Matematiikka on huijausta. Lukuja ei ole.

[Keckman]

No hyvä on. Sovitaan, että artikkelissani oli virhe. Keskity nyt ajatuksella tähän uuteen versioon. Minusta tämä on aika yksinkertaista. Toistan. Copy/pastaus:

Selostan uudestaan. Vähän toisella tavalla. Oletin, että jossain järjestyksessä ne ollaan pystytty luettelemaan. En suuruusjärjestyksessä. Sehän on lievempi oletus. Ihan sama missä järjestyksessä, mutta oletetaan, että on jokin luettelo luonnollisille luetteloille:

f(1)=a
f(2)=b
f(3)=c
f(4)=d
f(5)=e
f(6)=f
f(7)=g
f(8)=h
f(9)=i
f(10)=j
.
.
.

Aletaan nyt käymään läpi sitä luetteloa ja konstruoidaan joka rivillä luku, joka on summa kaikista edellisistä luvuista:

f(1)=a
Konstruoidaan luku a
f(2)=b
Konstruoidaan luku a+b
f(3)=c
Konstruoidaan luku a+b+c
f(4)=d
Konstruoidaan luku a+b+c+d
f(5)=e
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e
f(6)=f
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f
f(7)=g
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g
f(8)=h
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g+h
f(9)=i
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g+h+i
f(10)=j
Konstruoidaan luku a+b+c+d+e+f+g+h+i+j

Ensimmäistä a:ta lukuunottamatta tuo konstruoitu luku varmasti puuttuu siihen mennessä listassa olleista luvuista, sillä onhan se niitä kaikkia suurempi. Tämä vastaa yksi yhteen sitä tapaa, millä Cantor todisti, että reaalilukuja ei voida luetella, koska on konstruoitavissa luku, mikä eroaa kaikista jo luetelluista luvuista. Siis aivan vastaavasta syystä kuin reaalilukuja ei voida luetella, niin luonnollisia lukuja ei voida luetella missään järjestyksessä.

Tässä on sama virhe kuin edellisessä versiossasi. Muodostat lukuja askeleittain, ja sanot, että jonkin askeleen jälkeen sitä seuraava luku puuttuu jo muodostetuista luvuista. Tietysti puuttuu, mutta se tulee mukaan myöhemmillä askelilla. Luku on mukana, kun kaikki luvut on luetteloitu. Toisin sanoen se on mukana koko luettelossa.

Cantorin diagonaaliargumentti ei ole sama kuin edellä kuvailemasi. Cantorin argumentissa muodostetaan yksi tietty reaaliluku, joka puuttuu kaikista luettelon luvuista. Se ei puutu vain jo muodostetuista luvuista, vaan aivan kaikista senkin jälkeen, kun koko luettelo on muodostettu.

Oletat nyt, että jokin ääretön voisi aktualisoitua äärelliseksi, ja että jokin “kaikki luvut” -joukko olisi todella luetteloitu.
Se on kuitenkin pelkkä uskomus, ei havaittavissa oleva matemaattinen tapahtuma.

Cantorin argumentissa tehdään täsmälleen sama asia kuin minä teen luonnollisten lukujen kohdalla:
käydään listaa askeleittain ja konstruoidaan luku, jota ei vielä ole luettelossa.
En näe siinä periaatteellista eroa.

Sinä taas näet eron — mutta perusteesi vaatii hyväksymään, että ääretön joukko olisi jo “valmis” ja käsitelty loppuun.
Se on filosofinen oletus, ei todistus.
Matematiikka ei ole tässä kohtaa eksakti tiede, vaan uskomusjärjestelmä, jossa on varaa erilaisille näkemyksille.

[QS]

Cantorin argumentissa tehdään täsmälleen sama asia kuin minä teen luonnollisten lukujen kohdalla

Valitettavasti ei tehdä. Huomaat eron kyllä itsekin, kun tutustut Cantorin argumenttiin täsmällisesti.

[Eusa]

Oikea argumentti reaalilukuja vastaan on se, että ne ovat perusluonteeltaan prosesseja, kuten on sovittu, etteivät äärettömät ole oikeita lukuja vaan prosesseja.

[Keckman]

Cantorin argumentissa tehdään täsmälleen sama asia kuin minä teen luonnollisten lukujen kohdalla

Valitettavasti ei tehdä. Huomaat eron kyllä itsekin, kun tutustut Cantorin argumenttiin täsmällisesti.

Toi oli aika halventava tapa vastata.
Luuletko tosissasi, että en tuntisi Cantorin argumenttia?
Tunnen sen täsmällisesti — ehkä jopa täsmällisemmin kuin sinä.

Käytän samaa logiikkaa, vain eri joukossa.
Jos väität, että se ei päde luonnollisille luvuille, sinun täytyy osoittaa, miksi logiikka lakkaa pätemästä.
Tähän asti en ole nähnyt yhtään vastausta, joka todella tekisi sen.

[QS]

Cantorin argumentissa tehdään täsmälleen sama asia kuin minä teen luonnollisten lukujen kohdalla

Valitettavasti ei tehdä. Huomaat eron kyllä itsekin, kun tutustut Cantorin argumenttiin täsmällisesti.

Toi oli aika halventava tapa vastata.
Luuletko tosissasi, että en tuntisi Cantorin argumenttia?
Tunnen sen täsmällisesti — ehkä jopa täsmällisemmin kuin sinä.

Käytän samaa logiikkaa, vain eri joukossa.

Cantorin argumentissa löydetään luku, joka ei kuulu muodostettuun luetteloon senkään jälkeen kun koko luettelo on muodostettu.

Sinun argumentissasi ei löydetä lukua, joka ei kuuluisi koko luetteloon. Toisin sanoen menetelmäsi ei tuota sellaista luonnollista lukua, joka poikkeaisi kaikista luetteloiduista luonnollisista luvuista. Menetelmäsi osoittaa vain sen, että jokin luku ei kuulu luettelon alkuosaan, mutta se ei osoita sitä, etteikö luku kuuluisi luettelon myöhemiin osiin.

[Keckman]

Cantorin argumentissa tehdään täsmälleen sama asia kuin minä teen luonnollisten lukujen kohdalla

Valitettavasti ei tehdä. Huomaat eron kyllä itsekin, kun tutustut Cantorin argumenttiin täsmällisesti.

Toi oli aika halventava tapa vastata.
Luuletko tosissasi, että en tuntisi Cantorin argumenttia?
Tunnen sen täsmällisesti — ehkä jopa täsmällisemmin kuin sinä.

Käytän samaa logiikkaa, vain eri joukossa.

Cantorin argumentissa löydetään luku, joka ei kuulu muodostettuun luetteloon senkään jälkeen kun koko luettelo on muodostettu.

Sinun argumentissasi ei löydetä lukua, joka ei kuuluisi koko luetteloon. Toisin sanoen menetelmäsi ei tuota sellaista luonnollista lukua, joka poikkeaisi kaikista luetteloiduista luonnollisista luvuista. Menetelmäsi osoittaa vain sen, että jokin luku ei kuulu luettelon alkuosaan, mutta se ei osoita sitä, etteikö luku kuuluisi luettelon myöhemiin osiin.

Ajatus siitä, että koko ääretön lista olisi “muodostettu”, on itsessään metafyysinen — ei matemaattinen. Ääretöntä listaa ei voida koskaan konkreettisesti muodostaa, vaan sen olemassaolo on pelkkä oletus, jota käsitellään ikään kuin se olisi todellinen olio.

Cantorin argumentti tuottaa luvun, joka ei missään listan muodostamisen vaiheessa kuulu listaan.
Aivan samoin tekee oma menetelmäni. Erona on vain se, että minä en oleta “valmista ääretöntä listaa”, koska sellainen oletus on jo lähtökohtaisesti järjetön.

[QS]

Valitettavasti ei tehdä. Huomaat eron kyllä itsekin, kun tutustut Cantorin argumenttiin täsmällisesti.

Toi oli aika halventava tapa vastata.
Luuletko tosissasi, että en tuntisi Cantorin argumenttia?
Tunnen sen täsmällisesti — ehkä jopa täsmällisemmin kuin sinä.

Käytän samaa logiikkaa, vain eri joukossa.

Cantorin argumentissa löydetään luku, joka ei kuulu muodostettuun luetteloon senkään jälkeen kun koko luettelo on muodostettu.

Sinun argumentissasi ei löydetä lukua, joka ei kuuluisi koko luetteloon. Toisin sanoen menetelmäsi ei tuota sellaista luonnollista lukua, joka poikkeaisi kaikista luetteloiduista luonnollisista luvuista. Menetelmäsi osoittaa vain sen, että jokin luku ei kuulu luettelon alkuosaan, mutta se ei osoita sitä, etteikö luku kuuluisi luettelon myöhemiin osiin.

Ajatus siitä, että koko ääretön lista olisi “muodostettu”, on itsessään metafyysinen — ei matemaattinen. Ääretöntä listaa ei voida koskaan konkreettisesti muodostaa, vaan sen olemassaolo on pelkkä oletus, jota käsitellään ikään kuin se olisi todellinen olio.

Cantorin argumentti tuottaa luvun, joka ei missään listan muodostamisen vaiheessa kuulu listaan.
Aivan samoin tekee oma menetelmäni. Erona on vain se, että minä en oleta “valmista ääretöntä listaa”, koska sellainen oletus on jo lähtökohtaisesti järjetön.

Okei, siinä tapauksessa et voi käyttää todistuksesi perustana tätä, jonka sanoit: "Cantorin argumentissa tehdään täsmälleen sama asia kuin minä teen luonnollisten lukujen kohdalla".

Nyt kuitenkin sanot, että et hyväksy Cantorin diagonaaliargumenttia?

Kuten aiemmin sanoin, kirjoituksessasi on lukuisia matematiikan käsitteitä, joita et hyväksy. Kun näin on, niin sinun ei tule käyttää mainittuja matematiikan käsitteitä, joita et hyväksy. Sen sijaan sinun tulisi muodostaa oma aksiomaattinen järjestelmä, joka ei nojaa matematiikan aksioomiin tai lauseisiin.

[Keckman]

Toi oli aika halventava tapa vastata.
Luuletko tosissasi, että en tuntisi Cantorin argumenttia?
Tunnen sen täsmällisesti — ehkä jopa täsmällisemmin kuin sinä.

Käytän samaa logiikkaa, vain eri joukossa.

Cantorin argumentissa löydetään luku, joka ei kuulu muodostettuun luetteloon senkään jälkeen kun koko luettelo on muodostettu.

Sinun argumentissasi ei löydetä lukua, joka ei kuuluisi koko luetteloon. Toisin sanoen menetelmäsi ei tuota sellaista luonnollista lukua, joka poikkeaisi kaikista luetteloiduista luonnollisista luvuista. Menetelmäsi osoittaa vain sen, että jokin luku ei kuulu luettelon alkuosaan, mutta se ei osoita sitä, etteikö luku kuuluisi luettelon myöhemiin osiin.

Ajatus siitä, että koko ääretön lista olisi “muodostettu”, on itsessään metafyysinen — ei matemaattinen. Ääretöntä listaa ei voida koskaan konkreettisesti muodostaa, vaan sen olemassaolo on pelkkä oletus, jota käsitellään ikään kuin se olisi todellinen olio.

Cantorin argumentti tuottaa luvun, joka ei missään listan muodostamisen vaiheessa kuulu listaan.
Aivan samoin tekee oma menetelmäni. Erona on vain se, että minä en oleta “valmista ääretöntä listaa”, koska sellainen oletus on jo lähtökohtaisesti järjetön.

Okei, siinä tapauksessa et voi käyttää todistuksesi perustana tätä, jonka sanoit: "Cantorin argumentissa tehdään täsmälleen sama asia kuin minä teen luonnollisten lukujen kohdalla".

Nyt kuitenkin sanot, että et hyväksy Cantorin diagonaaliargumenttia?

Kuten aiemmin sanoin, kirjoituksessasi on lukuisia matematiikan käsitteitä, joita et hyväksy. Kun näin on, niin sinun ei tule käyttää mainittuja matematiikan käsitteitä, joita et hyväksy. Sen sijaan sinun tulisi muodostaa oma aksiomaattinen järjestelmä, joka ei nojaa matematiikan aksioomiin tai lauseisiin.

Tottakai voin käyttää Cantorin diagonaaliargumenttia — nimenomaan soveltamalla sitä samalla logiikalla toiseen joukkoon.

Oletan, että Cantorin päättely on pätevä, ja teen täsmälleen samanlaisen konstruktion luonnollisille luvuille. Kun näin teen, päädyn johtopäätökseen, että myös luonnollisia lukuja ei voida luetella.

Eli en kiellä Cantorin menetelmää — vaan näytän, että sen oma rakenne johtaa ristiriitaan, jos sitä sovelletaan johdonmukaisesti. Tämä ei ole “omat aksioomini”, vaan Cantorin menetelmän oma varjo, joka paljastaa sen ontologisen heikkouden: jos äärettömyyttä käsitellään raja-arvona eikä todellisena kokonaisuutena, niin “valmista ääretöntä listaa” ei ole missään vaiheessa olemassa.

[QS]

Oletan, että Cantorin päättely on pätevä, ja teen täsmälleen samanlaisen konstruktion luonnollisille luvuille. Kun näin teen, päädyn johtopäätökseen, että myös luonnollisia lukuja ei voida luetella.

Eli en kiellä Cantorin menetelmää — vaan näytän, että sen oma rakenne johtaa ristiriitaan, jos sitä sovelletaan johdonmukaisesti. Tämä ei ole “omat aksioomini”, vaan Cantorin menetelmän oma varjo, joka paljastaa sen ontologisen heikkouden: jos äärettömyyttä käsitellään raja-arvona eikä todellisena kokonaisuutena, niin “valmista ääretöntä listaa” ei ole missään vaiheessa olemassa.

Selvä. Palataan siis lähtöruutuun: Cantorin argumentissa löydetään luku, joka ei kuulu muodostettuun luetteloon senkään jälkeen kun koko luettelo on muodostettu.

Sinun argumentissasi ei löydetä lukua, joka ei kuuluisi koko luetteloon. Toisin sanoen menetelmäsi ei tuota sellaista luonnollista lukua, joka poikkeaisi kaikista luetteloiduista luonnollisista luvuista. Menetelmäsi osoittaa vain sen, että jokin luku ei kuulu luettelon alkuosaan, mutta se ei osoita sitä, etteikö luku kuuluisi luettelon myöhemiin osiin. Konstruktiosi ei ole sama kuin Cantorin.

Cantorin diagonaaliargumenttia ei voida edes käyttää luonnolisiin lukuihin, sillä luonnollisissa luvuissa on vain äärellinen määrä numeroita, ei ääretön määrä. Argumentti perustuu siihen, että osoitetaan oikeaksi seuraava väite: välin [0,1] reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. Et voi käyttää samaa argumenttia luonnollisiin lukuihin jo siksikin, että \(\mathbb N\) ei ole määritelmänsä nojalla ylinumeroituva.

[Keckman]

Oletan, että Cantorin päättely on pätevä, ja teen täsmälleen samanlaisen konstruktion luonnollisille luvuille. Kun näin teen, päädyn johtopäätökseen, että myös luonnollisia lukuja ei voida luetella.

Eli en kiellä Cantorin menetelmää — vaan näytän, että sen oma rakenne johtaa ristiriitaan, jos sitä sovelletaan johdonmukaisesti. Tämä ei ole “omat aksioomini”, vaan Cantorin menetelmän oma varjo, joka paljastaa sen ontologisen heikkouden: jos äärettömyyttä käsitellään raja-arvona eikä todellisena kokonaisuutena, niin “valmista ääretöntä listaa” ei ole missään vaiheessa olemassa.

Selvä. Palataan siis lähtöruutuun: Cantorin argumentissa löydetään luku, joka ei kuulu muodostettuun luetteloon senkään jälkeen kun koko luettelo on muodostettu.

Sinun argumentissasi ei löydetä lukua, joka ei kuuluisi koko luetteloon. Toisin sanoen menetelmäsi ei tuota sellaista luonnollista lukua, joka poikkeaisi kaikista luetteloiduista luonnollisista luvuista. Menetelmäsi osoittaa vain sen, että jokin luku ei kuulu luettelon alkuosaan, mutta se ei osoita sitä, etteikö luku kuuluisi luettelon myöhemiin osiin. Konstruktiosi ei ole sama kuin Cantorin.

Cantorin diagonaaliargumenttia ei voida edes käyttää luonnolisiin lukuihin, sillä luonnollisissa luvuissa on vain äärellinen määrä numeroita, ei ääretön määrä. Argumentti perustuu siihen, että osoitetaan oikeaksi seuraava väite: välin [0,1] reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. Et voi käyttää samaa argumenttia luonnollisiin lukuihin jo siksikin, että \(\mathbb N\) ei ole määritelmänsä nojalla ylinumeroituva.

Minun argumentissani tuotetaan mielestäni täsmälleen samaan tapaan luku, joka ei kuulu siihen siihen asti läpikäytyyn luetteloon: kun listaa käydään läpi jossakin järjestyksessä, jokaisessa vaiheessa voidaan konstruoida luku, jota ei vielä ole esiintynyt.

Jossain järjestyksessä myös Cantor käy listaa läpi – muuten “lista” ei tarkoita mitään. Lista ilman läpikäytävää järjestystä on pelkkä abstrakti sana.

Ongelma on mielestäni tiivistetty tähän lauseeseesi:

“senkään jälkeen kun koko luettelo on muodostettu”.

Juuri tuohon en usko. Ajatus “valmiiksi muodostetusta äärettömästä luettelosta” on minulle metafyysinen, ei matemaattinen. Sitä ei voi koskaan konkreettisesti tuottaa, tarkastella tai varmentaa – sen olemassaolo vain oletetaan.

Siinä mielessä en kiistä sitä, että Cantorin diagonaalimenetelmä toimii niiden aksioomien puitteissa, joissa:

1) hyväksytään aktuaalinen äärettömyys ja

2) hyväksytään ajatus valmiina olemassa olevasta äärettömästä listasta.

Minun väitteeni on filosofinen:
jos emme hyväksy tällaista “valmista ääretöntä listaa” reaaliseksi olioksi, vaan näemme listauksen aina prosessina, askel askeleelta, niin silloin sama periaate, jota Cantor käyttää reaalilukuihin, vie meidät myös luonnollisten lukujen kohdalla siihen, ettei mitään valmista täydellistä listaa ole olemassa.

Eli: en väitä, että olen “todistanut matemaatikot vääräksi” heidän omassa aksiomaattisessa järjestelmässään. Väitän, että koko ajatus aktuaalisesta äärettömyydestä ja valmiista äärettömistä listoista on filosofisesti kyseenalainen – ja silloin sekä Cantorin todistus että “ℕ on numeroituva” lepäävät samojen metafyysisten oletusten varassa.

Jos ääretöntä listaa ei ole koskaan valmiina, Cantor ei voi sanoa: “tästä puuttuu luku”. Hän voi sanoa vain: “tähän asti käydystä osasta puuttuu luku” – ja niin voin sanoa minäkin luonnollisten lukujen kohdalla.