Matematiikka on huijausta. Lukuja ei ole.

[Keckman]

Cantorin todistus edellyttää, että koko ääretön lista on käyty läpi.

Höpö höpö. Ei edellytä. Riittää, että \(\exists I : \varnothing \in I \wedge \forall a(a \in I \Rightarrow a \cup \{a\} \in I)\). Kun \(I\) on olemassa, voidaan muodostaa lukujoukkoja, joita ei tarvitse konkreettisesti luetteloida, kuten ei tarvitse myöskään joukkoa \(I\).

Kiitos kaavastasi, mutta sinun esittämäsi lause ∃I:  ∅∈I  ∧  ∀a(a∈I⇒a∪{a}∈I) ∃I:∅∈I∧∀a(a∈I⇒a∪{a}∈I) ei todista mitään siitä, mistä puhumme. Se Zermelo–Fraenkel-joukko-opin äärettömyysaksiooma. Se ei siis todista mitään Cantorin diagonaalista, vaan yksinkertaisesti postuloi:

"Oletamme, että on olemassa ääretön joukko."

Tämä ei ole argumentti, vaan aksiooma, joka yksinkertaisesti postuloi äärettömyyden olemassaolon.

Toisin sanoen:

'“On olemassa ääretön joukko.”, Koska minä sanon niin.'

Tämä ei siis ratkaise diagonaalimenetelmän ongelmaa – tämä vain oletetaan valmiiksi todeksi.

Siksi on väärin väittää, kuten teet:

“Ei tarvitse konkreettisesti luetella.”

Toki ei tarvitse printata mitään paperille. Mutta diagonaalimenetelmällä on yksi olennainen vaatimus:

Reaalilukujen lista on olemassa valmiiksi kokonaisena objektina.

Diagonaaliargumentti käy läpi kaikki rivit indeksillä n ja muodostaa uuden luvun r(n)[n]. Tämä onnistuu vain, jos lista on käsitteellisesti valmis ja sisältää jokaisen rivin:

- äärettömän monta riviä
- jokaisen rivin äärettömän monta desimaalia
- kaikki reaaliluvut (edes välillä 0–1)

Mitä äärettömyysaksiooma sanoo tästä?

Ei mitään.

Aksiooma:

- ei konstruoi luettavaa listaa,
- ei todista listan olemassaoloa,
- ei oikeuta diagonaalin “käymistä läpi”,

eikä kiellä, etteikö siitä johdu ristiriita.

Se vain julistaa, että jokin ääretön joukko on olemassa. Sillä on sama todistusarvo kuin:

“On olemassa yksisarvinen.”
“Miksi?”
“Koska aksiooma.”

Diagonaali edellyttää juuri sitä, mitä minä kritisoin:

että ääretön, täydellinen lista on olemassa. Muuten diagonaali ei ole edes määritelty.

Sinun “höpö höpö” ei muuta tätä tosiasiaksi lennähtämällä kaavaan, jonka ainoa sisältö on:

“Ääretön on olemassa.”

Minun väitteeni on paljon tarkempi:

✔ Jokaisessa konstruktion vaiheessa luku on äärellinen.
✔ Äärettömäksi se muuttuu vain jos ääretön lista oletetaan läpikäydyksi.
✔ Tämä tuottaa ristiriidan: äärellinen muuttuu äärettömäksi.
✔ Sama logiikka tekee Cantorin diagonaalista itseään ruokkivan olettaman.

Kun siis sanot:

“Cantorin todistus ei edellytä, että ääretön lista on käyty läpi.”

niin se on virhe. Diagonaali on määritelty vain valmiin äärettömän listan suhteen.

Jos lista ei ole valmis → diagonaalia ei ole. Jos lista on valmis → siirryt jo äärettömyysaksiooman varaan → oletus, ei todistus.

[QS]

Cantorin todistus edellyttää, että koko ääretön lista on käyty läpi.

Höpö höpö. Ei edellytä. Riittää, että \(\exists I : \varnothing \in I \wedge \forall a(a \in I \Rightarrow a \cup \{a\} \in I)\). Kun \(I\) on olemassa, voidaan muodostaa lukujoukkoja, joita ei tarvitse konkreettisesti luetteloida, kuten ei tarvitse myöskään joukkoa \(I\).

Kiitos kaavastasi, mutta sinun esittämäsi lause ∃I:  ∅∈I  ∧  ∀a(a∈I⇒a∪{a}∈I) ∃I:∅∈I∧∀a(a∈I⇒a∪{a}∈I) ei todista mitään siitä, mistä puhumme. Se Zermelo–Fraenkel-joukko-opin äärettömyysaksiooma. Se ei siis todista mitään Cantorin diagonaalista, vaan yksinkertaisesti postuloi:

"Oletamme, että on olemassa ääretön joukko."

Tämä ei ole argumentti, vaan aksiooma, joka yksinkertaisesti postuloi äärettömyyden olemassaolon.

Toisin sanoen:

'“On olemassa ääretön joukko.”, Koska minä sanon niin.'

Tämä ei siis ratkaise diagonaalimenetelmän ongelmaa – tämä vain oletetaan valmiiksi todeksi.

Siksi on väärin väittää, kuten teet:

“Ei tarvitse konkreettisesti luetella.”

Argumenttisi eivät ole matematiikkaa vaan kekkulitiikkaa. Kun äärettömyysaksiooma ja joukko I on määritelty, niin luettelointia ei enää tarvita. Matematiikassa joukon määrittelyn jälkeen tuon joukon alkiot ovat olemassa ilman konkreettista luettelointia. Kekkulitiikassa asiat voivat olla toisin, ja se sallittakoon. En ole kekkulitiikan sääntöjä tähän mennessä ymmärtänyt, enkä haluakaan.

[Keckman]

Cantorin todistus edellyttää, että koko ääretön lista on käyty läpi.

Höpö höpö. Ei edellytä. Riittää, että \(\exists I : \varnothing \in I \wedge \forall a(a \in I \Rightarrow a \cup \{a\} \in I)\). Kun \(I\) on olemassa, voidaan muodostaa lukujoukkoja, joita ei tarvitse konkreettisesti luetteloida, kuten ei tarvitse myöskään joukkoa \(I\).

Kiitos kaavastasi, mutta sinun esittämäsi lause ∃I:  ∅∈I  ∧  ∀a(a∈I⇒a∪{a}∈I) ∃I:∅∈I∧∀a(a∈I⇒a∪{a}∈I) ei todista mitään siitä, mistä puhumme. Se Zermelo–Fraenkel-joukko-opin äärettömyysaksiooma. Se ei siis todista mitään Cantorin diagonaalista, vaan yksinkertaisesti postuloi:

"Oletamme, että on olemassa ääretön joukko."

Tämä ei ole argumentti, vaan aksiooma, joka yksinkertaisesti postuloi äärettömyyden olemassaolon.

Toisin sanoen:

'“On olemassa ääretön joukko.”, Koska minä sanon niin.'

Tämä ei siis ratkaise diagonaalimenetelmän ongelmaa – tämä vain oletetaan valmiiksi todeksi.

Siksi on väärin väittää, kuten teet:

“Ei tarvitse konkreettisesti luetella.”

Argumenttisi eivät ole matematiikkaa vaan kekkulitiikkaa. Kun äärettömyysaksiooma ja joukko I on määritelty, niin luettelointia ei enää tarvita. Matematiikassa joukon määrittelyn jälkeen tuon joukon alkiot ovat olemassa ilman konkreettista luettelointia. Kekkulitiikassa asiat voivat olla toisin, ja se sallittakoon. En ole kekkulitiikan sääntöjä tähän mennessä ymmärtänyt, enkä haluakaan.

Et tunnu ymmärtävän mitä numeroituvuus tarkoittaa. Et siis ymmämrrä matematiikkaa etkä kekkulitiikkaa.

Numeroituvuus tarkoittaa juuri sitä, että joukon alkiot voidaan luetella jossain järjestyksessä ja liittää bijektiivisesti luonnolliseen lukuun.

Jos et ymmärrä kekkulitiikkaa, niin miksi sinulla on niin voimakkaita mielipiteitä siitä?

Tämä muistuttaa enempi psykologisia egon torjuntailmiöitä kuin tieteellistä depattia.

[QS]

Cantorin todistus edellyttää, että koko ääretön lista on käyty läpi.

Höpö höpö. Ei edellytä. Riittää, että \(\exists I : \varnothing \in I \wedge \forall a(a \in I \Rightarrow a \cup \{a\} \in I)\). Kun \(I\) on olemassa, voidaan muodostaa lukujoukkoja, joita ei tarvitse konkreettisesti luetteloida, kuten ei tarvitse myöskään joukkoa \(I\).

Kiitos kaavastasi, mutta sinun esittämäsi lause ∃I:  ∅∈I  ∧  ∀a(a∈I⇒a∪{a}∈I) ∃I:∅∈I∧∀a(a∈I⇒a∪{a}∈I) ei todista mitään siitä, mistä puhumme. Se Zermelo–Fraenkel-joukko-opin äärettömyysaksiooma. Se ei siis todista mitään Cantorin diagonaalista, vaan yksinkertaisesti postuloi:

"Oletamme, että on olemassa ääretön joukko."

Tämä ei ole argumentti, vaan aksiooma, joka yksinkertaisesti postuloi äärettömyyden olemassaolon.

Toisin sanoen:

'“On olemassa ääretön joukko.”, Koska minä sanon niin.'

Tämä ei siis ratkaise diagonaalimenetelmän ongelmaa – tämä vain oletetaan valmiiksi todeksi.

Siksi on väärin väittää, kuten teet:

“Ei tarvitse konkreettisesti luetella.”

Argumenttisi eivät ole matematiikkaa vaan kekkulitiikkaa. Kun äärettömyysaksiooma ja joukko I on määritelty, niin luettelointia ei enää tarvita. Matematiikassa joukon määrittelyn jälkeen tuon joukon alkiot ovat olemassa ilman konkreettista luettelointia. Kekkulitiikassa asiat voivat olla toisin, ja se sallittakoon. En ole kekkulitiikan sääntöjä tähän mennessä ymmärtänyt, enkä haluakaan.

Et tunnu ymmärtävän mitä numeroituvuus tarkoittaa. Et siis ymmämrrä matematiikkaa etkä kekkulitiikkaa.

Numeroituvuus tarkoittaa juuri sitä, että joukon alkiot voidaan luetella jossain järjestyksessä ja liittää bijektiivisesti luonnolliseen lukuun.

Jos et ymmärrä kekkulitiikkaa, niin miksi sinulla on niin voimakkaita mielipiteitä siitä?

Matematiikassa joukko \(S\) on 'numeroituva', kun mahtavuus on äärellinen tai mahtavuus on sama kuin \(\mathbb N\). Joukko \(S\) on numeroituvasti ääretön, kun on olemassa bijektio \(f: \mathbb N \to S\). Kuvausta ei tarvitse kirjoittaa konkreettisena luettelona, vaan kuvauksen olemassa olo ja ominaisuudet riittävät. Ylinumeroituvasti äärettömälle joukolle ei ole olemassa bijektiota \(f\).

Cantorin argumentissa tutkitaan kaikkia mahdollisia kuvauksia \(f\), ja mitään konkreettista luetteloa ei tarvita.

Mulla ei ole mielipiteitä kekkulitiikasta, mutta matematiikasta hallitsen mielestäni useitakin asioita riittävän hyvin. Sinulla puolestaan on se ongelma, että käytät matematiikan käsitteistöä kekkulitiikassa. Ne ovat väärin. Sinun tulisi kehittää kekkulitiikkaan oma käsitteistö, jotta ei sekoitu matematiikan käsitteistöön.

[Naturalisti]

Tarkentava kysymys: onko matematiikka vain kieli vai vai myös "totuus"?

En ymmärrä kysymystäsi.

Edellä - viestissä, mikä ei ollut kenellekään vastaus - pohdin sitä, että käytännössä "suurin osa" reaaliluviista on sellaisia, että niille ei ole mitään esitysmuotoa, jos hyväksymme äärettömän pitkät desimaalikehitelmät ja pohdin, ovatko ne edes tosioevaisia. Toki esimerkiksi piissä on ääretön määrä desimaaleja, mutta sille onkin algoritmi ja määritelmä, mutta nykyreaalilukujen joukossa, suurin osa on sellaisia, että niille ei olle mitään määritelmää, algoritmia tai esitysmuotoa. Lue se.

Tuossa edellä olevassa viestissä kuvailet vain matematiikan ominaisuuksia, mutta et vastaa siinä alkuperäiseen kysymykseeni. Toiston välttämiseksi kopioin tähän alkuperäisen – avaukseesi liittyvän – kysymyksen, johon et ole vielä vastannut:

Todellisuudessa maailma on yksi ja jakamaton.
Lapsi oppii harhaisesti luvut ja jakamisen taidon, kun hänelle osoitetaan omenaa ja sanotaan:
“Katso, Pekka — tässä on yksi omena, ja tässä toinen.”

Mutta tosiasiassa todellisuudessa ei ole kahta omenaa.
On vain yksi, jakamaton kokonaisuus, jota ihmismieli on opetettu pilkkomaan osiin.

Niinpä jopa luonnolliset luvut ovat vain kielellinen ja mentaalinen harha — tapa järjestää havaintoja, ei kuva todellisuudesta itsestään. Matematiikka on siis eräänlainen nerokas huijaus, mutta ei ole tosi.

Tämä on kiinnostava keskustelun avaus, mutta keskustelu näyttää kääntyneen otsikon aiheesta "mitä matematiikka on?" sen sisäisten lainalaisuuksien pohdintaan. Haluaisin palata vielä tähän peruskysymykseen.

En nyt kuitenkaan väittäisi, että matematiikka on suoranaista huijausta, vaan kannatan pikemmin fiktionalistista näkemystä: matematiikka on hyödyllinen fiktio ja se on olemassa vain ihmisten mielikuvituksessa. Toisinsanoen sillä ei ole materiaalista olemassaoloa ihmismielen materiaalisten prosessien ulkopuolella.

Yhdyn näkemyksesi, että maailma on jakamaton, mutta todennäköisesti se on kuitenkin kvantittunut ja muodostaa erikokoisia agrekaatteja. Ne kaikki ovat kuitenkin vain yksilöolioita.

Mielen mekanismi etsii kuitenkin aistimusvirrasta spatiotemporaalisia invariansseja ja luo niistä mielikuvia (vaikka omenoista) ja niiden välisiä suhteita ("luonnonlakeja") kyetäkseen ennustamaan tulevaa ja toimimaan rationaalisesti. Kun sitten keksittiin kieli, voitiin näistä mielikuvista keskustella lauman jäsenten kesken.

Matematiikka on siinä suhteessa erikoinen kieli, ettei sen olioilla ole vastinetta mielen ulkopuolisessa materiaalisessa todellisuudessa. Sitä voidaan kuitenkin käyttää apuneuvona realimaailmasta saatujen empiiristen havaintojen organisoinnissa. Se itsessään ei anna mitään tietoa todellisuudesta.

Olemmeko edellä sanotusta samaa mieltä?

Kun et vastannut, vaan vain kiertelin kysymystä, pyysin tarkennusta:

Yritin seurata kommentissani sinun avauksessa esittämäsi (kuten nyt sanot provokatiivista) havainnollistavaa logiikkaa. Olisin toivonut sinun kommentoivan sitä – mitä siinä mahdollisesti on huomautettavaa.

Jos Galileo Galilei on sanonut: "Luonnonlait ovat kirjoitettu matematiikan kielellä", niin onko se vasta-argimentti esittämälleni pohdinnalle?

Empiiristen kokemusten tulokset voidaan todellakin esittää luonnonlakien matemaattisina efektiivisinä kuvauksina, mutta ne ovat kuitenkin vain kuvauksia ei itse todellisuutta.

Sitäpaitsi tarkoitetaanko tuossa sitä, että kuvaukset on kirjoitettu matematiikalla vai että luonnonlait noudattaa matematiikkaa.

Tuo matematiikan historian kuvaus ei myöskään avannut yhtään lisää tätä kysymystä. Ja lopuksi toteat asian olevan mysteeri.

Tarkentava kysymys: onko matematiikka vain kieli vai vai myös "totuus"?

Tässä on tarkennettu ja toivottavasti ymmärrettävissä oleva kysymys: kuvaako matematiikan kieli todellisuutta vai ihmisten käsityksiä todellisuudesta?

[Keckman]

Tässä on tarkennettu ja toivottavasti ymmärrettävissä oleva kysymys: kuvaako matematiikan kieli todellisuutta vai ihmisten käsityksiä todellisuudesta?

Taidan olla jonkinlaiseen solipsismiin taipuvainen. Ainoa mitä meillä on, on tietoisuutemme. Todellisuus on jonkin lauseen totuusarvo kielessämme. Ludwig Wittgenstein: "Kielemme rajat ovat maailmamme rajat". Matematiikkakin on kieli. Sen sisällä jokin lause voi olla joko tosi tai epätosi. Eli vastaisin että molempia:

Matematiikan kieli kuvaa todellisuutta ja ihmisen käsityksiä todellisuudesta.

Ei ole olemassa annettua todellisuutta kielemme ulkopuolella. Kaikki käsitykset kuvaavat siis todellisuutta. Jotkut niistä ovat kielessään tosia tai ristiriitaisia. Jos ne ovat ristiriitaisia tai tuottavat ristiriidan, niin tapanamme on sanoa, että käsitys on epätosi.

[Naturalisti]

Tässä on tarkennettu ja toivottavasti ymmärrettävissä oleva kysymys: kuvaako matematiikan kieli todellisuutta vai ihmisten käsityksiä todellisuudesta?

Taidan olla jonkinlaiseen solipsismiin taipuvainen. Ainoa mitä meillä on, on tietoisuutemme. Todellisuus on jonkin lauseen totuusarvo kielessämme. Ludwig Wittgenstein: "Kielemme rajat ovat maailmamme rajat". Matematiikkakin on kieli. Sen sisällä jokin lause voi olla joko tosi tai epätosi. Eli vastaisin että molempia:

Matematiikan kieli kuvaa todellisuutta ja ihmisen käsityksiä todellisuudesta.

Ei ole olemassa annettua todellisuutta kielemme ulkopuolella. Kaikki käsitykset kuvaavat siis todellisuutta. Jotkut niistä ovat kielessään tosia tai ristiriitaisia. Jos ne ovat ristiriitaisia tai tuottavat ristiriidan, niin tapanamme on sanoa, että käsitys on epätosi.

Kiitos vastauksestasi, Keckman. Haluan tarkentaa omaa kantaani:

Materialistisesta ontologiasta ja tietoteoreettisesti epäsuorasta realismista katsottuna todellisuus on olemassa ihmismielen ulkopuolella, vaikka meidän kokemuksemme siitä tapahtuvat mielen virtuaalitodellisuudessa eli tietoisuudessa. Voin siis olla samaa mieltä, että ajatuksissamme elämme mielen sisäisessä virtuaalitodellisuudessa, mutta se ei tee todellisuudesta solipsistista.

Wittgensteinin siteeraus viittaa totuuteen kielen sisällä, eli mielen virtuaalitodellisuudessa. Materialistisesta näkökulmasta mielen ulkopuolisessa reaalitodellisuudessa ei ole totuuksia eikä matematiikkaa – nämä ovat ihmisen kehittämiä, hyödyllisiä fiktiivisiä järjestelmiä, joiden avulla voimme organisoida ja mallintaa empiirisiä havaintoja.

Matematiikan kieli on siis apuneuvo, ei suora väline todellisuuden tuntemiseen. Se ei anna tietoa todellisuudesta sinänsä; tietoa saadaan vain empiirisistä havainnoista ja kokemuksista.

Lopuksi: ei ole olemassa metafyysistä annettua todellisuutta kieltemme ulkopuolella. On vain oletuksia todellisuudesta, jotka meidän on tarkistettava empiiristen kokemusten avulla. Matematiikka on tässä mielessä tehokas työkalu, mutta se ei ole totuus, vaan fiktiivinen konstruktio, jonka avulla voimme jäsentää havaintoja ja tehdä ennusteita

[QS]

Matematiikan kieli on siis apuneuvo, ei suora väline todellisuuden tuntemiseen. Se ei anna tietoa todellisuudesta sinänsä; tietoa saadaan vain empiirisistä havainnoista ja kokemuksista.

Tuli mieleeni:

"Mathematics is a game where mathematicians invent the rules.
Physics is a game where the rules are given to us by nature.
What is interesting is that the rules of nature appear to be in the same mathematical rule as the mathematicians have concocted."

- Paul Dirac

[Abezethibou]

Tylsät ihmiset sanovat, että matematiikka kuvaa hyvin fysiikkaa yms. koska olemme muokanneet sitä vastaamaan havaintojamme. Minä en kuulu tylsiin ihmisiin.

[Abezethibou]

Nyt minä kysyn teiltä miksi universumi noudattaa matematiikan sääntöjä tai miksi se noudattaa ylipäätänsä mitään sääntöjä?