QS kirjoitti: ↑6.12.2025, 16:54
Disputator kirjoitti: ↑3.12.2025, 20:17
Matriiseja ja ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden H operaattoreita ei kuitenkaan voi täysin samaistaa. Ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden operaattoreista löytyy aina epäjatkuvia operaattoreita, jotka käyttäytyvät kummallisesti, koska ovat epäjatkuvia. Äärellisulotteisen avaruuden matriisikuvaukset ovat aina jatkuvia. Jatkuvuus tarkoittaa jatkuvuutta matemaattisessa mielessä, kuten funktioilla. Lineaarinen ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden H operaattori A, joka on epäjatkuva yhdessä H:n pisteessä on epäjatkuva kaikissa H:n pisteissä. Kvanttimekaniikassa momenttioperaattori P on yleensä epäjatkuva. Tämä on mielenkiintoinen ja haastavava alue.
Muistin, että asiasta on keskusteltu jollain foorumilla, ja vanhoista muistiinpanoista löytyi osittain tähän liittyviä asioita.
Joo, niin minäkin muistelisin. Aihepiiri on laaja ja tähän liittyy paljon funktionaalianalyysinä tunnettua matematiikan alaa, erityisesti Hilbert-avaruuden operaattoriteoriaa. Ääretönulotteisessa Hilbert-avaruudessa \(\mathcal H\) asiat mutkistuvat aivan valtavasti verraten äärellisulotteiseen tapaukseen, jossa operaattorit ovat esitettävissä matriiseina valituissa kannoissa
QS kirjoitti:
Heisenbergin ryhmä on saanut nimensä kvanttimekaniikan paikka- ja liikemääräoperaattorin kommutoinneista. Operaattorit \(X_i\) (paikka) ja \(P_i\) (liikemäärä) toteuttavat kommutoinnit
\([X_i,P_j]=i\delta_{ij}\\ [X_i,X_j]=[P_i,P_j]=0\)
Operaattorit ovat Heisenbergin Lien algebran kanta, ja samalla Heisenbergin ryhmän G generaattoreita. Samoin kuin spin-operaattorit \(S_i\) ovat \(\mathfrak{su}(2)\):n kanta, jonka kommutoinnit ovat
\([S_i,S_j]=i\varepsilon_{ijk}S_k\)
Kvanttimekaniikassa systeemin dynamiikkaa kuvaa yksiparametrinen unitaarinen ryhmä \(G\). Ryhmä muodostuu joukosta unitaarisia lineaarikuvauksia \(U(t)\) Hilbertin avaruudessa \(\mathcal H\). Ryhmä voidaan kirjoittaa seuraavasti
\(\displaystyle G = \{U(t):\mathcal H \to \mathcal H \mid t \in \mathbb R,\ U^* U=Id_\mathcal H \}\)
missä neutraalialkio \(Id_\mathcal H = U(0)\). Tämä yksiparametrinen ryhmä \(\{U(t)\}\) on abelinen, ja ryhmäoperaatio kirjoitetaan \(U(a)\ \star\ U(b)=U(a+b)\). Kuvaus \(U(t)\) on lineaarikuvaus neliöintegroituvien funktioiden joukossa
\(U: L^2(\mathbb R^3) \to L^2(\mathbb R^3)\)
missä ryhmän määrittelyn notaatiolla \(\mathcal H = L^2(\mathbb R^3)\). Stonen teoreeman mukaan ryhmän alkioon \(U(t) \in G\) liittyy generaattori \(A\), joka on Hilbertin avaruuden \(\mathcal H\) itseadjungoitu (mahdollisesti rajoittamaton) operaattori. Tätä kutsutaan myös \(U(t)\):n generaattoriksi. Generaattori \(A\) on näin ollen kuvaus
\(A: \mathcal D_A \to \mathcal H\)
missä määrittelyjoukko \(\mathcal D_A \subseteq \mathcal H\). Joukko \(\mathcal D_A\) on tiheä avaruudessa \(\mathcal H\), jonka takia \(A\) voi olla rajoittamaton. Ryhmän alkiot \(U(t) \in G\) saadaan eksponenttikuvauksena
\(U(t)=\exp(-it\ A)\)
Toisin kuin \(A\), on tuo operaattori \(U(t)\) on rajoitettu, sillä unitaarisen operaattorin normi on aina 1.
Katselin tuota Stonen teoreemaa ja se on sinänsä ihan ymmärrettävä. Teoreemassa vaaditaan, että tuo yksiparametrinen ryhmä \(U(t)\) on vahvasti jatkuva. Jokaisella annetulla kiinteällä \(t\in \mathbb R\) on \(U(t)\) unitaarinen eli se on rajoitettu ja siten kuvaus \( U(t):\mathcal H\to\mathcal H\) on jatkuva. Vahva jatkuvuus liittyy sitten parametriin t ja siinä vaaditaan että raja-arvo \(\displaystyle \lim_{t\to t_0} U(t)\ket{\psi}=U(t_0)\ket{\psi}\) on olemassa kaikilla \( t_0\in\mathbb R\) ja kaikilla \( \ket{\Psi}\in \mathcal H\).
Formaalisti voidaan derivoida lauseketta \(U(t)=exp(-i A t)\) käyttäen derivaatan määritelmää:
\(\displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{exp(-i A t)\ket{\psi}-\ket{\psi}}{t}=-i A\ket{\psi}\).
Analogisesti voidaan yrittää määritellä operaattori \( A \) yksiparametriryhmälle \(U(t)\) käyttäen raja-arvoa:
\(\displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{U(t)\ket{\psi}-\ket{\psi}}{t}=-i A\ket{\psi}\)
siis toisinpäin kirjoitettuna ja kerrottuna luvulla i:
\(\displaystyle A\ket{\psi} \equiv i \lim_{t\to 0} \frac{U(t)\ket{\psi}-\ket{\psi}}{t}\)
Nyt ymmärtääkseni Stonen lauseen hienouksia on se, että ylläoleva raja-arvo on määritelty tiheässä Hilbert-avaruuden \(\mathcal H\) tiheässä aliavaruudessa \(\mathcal D_A\) ja siten operaattori \(A\) on määritelty samassa joukossa. Operaattori \(A\) on lisäksi lineaarinen.
On mahdollista, että operaattori \(A \) onkin määritelty koko Hilbert-avaruudessa \(\mathcal H\) ja silloin \(A\) on rajoitettu (=jatkuva) lineaarinen kuvaus \(A: \mathcal H\to \mathcal H\). Wikin artikkelissa annetaan kriteeri, joka vaatii, että allaoleva raja-arvo on olemassa:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0} ||U(t)-U(t_0)||=0\)
Tuossa on käytössä Hilbert-avaruuden jatkuvien (=rajoittetujen) operaattoreiden joukossa \( B(\mathcal H)\) määritelty normi:
\(||A|| = max\{||Ax||: x\in \mathcal H, ||x||\leq 1 \} \).
Max merkitsee maksimia ja oikeastaan tuossa pitäisi olla sup eikä max. Sup merkitsee supremum:
\(||A|| = sup\{||Ax||: x\in \mathcal H, ||x||\leq 1 \} \).
Tämä nyt kyllä alkaa leviämään ihan matematiikaksi. Tuossa yllä pitäisi vielä tarkastaa että se operaattori \(A\) on itse-adujgoitu, mikä taasen sisältää omat hankaluutensa johtuen siitä että \(A \)ei välttämättä ole rajoitettu.
