Ympyrässä on perustellusti äärettömästi kulmia

[Keckman]

Kompastus tuossa on se, että määrittelet diskreetin pistejoukon, et jatkuvaa jatkumoa.

Mutta eikö juuri ääretön määrä diskreettejä pisteitä olekin jatkumo?

[QS]

Mennään nyt ihan perusteisiin.

Ympyrä määritellään niiden pisteiden joukoksi, jotka ovat tietyllä säteen etäisyydellä sen keskipisteestä.

Ympyrän määritelmästä lähtien: Ympyrä \(C\), jonka keskipiste on \(p_0\) ja säde \(r\), määritellään pisteiden \(p\) joukkona siten, että \(C = \{p \in \mathbb{R}^2\ |\ d(p_o,p)=r \}\), missä \(d\) on metriikka.

Euklidisen xy-tason metriikka \(d(p_0,p) = \sqrt{(\ x(p)-x(p_0)\ )^2+(\ y(p)-y(p_0)\ )^2}\).

Kun koordinaatistoon valitaan keskipiste \(p_0=(a,b)\), ja ympyrän pistejoukoksi \(p=(x,y) \in \mathbb{R}^2\), niin ympyrän esitys on \((x-a)^2+(x-b)^2=r^2\). Tämä on sileä käyrä, johon edellä viittasin.

Ympyrä voidaan kirjoittaa myös koordinaattifunktioina \((\ x(\theta),\ y(\theta) \ )=(a+r\cos\theta,b+r\sin\theta)\). Tämä on koordinaattikuvaus parametriavaruudesta \(\theta \in [0, 2\pi)\) tasolle \(\mathbb{R}^2\). Kuvaus on jatkuva, äärettömän monta kertaa derivoituva, ja jokaisen kertaluvun derivaatta on jatkuva.

Parametriavaruus \([0, 2\pi)\) on reaalilukujen osajoukko, ja se on myös ylinumeroituvasti ääretön joukko. Eli kun lähdetään ympyrän täsmällisestä määritelmästä, niin parametriavaruus ei ole diskreetti, vaan "jatkuva" reaaliulukujen osajoukko.

p.s Laitoin "jatkuvuuden" lainausmerkkeihin, sillä matemaatikko kai sanoisi polkuyhtenäinen topologinen avaruus tjsp.

[Keckman]

Ympyrän määritelmästä lähtien: Ympyrä \(C\), jonka keskipiste on \(p_0\) ja säde \(r\), määritellään pisteiden \(p\) joukkona siten, että \(C = \{p \in \mathbb{R}^2\ |\ d(p_o,p)=r \}\), missä \(d\) on metriikka.

Euklidisen xy-tason metriikka \(d(p_0,p) = \sqrt{(\ x(p)-x(p_0)\ )^2+(\ y(p)-y(p_0)\ )^2}\).

Kun koordinaatistoon valitaan keskipiste \(p_0=(a,b)\), ja ympyrän pistejoukoksi \(p=(x,y) \in \mathbb{R}^2\), niin ympyrän esitys on \((x-a)^2+(x-b)^2=r^2\). Tämä on sileä käyrä, johon edellä viittasin.

Ympyrä voidaan kirjoittaa myös koordinaattifunktioina \((\ x(\theta),\ y(\theta) \ )=(a+r\cos\theta,b+r\sin\theta)\). Tämä on koordinaattikuvaus parametriavaruudesta \(\theta \in [0, 2\pi)\) tasolle \(\mathbb{R}^2\). Kuvaus on jatkuva, äärettömän monta kertaa derivoituva, ja jokaisen kertaluvun derivaatta on jatkuva.

Parametriavaruus \([0, 2\pi)\) on reaalilukujen osajoukko, ja se on myös ylinumeroituvasti ääretön joukko. Eli kun lähdetään ympyrän täsmällisestä määritelmästä, niin parametriavaruus ei ole diskreetti, vaan "jatkuva" reaaliulukujen osajoukko.

p.s Laitoin "jatkuvuuden" lainausmerkkeihin, sillä matemaatikko kai sanoisi polkuyhtenäinen topologinen avaruus tjsp.

Vastauksesi on minulle aika kryptinen ja sisältää käsitteitä, kuten metriikka ja parametriavaruus, jotka eivät ole minulle tuttuja.
Itse olen enemmän intuitiivinen ajattelija kuin eksakti matemaatikko. Ehkä olenkin väärällä osastolla tämän kysymykseni kanssa.
Filosofis-taiteellisesta näkökulmasta näen ympyrän kuitenkin edelleen monikulmiona, jossa on äärettömästi kulmia.
Mutta ei väitellä — pidän oman näkemykseni ja annan matematiikan pitää omansa. Kiitos, että jaksoit avata näkökulmasi näin perusteellisesti!

[Abezethibou]

Äärettömästi zoomattu ympyrän kaari on matemaattisesti suora viiva?

[QS]

Ympyrän määritelmästä lähtien: Ympyrä \(C\), jonka keskipiste on \(p_0\) ja säde \(r\), määritellään pisteiden \(p\) joukkona siten, että \(C = \{p \in \mathbb{R}^2\ |\ d(p_o,p)=r \}\), missä \(d\) on metriikka.

Euklidisen xy-tason metriikka \(d(p_0,p) = \sqrt{(\ x(p)-x(p_0)\ )^2+(\ y(p)-y(p_0)\ )^2}\).

Kun koordinaatistoon valitaan keskipiste \(p_0=(a,b)\), ja ympyrän pistejoukoksi \(p=(x,y) \in \mathbb{R}^2\), niin ympyrän esitys on \((x-a)^2+(x-b)^2=r^2\). Tämä on sileä käyrä, johon edellä viittasin.

Ympyrä voidaan kirjoittaa myös koordinaattifunktioina \((\ x(\theta),\ y(\theta) \ )=(a+r\cos\theta,b+r\sin\theta)\). Tämä on koordinaattikuvaus parametriavaruudesta \(\theta \in [0, 2\pi)\) tasolle \(\mathbb{R}^2\). Kuvaus on jatkuva, äärettömän monta kertaa derivoituva, ja jokaisen kertaluvun derivaatta on jatkuva.

Parametriavaruus \([0, 2\pi)\) on reaalilukujen osajoukko, ja se on myös ylinumeroituvasti ääretön joukko. Eli kun lähdetään ympyrän täsmällisestä määritelmästä, niin parametriavaruus ei ole diskreetti, vaan "jatkuva" reaaliulukujen osajoukko.

p.s Laitoin "jatkuvuuden" lainausmerkkeihin, sillä matemaatikko kai sanoisi polkuyhtenäinen topologinen avaruus tjsp.

Vastauksesi on minulle aika kryptinen ja sisältää käsitteitä, kuten metriikka ja parametriavaruus, jotka eivät ole minulle tuttuja.
Itse olen enemmän intuitiivinen ajattelija kuin eksakti matemaatikko. Ehkä olenkin väärällä osastolla tämän kysymykseni kanssa.
Filosofis-taiteellisesta näkökulmasta näen ympyrän kuitenkin edelleen monikulmiona, jossa on äärettömästi kulmia.
Mutta ei väitellä — pidän oman näkemykseni ja annan matematiikan pitää omansa. Kiitos, että jaksoit avata näkökulmasi näin perusteellisesti!

Älä toki luovuta. Nimittän voin kirjoittaa tuohon edelliseen kirjoitukseeni myös joitakin vasta-argumentteja, joilla pyrin kumoamaan oman kirjoitukseni

Tällainen juupaseipäs-jappastelu on tiedepalstojen olemassaolon syy.

[Abezethibou]

Äärettömästi zoomattu ympyrän kaari on matemaattisesti suora viiva?

\(f_\lambda(x) = \lambda\, f\!\left(\frac{x}{\lambda}\right)
= \frac{x^2}{2R\lambda} + O\!\left(\frac{x^4}{\lambda^3}\right)\)
\(\lim_{\lambda\to\infty} f_\lambda(x) = 0\)

Joo no mä jotain Taylor juttuja aloin miettimään, mutta lupasin jo että ei matikkaa kun en sitä osaa.

[Keckman]

Äärettömästi zoomattu ympyrän kaari on matemaattisesti suora viiva?

Päästäänpä vihdoin matematiikan filosofiaan – siitä minä pidän!

Matematiikassa raja-arvot määritellään todellisiksi olioiksi, vaikka todellisuudessahan mikään äärettömän monta termiä sisältävä summa ei koskaan saavuta raja-arvoaan.

Esimerkiksi sarja 1 + 1/2 + 1/4 + ... ei koskaan tule tasan kahteen, vaikka se lähestyy sitä äärettömän lähelle.

Samalla tavalla, jos sanot että “äärettömän ison ympyrän kaari on suora”, olet juuri siinä matematiikan leikissä mukana – raja-arvojen maailmassa. Ja niillähän matematiikka rakastaa leikkiä.

[Disputator]

Äärettömästi zoomattu ympyrän kaari on matemaattisesti suora viiva?

Tämä oli ihan hyvä huomio, kun asiaa miettii tarkemmin. Suurella suurennoksella mikroskoopissa ympyrän kaari vaikuttaa suoralta, eli mitä suurempi suurennos, sitä "suoremmalta" kaaren pätkä vaikuttaa. Mutta ympyrän kaari itse ei suoristu vaan se on edelleen sama ympyrän kaari.

Ympyränkaarella on nimittäin tietty muuttumaton kaarevuus \(\kappa=1/R\), missä R on ympyrän säde, kun taas suoralla viivalla kaarevuus \(\kappa= 0\). Kumpikaan kaarevuus ei muutu zoomatessa, joten ympyränkaari ei muutu suoraksi lisäämällä suurennusta (kun mittayksiköt huomioidaan)

Eri asia on sitten piirtää R-säteinen ympyrä, jolla siis kaarevuus \(\kappa=1/R\) ja sitten kasvattaa vähitellen säteen R arvoa. Tässä prosessissa ympyrän kaari suoristuu oikeasti koska kaarevuus \(\kappa\) pienenee säteen kasvaessa.

Vai miten tuo pitäisi ajatella?

[QS]

Päivää! Minäkin aiemmin sanoin, että kehitin vasta-argumentin, jolla (muka) yritän nähdä ympyrän kaaren suorina viivoina.

Ympyrä voidaan määritellä 1-dimensiosena sileänä monistona \(S^1\). Määritelmästä seuraa, että pisteiden \(p \in S^1\) paikallinen ympäristö \(U \subset S^1\) ja reaalilukujana \(\mathbb R\) ovat homeomorfiset. Tai voidaan sanoa, että on olemassa pisteen \(p\) ympäristö \(U\) siten, että koordinaattikuvaus \(x: U \to \mathbb R\) on homeomorfismi.

\(S^1\) on siis paikallisesti euklidinen reaalilukujana. Voisin nyt väittää, että tarpeeksi lähelle 'zoomaus' johtaa siihen, että kyseessä on suora viiva, ja diskreetti ympyrän kaaren osa.

Tässä mun päättelyssä on kuitenki se probleemi, että paikallinen homeomorfismi ei tee ympyrästä diskreettiä rakennetta, joka olisi epäjatkuvista viivoista muodostuva kaari. Paremminkin kyse on kai raja-arvosta, joka saadaan tarkastelemalla paikallista avointa joukkoa \(U\). 'Zoomauksen' jälkeenkin \(\mathbb R\) on ylinumeroituva määrä toisiinsa kytkettyjä pisteitä, ja diskreettiä rakennetta ei ole löytynyt.

Eri asia on sitten piirtää R-säteinen ympyrä, jolla siis kaarevuus \(\kappa=1/R\) ja sitten kasvattaa vähitellen säteen R arvoa. Tässä prosessissa ympyrän kaari suoristuu oikeasti koska kaarevuus \(\kappa\) pienenee säteen kasvaessa.

Vai miten tuo pitäisi ajatella?

Vai onko sittenkin niin päin, että suora viiva on mielivaltaisen suuren ympyrän kaaren osa, eikä niin päin, että mielivaltaisen suuri ympyrä muodostuu suorista viivoista

Jätin tarkoituksella sanomatta \(R \to \infty\), sillä \(\infty \not\in \mathbb R\), ja sen sijaan mielivaltaisen suuri \(R \in \mathbb R\) (viitaten erääseen äärettömyys-keskusteluun, heh).

[PremiumZero]

Se toinen (maanläheisempi) tiedepalsta näkyy olevan lomalla, joten tulin katselemaan tätä, ja tähän ympyräjuttuun tekee mieli ottaa kantaa.

Mitä tarkoittaa "ympyrässä on ääretön määrä kulmia"? Ilmeisesti nyt sitä, että kehältä voi poimia äärettömän määrän pisteitä tasavälein ja sitten yhdistää ne janoilla*. No, näitä tasavälisiä pisteitä voi poimia yhden tai kaksi tai kolme tai sata tai miljardi kappaletta, mitään ylärajaa ei ole. Ja silloinhan sanotaan, että lukumäärä on ääretön.

Jos kiistät näiden kulmien äärettömän määrän, kiistät monta muutakin yleisesti hyväksyttyä väitettä, esimerkiksi sen, että ympyrässä on ääretön määrä jänteitä.

Eli ilman muuta annan ääneni väitteelle "ympyrässä on ääretön määrä kulmia", myös tässä nyt tarkoitetussa mielessä.

*Oikeastaan puolisuorilla.