Matematiikka on huijausta. Lukuja ei ole.

[QS]

On se hurja tuo kekkulin lukujoukko. Äärelliset luvut ovat rajoittamattomia ja suurinta lukua ei löydy, mutta ovat silti äärellisiä. Mielivaltaisen suuri luku on jossain äärellisen tuolla puolen, mutta on silti äärellinen. Vaikka suurinta lukua ei kekkulin lukujoukossa ole, niin silti parillisia on vähemmän kuin kekkulin lukuja. Ehkä pian julkaistaan artikkeli, jossa paljastetaan suurin alkuluku kekkulin lukujoukossa. Kertakaikkiaan veikeä sotku

Kyllä! Mun lukujoukko on todellinen paradoksien paratiisi. Siellä äärellinen venyy äärettömäksi, mutta ei koskaan myönnä venyneensä. Jokainen luku väittää olevansa pienempi kuin joku toinen, mutta kukaan ei silti jää viimeiseksi.

Matematiikka on pohjimmiltaan abstrakteja rakenteita tutkiva tiede, ja eräänlainen tiukka aksiomaattinen järjestelmä, joka ei suoraan tutki luontoa tai ympäröivää todellisuutta, vaan abstraktien rakenteiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Siksi ei ole yllättävää, että esimerkiksi äärettömyysaksiooma ja valinta-aksiooma, jotka liittyvät äärettömien joukkojen käsittelyyn, ovat arkijärjelle vierailta. Näitä aksioomia kuitenkin tarvitaan, jotta joukkoihin liittyviä perusominaisuuksia voidaan todistaa ja hyödyntää.

Luonnollisten lukujen joukko on ääretön, ja se on mielestäni erittäin ymmärrettävä fakta, jota ilman joukko vaikuttaisi ainakin mun mielestä epäilyttävältä. Itse asiassa helpon näköisen joukon \(\mathbb N =\{1,2,3...\}\) täsmällinen määrittely on kaikkea muuta kuin helppo tehtävä, se ei ole vain muutaman symbolin kirjoittamista.

[Naturalisti]

Tämä on kiinnostava keskustelun avaus, mutta keskustelu näyttää kääntyneen otsikon aiheesta "mitä matematiikka on?" sen sisäisten lainalaisuuksien pohdintaan. Haluaisin palata vielä tähän peruskysymykseen.

En nyt kuitenkaan väittäisi, että matematiikka on suoranaista huijausta, vaan kannatan pikemmin fiktionalistista näkemystä: matematiikka on hyödyllinen fiktio ja se on olemassa vain ihmisten mielikuvituksessa. Toisinsanoen sillä ei ole materiaalista olemassaoloa ihmismielen materiaalisten prosessien ulkopuolella.

Yhdyn näkemyksesi, että maailma on jakamaton, mutta todennäköisesti se on kuitenkin kvantittunut ja muodostaa erikokoisia agrekaatteja. Ne kaikki ovat kuitenkin vain yksilöolioita.

Mielen mekanismi etsii kuitenkin aistimusvirrasta spatiotemporaalisia invariansseja ja luo niistä mielikuvia (vaikka omenoista) ja niiden välisiä suhteita ("luonnonlakeja") kyetäkseen ennustamaan tulevaa ja toimimaan rationaalisesti. Kun sitten keksittiin kieli, voitiin näistä mielikuvista keskustella lauman jäsenten kesken.

Matematiikka on siinä suhteessa erikoinen kieli, ettei sen olioilla ole vastinetta mielen ulkopuolisessa materiaalisessa todellisuudessa. Sitä voidaan kuitenkin käyttää apuneuvona realimaailmasta saatujen empiiristen havaintojen organisoinnissa. Se itsessään ei anna mitään tietoa todellisuudesta.

Olemmeko edellä sanotusta samaa mieltä?

Taisi olla Galileo Galilei joka sanoi: "Luonnonlait ovat kirjoitettu matematiikan kielellä" Lause viittaa siihen, että matematiikan avulla voidaan kuvata ja mallintaa luontoa täsmällisesti ja objektiivisesti, ja se on keskeinen ajatus luonnontieteissä. Eli jos ottaisin Galilein kannan, niin emme vissiin olisi samaa mieltä, eli jos todellisuudella tarkoitetaan luonnonlakeja, niin kyllä matematiikka on kieli niiden ymmärtämiseen.

Tämän threadin ensimäisessä viestissä pohdin provokatiivisesti kieliposkella sitä kuinka lapsi oppii luvut. Voitaisiin laajentaa pohdintaa siihen, kuinka ihmislaji on kehittänyt oppijärjestelmän nimeltä matematiikka. Käsittääkseni paljolti käytännön tarpeet ovat sanelleet sen, että matematiikkaa alettiin kehittämään ja se alkoi kai kaupankäynnistä. Jo Mesopotamiassa n. 3000 eaa. kehitettiin laskentajärjestelmiä viljavarastojen, kauppatavaroiden ja verojen hallintaan. Torilla ostettiin tavaroita tai ruokaa ja jouduttiin laskemaan kuinka monta rahaa kaksikymmentä omenaa maksaa, jos yksi omena maksaa puoli rahaa tms. Ensimmäiset “lukujärjestelmät” olivat kirjanpidon välineitä, eivät abstrakteja teorioita. Vasta antiikin Kreikassa matematiikka abstrahoitui käytännöstä filosofiaan – se alkoi esittää väitettä todellisuuden rakenteesta, ei vain apukeinoa sen kuvaamiseen. Pythagoras ja Platon, tekivät matematiikasta ontologisen väitteen — ajatuksen, että luvut ja muodot ovat “todellisempia kuin havaittava maailma”.


Jos ajatellaan Newtonia ja differentiaalilaskentaa, niin hänen täytyi kehittää se pystyäkseen laskemaan planeettojen liikeratoja. Einstein taisi sanoa, että "Käsittämättömintä maailmassa on se, että se on käsitettävissä" En tiedä viittasiko Einstein matematiikkaan ja siihen, että maailmankaikkeus on käsitettävissä matematiikan kielellä.

Melkoinen mysteerihän se on: että maailmakaikkeuden luonnonlait ovat ilmaistavissa matematiikan kielellä.

Yritin seurata kommentissani sinun avauksessa esittämäsi (kuten nyt sanot provokatiivista) havainnollistavaa logiikkaa. Olisin toivonut sinun kommentoivan sitä – mitä siinä mahdollisesti on huomautettavaa.

Jos Galileo Galilei on sanonut: "Luonnonlait ovat kirjoitettu matematiikan kielellä", niin onko se vasta-argimentti esittämälleni pohdinnalle?

Empiiristen kokemusten tulokset voidaan todellakin esittää luonnonlakien matemaattisina efektiivisinä kuvauksina, mutta ne ovat kuitenkin vain kuvauksia ei itse todellisuutta.

Sitäpaitsi tarkoitetaanko tuossa sitä, että kuvaukset on kirjoitettu matematiikalla vai että luonnonlait noudattaa matematiikkaa.

Tuo matematiikan historian kuvaus ei myöskään avannut yhtään lisää tätä kysymystä. Ja lopuksi toteat asian olevan mysteeri.

Tarkentava kysymys: onko matematiikka vain kieli vai vai myös "totuus"?

[Keckman]

Matematiikka on pohjimmiltaan abstrakteja rakenteita tutkiva tiede, ja eräänlainen tiukka aksiomaattinen järjestelmä, joka ei suoraan tutki luontoa tai ympäröivää todellisuutta, vaan abstraktien rakenteiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Siksi ei ole yllättävää, että esimerkiksi äärettömyysaksiooma ja valinta-aksiooma, jotka liittyvät äärettömien joukkojen käsittelyyn, ovat arkijärjelle vierailta. Näitä aksioomia kuitenkin tarvitaan, jotta joukkoihin liittyviä perusominaisuuksia voidaan todistaa ja hyödyntää.

Luonnollisten lukujen joukko on ääretön, ja se on mielestäni erittäin ymmärrettävä fakta, jota ilman joukko vaikuttaisi ainakin mun mielestä epäilyttävältä. Itse asiassa helpon näköisen joukon \(\mathbb N =\{1,2,3...\}\) täsmällinen määrittely on kaikkea muuta kuin helppo tehtävä, se ei ole vain muutaman symbolin kirjoittamista.

Totta — matematiikka on abstrakteja rakenteita tutkiva tiede. Mutta yllättävää on, kuinka vähän sinä tunnut ymmärtävän minun abstrakteja rakenteitani. Tai ehkä ei se yllättävää olekaan: paradigmasta luopuminen on aina vaikeaa. Minäkin syyllistyn tässä samaan jankutukseen kuin sinä, kun yritän avata omaa näkökulmaani.

Aikoinaan antiikin Kreikassa oli Pythagoralainen koulukunta, jonka jäsenet uskoivat, että kaikki luvut voidaan ilmaista kahden kokonaisluvun suhteina. Sitten tuli ilonpilaaja, joka osoitti, että neliön, jonka sivun pituus on 1, lävistäjä ei ole ilmaistavissa millään kahden luvun suhteella — se on √2. Legenda kertoo, että osa Pythagoralaisista teki itsemurhan, kun heidän maailmankuvansa romahti. Niin tiukasti egon rakenteisiin ovat kietoutuneet meidän oppimme ja uskomme.

Siksi näen matematiikan myös sosionomisena ja psykologisena ilmiönä: kenen ajatuksiin luotamme, kenen aksioomiin uskomme ja suostummeko ylipäätään ymmärtämään toisin?

Voin yrittää vääntää rautalangasta, vaikka sitä rautalankaa on tällä hetkellä väännettävänä muuallakin somessa.

Cantor olettaa, että on olemassa abstrakti olio – joukko – jossa ovat kaikki reaaliluvut, ja jotka voitaisiin luetella. Hän olettaa siis jotain absurdiin rajautuvaa ja todistaa, että se ei voi olla totta. Tiedät kyllä hänen diagonaalitodistuksensa, joten en kertaa sitä. Minä vain otan saman logiikan ja sovellan sen toiseen joukkoon. Jos todistustapa on validi joukolle A, sen täytyy olla validi myös joukolle B.

f(0)=a konstruktio = a
f(1)=b konstruktio = a+b
f(2)=c konstruktio = a+b+c
f(3)=d konstruktio = a+b+c+d
f(4)=e konstruktio = a+b+c+d+e
f(5)=f konstruktio = a+b+c+d+e+f
...

Tämä luku eroaa varmasti kaikista listassa olevista luvuista, koska se on niitä kaikkia suurempi.

Kysymys kuuluu: missä vaiheessa äärellisestä muka tulee ääretön? Jokaisella askeleella luku on edelleen äärellinen. Se ei missään vaiheessa muutu äärettömäksi – ellei oleteta, että koko ääretön lista voidaan “käydä läpi”. Mutta silloin äärettömyys oletetaan jo valmiiksi olemassa olevaksi.

Palaan vielä Cantorin diagonaaliin:

Oletetaan, että on valmiina lista reaaliluvuista, jota aletaan käydä läpi Cantorin tapaan:

r(0)=0,89737775667080080857467873875759757587462856567674...
r(1)=0,5767747387376876764474874476086083348685378588860868...
r(2)=0,567800000000000000000000000000000000000000000000000000...
r(3)=0,45466745453679885796799779767766796708204820099599496...

Jokaisen luvun kohdalla konstruoidaan uusi, joka eroaa n:nnellä desimaalilla. Minä vain lisään sen listalle ja jatkan eteenpäin. Kun “lista on käyty läpi” – lainausmerkeissä siksi, että äärettömän listan läpikäyminen on jo käsitteellisesti absurdi ajatus – ei puutu yhtään lukua. Vaikka kuinka yrittäisi keksiä uuden, se lisätään jossain vaiheessa mukaan.

Missä vaiheessa listasta sitten tulisi “ääretön”? Jos listaa todella käydään läpi askel askeleelta, se on aina äärellinen. Äärellisestä ei koskaan saada ääretöntä – ellei äärettömyyttä ensin oleteta.

Ja siitä syntyy koko sotku. Kun potenssijoukko on aina “mahtavampi” kuin alkuperäinen joukko, syntyy loputon jono erikokoisia äärettömyyksiä. Minun mielestäni ei kuitenkaan ole olemassa ensimmäistäkään ääretöntä.

[Keckman]

Jos suurinta osaa reaaliluvuista ei voi koskaan edes määritellä, niin ehkä niitä ei olekaan olemassa. Ehkä ääretön desimaalijono on vain matematiikan kaunis harha – abstrakti maisema, jonne ei oikeasti voi astua.

Me tunnemme kyllä joukon lukuja, joilla on selkeä olemassaolo: kokonaisluvut, rationaaliluvut eli murtoluvut, ja muutamat erityiset kuten p, e ja v2.
Mutta jo näistä viimeiset ovat vain algoritmeja ja likiarvosarjoja – ne voidaan laskea mielivaltaisen tarkasti, mutta ei koskaan “valmiiksi”. Niiden todellinen olemassaolo on yhtä rajallinen kuin tietokoneen muisti tai laskennan aika.

Sen sijaan “suurin osa” reaaliluvuista on sellaisia, ettei niillä ole mitään määritelmää, nimeä, kaavaa tai edes tapaa tulla esiin todellisuudessa. Matemaattisesti ne “ovat olemassa”, mutta käytännössä ne ovat pelkkää potentiaalisuutta.

Ehkä siis kannattaisi heittää romukoppaan äärettömän pitkät desimaalit ja palata hetkeksi osittain Pythagoralaiseen maailmaan + luvut, joille on algoritmi, mutta silti vain äärellinen esitys - aikaan, jolloin luvut olivat vielä ymmärrettäviä, ja äärettömyys ei ollut uskonkappale vaan varoitus.

[Keckman]

Tarkentava kysymys: onko matematiikka vain kieli vai vai myös "totuus"?

En ymmärrä kysymystäsi.

Edellä - viestissä, mikä ei ollut kenellekään vastaus - pohdin sitä, että käytännössä "suurin osa" reaaliluviista on sellaisia, että niille ei ole mitään esitysmuotoa, jos hyväksymme äärettömän pitkät desimaalikehitelmät ja pohdin, ovatko ne edes tosioevaisia. Toki esimerkiksi piissä on ääretön määrä desimaaleja, mutta sille onkin algoritmi ja määritelmä, mutta nykyreaalilukujen joukossa, suurin osa on sellaisia, että niille ei olle mitään määritelmää, algoritmia tai esitysmuotoa. Lue se.

[Keckman]

Kuinka käy raja-arvojen geometriassa? Kunka lasketaan yhteen ääretöntä määrää äärettömän lyhyitä viivoja?

[QS]

Matematiikka on pohjimmiltaan abstrakteja rakenteita tutkiva tiede, ja eräänlainen tiukka aksiomaattinen järjestelmä, joka ei suoraan tutki luontoa tai ympäröivää todellisuutta, vaan abstraktien rakenteiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Siksi ei ole yllättävää, että esimerkiksi äärettömyysaksiooma ja valinta-aksiooma, jotka liittyvät äärettömien joukkojen käsittelyyn, ovat arkijärjelle vierailta. Näitä aksioomia kuitenkin tarvitaan, jotta joukkoihin liittyviä perusominaisuuksia voidaan todistaa ja hyödyntää.

Luonnollisten lukujen joukko on ääretön, ja se on mielestäni erittäin ymmärrettävä fakta, jota ilman joukko vaikuttaisi ainakin mun mielestä epäilyttävältä. Itse asiassa helpon näköisen joukon \(\mathbb N =\{1,2,3...\}\) täsmällinen määrittely on kaikkea muuta kuin helppo tehtävä, se ei ole vain muutaman symbolin kirjoittamista.

Cantor olettaa, että on olemassa abstrakti olio – joukko – jossa ovat kaikki reaaliluvut, ja jotka voitaisiin luetella.

Joukon määritelmästä seuraa, että joukko sisältää kaikki sen alkiot. Tähän ei tarvita joukon alkioiden luettelon konkretisointia. Sanallisesti voi toki (epätäsmällisesti) sanoa, että "..jos lueteltaisiin..", mikä tarkoittaa sitä, että joukossa on sen kaikki alkiot.

Joukon \(\mathbb N\) määrittelyyn tarvitaan kyllä äärettömyysaksiooma, mutta tuo aksiooma voidaan esittää täsmällisesti.

[Keckman]

Matematiikka on pohjimmiltaan abstrakteja rakenteita tutkiva tiede, ja eräänlainen tiukka aksiomaattinen järjestelmä, joka ei suoraan tutki luontoa tai ympäröivää todellisuutta, vaan abstraktien rakenteiden ominaisuuksia ja niiden välisiä suhteita. Siksi ei ole yllättävää, että esimerkiksi äärettömyysaksiooma ja valinta-aksiooma, jotka liittyvät äärettömien joukkojen käsittelyyn, ovat arkijärjelle vierailta. Näitä aksioomia kuitenkin tarvitaan, jotta joukkoihin liittyviä perusominaisuuksia voidaan todistaa ja hyödyntää.

Luonnollisten lukujen joukko on ääretön, ja se on mielestäni erittäin ymmärrettävä fakta, jota ilman joukko vaikuttaisi ainakin mun mielestä epäilyttävältä. Itse asiassa helpon näköisen joukon \(\mathbb N =\{1,2,3...\}\) täsmällinen määrittely on kaikkea muuta kuin helppo tehtävä, se ei ole vain muutaman symbolin kirjoittamista.

Cantor olettaa, että on olemassa abstrakti olio – joukko – jossa ovat kaikki reaaliluvut, ja jotka voitaisiin luetella.

Joukon määritelmästä seuraa, että joukko sisältää kaikki sen alkiot. Tähän ei tarvita joukon alkioiden luettelon konkretisointia. Sanallisesti voi toki (epätäsmällisesti) sanoa, että "..jos lueteltaisiin..", mikä tarkoittaa sitä, että joukossa on sen kaikki alkiot.

Joukon \(\mathbb N\) määrittelyyn tarvitaan kyllä äärettömyysaksiooma, mutta tuo aksiooma voidaan esittää täsmällisesti.

Ei. Cantorin todistus nimenomaan olettaa joukon, jossa ovat kaikki reaaliluvut ja joka on oletettavasti lueteltavissa – ja sitten hän osoittaa, että tämä oletus johtaa ristiriitaan. Jos reaaliluvut olisivat lueteltavissa, ne voitaisiin kirjoittaa johonkin järjestykseen. Cantor hyväksyy tämän vastaoletuksen ja rakentaa sen pohjalta luvun, joka ei kuulu listaan. Tämä on juuri hänen diagonaalimenetelmänsä ydin.

Numeroituvuus tarkoittaa täsmälleen sitä, että joukon alkiot voidaan asettaa järjestykseen luonnollisten lukujen kanssa — siis “luetella”. Jos tätä ei voi tehdä, joukko on epä­numeroituva.

Toki myönnän, että äärettömyysaksiooma tarvitaan jo luonnollisten lukujen olemassaolon takaamiseksi. Mutta juuri siinä piilee ongelman ydin: jos hyväksymme äärettömyysaksiooman, hyväksymme myös ajatuksen aktuaalisesta äärettömyydestä — joukosta, jossa on "kaikki" luonnolliset luvut.

Minun väitteeni on, että tämä oletus johtaa loogiseen ristiriitaan.

Sovellan Cantorin omaa menetelmää luonnollisiin lukuihin: jos konstruoimme jokaisella rivillä luvun, joka on kaikkien edellisten summa, saamme aina luvun, joka ei vielä ollut listalla. Menetelmä on täsmälleen sama loogisessa rakenteessaan kuin Cantorin diagonaaliargumentti – ja päädymme samaan lopputulokseen: joukko ei ole numeroituva.

Mutta sehän on absurdi päätelmä, koska luonnollisten lukujen joukko määritelmällisesti on numeroituva.

Johtopäätös on väistämätön:
jos Cantorin logiikka on pätevä, äärettömän joukon oletus johtaa ristiriitaan.
Jos taas äärettömän joukon oletusta ei hyväksytä, ristiriitaa ei synny.

Siis äärettömyysaksiooma ei ole pelkkä neutraali oletus – se on ristiriidan juuri.

[QS]

Sovellan Cantorin omaa menetelmää luonnollisiin lukuihin: jos konstruoimme jokaisella rivillä luvun, joka on kaikkien edellisten summa, saamme aina luvun, joka ei vielä ollut listalla. Menetelmä on täsmälleen sama loogisessa rakenteessaan kuin Cantorin diagonaaliargumentti

Tämä on blogikirjoituksesi isoin virhe: et sovella Cantorin menetelmää. Olen nyt jo lukuisia kertoja selittänyt miksi menetelmäsi ei vastaa Cantorin diagonaaliargumenttia enkä asiaa toista, kun se olisi jankuttamista.

[Keckman]

Onko ääretön joukko looginen vai illuusio?

Cantorin todistus perustuu vastaoletukseen: oletetaan, että on olemassa joukko, joka sisältää kaikki reaaliluvut ja että nämä luvut voidaan luetella jossakin järjestyksessä. Tämän oletuksen varaan hän rakentaa diagonaalimenetelmänsä ja osoittaa, että näin muodostetusta listasta voidaan konstruoida uusi luku, joka ei ole listalla. Tästä hän päättelee, että reaalilukujen joukko ei voi olla numeroituva.

Mutta huomio: tämä on silti rakenteellisesti konstruktiivinen menetelmä, sillä se tuottaa eksplisiittisesti uuden luvun annetun listan perusteella. Jos metodi ei olisi konstruktiivinen, diagonaalilukua ei voitaisi määritellä lainkaan.

Numeroituvuus tarkoittaa täsmälleen sitä, että joukon alkiot voidaan asettaa yksikäsitteiseen vastaavuuteen luonnollisten lukujen kanssa – eli ne voidaan luetella. Jos tätä ei voi tehdä, joukko ei ole numeroituva.

Tähän liittyy kuitenkin syvempi ongelma: jo pelkkä luonnollisten lukujen äärettömän joukon olemassaolo edellyttää äärettömyysaksioomaa. Se aksiooma väittää, että on olemassa joukko, joka sisältää tyhjän joukon ja on suljettu “seuraajan” suhteen. Toisin sanoen: se olettaa äärettömyyden olemassa olevaksi.

Mutta jos hyväksymme tämän oletuksen, hyväksymme samalla sen, että “kaikki” luonnolliset luvut ovat olemassa yhtenä kokonaisuutena. Juuri tätä minä en voi hyväksyä – sillä sama logiikka, jolla Cantor todistaa reaalilukujen epänumeroituvuuden, voidaan soveltaa luonnollisiin lukuihin itseensä.

f(0)=a konstruktio = a
f(1)=b konstruktio = a+b
f(2)=c konstruktio = a+b+c
f(3)=d konstruktio = a+b+c+d
f(4)=e konstruktio = a+b+c+d+e
f(5)=f konstruktio = a+b+c+d+e+f
...

Tämä uusi luku on aina suurempi kuin yksikään listassa siihen mennessä esiintyneistä. Näin syntyy luku, jota ei vielä ollut listassa – aivan kuten Cantorin diagonaalissa syntyy luku, jota ei ollut reaalilukujen listalla.

Tässä kohdin esitetään usein vastaväite: “Mutta tuo summa a+b+c+d+… on ääretön, eikä siis kuulu N:ään.” Tämä kuulostaa ensi silmäyksellä järkevältä, mutta sisältää piilossa olevan oletuksen – nimittäin sen, että äärettömän luonnollisten lukujen lista voitaisiin todella käydä läpi.

Jokaisessa vaiheessa luku on kuitenkin edelleen äärellinen, koska luonnollisten lukujen yhteenlasku on aina äärellinen. Missä vaiheessa tästä luvusta sitten muka tulee ääretön? Listassa ei ole koskaan ääretöntä lukua, mutta jos hyväksymme äärettömyysaksiooman, lista tuottaa äärettömän luvun vain siksi, että olemme aksioomassa jo etukäteen olettaneet sen olemassaoloksi.

Näin ollen voimassa ovat samanaikaisesti kaksi ristiriitaista lausetta:
– Luku on äärellinen.
– Luku on ääretön.
RR.

Jos siis Cantorin logiikka on oikein reaalilukujen kohdalla, sen on oltava oikein myös luonnollisille luvuille. Mutta silloin päädymme järjettömään johtopäätökseen: luonnollisten lukujen joukko ei ole numeroituva. Tästä seuraa, että jos ääretön oletetaan olemassa olevaksi, syntyy väistämättä ristiriita. Jos taas ääretöntä ei oleteta, ristiriitaa ei synny lainkaan.

Peanon aksioomat kuvaavat, miten äärettömyys toimisi, jos se olisi olemassa. Äärettömyysaksiooma väittää, että se on olemassa. Mutta jos sitä yritetään konstruoida, se osoittautuu itseensä viittaavaksi paradoksiksi.