Aloitetaan Schrödingerin (S), Heisenbergin (H) ja Diracin (I) kuvasta. Schrödingerin kuvassa tilavektori \(\ket {\psi_S(t)}\) on aikariippuva, ja operaattori \(H_S\) on ajasta riippumaton
$$\require{physics} i\dv t\ \ket {\psi_S(t)} = H_S\ \ket {\psi_S(t)} \tag 1$$
Ajanhetken \(t\) tilavektori kirjoitetaan \(\ket{\psi_S(t)}=e^{-iH_S t}\ket{\psi_S(0)}\). Heisenbergin kuvassa tilavektoriksi voidaan valita vakio \(\ket \psi_H = \ket{\psi_S(0)}\), ja operaattori \(O_H(t)\) riippuu ajasta seuraavasti
\(O_H(t)=e^{iH_S\ t}\ O_S\ e^{-iH_S t}\)
Diracin kuvaan siirrytään jakamalla Schrödingerin kuvan Hamilton kahteen osaan siten, että \(H_S = H_0 + H_{int}\), missä \(H_0\) on vapaan kentän termi ja \(H_{int}\) on systeemin vuorovaikutuksen termi. Diracin kuvassa vektori \(\ket {\psi_I(t)}\) ja operaattori \(O_I(t)\) ovat molemmat aikariippuvia. Nämä voidaan lausua Schrödingerin kuvan tilavektorilla ja operaattorilla seuraavasti
\(O_I(t)=e^{iH_0\ t}\ O_S\ e^{-iH_0\ t}\\\\
\ket {\psi_I(t)}=e^{iH_0\ t}\ \ket {\psi_S(t)}\)
Diracin kuvassa vuorovaikutuksen Hamilton \(H_I(t)\) on ajasta riippuva, ja se saadaan edellisestä \(O_I(t)\):n kaavasta ja Schrödingerin kuvan vuorovaikutuksen operaattorista \(O_S = H_{int}\)
\(H_I(t) =e^{iH_0 t}\ (H_{int})\ e^{-iH_0 t}\)
missä yleisesti ottaen \(H_I(t)\neq H_I(t')\), kun \(t \neq t'\). Nyt voidaan laskea
\(\ket {\psi_S(t)} = e^{-iH_0\ t}\ \ket{\psi_I(t)}\)
ja sijoittaa tämä yhtälöön (1). Näin tilavektorille \(\ket {\psi_I(t)}\) ja operaattorille \(H_I(t)\) saadaan differentiaaliyhtälö
\(\displaystyle i\dv t \ket {\psi_I(t)} = i\dv t \left(e^{iH_0 t}\ \ket {\psi_S(t)} \right) = H_I(t)\ \ket {\psi_I(t)}\)
Yhtälö on Diracin kuvassa, jolloin aikariippuva \(H_I(t)\) kohdistuu aikariippuvaan vektoriin \(\ket {\psi_I(t)}\). Tilavektorin ratkaisu on muotoa
\(\ket {\psi_I(t)} = U(t,t_0)\ \ket {\psi_I(t_0)}\)
missä välillä \([t_0,t]\) vektoriin kohdistuu operaattori \(U(t,t_0)\), joka on siis unitaarinen aikakehityksen operaattori. Näin ollen edellä mainittu (Diracin kuvan) yhtälö voidaan kirjoittaa myös
$$i\dv t U(t,t_0) = H_I(t)\ U(t,t_0) \tag 2$$
Ratkaisun voisi olettaa olevan
\(\displaystyle U(t,t_0) = \exp \left(-i \int_{t_0}^{t}dt'\ H_I(t')\right)\)
jonka voisi kirjoittaa sarjana
\(\displaystyle U(t,t_0) = 1-i\int_{t_0}^{t}dt'\ H_I(t')+\frac{(-i)^2}{2}\left(\int_{t_0}^{t}dt'\ H_I(t')\right)^2+\dots\)
Tämän aikaderivaatta on
\(\displaystyle \dv t U(t,t_0) = -iH_I(t)-\frac 1 2 \int_{t_0}^{t}dt'\ \left(\ H_I(t)\ H_I(t')+H_I(t')\ H_I(t)\ \right)+ \dots\)
Derivaatassa on kuitenkin ongelmana kommutointi \([H_I(t),H_I(t')] \neq 0\). Termi \(H_I(t)\) ei voi siirtyä integraalilausekkeiden ohi vasemmalle, jolloin koko sarjan (derivaatan) edessä vasemmalla olisi tekijä \(H_I(t)\). Toisin sanoen derivaattaa ei voi sijoittaa yhtälöön (2), ja todeta, että oikealla puolella on \(H_I(t)\ U(t,t_0)\). Tämä olisi mahdollista, jos \(H_I(t)\) olisi normaali funktio, mitä se ei tässä ole.
Voidaan kuitenkin osoittaa, että operaattorien tapauksessa yhtälön (2) ratkaisu saadaan, kun käytetään aikajärjestysoperaattoria \(\mathcal T\) siten, että
\(\displaystyle U(t,t_0) = \mathcal T \exp \left(-i \int_{t_0}^{t} dt'\ H_I(t')\right)\)
Tämän aikajärjestetyn eksponenttilausekkeen sarjakehitelmä on nimeltään Dysonin sarja
\(\displaystyle U(t,t_0) = 1-i\int_{t_0}^{t} dt' H_I(t')+(-i)^2\int_{t_0}^{t}dt'\int_{t_0}^{t'}dt''H_I(t')H_I(t'')+\dots\)
Tuon sarjan yleinen muoto on
\(\displaystyle U(t,t_0) = \sum_{n=0}^{\infty} (-i)^n \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n\ H_I(t_1) H_I(t_2) \cdots H_I(t_n)\)
missä \(t_0 \le t_n \le \cdots \le t_2 \le t_1 \le t\), ja pienimmän ajanhetken \(H_I(t_n)\) on aina oikeanpuolimmaisena. Tämä on nyt lauseke unitaariselle aikakehitysoperaattorille \(U(t,t_0)\). Asiaa voi vielä jatkaa, kun kirjoittaa QED:n vuorovaikutusta esittävän Hamiltonin (Schrödingerin kuvassa)
\(\displaystyle H_{int} = \int d^3\mathbf x\ \mathcal H_{int}(\mathbf x)=e \int d^3\mathbf x\ \bar\psi(\mathbf x)\gamma^\mu \psi(\mathbf x) A_\mu(\mathbf x)\)
missä \(e\) on sähkömagneettinen kytkinvakio, \(\gamma^\mu\) ovat Diracin matriisit, ja kenttäoperaattorit tyypillisillä notaatioilla. Vastaava Diracin kuvan vuorovaikutustermi on
\(\displaystyle H_I(t) = e^{iH_0\ t}\ H_{int}\ e^{-iH_0\ t} = e\int d^3\mathbf x\ \bar\psi_I(t,\mathbf{x})\gamma^\mu\psi_I(t,\mathbf{x})\ A_{I\mu}(t,\mathbf{x})\)
missä Diracin kuvan alaindeksit I. Fotoni- ja fermionikentän operaattorit ovat
\(\begin{align}
\psi_I(t,\mathbf x)&=\int\ \frac{d^3\mathbf p}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{\sqrt{2E_{\mathbf p}}}
\sum_{s}\Big( b(\mathbf p, s)\ u(\mathbf p,s)\ e^{-ip\cdot x}
+ c^\dagger(\mathbf p,s)\ v(\mathbf p,s)\ e^{ip\cdot x}\Big) \\\\
A_{I\mu}(t,\mathbf x)&=\int\ \frac{d^3\mathbf k}{(2\pi)^3}\ \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf k}}}
\sum_{\lambda}\Big( \epsilon_\mu(\mathbf k,\lambda)\ a(\mathbf k,\lambda)\ e^{-ik\cdot x}
+ \epsilon_\mu^*(\mathbf k,\lambda)\ a^\dagger(\mathbf k,\lambda)\ e^{ik\cdot x}\Big)
\end{align}\)
missä \(x = (t,\mathbf x)\) ja muut notaatiot ovat tyypillisiä aiheeseen liittyviä. Nämä kenttäoperaattorit ovat periaatteessa muodostettavissa Schrödingerin kuvan (aikariippumattomista) operaattoreista \(\psi_S(\mathbf x)\) ja \(A_{S\mu}(\mathbf x)\). Yleensä ne kirjoitetaan kuitenkin suoraan Diracin kuvassa, eli vuorovaikutuskuvassa.
Tässä kohti voi miettiä miltä liikemäärän \(\mathbf p\) ja aaltovektorin \(\mathbf k\) suhteen integroidut operaattorikentät näyttävät lausekkeessa \(H_I(t)\), jossa ne integroidaan avaruuden \(\mathbf x\) suhteen, ja saatu lauseke integroidaan Dysonin sarjassa ajan \(t\) suhteen, ja kaikki toki huomioituna sillä, että operaattorit a, b ja c eivät kommutoi (tai antikommutoi), joten niitä ei voi suoraan siirtää toistensa ohi.
Tämä kertoo aika paljon myös siitä, miten helposti kvanttikenttäteoria komplisoituu
heheh..