Ympyrässä on perustellusti äärettömästi kulmia

[Keckman]

Väitetään, että ympyrässä ei ole yhtään kulmaa. On kuitenkin perusteltavissa olevaa, että siinä on jopa äärettömästi kulmia. Alla on REBOL ohjelma, joka piirtää monikulmion. Se alkaa kulmien lukumäärästä nolla, jolloin tuloksena ei ole mitään! Arvolla kulmia=1 tuloksena on viiva. Arvolla kulmia=2 tuloksena on kolmio. Kun kulmia on 339 kpl, kuvio alkaa jo näyttämään ympyrältä.




rebol[]
maxx: 1000
maxy: 1000
x0: maxx / 2
y0: maxy / 2
kulmia: 0
r: x0
kulmia: 0
until [
dkulma: 360 / (kulmia + 1)
plot: copy[]
append plot compose [
line-width 5
line
]
for alfa 0 360 dkulma [
x: x0 + (r * cosine alfa)
y: y0 + (r * sine alfa) + 40
append plot compose [
(as-pair x y)
]
]
main: layout [
box (as-pair (maxx) (maxy)) white effect reduce ['draw plot]
]
kuva: copy/part skip to-image main 20x20 (as-pair maxx maxy)
save/png to-file rejoin ["kulmia_" kulmia ".png"] kuva
print kulmia
kulmia: kulmia + 1
false
]
halt

[Abezethibou]

Tuohan on hauska. Sille että ympyrässä ei ole kulmia on erilaisia matemaattisia todistuksia. Yksi on se, että ympyrän Hausdorff-dimensio on yksi. Saa kyllä joku muu kirjoitella todistukset tänne auki. Niin ja tervetuloa foorumille.

[Keckman]

Kiitos! Olen aiemmin vaikuttanut nimimerkillä Kekkuli Tiede-lehden foorumilla — tämänhän voisi kai sanoa olevan sen eräänlainen perillinen? Ainakin täällä näyttää olevan tuttuja naamoja, kuten Goswell.

Mainitsit, että yksi todistus ympyrän kulmattomuudelle perustuu siihen, että sen Hausdorff-dimensio on yksi. Kuulostaa hämäräperäiseltä ja tarpeettoman monimutkaiselta.

Minun todistukseni on sen sijaan silmillä havaittavissa. Sen ymmärtää lapsikin.

Maailma — jopa tiedemaailma — on täynnä kaikenlaista informaatiosaastaa, jota kukaan ei uskalla kyseenalaistaa kasvojen menettämisen pelossa. Jos matemaattiseen paradigmaan on kerran hyväksytty jokin “Hausdorff-dimensio -todistus”, siihen uskotaan mukisematta, vaikkei kukaan oikeasti ymmärrä sitä.

Sait minut kyllä hymyilemään — annoit vaikutelman, että et itsekään täysin ymmärrä todistusta, mutta uskot siihen, koska viisaammat ovat sanoneet niin.

[Eusa]

Jos ympyrässä olisi äärettömästi kulmia äärimmäisen monimutkaisena fraktaalina, eli nollasta eri arvoin eroavia kulmia ja tasoa täyttäen, sen Hausdorff-dimensio lähestyisi rajatta kahta.

[Keckman]

Jos ympyrässä olisi äärettömästi kulmia äärimmäisen monimutkaisena fraktaalina, eli nollasta eri arvoin eroavia kulmia ja tasoa täyttäen, sen Hausdorff-dimensio lähestyisi rajatta kahta.

Valitettavasti en voi esittää vasta-argumenttia, koska en ymmärrä käsitettä Hausdorff-dimensio. Et siis saa minua vakuuttuneeksi.

Otetaanpa sen sijaan käyttöön historiallinen viitekehys. Jo Arkhimedes laski piin likiarvon piirtämällä säännöllisiä monikulmioita ympyrän sisään ja ulkopuolelle. Hän käytti 96-sivuista monikulmiota ja osoitti, että mitä enemmän sivuja lisätään, sitä paremmin monikulmio lähestyy ympyrää.

Toisin sanoen: jo Arkhimedes tiesi, että ympyrä on raja-arvo, kun kulmien määrä kasvaa kohti ääretöntä.

Vanhassa vara parempi.

[Abezethibou]

Minä en jaksa nyt kirjoitella matikkaa ja ajattelin muutenkin lopettaa sen täällä. Jos unohdetaan se ja käytetään maalaisjärkeä, niin tuntuisi hassulle, että harppi piirtää äärettömän määrän kulmia.

[Keckman]

...käytetään maalaisjärkeä, niin tuntuisi hassulle, että harppi piirtää äärettömän määrän kulmia.

Hyvä ja käytännönläheinen vasta-argumentti!
Jätän asian hautumaan ja yritän keksiä viimeistään huomiseksi jotain yhtä nokkelaa ja viisasta vastaiskua.
Palataan asiaan – harppi ei pääse näin helpolla!

[QS]

Riippu ehkä siitä mitä 'kulma' tarkoittaa, ja miten se nimenomaan tässä yhteydessä määritellään. Jos vedän hatusta väitteen, että sileä funktio (jokaisen kertaluvun derivaatta on jatkuva) ei sisällä kulmia, niin on helppo osoittaa, että euklidisen xy-tason käyrä \(x^2+y^2 = r\) on sileä ja näin olleen ympyrässä ei ole kulmia.

[Keckman]

Mennään nyt ihan perusteisiin.

Ympyrä määritellään niiden pisteiden joukoksi, jotka ovat tietyllä säteen etäisyydellä sen keskipisteestä.

Tässä on kuvassa kaksi esimerkkipistettä, A ja B, jotka ovat kumpikin etäisyydellä r keskipisteestä. Niiden välinen kulma on alfa.



Kun tarkastellaan ympyrän vierekkäisiä pisteitä, niiden etäisyys lähestyy nollaa – ja silloin myös kulma alfa lähestyy nollaa.

Kuitenkin koko ympyrän kulma on 360 astetta.
Mutta äärellinen määrä nollakulmia ei voi koskaan summata 360 asteeseen, sillä mikä tahansa luonnollinen luku kerrottuna nollalla on edelleen nolla.

Siis: ympyrän alfa-kulmia täytyy olla ääretön määrä.

m.o.t. (mikä oli todistettava)

[Eusa]

Mennään nyt ihan perusteisiin.

Ympyrä määritellään niiden pisteiden joukoksi, jotka ovat tietyllä säteen etäisyydellä sen keskipisteestä.

Tässä on kuvassa kaksi esimerkkipistettä, A ja B, jotka ovat kumpikin etäisyydellä r keskipisteestä. Niiden välinen kulma on alfa.



Kun tarkastellaan ympyrän vierekkäisiä pisteitä, niiden etäisyys lähestyy nollaa – ja silloin myös kulma alfa lähestyy nollaa.

Kuitenkin koko ympyrän kulma on 360 astetta.
Mutta äärellinen määrä nollakulmia ei voi koskaan summata 360 asteeseen, sillä mikä tahansa luonnollinen luku kerrottuna nollalla on edelleen nolla.

Siis: ympyrän alfa-kulmia täytyy olla ääretön määrä.

m.o.t. (mikä oli todistettava)

Kompastus tuossa on se, että määrittelet diskreetin pistejoukon, et jatkuvaa jatkumoa.