Laitoin tuohon Dysonin sarja ja kvanttikenttä-ketjuun allaolevan kirjoituksen. Oikeastaan kannattaa avata tälläinen ketju, jossa käsitellään funktionaalianalyysiä enemmän ja vähemmän sovellusten kannalta. Alla mainitsemani kirjoitus:
Laitan tähän vielä näkyviin erilaisia määritelmiä parametrista \(t\) riippuvan Hilbert-avaruuden \(\mathcal H\) operaattorin \(U(t)\) raja-arvolle U, kun \(U(t)\) on rajoitettu (=jatkuva), olkoon \(t_0\in \mathbb R\) annettu ja pyritään määrittelemään \(\displaystyle \lim_{t\to t_0}U(t)=U\):
1) Heikko konvergenssi:
Operaattori U(t) suppenee heikosti kohti operaattoria \(U\), jos kaikilla \(x,y\in \mathcal H\)
\(<x,Uy>=\displaystyle \lim_{t\to t_0}<x,U(t)y>
\)
2) Vahva konvergenssi:
Operaattori \(U(t)\) suppenee vahvasti kohti operaattoria \(U\), jos kaikilla \(x\in \mathcal H\) \( \displaystyle \lim_{t\to t_0}|| (U(t)-U)x||_{\mathcal H}=0\), missä Hilbert-avaruuden \(\mathcal H\) määräämä normi \(||x||_{\mathcal H}=\sqrt{<x,x>}\) on käytössä.
3) normikonvergenssi (tai tasainen konvergenssi):
Operaattori \(U(t)\) suppenee operaattorinormissa kohti operaattoria U, jos \( \displaystyle \lim_{t\to t_0}|| (U(t)-U)||_{\mathcal B(\mathcal H)}=0\) missä Hilbert-avaruuden \( \mathcal H\) operaattoreille A on määritelty normi \(||A||_{\mathcal B(\mathcal H)}=\displaystyle \sup_{||x||\neq 0}\frac{||Ax||}{||x||}\)
Ääretönulotteisessa Hilbert-avaruudessa nuo eivät ole keskenään ekvivalentteja, kaikkein vahvin konvergenssi on 3) eli normikonvergenssi ja se takaa konvergenssin 2) eli vahvan konvergenssin. Vastaavasti konvergenssi 2) eli vahva konvergenssi takaa heikon konvergenssin 1) eli siis tiiviisti:
\(3)\Rightarrow 2)\Rightarrow 1)\)
Hyvää Uutta vuotta 2026 kaikkialle, ja myös Banachin avaruuteen, johon on perimätiedon mukaan kadonnut lukuisia matemaatikkoja 
Muistelen, että tämä heikko konvergenssi takaa sen, että mitattava odotusarvo \(\langle U(t_0)\rangle \) lähestyy mainittua raja-arvoa \(\langle U\rangle\). Jos näin ei olisi, niin mittaamisessa olisi tavallaan epäjatkuvuus, jolle olisi vaikea löytää fysikaalista perustetta.Disputator kirjoitti: ↑31.12.2025, 17:24 Laitan tähän vielä näkyviin erilaisia määritelmiä parametrista \(t\) riippuvan Hilbert-avaruuden \(\mathcal H\) operaattorin \(U(t)\) raja-arvolle U, kun \(U(t)\) on rajoitettu (=jatkuva), olkoon \(t_0\in \mathbb R\) annettu ja pyritään määrittelemään \(\displaystyle \lim_{t\to t_0}U(t)=U\):
1) Heikko konvergenssi:
Operaattori U(t) suppenee heikosti kohti operaattoria \(U\), jos kaikilla \(x,y\in \mathcal H\)
\(<x,Uy>=\displaystyle \lim_{t\to t_0}<x,U(t)y>
\)
Vahva konvergenssi liittyy käsittääkseni siihen, että kvanttiteorian tilavektori kehittyy ilman epäjatkuuvuutta. Tämä liittyy myös aiemmin puhuttuun Stonen lauseeseen, joka ei vaadi tiukinta normikonvergenssia.Disputator kirjoitti: ↑31.12.2025, 17:24 2) Vahva konvergenssi:
Operaattori \(U(t)\) suppenee vahvasti kohti operaattoria \(U\), jos kaikilla \(x\in \mathcal H\) \( \displaystyle \lim_{t\to t_0}|| (U(t)-U)x||_{\mathcal H}=0\), missä Hilbert-avaruuden \(\mathcal H\) määräämä normi \(||x||_{\mathcal H}=\sqrt{<x,x>}\) on käytössä.
Tästä normikonvergenssista en osaa sanoa mitä se konkreettisesti tarkoittaa kvanttiteoriassa. Paitsi tietysti kirjoittamasi \(3)\Rightarrow 2)\Rightarrow 1)\) on oltava voimassa ääretönulotteisessa tapauksessa, joten näin vain on.Disputator kirjoitti: ↑31.12.2025, 17:24 3) normikonvergenssi (tai tasainen konvergenssi):
Operaattori \(U(t)\) suppenee operaattorinormissa kohti operaattoria U, jos \( \displaystyle \lim_{t\to t_0}|| (U(t)-U)||_{\mathcal B(\mathcal H)}=0\) missä Hilbert-avaruuden \( \mathcal H\) operaattoreille A on määritelty normi \(||A||_{\mathcal B(\mathcal H)}=\displaystyle \sup_{||x||\neq 0}\frac{||Ax||}{||x||}\)
Iltaa!
Joo, nuo eri operaattoriarvoisen kuvauksen raja-arvojen tulkinnat ovat varmaankin kuten sanot. Jatkan noista eri raja-arvoista vielä, koska ne jotenkin liittyvät myös siihen Dysonin sarjan ja aikakehitysoperaattorin \(U(t,s)\) määritelmiin. Laitan niitä tähän näkyviin, niin voi sitten viitata näihin muun jutun ohella ja ne on helppo kirjoittaa, koska ne ovat hyvin samankaltaisia.
Allaolevat määritelmät pyrkivät kokoamaan erilaisia derivoituvuusmääritemiä, jotta voisi ymmärtää kvanttimekaniikan derivaattoja, esimerkiksi Schrödingerin yhtälö Hilbert-avaruuudessa tai aikakehitysoperaattorin \(U(t) \) derivaatta.
Kuten aina, kirjoittaessa oppii kaikenlaista uutta ja huomasin nyt että esimerkiksi tässä määritellyt operaattorin derivaatat eivät ole niin hyödyllisiä kuin luulin, koska operaattorin derivaatta on allaolevissa määritemissä rajoitettu operaattori.
Analogisesti erilaisten parametrista \( t\in\mathbb R\) riippuvien operaattorien \(U(t)\) kanssa on vektoriarvoinen kuvaus eli parametrista \(t\) riippuva Hilbert-avaruuden vektori \(X(t)\in \mathcal H\), jolle voidaan määritellä jatkuvuus eri tavoin:
1) Heikko jatkuvuus:
Kuvaus \(X(t)\) on heikosti jatkuva pisteessä \(t_0\in\mathbb R\), jos kaikilla \(Y\in \mathcal H\) pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}<Y,X(t)-X(t_0)>=0.\)
2) Vahva jatkuvuus:
Kuvaus \(X(t)\) on vahvasti jatkuva pisteessä \(t_0\in\mathbb R\), jos:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}||X(t)-X(t_0)||_{\mathcal H}=0\)
Vahvasta seuraa heikko eli \(2)\Rightarrow 1)\).
Derivointikin voidaan määritellä samalla tyylillä:
1) Heikko derivaatta:
Kuvaus \(X(t)\) on heikosti differentioituva pisteessä \(t_0\in\mathbb R\), jos on olemassa Hilbert-avaruuden vektori \(X'(t_0)\in \mathcal H\), jolle kaikilla \(Y\in \mathcal H\) pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}<Y,\frac{X(t)-X(t_0)}{t-t_0}-X'(t_0)>=0.\)
2) Vahva derivaatta:
Kuvaus \(X(t)\) on vahvasti differentioituva pisteessä \(t_0\in\mathbb R\), jos on olemassa Hilbert-avaruuden vektori \(X'(t_0)\in \mathcal H\), jolle kaikilla \(Y\in \mathcal H\) pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}\left|\left|\frac{X(t)-X(t_0)}{t-t_0}-X'(t_0)\right|\right|_{\mathcal H}=0.\)
Implikaatiot: \(2)\Rightarrow 1)\)
Lisäksi edellisen viestini parametrista \(t\in\mathbb R\) riippuvalle rajoitetulle operaattorille \(U(t):\mathcal H\to\mathcal H\) voidaan asettaa erilaisia derivoituvuusmääritelmiä:
1) Operaattoriarvoisen kuvauksen \(U(t)\) heikko derivoituvuus:
Operaattori \(U(t):\mathcal H\to \mathcal H\) on heikosti derivoituva pistessä \(t_0\in\mathbb R\), jos on olemassa rajoitettu Hilbert-avaruuden operaattori \(U'(t_0)\in \mathcal B(\mathcal H)\), jolle kaikilla \(X,Y\in \mathcal H\) pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}<X,\left(\frac{U(t)-U(t_0)}{t-t_0}\right)Y>=<X,U'(t_0)Y>.\)
2) Operaattoriarvoisen kuvauksen \(U(t\)) vahva derivoituvuus:
Operaattori \(U(t):\mathcal H\to \mathcal H\) on vahvasti derivoituva pistessä \(t_0\in\mathbb R\), jos on olemassa rajoitettu Hilbert-avaruuden operaattori \(U'(t_0)\in \mathcal B(\mathcal H)\), jolle kaikilla \(X\in \mathcal H\) pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}\left|\left|\left(\frac{U(t)-U(t_0)}{t-t_0}\right)X-U'(t_0)X\right|\right|_{\mathcal H}=0.\)
3) Operaattoriarvoisen kuvauksen \(U(t)\) tasainen derivoituvuus (tai derivoituvuus normissa ):
Operaattori \(U(t):\mathcal H\to \mathcal H\) on tasaisesti derivoituva pistessä \(t_0\in\mathbb R\), jos on olemassa rajoitettu Hilbert-avaruuden operaattori \(U'(t_0)\in \mathcal B(\mathcal H)\), jolle kaikilla pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}\left|\left|\left(\frac{U(t)-U(t_0)}{t-t_0}\right)-U'(t_0)\right|\right|_{\mathcal B(\mathcal H)}=0.\)
Joo, nuo eri operaattoriarvoisen kuvauksen raja-arvojen tulkinnat ovat varmaankin kuten sanot. Jatkan noista eri raja-arvoista vielä, koska ne jotenkin liittyvät myös siihen Dysonin sarjan ja aikakehitysoperaattorin \(U(t,s)\) määritelmiin. Laitan niitä tähän näkyviin, niin voi sitten viitata näihin muun jutun ohella ja ne on helppo kirjoittaa, koska ne ovat hyvin samankaltaisia.
Allaolevat määritelmät pyrkivät kokoamaan erilaisia derivoituvuusmääritemiä, jotta voisi ymmärtää kvanttimekaniikan derivaattoja, esimerkiksi Schrödingerin yhtälö Hilbert-avaruuudessa tai aikakehitysoperaattorin \(U(t) \) derivaatta.
Kuten aina, kirjoittaessa oppii kaikenlaista uutta ja huomasin nyt että esimerkiksi tässä määritellyt operaattorin derivaatat eivät ole niin hyödyllisiä kuin luulin, koska operaattorin derivaatta on allaolevissa määritemissä rajoitettu operaattori.
Analogisesti erilaisten parametrista \( t\in\mathbb R\) riippuvien operaattorien \(U(t)\) kanssa on vektoriarvoinen kuvaus eli parametrista \(t\) riippuva Hilbert-avaruuden vektori \(X(t)\in \mathcal H\), jolle voidaan määritellä jatkuvuus eri tavoin:
1) Heikko jatkuvuus:
Kuvaus \(X(t)\) on heikosti jatkuva pisteessä \(t_0\in\mathbb R\), jos kaikilla \(Y\in \mathcal H\) pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}<Y,X(t)-X(t_0)>=0.\)
2) Vahva jatkuvuus:
Kuvaus \(X(t)\) on vahvasti jatkuva pisteessä \(t_0\in\mathbb R\), jos:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}||X(t)-X(t_0)||_{\mathcal H}=0\)
Vahvasta seuraa heikko eli \(2)\Rightarrow 1)\).
Derivointikin voidaan määritellä samalla tyylillä:
1) Heikko derivaatta:
Kuvaus \(X(t)\) on heikosti differentioituva pisteessä \(t_0\in\mathbb R\), jos on olemassa Hilbert-avaruuden vektori \(X'(t_0)\in \mathcal H\), jolle kaikilla \(Y\in \mathcal H\) pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}<Y,\frac{X(t)-X(t_0)}{t-t_0}-X'(t_0)>=0.\)
2) Vahva derivaatta:
Kuvaus \(X(t)\) on vahvasti differentioituva pisteessä \(t_0\in\mathbb R\), jos on olemassa Hilbert-avaruuden vektori \(X'(t_0)\in \mathcal H\), jolle kaikilla \(Y\in \mathcal H\) pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}\left|\left|\frac{X(t)-X(t_0)}{t-t_0}-X'(t_0)\right|\right|_{\mathcal H}=0.\)
Implikaatiot: \(2)\Rightarrow 1)\)
Lisäksi edellisen viestini parametrista \(t\in\mathbb R\) riippuvalle rajoitetulle operaattorille \(U(t):\mathcal H\to\mathcal H\) voidaan asettaa erilaisia derivoituvuusmääritelmiä:
1) Operaattoriarvoisen kuvauksen \(U(t)\) heikko derivoituvuus:
Operaattori \(U(t):\mathcal H\to \mathcal H\) on heikosti derivoituva pistessä \(t_0\in\mathbb R\), jos on olemassa rajoitettu Hilbert-avaruuden operaattori \(U'(t_0)\in \mathcal B(\mathcal H)\), jolle kaikilla \(X,Y\in \mathcal H\) pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}<X,\left(\frac{U(t)-U(t_0)}{t-t_0}\right)Y>=<X,U'(t_0)Y>.\)
2) Operaattoriarvoisen kuvauksen \(U(t\)) vahva derivoituvuus:
Operaattori \(U(t):\mathcal H\to \mathcal H\) on vahvasti derivoituva pistessä \(t_0\in\mathbb R\), jos on olemassa rajoitettu Hilbert-avaruuden operaattori \(U'(t_0)\in \mathcal B(\mathcal H)\), jolle kaikilla \(X\in \mathcal H\) pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}\left|\left|\left(\frac{U(t)-U(t_0)}{t-t_0}\right)X-U'(t_0)X\right|\right|_{\mathcal H}=0.\)
3) Operaattoriarvoisen kuvauksen \(U(t)\) tasainen derivoituvuus (tai derivoituvuus normissa ):
Operaattori \(U(t):\mathcal H\to \mathcal H\) on tasaisesti derivoituva pistessä \(t_0\in\mathbb R\), jos on olemassa rajoitettu Hilbert-avaruuden operaattori \(U'(t_0)\in \mathcal B(\mathcal H)\), jolle kaikilla pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}\left|\left|\left(\frac{U(t)-U(t_0)}{t-t_0}\right)-U'(t_0)\right|\right|_{\mathcal B(\mathcal H)}=0.\)
SI Resurrection!
Tiukkaa tavaraa, itse lähinnä matkustajana mukana, kun tuota seuraan. Mutta mielestäni ymmärsin tästä jotain, joka liittyy Stonen lauseeseen.Disputator kirjoitti: ↑2.1.2026, 17:09
Lisäksi edellisen viestini parametrista \(t\in\mathbb R\) riippuvalle rajoitetulle operaattorille \(U(t):\mathcal H\to\mathcal H\) voidaan asettaa erilaisia derivoituvuusmääritelmiä:
1) Operaattoriarvoisen kuvauksen \(U(t)\) heikko derivoituvuus:
Operaattori \(U(t):\mathcal H\to \mathcal H\) on heikosti derivoituva pistessä \(t_0\in\mathbb R\), jos on olemassa rajoitettu Hilbert-avaruuden operaattori \(U'(t_0)\in \mathcal B(\mathcal H)\), jolle kaikilla \(X,Y\in \mathcal H\) pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}<X,\left(\frac{U(t)-U(t_0)}{t-t_0}\right)Y>=<X,U'(t_0)Y>.\)
2) Operaattoriarvoisen kuvauksen \(U(t\)) vahva derivoituvuus:
Operaattori \(U(t):\mathcal H\to \mathcal H\) on vahvasti derivoituva pistessä \(t_0\in\mathbb R\), jos on olemassa rajoitettu Hilbert-avaruuden operaattori \(U'(t_0)\in \mathcal B(\mathcal H)\), jolle kaikilla \(X\in \mathcal H\) pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}\left|\left|\left(\frac{U(t)-U(t_0)}{t-t_0}\right)X-U'(t_0)X\right|\right|_{\mathcal H}=0.\)
3) Operaattoriarvoisen kuvauksen \(U(t)\) tasainen derivoituvuus (tai derivoituvuus normissa ):
Operaattori \(U(t):\mathcal H\to \mathcal H\) on tasaisesti derivoituva pistessä \(t_0\in\mathbb R\), jos on olemassa rajoitettu Hilbert-avaruuden operaattori \(U'(t_0)\in \mathcal B(\mathcal H)\), jolle kaikilla pätee:
\(\displaystyle \lim_{t\to t_0}\left|\left|\left(\frac{U(t)-U(t_0)}{t-t_0}\right)-U'(t_0)\right|\right|_{\mathcal B(\mathcal H)}=0.\)
Oletetaan yksiparametrinen unitaarinen ryhmä \(U(t) = \exp(-iAt)\). Kun kirjoitan derivaatan \(U'(t) = -iAU(t)\), niin derivoituvuus on jokin mainituista 1), 2) tai 3) sillä ehdolla, että \(A\) on rajoitettu. Eli jos \(A\) on rajoitettu, niin kuvaus \(t \mapsto U(t)\) on derivoituva (jokin kolmesta vaihtoehdosta).
Kuitenkin kvanttiteoriassa \(A\) on hyvin usein rajoittamaton, ja nämä derivoituvuudet eivät siis päde. Stonen lause kuitenkin takaa, että \(U(t)\) on vähintään vahvasti jatkuva, jonka seurauksena \(U(t)=\exp(-iAt)\) on fysiikassa järkevä (tilavektorit ja todennäköisyydet kehittyvät jatkuvina kuvauksina).
Näin ainakin ymmärsin asian olevan.