimensiot ovat oikein.
Iltaa!
\(ds^2=g_{rr}dr^2 + g_{\phi\phi}d\phi^2= dr^2+r^2d\phi^2\),
ja koska elementin ds dimensiot ovat\( [ds]=\text{L}\), saan \([g_{rr}]=1\) ja \([g_{\phi\phi}]=\text{L}^2 \). Nyt metrisen tensorin määritelmän perusteella \(<\partial_r,\partial_r>=g_{rr}=1\) ja siten kai vektorin \(\partial_r\) dimensiolle saadaan \([\partial_r]=1\). Vastaavasti \(<\partial_{\phi},\partial_{\phi}>=g_{\phi\phi}=r^2\), josta saadaan vektorin \(\partial_{\phi}\) dimensiolle \([\partial_{\phi}]=\text{L}\).
Siis:
-Ilman metriikkaa, \( [\partial_r]=\text{1/L}\) ja \([\partial_{\phi}]=\text{1}\)
-metriikan kanssa, \([\partial_r]=1\) ja \([\partial_{\phi}]=\text{L}\)
Nyt sitten nopeusvektorille \( \dot \gamma(t) = \dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\) dimensiot olisivat \([ \dot \gamma(t)]= \text{L/T}\). Tuolle nopeusvektorille saadaan tutumpi esitys normittamalla kantavektorit. Voin käyttää normitettuja kantavektoreita (jotka ovat nyt dimensiottomia):
\(E_r =\frac{\partial_r}{\|\partial_r\|}\)
\(E_{\phi} =\frac{\partial_{\phi}}{\|\partial_{\phi}\|}\)
ja saan nopeusvektorille:
\( \dot \gamma(t) = \dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi=\dot r E_r + r \dot \phi E_{\phi}\)
Lisäksi voin laskea yhteen kantavektorit \(E_r\) ja \(E_{\phi}\) siis \( E_r+E_{\phi}\) on ihan kelpo derivaattaoperaattori ja yksiköt ovat OK. Tosin en kyllä tiedä onko mitään järkeä laskea tuollaisella mitään.
Ihan eri tarkastelu, jota vähän kokeilin on tulkita esimerkiksi dr 1-muodoksi, jolla dimensio \([dr]=\text{L}\) ja silloin on sopivaa käyttää dimensiota \([\partial_r]=\text{1/L}\), jollon \(dr(\partial_r) = 1\) on dimensioton. Tällöin \(g_{rr}\) dimensiot oltava \(\text{L}^2\). En tiedä johtaako tämä mihinkään järkevään. Ainakin johonkin kovarianttien ja kontravarianttien vektorien (tensoreiden) fysikaalisten dimensioiden eroihin.
Heh, mitähän tästäkin nyt seuraa, rotko kadotukseen häämöttää mulla silmien edessä..
Tämä operaattorin dimensio on mielestäni oikein laskettu. Kuitenkin jotenkin mulla on sellainen "intuitio" että vektori \(V\) ja sen pituuden \(\|V\|\) avulla laskettu yksikkövektori on dimensioton? Varmaan tuo Riemannin geometrian käyttö nyt sotkee jotenkin.QS kirjoitti: ↑8.9.2025, 19:33 Hahmottelin toista mahdollista derivaattaoperaattoria, joka antaa lämpötilan muutoksen per pituusyksikkö.
Lämpötila oli sileä kuvaus \(T: M \to \mathbb R\), joka on koordinaattiesityksenä funktio \(T(r,\phi)\), ja sen dimensio on \([T]=\Theta\). Käyrän \(\gamma\) tangenttiavaruuden \(T_{\gamma(t)} M\) nopeusvektori oli koordinaattiesityksenä \(\require{physics} \displaystyle \dot \gamma(t) = \dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\). Tuon dimensio on \(\left[\dot \gamma(t)\right]=\text{1/T}\). Seuraavaksi tarvitaan käyrän vauhti
\(\lVert \dot \gamma(t) \rVert = \sqrt{g(\dot \gamma, \dot \gamma)}\)
missä \(g\) on metriikka. Napakoordinaatiston metriikkaa on \(g_{ij}=\text{diag}(1,r^2)\), jota käyttämällä saadaan vauhdin koordinaattiesitys (\(\dot x^1 = \dot r\) ja \(\dot x^2 = \dot \phi\))
\(\lVert\dot\gamma(t)\rVert = \sqrt{g_{ij}\dot x^i\dot x^j} = \sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\phi^2}\)
Tässä dimensiot ovat \(\left[\dot r\right]=\text{L/T}\), \(\left[\dot\phi\right]=\text{1/T}\) ja \(\left[r\right]=\text L\), joista saadaan vauhdin dimensio \(\left[\ \lVert\dot\gamma\rVert\ \right]=\text{L/T}\). Määritellään nyt tangenttiavaruuteen \(T_{\gamma(t)} M\) yksikkötangenttivektori
\(\displaystyle \hat \gamma(t) = \frac{\dot \gamma(t)}{\lVert\dot\gamma(t)\rVert}\)
Tämän normi on määrittelyn seurauksena \(\lVert\hat\gamma(t)\rVert = g(\hat \gamma, \hat \gamma) = 1\), ja dimensio on \([\hat \gamma]=[\dot\gamma]/\left[\ \lVert\dot\gamma\rVert\ \right] =\text{(1/T)/(L/T)}=\text{1/L}\). Tuo \(\hat \gamma\) on koordinaattiesityksenä vektori, jonka komponentit ja kanta ovat
\(\displaystyle \hat \gamma = \frac{\dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi}{\lVert\dot\gamma(t)\rVert} = \frac{\dot r}{\sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\phi^2}}\partial_r + \frac{\dot \phi}{\sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\phi^2}}\partial_\phi\)
Ensimmäisen komponentin dimensio on \(\text{(L/T)/(L/T)} = \text 1\) ja jälkimmäisen \(\text{(1/T)/(L/T)} = \text{1/L}\). Koordinaattikannan dimensiot olivat \(\left[\partial_r\right]=\text{1/L}\) ja \(\left[\partial_\phi\right]=\text 1\), joten koko operaattorin dimensio on \(\left[\hat \gamma\right]=\text{1/L}\).
Joo, tuo sun kehitelmä on ihan toimiva, paitsi tuo yksikkövektori hämää. Nyt kun tuli tuo Riemannin geometria mukaan otan vähän takapakkia. Aluksi, ilman metriikkaa g oli kantavektorit \(\partial_r\) ja \( \partial_{\phi}\). Niiden tulkinta derivaattaoperaattorina antaa dimensiot \([\partial_r]=\text{1/L}\) ja \([\partial_{\phi}]=\text{1}\). Metrisen tensorin avulla laskettuna noille kantavektoreille näyttäisi tulevan kuitenkin eri dimensiot, sillä jos kirjoitan klassiseen tapaan napakoordinaatistolle:QS kirjoitti:
Kun \(\hat \gamma\) kohdistetaan lämpötilaan \(T(r,\phi)\), niin saadun suureen dimensio on \(\left[\hat \gamma(T)\right]=\Theta/\text L\).
SI-yksiköissä saadaan K/m, ja se on lämpötilan suunnattu derivaatta yksikkötangenttivektorin \(\hat \gamma\) suuntaan. Mittaukseen tämä on ihan kelpo vekotin, sillä se huomioi havaitsijan vauhdin, ja antaa siis oikean arvon riippumatta havaitsijan nopeudesta käyrällä.
Hmm. Silti en ole täysin tyytyväinen tähän rakennelmaani, sillä tästä puuttuu edelleen moniston tangenttiavaruuden ja koordinaattiesityksen täsmällinen yhteys. Mutta suuntaviivat näin, ja dimensiot ovat oikein.
\(ds^2=g_{rr}dr^2 + g_{\phi\phi}d\phi^2= dr^2+r^2d\phi^2\),
ja koska elementin ds dimensiot ovat\( [ds]=\text{L}\), saan \([g_{rr}]=1\) ja \([g_{\phi\phi}]=\text{L}^2 \). Nyt metrisen tensorin määritelmän perusteella \(<\partial_r,\partial_r>=g_{rr}=1\) ja siten kai vektorin \(\partial_r\) dimensiolle saadaan \([\partial_r]=1\). Vastaavasti \(<\partial_{\phi},\partial_{\phi}>=g_{\phi\phi}=r^2\), josta saadaan vektorin \(\partial_{\phi}\) dimensiolle \([\partial_{\phi}]=\text{L}\).
Siis:
-Ilman metriikkaa, \( [\partial_r]=\text{1/L}\) ja \([\partial_{\phi}]=\text{1}\)
-metriikan kanssa, \([\partial_r]=1\) ja \([\partial_{\phi}]=\text{L}\)
Nyt sitten nopeusvektorille \( \dot \gamma(t) = \dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\) dimensiot olisivat \([ \dot \gamma(t)]= \text{L/T}\). Tuolle nopeusvektorille saadaan tutumpi esitys normittamalla kantavektorit. Voin käyttää normitettuja kantavektoreita (jotka ovat nyt dimensiottomia):
\(E_r =\frac{\partial_r}{\|\partial_r\|}\)
\(E_{\phi} =\frac{\partial_{\phi}}{\|\partial_{\phi}\|}\)
ja saan nopeusvektorille:
\( \dot \gamma(t) = \dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi=\dot r E_r + r \dot \phi E_{\phi}\)
Lisäksi voin laskea yhteen kantavektorit \(E_r\) ja \(E_{\phi}\) siis \( E_r+E_{\phi}\) on ihan kelpo derivaattaoperaattori ja yksiköt ovat OK. Tosin en kyllä tiedä onko mitään järkeä laskea tuollaisella mitään.
Ihan eri tarkastelu, jota vähän kokeilin on tulkita esimerkiksi dr 1-muodoksi, jolla dimensio \([dr]=\text{L}\) ja silloin on sopivaa käyttää dimensiota \([\partial_r]=\text{1/L}\), jollon \(dr(\partial_r) = 1\) on dimensioton. Tällöin \(g_{rr}\) dimensiot oltava \(\text{L}^2\). En tiedä johtaako tämä mihinkään järkevään. Ainakin johonkin kovarianttien ja kontravarianttien vektorien (tensoreiden) fysikaalisten dimensioiden eroihin.
Heh, mitähän tästäkin nyt seuraa, rotko kadotukseen häämöttää mulla silmien edessä..
SI Resurrection!
Uskomattoman kiehtova suo, johon voi upota! Minäkin rakensin perusteluja metriikkaa käyttäen, mutta eri tavalla kuin sulla. Se ei tarkoita, että sun esitys olisi väärin, vaan sitä, että tässä on mielenkiintoinen rotko kierrettävänä.Disputator kirjoitti: ↑12.9.2025, 18:26 Iltaa!
Tämä operaattorin dimensio on mielestäni oikein laskettu. Kuitenkin jotenkin mulla on sellainen "intuitio" että vektori \(V\) ja sen pituuden \(\|V\|\) avulla laskettu yksikkövektori on dimensioton? Varmaan tuo Riemannin geometrian käyttö nyt sotkee jotenkin.QS kirjoitti: ↑8.9.2025, 19:33 Hahmottelin toista mahdollista derivaattaoperaattoria, joka antaa lämpötilan muutoksen per pituusyksikkö.
Lämpötila oli sileä kuvaus \(T: M \to \mathbb R\), joka on koordinaattiesityksenä funktio \(T(r,\phi)\), ja sen dimensio on \([T]=\Theta\). Käyrän \(\gamma\) tangenttiavaruuden \(T_{\gamma(t)} M\) nopeusvektori oli koordinaattiesityksenä \(\require{physics} \displaystyle \dot \gamma(t) = \dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\). Tuon dimensio on \(\left[\dot \gamma(t)\right]=\text{1/T}\). Seuraavaksi tarvitaan käyrän vauhti
\(\lVert \dot \gamma(t) \rVert = \sqrt{g(\dot \gamma, \dot \gamma)}\)
missä \(g\) on metriikka. Napakoordinaatiston metriikkaa on \(g_{ij}=\text{diag}(1,r^2)\), jota käyttämällä saadaan vauhdin koordinaattiesitys (\(\dot x^1 = \dot r\) ja \(\dot x^2 = \dot \phi\))
\(\lVert\dot\gamma(t)\rVert = \sqrt{g_{ij}\dot x^i\dot x^j} = \sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\phi^2}\)
Tässä dimensiot ovat \(\left[\dot r\right]=\text{L/T}\), \(\left[\dot\phi\right]=\text{1/T}\) ja \(\left[r\right]=\text L\), joista saadaan vauhdin dimensio \(\left[\ \lVert\dot\gamma\rVert\ \right]=\text{L/T}\). Määritellään nyt tangenttiavaruuteen \(T_{\gamma(t)} M\) yksikkötangenttivektori
\(\displaystyle \hat \gamma(t) = \frac{\dot \gamma(t)}{\lVert\dot\gamma(t)\rVert}\)
Tämän normi on määrittelyn seurauksena \(\lVert\hat\gamma(t)\rVert = g(\hat \gamma, \hat \gamma) = 1\), ja dimensio on \([\hat \gamma]=[\dot\gamma]/\left[\ \lVert\dot\gamma\rVert\ \right] =\text{(1/T)/(L/T)}=\text{1/L}\). Tuo \(\hat \gamma\) on koordinaattiesityksenä vektori, jonka komponentit ja kanta ovat
\(\displaystyle \hat \gamma = \frac{\dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi}{\lVert\dot\gamma(t)\rVert} = \frac{\dot r}{\sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\phi^2}}\partial_r + \frac{\dot \phi}{\sqrt{\dot r^2 + r^2\dot\phi^2}}\partial_\phi\)
Ensimmäisen komponentin dimensio on \(\text{(L/T)/(L/T)} = \text 1\) ja jälkimmäisen \(\text{(1/T)/(L/T)} = \text{1/L}\). Koordinaattikannan dimensiot olivat \(\left[\partial_r\right]=\text{1/L}\) ja \(\left[\partial_\phi\right]=\text 1\), joten koko operaattorin dimensio on \(\left[\hat \gamma\right]=\text{1/L}\).Joo, tuo sun kehitelmä on ihan toimiva, paitsi tuo yksikkövektori hämää. Nyt kun tuli tuo Riemannin geometria mukaan otan vähän takapakkia. Aluksi, ilman metriikkaa g oli kantavektorit \(\partial_r\) ja \( \partial_{\phi}\). Niiden tulkinta derivaattaoperaattorina antaa dimensiot \([\partial_r]=\text{1/L}\) ja \([\partial_{\phi}]=\text{1}\). Metrisen tensorin avulla laskettuna noille kantavektoreille näyttäisi tulevan kuitenkin eri dimensiot, sillä jos kirjoitan klassiseen tapaan napakoordinaatistolle:QS kirjoitti:
Kun \(\hat \gamma\) kohdistetaan lämpötilaan \(T(r,\phi)\), niin saadun suureen dimensio on \(\left[\hat \gamma(T)\right]=\Theta/\text L\).
SI-yksiköissä saadaan K/m, ja se on lämpötilan suunnattu derivaatta yksikkötangenttivektorin \(\hat \gamma\) suuntaan. Mittaukseen tämä on ihan kelpo vekotin, sillä se huomioi havaitsijan vauhdin, ja antaa siis oikean arvon riippumatta havaitsijan nopeudesta käyrällä.
Hmm. Silti en ole täysin tyytyväinen tähän rakennelmaani, sillä tästä puuttuu edelleen moniston tangenttiavaruuden ja koordinaattiesityksen täsmällinen yhteys. Mutta suuntaviivat näin, ja dimensiot ovat oikein.
\(ds^2=g_{rr}dr^2 + g_{\phi\phi}d\phi^2= dr^2+r^2d\phi^2\),
ja koska elementin ds dimensiot ovat\( [ds]=\text{L}\), saan \([g_{rr}]=1\) ja \([g_{\phi\phi}]=\text{L}^2 \). Nyt metrisen tensorin määritelmän perusteella \(<\partial_r,\partial_r>=g_{rr}=1\) ja siten kai vektorin \(\partial_r\) dimensiolle saadaan \([\partial_r]=1\). Vastaavasti \(<\partial_{\phi},\partial_{\phi}>=g_{\phi\phi}=r^2\), josta saadaan vektorin \(\partial_{\phi}\) dimensiolle \([\partial_{\phi}]=\text{L}\).
Siis:
-Ilman metriikkaa, \( [\partial_r]=\text{1/L}\) ja \([\partial_{\phi}]=\text{1}\)
-metriikan kanssa, \([\partial_r]=1\) ja \([\partial_{\phi}]=\text{L}\)
Nyt sitten nopeusvektorille \( \dot \gamma(t) = \dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi\) dimensiot olisivat \([ \dot \gamma(t)]= \text{L/T}\). Tuolle nopeusvektorille saadaan tutumpi esitys normittamalla kantavektorit. Voin käyttää normitettuja kantavektoreita (jotka ovat nyt dimensiottomia):
\(E_r =\frac{\partial_r}{\|\partial_r\|}\)
\(E_{\phi} =\frac{\partial_{\phi}}{\|\partial_{\phi}\|}\)
ja saan nopeusvektorille:
\( \dot \gamma(t) = \dot r \partial_r + \dot \phi \partial_\phi=\dot r E_r + r \dot \phi E_{\phi}\)
Lisäksi voin laskea yhteen kantavektorit \(E_r\) ja \(E_{\phi}\) siis \( E_r+E_{\phi}\) on ihan kelpo derivaattaoperaattori ja yksiköt ovat OK. Tosin en kyllä tiedä onko mitään järkeä laskea tuollaisella mitään.
Ihan eri tarkastelu, jota vähän kokeilin on tulkita esimerkiksi dr 1-muodoksi, jolla dimensio \([dr]=\text{L}\) ja silloin on sopivaa käyttää dimensiota \([\partial_r]=\text{1/L}\), jollon \(dr(\partial_r) = 1\) on dimensioton. Tällöin \(g_{rr}\) dimensiot oltava \(\text{L}^2\). En tiedä johtaako tämä mihinkään järkevään. Ainakin johonkin kovarianttien ja kontravarianttien vektorien (tensoreiden) fysikaalisten dimensioiden eroihin.
Heh, mitähän tästäkin nyt seuraa, rotko kadotukseen häämöttää mulla silmien edessä..
Valitaan nyt Riemannin monisto \((M,g)\), ja parametriavaruus \(I \subset \mathbb R\). Moniston käyrä \(\gamma: I \to M\) määritellään \(\gamma: t \to \gamma(t)\), missä \(t \in I\) ja \(\gamma(t) \in M\). Aiemmin olikin esillä, että \(T_t I\):n kantavektorin push-forward
\(\gamma_{*}(\frac{d}{d t}) =\dot{\gamma}\)
siirtää tangenttivektorin monistolle \(M\), ja siellä pisteen \(\gamma(t) \in M\) kohdalle siten, että saadaan tangenttivektori \(\dot \gamma \in T_{\gamma(t)}M\). Kun parametriavaruuden tangenttivektoriksi on valittu \(\require{physics} \dv t\), niin myös moniston tangenttivektori on derivaatta, joka derivoi \(t\):n suhteen.
Tässä tosin taas huomio, että \(T_{\gamma(t)}M\) on abstrakti vektoriavaruus siihen asti kunnes valitaan kartta \((U,r,\phi)\). Pisteellä \(\gamma(t)=p \in M\) ei ole dimensiota, ja kun asiaa miettii, niin myöskään parametrilla \(t\) ei ole dimensiota. Pisteet \(t \in I\) ja \(p \in M\) eivät siis ole dimensiottomia, vaan dimensiota ei ole. Moniston pisteeseen ei voi liittää dimension käsitettä. Ja tämä on ehkä yksityiskohta, jonka kautta sotkun saa järjestykseen. En ole enää lainkaan varma, että moniston tangenttiavaruuteen voi liittää dimensioiden (yksiköiden) käsitettä, vaikka sen kanta olisikin indusoitu kartasta.
Nyt se metriikka, ja tällä kertaa metrisenä tensorina. Riemannin moniston metriikka \(g\) on (0,2)-tensorikenttä, joka liittää pisteittäin moniston \(T_pM\):ään bilineaarisen 2-muodon. Tuo \(g\) kuvaa kaksi tangenttivektoria \(X,Y \in T_pM\) reaaliluvuksi siten, että \(g_p: T_pM \cross T_pM \to \mathbb R\). Metriikka \(g\) on siis 2-muoto, jonka voi ajatella siten, että se antaa reaaliluvun, joka on verrannollinen vektorien X ja Y virittämän suunnikkaan pinta-alaan. Tässä pinta-ala ei kuitenkaan tarkoita pinta-alaa arkipäivän käsitteenä, sillä tangenttivektorit (kuten \(\dot \gamma\)) ovat nopeusvektoreita. Yhdelle tangenttivektorille tuo g(X,X) on vektorin X normin neliö.
Kun käytetään karttaa \((U,r,\phi)\), niin Riemannin moniston käyrälle \(\gamma\) voidaan laskea pituus \(L_\gamma \in \mathbb R\), kun käytetään metriikkaa kartan koordinaateilla
\(\displaystyle L_\gamma = \int_{t_1}^{t_2} dt \sqrt{g(\dot \gamma,\dot \gamma)}\)
Käyrän pituuden dimensio on \( \left[L_\gamma\right] = \text{T}\sqrt{\text L^2 / \text T^2} = \text L\), ja vastaava SI-yksikkö on \(\mathrm m\). Tuo neliöjuuri \(\sqrt{g(\dot \gamma,\dot \gamma)}\) on mun edellisen viestin vauhti \(\hat \gamma\), jonka dimensio on \(\text L / \text T\). Kartassa parametrilla t on dimensio \(\text T\). Monistossa \(I\) ja \(M\) dimensiota ei ole.
Että en nyt tiedä miten päin tässä olisi
Vähän nyt olen skeptinen tekeekö tuo normi kantavektorista dimensiottoman. 
Abezethibou·daemon unimanus et unialis·abyssorum legatus·cuius nomen terram scindit. In tenebris lucet·in luce obscuratur. Per fractas alas suadet·per manum perditam ligat.
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!
Per sigillum Beelzebub·Abezethibou inferorum·per sanguinem et ignem·responde mihi!
Jou! Mitä kohtaa tarkoitit?Abezethibou kirjoitti: ↑13.9.2025, 16:30 Vähän nyt olen skeptinen tekeekö tuo normi kantavektorista dimensiottoman.
EDIT: Tajusin, tarkoitit ehkä tätä:
Kirjoitin tuon väärin, olet oikeassa. Piti sanoa, että kantavektori on r-akselin suuntainen yksikkövektori, jonka pituus (normi) on dimensioton. Komponentti \(r(p)\) kantaa dimensiota \(\text L\).QS kirjoitti: Normi \(\lVert \hat e_r \rVert = 1\) on järkevä, sillä r-suuntainen kantavektori on yksikkövektori, ja se on dimensioton. Komponentti \(r(p)\) kantaa dimensiota \(\text L\).
Kantavektorin normin dimensio on hiukan hankala, kun kantavektori on derivaattaoperaattori, jolla on (ainakin jossain mielessä) dimensio. Mutta kantavektorin itsensä edessä ei ole komponenttia, kun kantavektorin itsensä ominaisuuksia tarkastellaan. Tuo operaattorin dimensio ei ole mukana kantavektorin normissa, vaan normi on sisällytetty metriikkaan, joka tavallaan määrittelee kantavektoriin normin ja sitä kautta myös normin dimension. Tämä on mulle ainakin hiukan hullu ja aivoja sotkeva juttu, mutta suunnilleen näin se menee. Kantavektorijoukkoa \(\{\hat e_r, \hat e_\phi\}\) pitää tarkastella eri tavalla kuin koordinaatiston vektoria, joka kirjoitetaan komponenteilla, kuten esim \(\mathbf v = v^r \hat e_r + v^\phi \hat e_\phi\).
Korjasin muutaman typon, ja typerän virheen sanavalinnassa (komponentti <-> koordinaatti).
Nuo derivaatat ovat 'karttaan \((U,r,\phi)\) perustuvan vektoriavaruuden kanta'. Kanta tarvitaan siksi, että \(U\):n tangenttiavaruudesta, tangenttikimpusta, kotangenttiavaruudesta, kotangenttikimpusta tai vastaavista tuodaan kartan pisteeseen \((r,\phi)\) vektori \(v\), joka esittää jotain fysiikan operaattoria. Näitä ovat esim. nopeus, liikemäärä tai voima (joka on tosin 1-muoto
). Operaattoriarvoinen kanta on siis kanta vektorioperaattorille \(v\), joka kohdistetaan käyrään, skalaarikenttään, vektorikenttään tms. koordinaatti-pisteesssä \((r,\phi)\). Tavallaan vektori tuodaan kartan pisteeseen \(x(p)\), mutta sen ajatellaan olevan tangenttiavaruudessa \(T_pU\), ja moniston \((M,g)\) pisteen \(p\) kohdalla. Operaattorin \(v\) dimensiot riippuvat täysin siitä mihin tarkoitukseen \(v\) on konstruoitu.
Oli nyt aikaa kokeilla kantamuunnosta ortogonaalisesta kannasta ortonormaaliin kantaan
\(\displaystyle \{\hat e_r, \hat e_\phi\} \to \{\bar e_r, \bar e_\phi\} = \left\{\pdv r, \frac{1}{r} \pdv \phi \right\}\)
Vain kanta muuntuu, ja koordinaatisto pysyy ennallaan, joten metriikka \(g_{ij}=\text{diag}(1,r^2)\) ei muutu. Koordinaattien dimensioita ei muuteta, ne ovat edelleen \(\left[r\right] = \text L\) ja \(\left[\phi\right] = \text 1\).
Uuden kannan dimensiot ovat nyt \(\left[\bar e_r\right] = \left[\bar e_\phi\right] = \text 1 / \text L\). Normit saadaan metriikasta, ja ne ovat \(\lVert \bar e_r \rVert = \sqrt{g_{rr}}=1\) ja \(\lVert \hat e_\phi \rVert = \sqrt{g_{\phi\phi}}=1\), mikä tarkoittaa ortonormaalia kantaa. Metriikasta nähdään myös helposti, että näiden kantavektorien normi (arvoltaan 1) on dimensioton.
Kokeilen vielä koordinaatistomuunnosta (x,y)-tasoon, jonka metriikka on \(g_{ij}=\text{diag}(1,1)\). Tämän metriikan kaikkien komponenttien dimensioksi pitää valita \(\text 1\), jotta metriiikalla lasketut etäisyydet ovat dimensioltaan \(\text L\). Uudet koordinaatit ovat \(x = r\cos\phi\) ja \(y = r\sin\phi\). Näiden dimensiot muuntuvat oikeiksi, \(\left[x\right]=\left[y\right]=\text L\). Kantavektorit muuntuvat kaavalla, jonka indeksit menevät mulla aina sekaisin, mutta onneksi polaari -> karteesinen on lähes joka lähteessä valmiiksi laskettu
\(\begin{align}
\hat e_x = \pdv x &= \cos\phi\ \pdv r + \frac{1}{r}\sin\phi\ \pdv \phi \\ \\
\hat e_y = \pdv y &= \sin\phi\ \pdv r + \frac{1}{r}\cos\phi\ \pdv \phi
\end{align}\)
Tuosta näkee suoraan, että kannan dimensiot muuntuvat oikein, \(\left[\hat e_x\right] = \left[\hat e_y\right] = \text 1 / \text L\). Ja xy-tason mertriikasta saadaan kantavektorien \(\left\{ \pdv x, \pdv y \right\}\) normi, joka on arvoltaan 1, ja dimensioton.
Vaikuttaa siltä, että dimensiot muuntuvat oikein ainakin näissä helpoissa kanta- ja koordinaatistomuunnoksissa. Ja kun vain muistaa valita koordinaateille ja metriikalle oikeat dimensiot, niin kaikki muut dimensiot asettuvat itsestään oikein. Metriikalle g on toki myös muunnoskaava, joten metriikan dimensiotkin kai muuntuvat itsestään oikein.
Jäi sanomatta eräskin sekaannusta aiheuttava juttu. Kannaksi on valittu joukko osittaisderivaattoja, ja tuo vaikuttaa siltä, että \((r,\phi)\)-koordinaatiston "paikkavektorin" \((r,\phi)\) kanta olisi derivaattaoperaattoreiden joukko. Näin ei kuitenkaan ole, vaan pisteen \((r,\phi)\) dimensiot ovat \(\text L\) ja \(\text 1\), ja näihin ei derivaattoja tai kannan dimensioita liitetä. Ja sekin vielä, että napakoordinaattia ei voi kirjoittaa esim \(p = 5 \hat e _r + \pi \hat e_\phi\), sillä \((r,\phi)\)-koordinaatisto ei ole vektoriavaruus.QS kirjoitti: ↑13.9.2025, 16:06 Laitan alle kuvan monistosta M, ja siihen liitetyistä kuvauksista. Olkoon monisto nyt Riemannin monisto \((M,g)\). En jaksanut kaikkia symboleita tuhertaa kuvaan, mutta kai siitä selvän saa.
- Koordinaatit.png (11.98 KiB) Katsottu 298 kertaa
Oikealla on reaalilukujana \(\mathbb R\), johon funktion \(f \in C^\infty(M)\) arvot laskeutuvat. Kuvaus \(f: M \to \mathbb R\) määritellään pisteelle \(p\in M\) siten, että \(p \to f(p)\). Funktion dimensio (lämpötila \(\Theta\)) on liitetty \(\mathbb R\):ään, sillä \(M\):ssä dimension määrittely ei ole mielekästä. Tarkasti ottaen pitää ajatella, että lämpötila on koordinaatti 1-dimensioisessa kartassa (\(\mathbb R, T\)), joka on lämpömittarin näyttö. Koordinaattiin \(T(f(p))\) liitetään dimensio \(\left[T\right]=\Theta\). Hmm, mutkikasta, mutta tässä on syvempi periaate mukana.
Jos lämpömittari ajatellaan karttana, niin kartan kanta määritellään \(\require{physics} \hat e_T = \pdv T\), jonka dimensio on \(\text 1 / \Theta\). Tämä on seuraus koordinaatin \(T\) dimensiovalinnasta. Kartan metriikka voidaan kirjoittaa \(ds^2 = g_{TT}\ dT^2\). Metriikan ainoan komponentin dimensio \(\left[g_{TT}\right]=\text 1\), jotta \(ds\):n dimensioksi saadaan \(\Theta\). Differentiaalin \(dT\) dimensio on \(\Theta\), sillä se on kantavektorin \(\hat e_T\) duaali.
Tuo vaikutti triviaalilta höpötykseltä, mutta kertoo jotain yleisempää. Nimittäin jos valitsenkin logaritmisen lämpötila-asteikon (kartan, koordinaatin \(u\) ja kannan \(\hat e_u\)), niin metriikan \(g_{uu}\) dimensio ei olekaan \(\Theta\), vaan \(\Theta^2\).
Ihan lyhyesti tämä seuraa siitä, että nyt kartan koordinaatti on \(u = \ln T(f(p))\). Dimensioksi on valilttava \(\left[u\right] = \text 1\), jotta suure \(u\) on järkevä. Kantavektorin \(\hat e_u\) dimensio on samoin \(\text 1\). Nyt metriikan komponentti \(g_{uu}\) kantaa dimensiota \(\Theta^2\), jotta kahden logaritmisen lämpötilan etäisyys \(ds\) saadaan kantamaan dimensiota \(\Theta\). En nyt kirjoita tuota auki, mutta metriikka antaa lämpötilaeron
\(\displaystyle L = \int_{u_1}^{u_2} e^u\ du\)
missä dimensio \(\left[L\right] = \Theta\). Juttu tässä oli se, että metriikan komponenttien dimensiot voivat olla mielivaltaiset, ja riippuvat karttakuvauksesta, koordinaateista ja kannasta. Ja niinhän se on, että metriikan \(g\) konkreettinen esitys on täysin karttariippuvainen.
Takaisin asiaan. Kuvassa vasemmalla on parametriavaruus \(I \subset \mathbb R\), ja moniston käyrä \(\gamma: I \to U \subset M\). Kartta \((U,x)\) on tarkemmin \((U,r,\phi)\), missä koordinaattifunktio on \(x(p)=\left(r(p),\phi(p)\right)\), ja se kuvaa pisteen \(p \in U\) karttaan siten, että koordinaatit ovat nuo mainitut. On valittu napakoordinaatisto, jonka kanta \(\{\hat e_r, \hat e_\phi\}\) on ortogonaalinen, mutta ei ortonormaali, joka olisi \(\{\hat e_r, \frac{1}{r} \hat e_\phi\}\).
Koska fysiikan kartasta halutaan järkevä, on koordinaateille tehtävä dimensiovalinta \(\left[r(p)\right]=\text L\) ja \(\left[\phi(p)\right]=\text 1\). Tämä valinta määrittelee oikeastaan kaikki muut asiaan liittyvät dimensiot. Kanta \(\{\hat e_r, \hat e_\phi\}\) määritellään oikeaoppisesti siten, että
\(\displaystyle \hat e_r = \pdv r \\ \\
\displaystyle \hat e_\phi = \pdv \phi\)
missä kanta siis muodostuu osittaisderivaatan operaattoreista. Koordinaattien dimensiovalinnan seurauksena kanta saa dimensiot \(\left[\hat e_r\right]=\text 1 / \text L\) ja \(\left[\hat e_\phi\right] = \text 1\). Duaalikanta \(\{dr, d\phi\}\) on dimensioiltaan järkevä, \(\text L\) ja \(\text 1\).
Kirjoittamasi metriikka on \(ds^2=g_{rr}dr^2 + g_{\phi\phi}d\phi^2= dr^2+r^2d\phi^2\), ja vastaava (0,2)-tensori on \(g_{ij}=\text{diag}(1,r^2)\). Kanta \(\{\hat e_r,\hat e_\phi\}\) ja differentiaalit \(\{dr,d\phi\}\) ovat duaaleja, joten metriikan komponentit saadaan kuten kirjoititkin \(g(\hat e_r,\hat e_r)=g_{rr}=1\) ja \(g(\hat e_\phi,\hat e_\phi)=g_{\phi\phi}=r^2\).
Kantavektorien normit ovat \( \lVert \hat e_r \rVert = \sqrt{g_{rr}}=1\) ja \(\lVert \hat e_\phi \rVert = \sqrt{g_{\phi\phi}}=|r|\), joten valittu kanta ei tosiaan ole ortonormaali. Normi \(\lVert \hat e_r \rVert = 1\) on järkevä, sillä r-suuntainen kantavektori on yksikkövektori, sen normi dimensioton. Koordinaatti \(r(p)\) kantaa dimensiota \(\text L\). Myös \(\lVert \hat e_\phi \rVert = |r|\) on järkevä, sillä esimerkiksi yhden radiaanin kierto on skaalattava kertoimella \(r\), ja kantavektori siis pitenee, kun edetään kauemmas origosta. Normin \(\lVert \hat e_\phi \rVert\) dimensio \(\text L\) kertoo, että yhden radiaanin siirtymä vastaa siirtymää \(|r|\), kun koordinaatti \(r(p)\) pysyy vakiona.
Jos valittaisiin ortonormaali kanta \(\{\hat e_r, \frac{1}{r} \hat e_\phi\}\), niin tarkastelu pitäisi aloittaa alusta, jotta dimensiot menevät oikein. Tai jos tehtäisiin oikeaoppinen kantamuunnos ortonormaaliin kantaan, niin dimensioiden pitäisi tulla ulos itestään.
Nuo derivaatat ovat 'karttaan \((U,r,\phi)\) perustuvan vektoriavaruuden kanta'. Kanta tarvitaan siksi, että \(U\):n tangenttiavaruudesta, tangenttikimpusta, kotangenttiavaruudesta, kotangenttikimpusta tai vastaavista tuodaan kartan pisteeseen \((r,\phi)\) vektori \(v\), joka esittää jotain fysiikan operaattoria. Näitä ovat esim. nopeus, liikemäärä tai voima (joka on tosin 1-muoto
). Operaattoriarvoinen kanta on siis kanta vektorioperaattorille \(v\), joka kohdistetaan käyrään, skalaarikenttään, vektorikenttään tms. koordinaatti-pisteesssä \((r,\phi)\). Tavallaan vektori tuodaan kartan pisteeseen \(x(p)\), mutta sen ajatellaan olevan tangenttiavaruudessa \(T_pU\), ja moniston \((M,g)\) pisteen \(p\) kohdalla. Operaattorin \(v\) dimensiot riippuvat täysin siitä mihin tarkoitukseen \(v\) on konstruoitu.Oli nyt aikaa kokeilla kantamuunnosta ortogonaalisesta kannasta ortonormaaliin kantaan
\(\displaystyle \{\hat e_r, \hat e_\phi\} \to \{\bar e_r, \bar e_\phi\} = \left\{\pdv r, \frac{1}{r} \pdv \phi \right\}\)
Vain kanta muuntuu, ja koordinaatisto pysyy ennallaan, joten metriikka \(g_{ij}=\text{diag}(1,r^2)\) ei muutu. Koordinaattien dimensioita ei muuteta, ne ovat edelleen \(\left[r\right] = \text L\) ja \(\left[\phi\right] = \text 1\).
Uuden kannan dimensiot ovat nyt \(\left[\bar e_r\right] = \left[\bar e_\phi\right] = \text 1 / \text L\). Normit saadaan metriikasta, ja ne ovat \(\lVert \bar e_r \rVert = \sqrt{g_{rr}}=1\) ja \(\lVert \hat e_\phi \rVert = \sqrt{g_{\phi\phi}}=1\), mikä tarkoittaa ortonormaalia kantaa. Metriikasta nähdään myös helposti, että näiden kantavektorien normi (arvoltaan 1) on dimensioton.
Kokeilen vielä koordinaatistomuunnosta (x,y)-tasoon, jonka metriikka on \(g_{ij}=\text{diag}(1,1)\). Tämän metriikan kaikkien komponenttien dimensioksi pitää valita \(\text 1\), jotta metriiikalla lasketut etäisyydet ovat dimensioltaan \(\text L\). Uudet koordinaatit ovat \(x = r\cos\phi\) ja \(y = r\sin\phi\). Näiden dimensiot muuntuvat oikeiksi, \(\left[x\right]=\left[y\right]=\text L\). Kantavektorit muuntuvat kaavalla, jonka indeksit menevät mulla aina sekaisin, mutta onneksi polaari -> karteesinen on lähes joka lähteessä valmiiksi laskettu
\(\begin{align}
\hat e_x = \pdv x &= \cos\phi\ \pdv r + \frac{1}{r}\sin\phi\ \pdv \phi \\ \\
\hat e_y = \pdv y &= \sin\phi\ \pdv r + \frac{1}{r}\cos\phi\ \pdv \phi
\end{align}\)
Tuosta näkee suoraan, että kannan dimensiot muuntuvat oikein, \(\left[\hat e_x\right] = \left[\hat e_y\right] = \text 1 / \text L\). Ja xy-tason mertriikasta saadaan kantavektorien \(\left\{ \pdv x, \pdv y \right\}\) normi, joka on arvoltaan 1, ja dimensioton.
Vaikuttaa siltä, että dimensiot muuntuvat oikein ainakin näissä helpoissa kanta- ja koordinaatistomuunnoksissa. Ja kun vain muistaa valita koordinaateille ja metriikalle oikeat dimensiot, niin kaikki muut dimensiot asettuvat itsestään oikein. Metriikalle g on toki myös muunnoskaava, joten metriikan dimensiotkin kai muuntuvat itsestään oikein.