Innostuin aiheesta, kun en muista nähneeni dimensioiden geometrista käsittelyä kirjallisuudessa tai muuallakaan. Pahoittelut, kun paukutan viestiä, mutta kertasin differentiaaligeometriaa syvistä kaivoista, ja nyt on ajoainetta dimensioiden (yksiköiden) ymmärtämiseen. Viittaan alla myös ongelmalliseen napakoordinaatistoon.
Oletetaan esillä ollut monisto \((M,g)\), ja sen käyrä \(\gamma: I \to M, t \mapsto \gamma(t)\), missä \(I \subset \mathbb R\) on käyräparametrin \(t\) avaruus, tai tarvittaessa jopa monisto. \(M\):n skalaarifunktio \(f\) on kuvaus \(f: M \to \mathbb R, p \mapsto f(p)\). Moniston osaan \(U\) on liitetty kartta \((U,x)\).
Valitaan käyrältä piste \(p=\gamma(0)\), joka on piste arvolla \(t=0\). Pisteen \(p\) tangenttivektori \(v_p \in T_pM\) määritellään siten, että abstraktina vektorina se on käyrän \(\gamma\) derivaatta parametrin \(t\) suhteen, ja se on käyrän suuntainen. Tuo \(v_p\) määritellään lisäksi lineaarikuvauksena ja derivaattaoperaattorina, joka kohdistuu moniston funktioon \(f\) siten, että kuvaus on
\(v_p: C^\infty(M) \to \mathbb R,\quad f \mapsto v_p(f)\).
Määritelmän nojalla voidaan kirjoittaa
\(\require{physics}
\begin{align}
v_p(f) &= \dv t ( f \circ \gamma )\Big|_{t=0} \\ \\
&= (f \circ \gamma)'(0)
\end{align}\)
missä toisella rivillä derivaatta \(t\):n suhteen merkitty pilkulla. Tuo \(v_p(f)\) on funktion \(f\) suunnattu derivaatta vektorin \(v_p\) suuntaan. Valitaan napakoordinaatisto ja kartta \((U,x)=(U,r,\phi)\). Mikään ei estä sijoittamasta derivaattaan karttakuvauksen identiteettiä \(x^{-1} \circ x\). Sijoitetaan tuo siten, että \(f\) siirtyy karttaan \((U,x)\)
\(\begin{align}
v_p(f) &= (f \circ \gamma)'(0)\\
& = \left[ (f \circ x^{-1}) \circ (x \circ \gamma)\right]'(0)
\end{align}\)
Tässä on nyt yhdistetty funktio ja sen derivaatta. Yhdistetyn funktion kaksi kuvausta ovat
\(\begin{alignat}{3}
(x \circ \gamma) &:\quad& I &\to \mathbb{R}^2,&\quad t &\mapsto \left(r(\gamma(t)),\phi(\gamma(t))\right) \\
(f \circ x^{-1}) &:\quad& \mathbb{R}^2 &\to \mathbb{R},&\quad (r,\phi) &\mapsto f(r,\phi)
\end{alignat}\)
Ensimmäinen on käyrä \(\gamma(t)\) ilmaistuna kartan koordinaateilla \((r,\phi)\), ja toinen on skalaarikenttä \(f(r,\phi)\) kartassa \((U,r,\phi)\). Derivaatta on yhdistetyn funktion derivaatta, joka voidaan kirjoittaa auki
\(\begin{align}
v_p(f) = (x \circ \gamma)'(0) \cdot (f \circ x^{-1})' \circ(x \circ \gamma) \\
=(x \circ \gamma)'(0) \cdot (f \circ x^{-1})'\left((x(p)\right)
\end{align}\)
missä \(x(p) = x \circ \gamma\), joka on siis kartan koordinaattipiste \(x(p)=(r,\phi)\). Ensimmäinen termi \((x \circ \gamma)'(0)\) on \(\gamma\):n derivaatta \(t\):n suhteen kartassa \((U,x)\), ja tuon derivaatan arvo, kun t=0. Tämän voi kirjoittaa \( {(x \circ \gamma)^i}' (0)\), sillä kartan koordinaattien indeksit ovat \(i =\{r,\phi\}\), ja noita vastaavat koordinaattifunktiot derivoidaan erikseen. Laskutoimitus \(\cdot\) on tässä haastava, kun vasemmalla puolella on \(\gamma\):n derivoinnista saatu vektori, ja oikealla puolella gradienttivektori, tai yleistäen Jacobin matriisi. No ehkä tuon pistetulon tyyppisen notaation kanssa pärjää.
Toisessa termissä \((f \circ x^{-1})'\left((x(p)\right)\) tuo funktio \((f \circ x^{-1})\) on skalaarikenttä. Funktio derivoidaan, ja arvo lasketaan koordinaattipisteessä \(x(p)=(r, \phi)\). Derivaatta ei ole \(t\):n suhteen, vaan \(f\):n derivaatta koordinaattien \(r\) ja \(\phi\) suuntiin. Termi voidaan näin ollen kirjoittaa
\(\left[\partial_i (f \circ x^{-1})\right] \left(x(p)\right)\)
Yhdistetään jälleen nuo kaksi termiä$$v_p(f) = {(x \circ \gamma)^i}' (0) \cdot \left[\partial_i (f \circ x^{-1})\right] \left(x(p)\right) \tag{1}$$missä \(\partial_i (f \circ x^{-1})\) voidaan kirjoittaa kartan osittaisderivaattoina
\(\displaystyle \partial_i (f \circ x^{-1}) = \pdv {f}{x^i}\)
Osittaisderivaatat lasketaan koordinaattipisteessä \(x(p)=(r,\phi)\). Lisätään tuo piste \(p\) notaatioon
\(\displaystyle \left[\partial_i (f \circ x^{-1})\right] \left(x(p)\right) = \left(\pdv {x^i}\right)_p\ f\)
Tässä \(f:U \to \mathbb R,\ p \mapsto f(p)\) ei ole karttafunktio, vaan moniston funktio \(f \in C^\infty(U) \in \mathbb R\). Monistossa ei voi tehdä funktion derivointia konkreettisesti, mutta \(f\) on tuotu karttaan derivoitavaksi. Napakoordinaateilla nuo osittaisderivaatan operaattorit ovat \(\pdv r\) ja \(\pdv \phi\), ja nämä kohdistuvat funktioon \(f(r,\phi)\).
Käsitellään vielä kaavan \((1)\) ensimmäinen termi, joka voidaan kirjoittaa esimerkin omaisesti napakoordinaateilla
\({(x \circ \gamma)^i}' (0) = (\gamma^i)'(0) = \dot \gamma^i(0) = \left(\dot\gamma^r(0),\dot\gamma^\phi(0)\right) = (\dot r(0), \dot \phi(0))\)
Oikealla on käyrän \(\gamma\) derivaattojen arvot, kun \(t=0\). Notaationa aikaderivaatta, vaikka aikaa ei varsinaisesti ole valittu. Komponentit ovat \(T_pU\):n vektorin komponentit pisteessä \(p=\gamma(0)\), ja kanta \(\{\pdv r, \pdv \phi\}\) on \(T_pU\):n kanta, joka on saatu kartasta \((U,r,\phi)\). Vektori \(v_p\) voidaan yleistäen kirjoittaa muotoon
$$\displaystyle v_p = \dot \gamma^i(0)\ \pdv {x^i} \tag{2}$$missä indeksi \(i\) summataan, ja vektori on nyt konkreettinen. Komponentit ovat käyrän \(\gamma(t)\) derivaattoja \(t\):n suhteen, joka kai hyvä peruste nimelle 'nopeus'. Koko vektorin dimensio saadaan yhdistämällä komponenttien ja kannan dimensiot.
Käyrän \(\gamma\) koordinaatit ovat \(x(p) = ( r(p), \phi(p) )\), missä \(p=\gamma(0)\). Koordinaattien dimensiot valitaan siten, että \(\left[r(p)\right]=\text L\) ja \(\left[\phi(p)\right]=\text 1\). Koordinaateilla ei ole kantavektorijoukkoa, sillä vain harva koordinaatisto on vektoriavaruus. Kun koordinaattien dimensiot on valittu, niin kaikki muut dimensiot periytyvät näistä.
Kartassa \(\gamma\):n derivaatta \(t\):n suhteen saadaan derivoimalla koordinaatit
\(\displaystyle \dot \gamma(p) = \left(\dv t r(p), \dv t \phi(p)\right)\)
Kartassa parametriin \(t\) liitetään dimensio \(\left[t\right]=\text T\), ja tästä eteenpäin voidaan puhua aikaderivaatasta. Nyt koordinaattien dimensioista saadaan aikaderivaattojen dimensiot
\(\begin{align}
\left[\dv t r(p)\right] &= \text L / \text T \\
\left[\dv t \phi(p)\right] &= \text 1 / \text T
\end{align}\)
Myös kantavektorien dimensiot saadaan koordinaattien dimensioista
\(\begin{align}
\left[\pdv r\right] &= 1 / \text L \\
\left[\pdv \phi\right] &= \text 1
\end{align}\)
Näistä saadaan nopeusvektorin \(v_p\) dimensio \(\left[v_p\right] = \text 1 / \text T\). Kanta on suuntiin \(r\) ja \(\phi\), ja kannan dimensiot ovat epäyhteensopivat. Tämän seurauksena nopeuden komponentit \((\dot r, \dot \phi)\) eivät ole vertailukelpoisia. SI-yksiköissä \(\dot r\) on säteen suuntainen nopeus \(\mathrm {m/s}\), ja \(\dot \phi\) on kulmanopeus \(\mathrm {rad/s}\) tai kulmataajuus \(\mathrm {1/s}\). Hetken miettimisen jälkeen voi todeta, että nuo ovat silti täysin loogisia komponentteja tässä valitussa kannassa. Jos pidän säteen \(r\) vakiona, ja annan käyrän kiertää kulmakoordinaattia, niin nopeuden yksikkö on \(\mathrm {rad/s}\), ja ei sitä missään nimessä vääräksi voi sanoa.
Tuon edellä kuvatun nopeuteen liittyvän ongelman "juurisyy" on siinä, että valitussa kannassa siirtymät \(ds=d\phi\) ja \(ds=dr\) eivät ole saman pituisia. Syy tähän on se, että valittu kanta \(\left\{ \pdv r, \pdv \phi \right\}\) ei ole ortonormaali. Vaikka kannan dimensiot olisivatkin yhteensopivat, ja nopeuden dimensio olisi \(\text L / \text T\), niin ei-ortonormaalissa kannassa komponentit eivät siltikään kuvaisi todellista etäisyyden muutosta per aikayksikkö.
Kehitin esimerkkinä \((x,y)\)-tason, jonka metriikka on normaalista poiketen \(ds^2 = dx^2 + 4 dy^2\). Koordinaatistosta johdettu \(T_pU\):n kanta on kuitenkin tavallisen euklidisen tason kanta \(\{\partial_x, \partial_y\}\). Tangenttivektori on \(v_p = \dot x \partial_x + \dot y \partial_y\), mutta metriikasta seuraa, että kanta ei ole ortonormaali. Tämän takia komponentit \((\dot x, \dot y)\) antavat 'väärän' nopeuden. Vauhti on silti oikein \(\lVert v_p \rVert = \sqrt{\dot x^2+ 4 \dot y^2}\). Kun tehdään muunnos ortonormaaliin kantaan \(\{\partial_x, \frac{1}{2}\partial_y\}\), niin nopeuden komponentit muuntuvat siten, että ne ovat \( (\dot x, 2 \dot y)\), ja nämä ovat 'todellisen' nopeuden komponentit. Tuo ortonormaali kanta voidaan huomioida heti alussa, kun \(T_pU\):n kanta muodostetaan, tai sitten jälkikäteen tehdä kannalle ja komponenteille muunnos.
Vauhti on skalaari \(\lVert v_p \rVert = \sqrt{g(v_p,v_p)}\), ja se on aina oikein kannasta riippumatta. Tämä siksi, että \(\lVert v_p \rVert\) määritellään metriikalla, joka laskee todelliset etäisyydet oikein, ja myös dimensio \(\text L / \text T\) asettuu oikein, kunhan metriikan komponenttien dimensiot on valittu oikein.
Kun muodostetaan \(T_pU\):n yksikkötangenttivektori \(\displaystyle \hat v_p = v_p/{\lVert v_p \rVert}\), niin sen dimensio on \(\text 1 / \text L\). Skalaarikenttään \(f\) kohdistettuna \(\hat v_p\) antaa oikean suunnatun derivaatan, eli siis muutoksen per pituusyksikkö käyrän \(\gamma\) suuntaan. Tämä \(\hat v_p\) ei ole enää nopeusvektori, vaan suunnatun derivaatan operaattori.
Napakoordinaateille saadaan helpommin tulkittavat dimensiot, kun tehdään muunnos ortonormaaliin kantaan \(\left\{ \pdv r, \frac{1}{r} \pdv \phi \right\}\). Koordinaatteja ei tarvitse muuntaa, kantamuunnos ja vastaava komponenttimuunnos riittää. Ortonormaalissa kannassa nopeuden komponentit ovat \((\dot r, r \dot \phi)\) ja niiden dimensio \(\text L / \text T\), ja lisäksi \(T_pU\):n kantavektoreilla on samat dimensiot, ja samat normit kartan \((U,r,\theta)\) kaikissa pisteissä \((r,\theta)\).
Kantavalinnan ei-ortonormaalius, tai komponenttien eri dimensiot eivät kuitenkaan tee tangenttivektorista \(v_p\) epäkelpoa. Tangenttiavaruuden kantavalinta vain saattaa johtaa siihen, että komponentit eivät ole helposti tulkittavia. Kun vektori kirjoitetaan operaattorina
\(\displaystyle v_p = v^r \pdv r + v^\phi \pdv \phi\)
niin oikeastaan ainoa vaatimus on, että kantavektorit ovat samasta vektoriavaruudesta \(T_pU\). Koko vektorin dimensio on tosin aina yksikäsitteinen. Tuo derivaatta on skalaari, jonka termien yhteenlaskussa dimensiot ovat yhteensopivat.
Pyörittelin erästä tangenttivektoria \(v_p\), jonka kannasta ja komponenteista löytyy peräti kuusi eri dimensiota. Metriikasta löytyy lisäksi kolmea eri dimensiota. Kanta on jopa erittäin ei-ortonormaali, ja kirsikkana kakussa indeksien nosto ja lasku muuttaa kaikki dimensiot. Se on Scwartzschildin koordinaateilla \((t,r,\theta,\phi)\) muodostettu nelinopeus. Voisin joskus kirjoittaa lisää, kun itse ainakin opin sen pyörittelystä paljonkin. Ja opin senkin, että luonnolliset yksiköt voivat olla joskus harhaanjohtavia.
Tätä edellä kuvattua konstruktiota ja koneistoa kun seuraa, niin dimensiot eivät olekaan niin vaikeita. Kaikki lähtee siis koordinaattien dimensioista, ja siitä, että tiedostaa tangenttiavaruuden kannan ortonormaaliuden tai sen puutteen. Koordinaateille voi valita hyvinkin villit dimensiot (kuten Scwartzschild), ja silti metriikka korjaa aina etäisyyksien dimension oikeaksi. Sillä edellytyksellä, että metriikan komponenttien dimensiot on asetettu vastaamaan koordinaatteja.
===
Disclaimer: kirjoitin "asia on varmasti näin, ja piste." -tyylillä, mutta varoituksena, että mulla ei ole kirjallisuuslähdettä tästä. Tarkastelu ja johtopäätökset on itse tehty.
Hyvää settiä sulta QS.
Kirjoitan nyt tähän ketjuun ikävän uutisen mun elämästä, en keksinyt parempaakaan paikkaa. Mulle läheinen ihminen on lähellä kuolemaa ja en oikein nyt jaksa kommentoida mitään erityisen tieteellistä. Luen kuitenkin mitä tänne kirjoitetaan ja varmasti kommentoin sitten myöhemmin, kun aika on sopiva. Halusin kirjoittaa tämän siksi, että en ole lopettamassa palstalle kirjoittelua, vaan pidän nyt vähän taukoa. Saatan lähiaikoina kirjoittaa jotakin tieteellistä kevyesti, sillä se on myös eräänlaista terapiaa minulle.
Kirjoitan nyt tähän ketjuun ikävän uutisen mun elämästä, en keksinyt parempaakaan paikkaa. Mulle läheinen ihminen on lähellä kuolemaa ja en oikein nyt jaksa kommentoida mitään erityisen tieteellistä. Luen kuitenkin mitä tänne kirjoitetaan ja varmasti kommentoin sitten myöhemmin, kun aika on sopiva. Halusin kirjoittaa tämän siksi, että en ole lopettamassa palstalle kirjoittelua, vaan pidän nyt vähän taukoa. Saatan lähiaikoina kirjoittaa jotakin tieteellistä kevyesti, sillä se on myös eräänlaista terapiaa minulle.
SI Resurrection!
Voimia sinneDisputator kirjoitti: ↑19.9.2025, 17:20 Hyvää settiä sulta QS.
Kirjoitan nyt tähän ketjuun ikävän uutisen mun elämästä, en keksinyt parempaakaan paikkaa. Mulle läheinen ihminen on lähellä kuolemaa ja en oikein nyt jaksa kommentoida mitään erityisen tieteellistä. Luen kuitenkin mitä tänne kirjoitetaan ja varmasti kommentoin sitten myöhemmin, kun aika on sopiva. Halusin kirjoittaa tämän siksi, että en ole lopettamassa palstalle kirjoittelua, vaan pidän nyt vähän taukoa. Saatan lähiaikoina kirjoittaa jotakin tieteellistä kevyesti, sillä se on myös eräänlaista terapiaa minulle.
En edes keksi sanoja tuohon tilanteeseen. Mutta tiede-jauhannat on vain harrastus, ja elämän isot asiat ilman muuta aina prioriteetilla yksi. Tieteen juttuja ehditään sitten kun sen aika on, näistä ei pidä murehtia. Muista pitää itsesikin kunnossa kriisin keskellä!