Dysonin sarja ja kvanttikenttä

Disputator · 30.11.2025, 20:40

Disputator kirjoitti: ↑30.11.2025, 19:57 ...
Varmuuden vuoksi siis nimeän tuon $U(t)$-operaattorin $V(t)$-operaattoriksi ja kirjoitan siis:

$V(t)= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S t}$

ja tiedän nyt (?) siis että tämän unitaarisen $ V(t)$-operaattorin avulla voin muuntaa tilavektorit ja operaattorit Heisenbergin kuvasta Diracin kuvaan:

$\begin{align*}
\ket{ \psi_I(t)}&=V(t)\ket {\psi_H(t)}\\
O_I(t)&= V(t)O_H(t)V(t)^{\dagger}
\end{align*}$

Voin yrittää nyt laskea kommutaattoreita eri kuvissa. Tämä on monesti varsin implisiittisesti mukana teorian kehityksessä, mutta laskin tämän nyt ihan näkyviin.

Jos siis $[A(t)_H,B(t)_H]=C(t)_H$ Heisenbergin kuvassa, niin silloin

$
\begin{align*}
C(t)_I &= V(t)C_H V(t)^{\dagger}=V(t)(A(t)_H B(t)_H-B(t)_H A(t)_H)V(t)^{\dagger}\\
&=V(t)A(t)_H V(t)^{\dagger}V(t)B(t)_H V(t)^{\dagger}-V(t)B(t)_H V(t)^{\dagger}V(t)A(t)_H V(t)^{\dagger}\\
&=A(t)_I B(t)_I-B(t)_I A(t)_I\\
&=[A(t)_I,B(t)_I]
\end{align*}
$
Siis Diracin kuvassa on sitten myös $[A(t)_I,B(t)_I]=C(t)_I$. No tämä pätee kaikilla unitaarisilla V(t), ei vain yo. muotoiselle V(t).

Vastaava pätee myös antikommutaattorille. Jos $\{A(t)_H,B(t)_H\}=C(t)_H$ Heisenbergin kuvassa niin samalla tavalla:

$
\begin{align*}
C(t)_I &= V(t)C_H V(t)^{\dagger}=V(t)(A(t)_H B(t)_H+B(t)_H A(t)_H)V(t)^{\dagger}\\
&=V(t)A(t)_H V(t)^{\dagger}V(t)B(t)_H V(t)^{\dagger}+V(t)B(t)_H V(t)^{\dagger}V(t)A(t)_H V(t)^{\dagger}\\
&=A(t)_I B(t)_I+B(t)_I A(t)_I\\
&=\{A(t)_I,B(t)_I\}
\end{align*}
$

QS · 30.11.2025, 20:54

Iltaa! Kyllä tuo $U(t)= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}$ mun mielestä pätee, mutta vain tietyllä ehdolla, ja olen itsekin tuon määritelmän jossain nähnyt. Ehtona on se, että $H_S = H_0 + H_{int}$ on ajasta riippumaton. Yleisesti ottaen Schrödingerin Hamilton $H_S(t)$ ja aikakehitysoperaattori U(t) voivat olla aikariippuvat, esimerkiksi Hamilton voi olla $H_S(t) = H_0 + H_{int}(t)$.

Jos on aikariippuva, niin Schrödingerin kuvan differentiaaliyhtälön

$\require{physics} \displaystyle i \dv tU_S(t,t_0)=H_S(t)\ U_S(t,t_0)$

ratkaisu alkuehdolla $U_S(t_0,t_0)=1$ on sekin Dysonin sarja, sillä aikajärjestys on huomioitava. Jossain lähteessä oli johdettu tähän tapaukseen Diracin kuvan aikakehitysoperaattorille lauseke

$U_I(t,t_0) = U_0^\dagger(t,t_0)\ H_{int}(t)\ U_0(t,t_0)$

missä $U_0(t,t_0)$ on Schrödingerin kuvan vapaan kentän aikakehitysoperaattori. Tämä on siis hiukan eri kaava kuin aikariippumattomalle Schrödingerin Hamiltonille. En pysynyt täysin perässä tuon johtamisessa, mutta koetan joku toinen päivä ymmärtää mitä siinä tapahtuu.

Disputator kirjoitti: ↑30.11.2025, 19:57 Uusi yritys. Tarvitaan:
QS kirjoitti: Diracin kuvassa vektori $\ket {\psi_I(t)}$ ja operaattori $O_I(t)$ ovat molemmat aikariippuvia. Nämä voidaan lausua Schrödingerin kuvan tilavektorilla ja operaattorilla seuraavasti

$O_I(t)=e^{iH_0\ t}\ O_S\ e^{-iH_0\ t}\\\\
\ket {\psi_I(t)}=e^{iH_0\ t}\ \ket {\psi_S(t)}$
...
Lainaan itseäni:
Disputator kirjoitti: Tällöin saadaan muunnos operaattorille $O$ Heisenbergin kuvasta Diracin kuvaan:

$O_I(t)= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}\ O_H(t)\ e^{iH_S\ t}e^{-iH_0\ t}$

Nyt jos määritellään operaattori $ U(t)$ kaavalla

$U(t)= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S t}$.

Nyt jos derivoin tuon ajan suhteen saan pienellä matemaattisella manipulaatiolla tuloksen että $U(t)$ toteuttaa diffrentiaaliyhtälön:

$\displaystyle i \dv t U(t) = H_I(t)\ U(t) $.
.
Jos nyt $U(t)$ muuntaa oikein operaattorin $ O_H(t)$ Heisenbergin kuvasta Diracin kuvaan $O_I(t)$, kaavalla:

$O_I(t)= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}\ O_H(t)\ e^{iH_S\ t}e^{-iH_0\ t}$,

niin silloin $U(t)$:n pitäisi muuntaa myös Heisenbergin kuvassa annetun tilavektorin$ \ket {\psi_H(t)}$ Diracin kuvassa annetuksi tilavektoriksi $ \ket {\psi_I(t)}$ kaavalla

$ \ket {\psi_I(t)}=U(t)\ket {\psi_H(t)} $.

Näin todellakin käy (tämän laskin väärin aluksi ja epäilin edellisessä viestissä jotain menneen pieleen), sillä määritelmän mukaan $\ket {\psi_H(t)}=e^{iH_S\ t}\ \ket {\psi_S(t)}$ ja silloin voidaan laskea:

$
\begin{align*}
U(t)\ket {\psi_H(t)}&=e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}\ket {\psi_H(t)}\\
&= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}e^{iH_S\ t}\ \ket{ \psi_S(t)}\\
&= e^{iH_0\ t}\ket { \psi_S(t)}\\
& =\ket{ \psi_I(t)}
\end{align*}
$

Nyt en enää tiedä mitä mä yritän laskea heheh..

Varmuuden vuoksi siis nimeän tuon $U(t)$-operaattorin $V(t)$-operaattoriksi ja kirjoitan siis:

$V(t)= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S t}$

ja tiedän nyt (?) siis että tämän unitaarisen $ V(t)$-operaattorin avulla voin muuntaa tilavektorit ja operaattorit Heisenbergin kuvasta Diracin kuvaan:

$\begin{align*}
\ket{ \psi_I(t)}&=V(t)\ket {\psi_H(t)}\\
O_I(t)&= V(t)O_H(t)V(t)^{\dagger}
\end{align*}$

Näissä menee kyllä helposti aivot solmuun

Kun tuijotan kirjoittamaasi, niin kaavasi

$O_I(t)= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}\ O_H(t)\ e^{iH_S\ t}e^{-iH_0\ t} = V(t)\ O_H(t)\ V^\dagger(t) $

voidaan kirjoitaa siten, että $O_H(t)$ lausutaan Schrödingerin kuvassa

$O_H(t)=e^{iH_S\ t}\ O_S\ e^{-iH_S\ t}$

Tämän voin sijoittaa takaisin, jolloin

$\begin{align}
O_I(t)&=e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}\ e^{iH_S\ t}\ O_S\ e^{-iH_S\ t}\ e^{iH_S\ t}e^{-iH_0\ t}\\
&=e^{iH_0\ t}\ O_S\ e^{-iH_0\ t}
\end{align}$

mikä näyttää kyllä ihan oikealta, mutta tuo $O_H(t)=e^{iH_S\ t}\ O_S\ e^{-iH_S\ t}$ pätee vain, kun $H_S$ on ajasta riippumaton. Eli tuo alussa mainittu Hamiltonin aikariippumattomuuden ehto pitää olla voimassa U(t):lle, tai sun V(t):lle.

En nyt ihan täysin varma ole kirjoittamastani, mutta koetan joku päivä kirkkaamilla aivoilla laittaa palikoita ojennukseen.

Eusa · 30.11.2025, 20:56

Iltaa vain.

Näkökulmani, aineen aika-avaruuden 4-eetterissä Separversessa (erillisyydet määrittyvät invarianttien nollageodeesien kautta), on nähdä Diracin kenttäteoria vain emergenttinä näkymänä yhdestä ainoasta globaalista vaihekentästä Φ, joka elää Spin(3,1)-pääkimppussa. Perusolio ei siis ole paikallinen spinoorikenttä ψ(x), vaan globaali U(1)-vaihe:

$\Phi : P \to U(1), \qquad P \xrightarrow{\mathrm{Spin}(3,1)} M.$

Kirjoittamalla tuo vaihe muotoon

$\Phi(x) = e^{i\alpha(x)}$

saadaan yhteinen lähtökohta sekä sähkömagnetismille että massalle.

Määritellään ensin vaiheyhteys ja sen kaarevuus

$A := \Phi^{-1} d\Phi = d\alpha, \qquad F := dA,$

jolloin $F$ voidaan tulkita emergenttinä Maxwellin kenttänä.

Seuraavaksi normitetaan vaiheen gradientti Lorentz-skaalariksi

$\rho(x) = \sqrt{g^{\mu\nu}\,\partial_\mu \alpha(x)\,\partial_\nu \alpha(x)},$

mikä toimii sekä massatiheytenä että metriikan konformisena skaalaustekijänä.

Sen logaritminen gradientti

$a_\mu(x) := -\partial_\mu \ln \rho(x)$

on neljäulotteinen "nostevektori" (4-noste nollageodeesikudoksessa), joka yhdistää inertian ja
gravitaation: vapaapudotus noudattaa kenttää $a_\mu$ eikä erillistä gravitaatiovuorovaikutusta tarvita.

Φ‑kuvan kannalta ratkaiseva kohta on, että Diracin kentän dynamiikka saadaan suoraan tuosta vaihekuljetuksesta. Jos otamme emergentiksi Dirac-kentäksi $\psi(x)$, sen aikariippuvuus määräytyy yhtälöstä

$\left( i\gamma^\mu \partial_\mu - \rho(x)\,\mathbb{I}_4 \right)\psi(x) = 0.$

Massatermi ei siis ole mikään ulkoa annettu vakio $m$, vaan paikkariippuva skalaari $\rho(x)$, joka on johdettu globaalista vaihekentästä $\Phi$. Toki kyse on käytännössä invariantista 4-tiheydestä: sopivassa lepotilakehyksessä vastaava 3-tiheys saadaan tämän 4-tiheyden projektiona kentän invariantin nollageodeesimuodon suhteen. Tässä mielessä tavallinen Diracin kenttä on vain tehokas, emergentti kuvaus Φ:n rytmisestä rakenteesta Separversessä.

Perinteisessä kvanttimekaniikassa puhutaan Schrödingerin, Heisenbergin ja Diracin (interaction) kuvista. Kaikki nämä ovat samaa teoriaa eri "kirjanpitotapaan" kirjoitettuna: aika voidaan laittaa joko tiloihin, tai operaattoreihin, tai jakaa vapaan osan ja vuorovaikutuksen kesken.

Φ‑kuva osuu tähän sanastoon seuraavasti:

- teknisesti ollaan Heisenberg/Dirac‑kuvassa: aika on kentissä valitun itseisaikakoordinaatiston projektorina, tilat kantavat vain reunaehtoja;
- mutta kaikki kentät, myös Diracin kenttä $\psi(x)$ ja sähkömagneettinen $F_{\mu\nu}(x)$, kirjoitetaan pinorifunktionaaleina yhdestä ainoasta globaalista vaiheesta $\Phi$ ja sen derivaatoista $\rho, A, F, a_\mu$.

Voimme siis puhua "Φ‑vuorovaikutuskuvasta" seuraavassa merkityksessä:

Φ-kuva : Heisenberg/Dirac-kuva, jossa
$(\psi, A_\mu, \dots)$ on korvattu kentillä $(\Phi, \rho, A, F, a_\mu).\ $

Operaattorialgebra ei muutu; kyse on siitä, että emme enää pidä $\psi(x)$:tä perustavana vapausasteena, vaan johdettuna rakenteena globaalista vaihekimpusta. Kun lasketaan havaittavia suureita, Diracin kuvaus saadaan esiin projisoimalla Φ‑kentän dynamiikka Separverseen ja tulkitsemalla $\psi(x)$ tehokkaana Diracin kenttänä, jonka massatermi $\rho(x)$ ja vuorovaikutukset $F_{\mu\nu}(x)$ ovat kaikki samaa alkuperää. Diracin kenttä ei kanna itsenäistä dynamiikkaa, vaan on eräs kätevä tapa kirjoittaa Φ‑kentän projektiot havaittaviksi hiukkasiksi.

QS · 1.12.2025, 19:08

QS kirjoitti: ↑30.11.2025, 20:54 Iltaa! Kyllä tuo $U(t)= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}$ mun mielestä pätee, mutta vain tietyllä ehdolla, ja olen itsekin tuon määritelmän jossain nähnyt. Ehtona on se, että $H_S = H_0 + H_{int}$ on ajasta riippumaton. Yleisesti ottaen Schrödingerin Hamilton $H_S(t)$ ja aikakehitysoperaattori U(t) voivat olla aikariippuvat, esimerkiksi Hamilton voi olla $H_S(t) = H_0 + H_{int}(t)$.

Jos on aikariippuva, niin Schrödingerin kuvan differentiaaliyhtälön

$\require{physics} \displaystyle i \dv tU_S(t,t_0)=H_S(t)\ U_S(t,t_0)$

ratkaisu alkuehdolla $U_S(t_0,t_0)=1$ on sekin Dysonin sarja, sillä aikajärjestys on huomioitava. Jossain lähteessä oli johdettu tähän tapaukseen Diracin kuvan aikakehitysoperaattorille lauseke

$U_I(t,t_0) = U_0^\dagger(t,t_0)\ H_{int}(t)\ U_0(t,t_0)$

missä $U_0(t,t_0)$ on Schrödingerin kuvan vapaan kentän aikakehitysoperaattori. Tämä on siis hiukan eri kaava kuin aikariippumattomalle Schrödingerin Hamiltonille. En pysynyt täysin perässä tuon johtamisessa, mutta koetan joku toinen päivä ymmärtää mitä siinä tapahtuu.

Disputator kirjoitti: ↑30.11.2025, 19:57 Uusi yritys. Tarvitaan:
QS kirjoitti: Diracin kuvassa vektori $\ket {\psi_I(t)}$ ja operaattori $O_I(t)$ ovat molemmat aikariippuvia. Nämä voidaan lausua Schrödingerin kuvan tilavektorilla ja operaattorilla seuraavasti

$O_I(t)=e^{iH_0\ t}\ O_S\ e^{-iH_0\ t}\\\\
\ket {\psi_I(t)}=e^{iH_0\ t}\ \ket {\psi_S(t)}$
...
Lainaan itseäni:
Disputator kirjoitti: Tällöin saadaan muunnos operaattorille $O$ Heisenbergin kuvasta Diracin kuvaan:

$O_I(t)= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}\ O_H(t)\ e^{iH_S\ t}e^{-iH_0\ t}$

Nyt jos määritellään operaattori $ U(t)$ kaavalla

$U(t)= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S t}$.

Nyt jos derivoin tuon ajan suhteen saan pienellä matemaattisella manipulaatiolla tuloksen että $U(t)$ toteuttaa diffrentiaaliyhtälön:

$\displaystyle i \dv t U(t) = H_I(t)\ U(t) $.
.
Jos nyt $U(t)$ muuntaa oikein operaattorin $ O_H(t)$ Heisenbergin kuvasta Diracin kuvaan $O_I(t)$, kaavalla:

$O_I(t)= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}\ O_H(t)\ e^{iH_S\ t}e^{-iH_0\ t}$,

niin silloin $U(t)$:n pitäisi muuntaa myös Heisenbergin kuvassa annetun tilavektorin$ \ket {\psi_H(t)}$ Diracin kuvassa annetuksi tilavektoriksi $ \ket {\psi_I(t)}$ kaavalla

$ \ket {\psi_I(t)}=U(t)\ket {\psi_H(t)} $.

Näin todellakin käy (tämän laskin väärin aluksi ja epäilin edellisessä viestissä jotain menneen pieleen), sillä määritelmän mukaan $\ket {\psi_H(t)}=e^{iH_S\ t}\ \ket {\psi_S(t)}$ ja silloin voidaan laskea:

$
\begin{align*}
U(t)\ket {\psi_H(t)}&=e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}\ket {\psi_H(t)}\\
&= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}e^{iH_S\ t}\ \ket{ \psi_S(t)}\\
&= e^{iH_0\ t}\ket { \psi_S(t)}\\
& =\ket{ \psi_I(t)}
\end{align*}
$

Nyt en enää tiedä mitä mä yritän laskea heheh..

Varmuuden vuoksi siis nimeän tuon $U(t)$-operaattorin $V(t)$-operaattoriksi ja kirjoitan siis:

$V(t)= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S t}$

ja tiedän nyt (?) siis että tämän unitaarisen $ V(t)$-operaattorin avulla voin muuntaa tilavektorit ja operaattorit Heisenbergin kuvasta Diracin kuvaan:

$\begin{align*}
\ket{ \psi_I(t)}&=V(t)\ket {\psi_H(t)}\\
O_I(t)&= V(t)O_H(t)V(t)^{\dagger}
\end{align*}$
Näissä menee kyllä helposti aivot solmuun Kun tuijotan kirjoittamaasi, niin kaavasi

$O_I(t)= e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}\ O_H(t)\ e^{iH_S\ t}e^{-iH_0\ t} = V(t)\ O_H(t)\ V^\dagger(t) $

voidaan kirjoitaa siten, että $O_H(t)$ lausutaan Schrödingerin kuvassa

$O_H(t)=e^{iH_S\ t}\ O_S\ e^{-iH_S\ t}$

Tämän voin sijoittaa takaisin, jolloin

$\begin{align}
O_I(t)&=e^{iH_0\ t}e^{-iH_S\ t}\ e^{iH_S\ t}\ O_S\ e^{-iH_S\ t}\ e^{iH_S\ t}e^{-iH_0\ t}\\
&=e^{iH_0\ t}\ O_S\ e^{-iH_0\ t}
\end{align}$

mikä näyttää kyllä ihan oikealta, mutta tuo $O_H(t)=e^{iH_S\ t}\ O_S\ e^{-iH_S\ t}$ pätee vain, kun $H_S$ on ajasta riippumaton. Eli tuo alussa mainittu Hamiltonin aikariippumattomuuden ehto pitää olla voimassa U(t):lle, tai sun V(t):lle.

En nyt ihan täysin varma ole kirjoittamastani, mutta koetan joku päivä kirkkaamilla aivoilla laittaa palikoita ojennukseen.

Sain nyt mielestäni tämän palikkapurnukan järjestykseen. Kun Schrödingerin kuvan Hamilton on ajasta riippuva $H_S(t) = H_0(t) + H_{int}(t)$, niin tilavektorin aikakehityksen yhtälö on

$\require{physics} \displaystyle i \dv t \ket {\psi_S(t)}=H_S(t)\ \ket {\psi_S(t)}$

ja aikakehityksen operaattori $U_S(t,t_0)$ toteuttaa yhtälön
$$\displaystyle i \dv t U_S(t,t_0)=H_S(t)\ U_S(t,t_0) \tag 1$$
Ehdolla $U_S(t_0,t_0)=1$ ratkaisuksi saadaan

$\displaystyle U_S(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i \int_{t_0}^{t} dt' H_S(t') \right)$

missä $\mathcal T$ on aikajärjestyksen operaattori. Vapaan kentän Hamiltonia $H_0(t)$ vastaava aikakehityksen operaattori on $U_0$, jonka yhtälö ja ratkaisu ovat
$$\displaystyle i \dv t U_0(t,t_0)=H_0(t)\ U_0(t,t_0) \tag 2 \\\\
\displaystyle U_0(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i \int_{t_0}^{t} dt' H_0(t') \right)$$
Ajasta riippumattomalle $H_0$:lle tuo ratkaisu on aiemmin esillä ollut $U_0(t,t_0)=e^{-iH_0\ (t-t_0)}$. Tuossa edellä $U_0$ ja $U_S$ ovat siis Schrödingerin kuvassa. Diracin kuvan tilavektori ja operaattori määritellään Schrödingerin kuvasta (pätee ajasta riippumattomalle ja ajasta riippuvalle Hamiltonille)

$O_I(t)= U_0^\dagger(t,t_0)\ O_S\ U_0(t,t_0)\\\\
\ket {\psi_I(t)}=U_0^\dagger(t,t_0)\ \ket {\psi_S(t)}$

Kun $H_0$ on ajasta riippumaton, niin nämä ovat

$O_I(t)=U_0^\dagger(t,t_0)\ O_S\ U_0(t,t_0) = e^{iH_0\ t}\ O_S\ e^{-iH_0\ t}\\\\
\ket {\psi_I(t)}=U_0^\dagger(t,t_0)\ \ket {\psi_S(t)} = e^{iH_0\ t}\ \ket {\psi_S(t)}$

Diracin kuvan Hamilton $H_I(t)$ saadaan näin ollen Schrödingerin kuvasta seuraavasti

$H_I(t) = U_0^\dagger(t,t_0)\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_0(t,t_0)$

missä $U_0(t,t_0)$ on edellä mainittu aikajärjestetty eksponentti, mikäli $H_0(t)$ on aikariippuva. Nyt määritellään Diracin kuvan aikakehityksen operaattori

$$U_I(t,t_0):= U_0^\dagger(t,t_0)\ U_S(t,t_0) \tag 3$$

joka kohdistuu vektoriin $\ket {\psi_I(t_0)}$, ja muuntaa sen $t_0 \to t$. Tuo määritelmä (3) voidaan perustella seuraavasti: Yhtälö (2) kirjoitetaan adjungoituna

$\displaystyle i \dv t U_0^\dagger(t,t_0)=-U_0(t,t_0)^\dagger\ H_0(t)$

ja käytetään tätä yhtälöä $U_0^\dagger$:n derivaatan määritelmänä. Yhtälöä (1) käytetään vastaavasti $U_S$:n derivaatan määritelmänä. Nyt derivoidaan määritelmän (3) lauseke

$\begin{align}
i \dv t U_I &= i \dv t \left(U_0^\dagger\ U_S\right) \\
&=\left(i \dv t U_0^\dagger \right)U_S+U_0^\dagger\left(i \dv t U_S\right)\\
&=\left(-U_0^\dagger\ H_0(t)\right)U_S+U_0^\dagger \big( H_S(t)\ U_S \big)\\
&=U_0^\dagger \big(H_S(t)-H_0(t)\big)U_S \\
&=U_0^\dagger\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_S
\end{align}$

Ratkaistaan määritelmästä (3) Schrödingerin kuvan aikakehityksen operaattori $U_S = U_0\ U_I$. Sijoitetaan tämä viimeiselle riville

$\begin{align}
i \dv t U_I &= U_0^\dagger\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_S \\
&=U_0^\dagger\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_0\ U_I \\
& = H_I(t)\ U_I
\end{align}$

Näin on saatu Diracin kuvan aikakehityksen operaattorille $U_I(t,t_0)$ yhtälö

$\displaystyle i \dv t U_I(t,t_0) = H_I(t)\ U_I(t,t_0)$

ja ratkaisu aikajärjestettynä eksponenttina

$\displaystyle U_I(t,t_0) = U_0^\dagger(t,t_0)\ U_S(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i \int_{t_0}^{t} dt' H_I(t') \right)$

missä $H_I(t) = U_0^\dagger(t,t_0)\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_0(t,t_0)$.

Jos olisi niin, että $H_0(t)$ on aikariippuva, niin $H_I(t)$:n lauseke olisi melko epätriviaali, sillä $U_0$ olisi aikajärjestetty eksponentti. Kun tämän $H_I(t)$:n sijoittaisi $U_I$:n lausekkeeseen, niin saataisiin erittäin epätriviaali aikakehitysoperaattori. Tuo on eräs syy siihen, että $H_0$ pyritään valitsemaan siten, että se on aikariippumaton.

Disputator · 3.12.2025, 17:56

Iltaa!

QS kirjoitti: ↑1.12.2025, 19:08 Sain nyt mielestäni tämän palikkapurnukan järjestykseen. Kun Schrödingerin kuvan Hamilton on ajasta riippuva $H_S(t) = H_0(t) + H_{int}(t)$, niin tilavektorin aikakehityksen yhtälö on

$\require{physics} \displaystyle i \dv t \ket {\psi_S(t)}=H_S(t)\ \ket {\psi_S(t)}$

ja aikakehityksen operaattori $U_S(t,t_0)$ toteuttaa yhtälön
$$\displaystyle i \dv t U_S(t,t_0)=H_S(t)\ U_S(t,t_0) \tag 1$$
Ehdolla $U_S(t_0,t_0)=1$ ratkaisuksi saadaan

$\displaystyle U_S(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i \int_{t_0}^{t} dt' H_S(t') \right)$

missä $\mathcal T$ on aikajärjestyksen operaattori. Vapaan kentän Hamiltonia $H_0(t)$ vastaava aikakehityksen operaattori on $U_0$, jonka yhtälö ja ratkaisu ovat
$$\displaystyle i \dv t U_0(t,t_0)=H_0(t)\ U_0(t,t_0) \tag 2 \\\\
\displaystyle U_0(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i \int_{t_0}^{t} dt' H_0(t') \right)$$
Ajasta riippumattomalle $H_0$:lle tuo ratkaisu on aiemmin esillä ollut $U_0(t,t_0)=e^{-iH_0\ (t-t_0)}$. Tuossa edellä $U_0$ ja $U_S$ ovat siis Schrödingerin kuvassa. Diracin kuvan tilavektori ja operaattori määritellään Schrödingerin kuvasta (pätee ajasta riippumattomalle ja ajasta riippuvalle Hamiltonille)

$O_I(t)= U_0^\dagger(t,t_0)\ O_S\ U_0(t,t_0)\\\\
\ket {\psi_I(t)}=U_0^\dagger(t,t_0)\ \ket {\psi_S(t)}$

Kun $H_0$ on ajasta riippumaton, niin nämä ovat

$O_I(t)=U_0^\dagger(t,t_0)\ O_S\ U_0(t,t_0) = e^{iH_0\ t}\ O_S\ e^{-iH_0\ t}\\\\
\ket {\psi_I(t)}=U_0^\dagger(t,t_0)\ \ket {\psi_S(t)} = e^{iH_0\ t}\ \ket {\psi_S(t)}$

Diracin kuvan Hamilton $H_I(t)$ saadaan näin ollen Schrödingerin kuvasta seuraavasti

$H_I(t) = U_0^\dagger(t,t_0)\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_0(t,t_0)$

missä $U_0(t,t_0)$ on edellä mainittu aikajärjestetty eksponentti, mikäli $H_0(t)$ on aikariippuva. Nyt määritellään Diracin kuvan aikakehityksen operaattori

$$U_I(t,t_0):= U_0^\dagger(t,t_0)\ U_S(t,t_0) \tag 3$$

joka kohdistuu vektoriin $\ket {\psi_I(t_0)}$, ja muuntaa sen $t_0 \to t$. Tuo määritelmä (3) voidaan perustella seuraavasti: Yhtälö (2) kirjoitetaan adjungoituna

$\displaystyle i \dv t U_0^\dagger(t,t_0)=-U_0(t,t_0)^\dagger\ H_0(t)$

ja käytetään tätä yhtälöä $U_0^\dagger$:n derivaatan määritelmänä. Yhtälöä (1) käytetään vastaavasti $U_S$:n derivaatan määritelmänä. Nyt derivoidaan määritelmän (3) lauseke

$\begin{align}
i \dv t U_I &= i \dv t \left(U_0^\dagger\ U_S\right) \\
&=\left(i \dv t U_0^\dagger \right)U_S+U_0^\dagger\left(i \dv t U_S\right)\\
&=\left(-U_0^\dagger\ H_0(t)\right)U_S+U_0^\dagger \big( H_S(t)\ U_S \big)\\
&=U_0^\dagger \big(H_S(t)-H_0(t)\big)U_S \\
&=U_0^\dagger\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_S
\end{align}$

Ratkaistaan määritelmästä (3) Schrödingerin kuvan aikakehityksen operaattori $U_S = U_0\ U_I$. Sijoitetaan tämä viimeiselle riville

$\begin{align}
i \dv t U_I &= U_0^\dagger\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_S \\
&=U_0^\dagger\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_0\ U_I \\
& = H_I(t)\ U_I
\end{align}$

Näin on saatu Diracin kuvan aikakehityksen operaattorille $U_I(t,t_0)$ yhtälö

$\displaystyle i \dv t U_I(t,t_0) = H_I(t)\ U_I(t,t_0)$

ja ratkaisu aikajärjestettynä eksponenttina

$\displaystyle U_I(t,t_0) = U_0^\dagger(t,t_0)\ U_S(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i \int_{t_0}^{t} dt' H_I(t') \right)$

missä $H_I(t) = U_0^\dagger(t,t_0)\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_0(t,t_0)$.

Jos olisi niin, että $H_0(t)$ on aikariippuva, niin $H_I(t)$:n lauseke olisi melko epätriviaali, sillä $U_0$ olisi aikajärjestetty eksponentti. Kun tämän $H_I(t)$:n sijoittaisi $U_I$:n lausekkeeseen, niin saataisiin erittäin epätriviaali aikakehitysoperaattori. Tuo on eräs syy siihen, että $H_0$ pyritään valitsemaan siten, että se on aikariippumaton.

Olin tekemässä jotain samankaltaista kuin sinä, mutta näin sitten tämän kirjoituksesi. Mulla oli tarkoitus yleistää se mun ajasta riipumattomien tapaus suht samalla tavalla.

Sulla on hyvä esitys näistä eri kuvista ja kirjoitan muistiinpanoja tästä mun aiheeseen liittyvään vihkooni talteen. Palaan aiheeseen luultavasti viikonloppuna, sillä löysin hyvän esityksen tästä mun vanhasta printatusta QFT-luentomonisteeesta, josta olen joskus opiskellut alkeiden alkeita aihepiiristä. Siinä on mielestäni hyvin esitetty näitä Dysonin sarjan juttuja sisältäen joitain valaisevia pointteja, mitä ei monesta muusta lähteestä löydä.

Ihan pienenä detaljina poimin sieltä sellaisen, että matriisille A(t) pätee seuraava derivointikaava:

$\displaystyle \dv t e^{A(t)} = A'(t) e^{A(t)}$,

jos (ja vain jos ?) kommutaattori $[A(t),A'(t)]\equiv 0$. Jos $ A(t) = A_0 t$, missä $ A_0$ vakiomatriisi, niin silloin kyseiselle kommutaattorille saadaan

$[A(t),A'(t)]=[A_0 t, A_0]=t[A_0,A_0]=0$, joten todellakin

$\displaystyle \dv t e^{A_0 t} = A_0 e^{A_0 t}$.

QS · 3.12.2025, 19:31

Disputator kirjoitti: ↑3.12.2025, 17:56 Iltaa!
QS kirjoitti: ↑1.12.2025, 19:08 Sain nyt mielestäni tämän palikkapurnukan järjestykseen. Kun Schrödingerin kuvan Hamilton on ajasta riippuva $H_S(t) = H_0(t) + H_{int}(t)$, niin tilavektorin aikakehityksen yhtälö on

$\require{physics} \displaystyle i \dv t \ket {\psi_S(t)}=H_S(t)\ \ket {\psi_S(t)}$

ja aikakehityksen operaattori $U_S(t,t_0)$ toteuttaa yhtälön
$$\displaystyle i \dv t U_S(t,t_0)=H_S(t)\ U_S(t,t_0) \tag 1$$
Ehdolla $U_S(t_0,t_0)=1$ ratkaisuksi saadaan

$\displaystyle U_S(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i \int_{t_0}^{t} dt' H_S(t') \right)$

missä $\mathcal T$ on aikajärjestyksen operaattori. Vapaan kentän Hamiltonia $H_0(t)$ vastaava aikakehityksen operaattori on $U_0$, jonka yhtälö ja ratkaisu ovat
$$\displaystyle i \dv t U_0(t,t_0)=H_0(t)\ U_0(t,t_0) \tag 2 \\\\
\displaystyle U_0(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i \int_{t_0}^{t} dt' H_0(t') \right)$$
Ajasta riippumattomalle $H_0$:lle tuo ratkaisu on aiemmin esillä ollut $U_0(t,t_0)=e^{-iH_0\ (t-t_0)}$. Tuossa edellä $U_0$ ja $U_S$ ovat siis Schrödingerin kuvassa. Diracin kuvan tilavektori ja operaattori määritellään Schrödingerin kuvasta (pätee ajasta riippumattomalle ja ajasta riippuvalle Hamiltonille)

$O_I(t)= U_0^\dagger(t,t_0)\ O_S\ U_0(t,t_0)\\\\
\ket {\psi_I(t)}=U_0^\dagger(t,t_0)\ \ket {\psi_S(t)}$

Kun $H_0$ on ajasta riippumaton, niin nämä ovat

$O_I(t)=U_0^\dagger(t,t_0)\ O_S\ U_0(t,t_0) = e^{iH_0\ t}\ O_S\ e^{-iH_0\ t}\\\\
\ket {\psi_I(t)}=U_0^\dagger(t,t_0)\ \ket {\psi_S(t)} = e^{iH_0\ t}\ \ket {\psi_S(t)}$

Diracin kuvan Hamilton $H_I(t)$ saadaan näin ollen Schrödingerin kuvasta seuraavasti

$H_I(t) = U_0^\dagger(t,t_0)\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_0(t,t_0)$

missä $U_0(t,t_0)$ on edellä mainittu aikajärjestetty eksponentti, mikäli $H_0(t)$ on aikariippuva. Nyt määritellään Diracin kuvan aikakehityksen operaattori

$$U_I(t,t_0):= U_0^\dagger(t,t_0)\ U_S(t,t_0) \tag 3$$

joka kohdistuu vektoriin $\ket {\psi_I(t_0)}$, ja muuntaa sen $t_0 \to t$. Tuo määritelmä (3) voidaan perustella seuraavasti: Yhtälö (2) kirjoitetaan adjungoituna

$\displaystyle i \dv t U_0^\dagger(t,t_0)=-U_0(t,t_0)^\dagger\ H_0(t)$

ja käytetään tätä yhtälöä $U_0^\dagger$:n derivaatan määritelmänä. Yhtälöä (1) käytetään vastaavasti $U_S$:n derivaatan määritelmänä. Nyt derivoidaan määritelmän (3) lauseke

$\begin{align}
i \dv t U_I &= i \dv t \left(U_0^\dagger\ U_S\right) \\
&=\left(i \dv t U_0^\dagger \right)U_S+U_0^\dagger\left(i \dv t U_S\right)\\
&=\left(-U_0^\dagger\ H_0(t)\right)U_S+U_0^\dagger \big( H_S(t)\ U_S \big)\\
&=U_0^\dagger \big(H_S(t)-H_0(t)\big)U_S \\
&=U_0^\dagger\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_S
\end{align}$

Ratkaistaan määritelmästä (3) Schrödingerin kuvan aikakehityksen operaattori $U_S = U_0\ U_I$. Sijoitetaan tämä viimeiselle riville

$\begin{align}
i \dv t U_I &= U_0^\dagger\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_S \\
&=U_0^\dagger\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_0\ U_I \\
& = H_I(t)\ U_I
\end{align}$

Näin on saatu Diracin kuvan aikakehityksen operaattorille $U_I(t,t_0)$ yhtälö

$\displaystyle i \dv t U_I(t,t_0) = H_I(t)\ U_I(t,t_0)$

ja ratkaisu aikajärjestettynä eksponenttina

$\displaystyle U_I(t,t_0) = U_0^\dagger(t,t_0)\ U_S(t,t_0) = \mathcal T \exp\left(-i \int_{t_0}^{t} dt' H_I(t') \right)$

missä $H_I(t) = U_0^\dagger(t,t_0)\ \big(H_{int}(t)\big)\ U_0(t,t_0)$.

Jos olisi niin, että $H_0(t)$ on aikariippuva, niin $H_I(t)$:n lauseke olisi melko epätriviaali, sillä $U_0$ olisi aikajärjestetty eksponentti. Kun tämän $H_I(t)$:n sijoittaisi $U_I$:n lausekkeeseen, niin saataisiin erittäin epätriviaali aikakehitysoperaattori. Tuo on eräs syy siihen, että $H_0$ pyritään valitsemaan siten, että se on aikariippumaton.
Olin tekemässä jotain samankaltaista kuin sinä, mutta näin sitten tämän kirjoituksesi. Mulla oli tarkoitus yleistää se mun ajasta riipumattomien tapaus suht samalla tavalla.

Sulla on hyvä esitys näistä eri kuvista ja kirjoitan muistiinpanoja tästä mun aiheeseen liittyvään vihkooni talteen. Palaan aiheeseen luultavasti viikonloppuna, sillä löysin hyvän esityksen tästä mun vanhasta printatusta QFT-luentomonisteeesta, josta olen joskus opiskellut alkeiden alkeita aihepiiristä. Siinä on mielestäni hyvin esitetty näitä Dysonin sarjan juttuja sisältäen joitain valaisevia pointteja, mitä ei monesta muusta lähteestä löydä.

Ihan pienenä detaljina poimin sieltä sellaisen, että matriisille A(t) pätee seuraava derivointikaava:

$\displaystyle \dv t e^{A(t)} = A'(t) e^{A(t)}$,

jos (ja vain jos ?) kommutaattori $[A(t),A'(t)]\equiv 0$. Jos $ A(t) = A_0 t$, missä $ A_0$ vakiomatriisi, niin silloin kyseiselle kommutaattorille saadaan

$[A(t),A'(t)]=[A_0 t, A_0]=t[A_0,A_0]=0$, joten todellakin

$\displaystyle \dv t e^{A_0 t} = A_0 e^{A_0 t}$.

Iltaa. Joo, hauskoja juttuja, ja pyörittely on kvanttikenttäteorian ymmärtämiseen varsin hyödyllistä. Monet mystiikalta tuntuvat Diracin kuvan asiat eivät lopulta olekaan mystisiä. Samoja (aikariippuva vs ajasta riippumaton Hamilton) voisi pyöritellä myös Heisenbergin kuvassa, joka ei jostain syystä ole mulle itselle lempikuva. En tiedä miksi, ehkä on hankalin hahmottaa konkreettisesti. Jos saat Heisenberg selonteon aikaan, niin paneudun mielellään : )

Matriisin derivaatta pätee kai yleistettynä operaattoreillekin? Vaikka eivät aina ole matriiseja, vaan usein abstrakteja operaattoreita, joka määritellään perustuen siihen, miten muuntavat tilavektoreita.

Disputator · 3.12.2025, 20:17

QS kirjoitti: ↑3.12.2025, 19:31 ...
Matriisin derivaatta pätee kai yleistettynä operaattoreillekin? Vaikka eivät aina ole matriiseja, vaan usein abstrakteja operaattoreita, joka määritellään perustuen siihen, miten muuntavat tilavektoreita.

Joo, matriisit ja Hilbert-avaruuden operaattorit ovat monesti formaalisti hyvin samanlaisia ja matriisien antamalla analogialla pärjää hyvin pitkälle, ainakin jonkinlaisessa intuitiivisessa mielessä. Se mun luentomonisteen esimerkki noudatti samaa yleistä QFT-esitysten linjaa. Matriisien epäkommutatiivisuus on kuitenkin jotenkin helpommin ymmärrettävissä ja siksi matriisiesimerkki.

Matriiseja ja ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden H operaattoreita ei kuitenkaan voi täysin samaistaa. Ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattoreista löytyy aina epäjatkuvia operaattoreita, jotka käyttäytyvät kummallisesti, koska ovat epäjatkuvia. Äärellisulotteisen avaruuden matriisikuvaukset ovat aina jatkuvia. Jatkuvuus tarkoittaa jatkuvuutta matemaattisessa mielessä, kuten funktioilla. Lineaarinen ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden H operaattori A, joka on epäjatkuva yhdessä H:n pisteessä on epäjatkuva kaikissa H:n pisteissä. Kvanttimekaniikassa momenttioperaattori P on yleensä epäjatkuva. Tämä on mielenkiintoinen ja haastavava alue.

Eusa · 3.12.2025, 21:53

Yleisesti on voimassa identiteetti

$\displaystyle
\dv{t} e^{A(t)} = \int_0^1 ds\,e^{(1-s)A(t)}\,\dot{A}\,e^{sA(t)}$,

joten ilman kommutaattoriehtoa derivoinnin sisään vienti ei ole aivan yksinkertaista.

Ehto $[A(t),\dot{A}]=0$ on riittävä sille, että integraali supistuu muotoon $\dot{A}e^{A(t)}$, koska silloin eksponentin eri termit ja derivaatta kommutoivat keskenään.

Se ei ole matemaattisesti välttämättä “jos ja vain jos” -ehto, koska erikoistapauksia löytyy, joissa kaava sattuu pätemään, vaikka kommutaattori ei olisi nolla identtisesti. Mutta käytännön kvanttimekaniikassa tuo “jos $[A,\dot{A}]=0$” on juuri se ehto, jota tarvitaan.

Heisenbergin kuvan ajasta riippumattoman Hamiltonin tapaus on juuri tällainen: $A(t)=\pm iHt$, jolloin $\dot{A}=\pm iH$ ja

$[A(t),\dot{A}] = [\pm iHt, \pm iH] = 0$

ja derivointikaava toimii siististi:

$\dv{t} e^{\pm iHt} = \pm iHe^{\pm iHt}$

matriisieksponenteille.

Eusa · 4.12.2025, 18:26

Kvanttimekaniikan opintokursseilla erotellaan siis yleensä kolme "kuvaa": Schrödingerin, Heisenbergin ja Diracin (vuorovaikutus-)kuva. Ne ovat fysikaalisesti yhtäpitäviä, erona vain se, pannaanko aikariippuvuus i) tiloihin, ii) operaattoreihin vai iii) osittain kumpaankin.

Schrödingerin kuvassa tila riippuu ajasta ja operaattorit ovat (yleensä) ajasta riippumattomia:

$i\hbar \frac{d}{dt}|\psi_S(t)\rangle = \hat H |\psi_S(t)\rangle,$

jolloin kehityksen voi kirjoittaa operaattorin

$\hat U(t,t_0) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat H (t-t_0)\right)$

avulla:

$|\psi_S(t)\rangle = \hat U(t,t_0)|\psi_S(t_0)\rangle.$

Heisenbergin kuvassa tehdään eräänlainen "temppu": tila jäädytetään referenssiaikaan $t_0$ ja aikariippuvuus siirretään operaattoreihin. Määritellään

$|\psi_H\rangle := |\psi_S(t_0)\rangle,$

$\hat O_H(t) := \hat U^{\dagger}(t,t_0)\hat O_S\hat U(t,t_0).$

Tällöin havaittava $\hat O$ noudattaa Heisenbergin liikeyhtälöä

$i\hbar \frac{d}{dt}\hat O_H(t)
= [\hat O_H(t),\hat H_H]
+ i\hbar \left(\frac{\partial \hat O_S}{\partial t}\right)_H.$

Odotusarvot pysyvät samoina:

$\langle\psi_H|\hat O_H(t)|\psi_H\rangle
= \langle\psi_S(t)|\hat O_S|\psi_S(t)\rangle.$

Eli: Heisenbergin ja Schrödingerin kuva ovat vain eri kirjanpitotapoja samalle sisällölle.

Diracin kuva tulee mukaan, kun Hamiltonin operaattori jaetaan vapaaseen osaan ja vuorovaikutusosaan,

$\hat H = \hat H_0 + \hat H_{\text{int}}.$

Määritellään operaattorit ja tilat:

$\hat O_I(t) := e^{\frac{i}{\hbar}\hat H_0 (t-t_0)} \hat O_S
e^{-\frac{i}{\hbar}\hat H_0 (t-t_0)},$

$|\psi_I(t)\rangle := e^{\frac{i}{\hbar}\hat H_0 (t-t_0)}|\psi_S(t)\rangle,$

jolloin tila noudattaa näin

$i\hbar \frac{d}{dt}|\psi_I(t)\rangle
= \hat H_{\text{int},I}(t)|\psi_I(t)\rangle,$

missä

$\hat H_{\text{int},I}(t)
= e^{\frac{i}{\hbar}\hat H_0 (t-t_0)}\hat H_{\text{int}}
e^{-\frac{i}{\hbar}\hat H_0 (t-t_0)}.$

Diracin kuvassa vapaa dynamiikka hoituu Heisenberg-tyyliin, ja koko mielenkiinto pakataan vuorovaikutusarvoiseen Hamiltonin funktioon. Tämä on se esitystapa, jonka päälle tavanomainen QED ja sirontateoria käytännössä rakennetaan. Täsmällisesti tämä toimii sellaisenaan, kun $\hat H$ ei riipu eksplisiittisesti ajasta; aikariippuvainen Hamiltonin operaattori vaatisi erään lisäkirjanpidon, mutta perusidea säilyy samana.

$\rightarrow$

Kun sitten siirrytään minun Φ-kuvaani, riittää todeta:

1) Aiemmassa postauksessani kuvasin, miten Φ-kuvassa perusolio EI ole paikallinen ψ(x) vaan globaali vaihekenttä Φ, josta massa, gravitaatio ja sähkömagnetismi emergentisti seuraavat. Φ:n globaalius tarkoittaa tässä sitä, että Φ on määritelty koko Spin(3,1)-pääkimppuun, mutta sen derivaatta

$A_\mu(x) = \Phi^{-1}\partial_\mu \Phi$

on yhä täysin lokaali U(1)-yhteyskenttä QED:n mielessä. Maxwell-kenttätensori $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ syntyy edelleen tästä lokaalista yhteydestä; ero Standardimalliin on siinä, että varaus ja kentän topologia luetaan Φ:n globaalista vaiherakenteesta (kierteisyydet, antipodaaliset holonomiat), ei itsenäisistä paikallisista spinoreista. Toisin sanoen: sähkömagnetismin kausaalinen lokaliteetti säilyy, mutta sen "alkuperä" on Φ:n globaalissa geometriassa.

2) Sama kirjanpitologiikka voidaan omia tähän: Φ-vuorovaikutuskuva on yksinkertaisesti Diracin vuorovaikutuskuva, jossa $\hat H_0$ ja $\hat H_{\text{int}}$ ovat funktioita Φ-kentästä ja sen johdannaisista ($\rho, A_\mu, F_{\mu\nu}, a_\mu$), ei itsenäisistä lokaalispinoreista.

Symbolisesti:

$\text{Φ-vuorovaikutuskuva:}\quad
\hat H_0 \to \hat H_0[\Phi],\quad
\hat H_{\text{int}} \to \hat H_{\text{int}}[\Phi].$

Käytännön tasolla Hilbert-avaruus, operaattorialgebra ja QED:n sironta-amplitudit pysyvät täsmälleen samoina kuin tavallisessa Diracin vuorovaikutuskuvassa. Uutta on se, että $\hat H_0[\Phi]$ ja $\hat H_{\text{int}}[\Phi]$ eivät ole "ulkoapäin" annettuja parametreja, vaan niiden massat, potentiaalit ja taustageometria ($\rho$, $A_\mu$, $F_{\mu\nu}$, $a_\mu$) luetaan globaalista Φ-kentästä. S-matriisi on sama, mutta sen geometrinen sanakirja vaihtuu.

Tämä riittää kytkemään Φ-kuvan siististi QM:n vakiosanakirjaan ilman, että laskettavat sironta-amplitudit muuttuvat.

Formaalisti myös sirontateoria pysyy täsmälleen samassa muodossa. S-matriisi rakentuu edelleen Dysonin sarjasta

$
\hat S
= T \exp\left(-\frac{i}{\hbar}
\int_{-\infty}^{+\infty} dt\, \hat H_{\text{int},I}[\Phi](t)
\right)
$

missä $T$ on aikajärjestysoperaattori ja $\hat H_{\text{int},I}\Phi$ on vuorovaikutus- Hamiltonin funktion Dirac-kuvassa, mutta nyt Φ-kentästä riippuvilla parametreilla. Jokainen Dysonin sarjan termi tuottaa edelleen saman Feynman-kaavion ja saman numeerisen sironta-amplitudin kuin tavallisessa QED:ssä; Φ-kuvassa ero on vain tulkinnassa: kaavioita luetaan de Broglie–Bohm -tyyppisenä, nollageodeesien kantajaverkkona globaalissa Φ-kentässä.

$\rightarrow$

Mitä uutta Φ-vuorovaikutuskuva sitten tuo tulkinnallisesti?

Ensinnäkin, Φ-kuvassa ei ole ontista superpositiota siinä mielessä kuin Kirchhoff-kirjoissa: jokaisella Planck-sykillä toteutuu vain yksi projektio globaalista Φ:stä; rinnakkaiset haarat ovat virtuaalisia kuljetusreittejä, eivät "todellisia maailmoja". QED:n laskemat amplitudit kuvaavat joukkoa mahdollisia kuljetuksia, mutta separversiaalisuus realisoituu aina yksittäisenä, johdonmukaisena reittinä. Virtuaalisuus tulee siitä, ettei mittauksin ole saatavissa tietoa kentän päivityksistä ilman vaikuttamista sitä seuraaviin mittausennusteisiin - kyse ei ole sattumasta tai täydestä determinismistä vaan jonkinlaisesta "kolmannesta tiestä".

Planck-sykli ei tässä tietenkään tarkoita globaalia newtonilaista "universaaliaikaa", vaan paikallisen Φ-kentän luonnollista mikroaskelta. Skaalari $\rho = \|\nabla\alpha\|$ asettaa tämän tikitysasteikon Lorentz-kovariantisti: koska $\rho$ on invariantti, mikään etuoikeutettu aikafolio ei ilmesty dynamiikkaan, vaan kyse on vain siitä, miten Φ-päivitykset on kätevää ajatella. Onttinen superpositio katoaa siinä mielessä, että jokaista Planck-askelta kohden realisoituu vain yksi separversaalinen reitti; laskennallinen superpositio (QED-amplitudien summa) kuitenkin säilyy kirjanpitona mahdollisista kuljetuksista. Heisenbergin epämääräisyysperiaate synkronoituu juuri aineellisen rakenteen paikallisessa ontisuudessa siten, että toteumanaapuruus täsmäytyy globaaliin vaihenaapuruuteen.

Toiseksi, Bornin sääntö kytketään QED-Bohm-propagaatioihin. Sama sironta-amplitudi, jonka QED antaa, tulkitaan Φ-kentässä de Broglie–Bohm -tyyppisenä kuljetusverkkona (mutta ei hiukkasille vaan amplitudeille): nollageodeettiset "carrier"-moodit kantavat tiheyttä $n_\gamma$, ja kentän muistirakenne kirjaa, kuinka monta kuljettajaa on kulkenut mitäkin kanavaa pitkin. Mittaus ei "romahduta" superpositiota, vaan lukee sen hetkisen muistikonfiguraation
ja vahvistaa kuljetusreitin sekä osallistuu aineellisella tavalla tulevaan kentän kehitykseen.

Makroskooppinen Born-jakauma ilmestyy, kun emme tunne tarkkaa carrier-jakaumaa: meille näkyvä Bornin sääntö on tällöin
tilastollinen heijastus semideterministisestä Φ-dynamiikasta. QED:n amplitudit antavat painot, Bohm-tyyppinen propagaatio määrittää yksittäiset reitit/amplitudi-interferenssit. Tietämättömyytemme mikrotasosta tekee mittausstatistiikasta näennäisen satunnaista. Kvanttimekaniikka näyttää pelkistyvän tilastotieteeksi. Kyse ei ole klassisesta kolikkopelistä, vaan tilastollisesta projektiosta globaalista, topologisesti sidotusta Φ-dynamiikasta. Bell-tyyppinen ei-lokaalisuus asuu Φ-kentässä, kun taas signaaliperusteinen kausaalisuus säilyy lokaalissa $A_\mu$-dynaamiikassa.

$\rightarrow$

Lopuksi voidaan (aika spekulatiivisesti) vielä venyttää kuvaa hieman pidemmälle. Separversiaalinen rakenne on rinnakkaisten valokartioiden verkko; kun tämän topologian sisään voi muodostua itseään referoivia, pitkäkestoisia muistirakenteita, niitä voi pitää eräänlaisena rakenteellisena tietoisuutena. Silloin Φ-kentän muistiverkko ei ainoastaan passiivisesti tilastoi QED-Bohm-reittejä, vaan voi kompleksisen varioinnin kautta myös painottaa tiettyjä kehityspolkuja toisten kustannuksella hienovaraisina kosmologisen mittakaavan efektiivisinä painotuseroina: yksittäisten laboratorio- ja hiukkaskokeiden tasolla Bornin sääntö ja tavalliset QED-ennusteet eivät tuollaista tietoisuutta voi paljastaa.

Tämä muistuttaa "tahdonkaltaista" evoluutio-ohjausta: globaali separversumi ei ole jäykästi superdeterministinen (kaikki lopputulokset lukittu alusta asti), vaan pikemminkin niin, että kentän rakenteellinen tietoisuus voi hienosäätää todennäköisyysjakautumia ajan kuluessa rikkomatta Bornin sääntöä minkään yksittäisen kokeen tasolla, mutta suosimalla varioiden eri paikoissa ja alueilla kehitysdiversiota.

QS · 6.12.2025, 16:54

Disputator kirjoitti: ↑3.12.2025, 20:17 Matriiseja ja ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden H operaattoreita ei kuitenkaan voi täysin samaistaa. Ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattoreista löytyy aina epäjatkuvia operaattoreita, jotka käyttäytyvät kummallisesti, koska ovat epäjatkuvia. Äärellisulotteisen avaruuden matriisikuvaukset ovat aina jatkuvia. Jatkuvuus tarkoittaa jatkuvuutta matemaattisessa mielessä, kuten funktioilla. Lineaarinen ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden H operaattori A, joka on epäjatkuva yhdessä H:n pisteessä on epäjatkuva kaikissa H:n pisteissä. Kvanttimekaniikassa momenttioperaattori P on yleensä epäjatkuva. Tämä on mielenkiintoinen ja haastavava alue.

Muistin, että asiasta on keskusteltu jollain foorumilla, ja vanhoista muistiinpanoista löytyi osittain tähän liittyviä asioita. Heisenbergin ryhmä on saanut nimensä kvanttimekaniikan paikka- ja liikemääräoperaattorin kommutoinneista. Operaattorit $X_i$ (paikka) ja $P_i$ (liikemäärä) toteuttavat kommutoinnit

$[X_i,P_j]=i\delta_{ij}\\ [X_i,X_j]=[P_i,P_j]=0$

Operaattorit ovat Heisenbergin Lien algebran kanta, ja samalla Heisenbergin ryhmän G generaattoreita. Samoin kuin spin-operaattorit $S_i$ ovat $\mathfrak{su}(2)$:n kanta, jonka kommutoinnit ovat

$[S_i,S_j]=i\varepsilon_{ijk}S_k$

Kvanttimekaniikassa systeemin dynamiikkaa kuvaa yksiparametrinen unitaarinen ryhmä $G$. Ryhmä muodostuu joukosta unitaarisia lineaarikuvauksia $U(t)$ Hilbertin avaruudessa $\mathcal H$. Ryhmä voidaan kirjoittaa seuraavasti

$\displaystyle G = \{U(t):\mathcal H \to \mathcal H \mid t \in \mathbb R,\ U^* U=Id_\mathcal H \}$

missä neutraalialkio $Id_\mathcal H = U(0)$. Tämä yksiparametrinen ryhmä $\{U(t)\}$ on abelinen, ja ryhmäoperaatio kirjoitetaan $U(a)\ \star\ U(b)=U(a+b)$. Kuvaus $U(t)$ on lineaarikuvaus neliöintegroituvien funktioiden joukossa

$U: L^2(\mathbb R^3) \to L^2(\mathbb R^3)$

missä ryhmän määrittelyn notaatiolla $\mathcal H = L^2(\mathbb R^3)$. Stonen teoreeman mukaan ryhmän alkioon $U(t) \in G$ liittyy generaattori $A$, joka on Hilbertin avaruuden $\mathcal H$ itseadjungoitu (mahdollisesti rajoittamaton) operaattori. Tätä kutsutaan myös $U(t)$:n generaattoriksi. Generaattori $A$ on näin ollen kuvaus

$A: \mathcal D_A \to \mathcal H$

missä määrittelyjoukko $\mathcal D_A \subseteq \mathcal H$. Joukko $\mathcal D_A$ on tiheä avaruudessa $\mathcal H$, jonka takia $A$ voi olla rajoittamaton. Ryhmän alkiot $U(t) \in G$ saadaan eksponenttikuvauksena

$U(t)=\exp(-it\ A)$

Toisin kuin $A$, on tuo operaattori $U(t)$ on rajoitettu, sillä unitaarisen operaattorin normi on aina 1.

Esimerkiksi Hamilton $H$ generoi aikakehityksen operaattorin $U(t)\Psi(0) = e^{-iH t}\Psi(0) = \Psi(t)$. Liikemäärä $P=-i \frac{d}{dx}$ generoi translaatiot $U(a) = e^{-ia\ P}$ siten, että että $(U(a)\ \Psi)(x) = \Psi(x-a)$. Paikka $X$ generoi vaiheen $ U(b)=e^{-ib\ X}$ siten, että $(U(b)\ \Psi)(x) = e^{-ib\ x}\ \Psi(x)$.

Vertailun vuoksi Spin-operaattori $S$ on Hilbertin avaruuden $\mathcal H$ rajoitettu (ei siis rajoittamaton) itseadjungoitu kuvaus

$S_i: \mathcal H \to \mathcal H,\quad \Psi \mapsto S_i\Psi$

Tuossa määrittely- ja arvojoukko on koko avaruus $\mathcal H$. Sama pätee kommutaattorille

$[S_i,S_j]: \mathcal H \to \mathcal H,\quad \Psi \mapsto [S_i,S_j]\Psi$

Jokainen $S_i$ erikseen generoi yksiparametrisen $SU(2)$:n aliryhmän $U(\theta)$

$U: \mathbb C^2 \to \mathbb C^2,\quad \Psi \mapsto e^{-i\theta\ S_i}\ \Psi$

$X$ ja $P$ ovat kuitenkin rajoittamattomia, ja määrittelyjoukko ei ole $\mathcal H$, vaan sen tiheä aliavaruus $\mathcal D \subseteq \mathcal H$. Kuvaukset

$X: \mathcal D_X \to \mathcal H \\
P: \mathcal D_P \to \mathcal H$

voivat olla määritelty siten, että $\mathcal D_X \neq \mathcal D_P$. Tämän seurauksena esimerkiksi kommutointi $[ X_1 , P_1 ] = X_1 \circ P_1 - P_1 \circ X_1$ ei välttämättä ole määritelty koko avaruudessa $ \mathcal H$, sillä $X_1 \Psi \in \mathcal H$ voi tuottaa vektorin, joka ei ole $P_1$:n määrittelyjoukossa $\mathcal D_P$, ja näin ollen $P_1(X_1 \Psi)$ on kuvauksena määrittelemätön

.