Kiitoksia tästä! On mukavaa, että on joku joka laatii mulle tiivistelmän jostain ongelmakohdista, ettei tartte itse etsiä. Yritin vastata tiettyyn aikaisempaan viestiisi aikaisemmin illalla, mutta jostain syystä palsta ei aina tuottanut edes LaTex-koodista kaavoja esikatselussa, joten palaan siihen ja tähänkin sitten myöhemmin.QS kirjoitti: ↑23.4.2026, 18:28Netflix-vertaus oli loistava, ymmärrän täysin tuskan
Kyllä, työmaat aloitetaan kivijalasta, tai jopa maanrakennuksesta, jotta hökkeli ei sorru heti. Weinbergin \(\psi^+\) ja \(\psi^-\) saavat yläindeksin eksponenttifunktiosta \(e^{+ip\cdot x}\) tai \(e^{-ip\cdot x}\), mutta ei suoraan etumerkistä, vaan aika-riippuvuutta kuvaavan termin etumerkistä.Disputator kirjoitti: ↑22.4.2026, 19:33Meillä on tässä hyvin paljon rakennustyömaata rakennettavanaQS kirjoitti: ↑15.3.2026, 10:23...
Tämä tekee Weinbergin kirjasta mielenkiintoisen rakennustyömaan, kun kenttäyhtälötkin löytyvät tilavektorien (=particle) symmetrioista. Tehtävä ei tietysti ole helppo, mutta monen mutkan kautta luvussa 5.5 kirjoitetaan vapaa Diracin kenttä:
\(\begin{align}
\psi_\ell^+(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ u_\ell(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(\mathbf p,\sigma) \\
\psi_\ell^{-c}(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ v_\ell(\mathbf p,\sigma)e^{-ip\cdot x}\ a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)
...Nyt tuo Weinbergin notaatio \(\psi^{-c}(x)\), mikä on sen tarkoitus? Mikä tuo \(-c \) on eksponentissa? Miksi siinä on -c eikä c. Tuo viittaa kai johonkin hypoteettiseen varauskonjugaatioon. Kuitenkin toinen on merkitty vain plusmerkillä \(\psi^+(x)\). Yleensä perinteellisesti esimerkiksi luomisoperaattorit ovat muotoa \(a^{\dagger}, b^{\dagger}\) , mutta sulla (Weinbergistä) esimerkiksi on epätriviaaleja notaatioita, kuten \(\ a^{c\dagger}\). Niillä on toki Weinbergin esityksessä tietty merkitys, mutta ne eivät oikein avaudu, jos ei lue Weinbergin kirjaa alusta alkaen.
Kentän \( \psi^+\) eksponentissa on sisätulo \(ip\cdot x = i(-\omega t + \mathbf p \cdot \mathbf x) = -i\omega t+ i\mathbf p \cdot \mathbf x\), ja aikariippuvuus on \(e^{-i\omega t}\). Kun signatuuri on (-,+,+,+), niin \(\omega\) tarkoittaa positiivisen kulmataajuuden aaltoa.
Vastaavasti \(\psi^-\):n eksponentissa on sisätulo \(-ip\cdot x = -i(-\omega t + \mathbf p \cdot \mathbf x) = i\omega t - i\mathbf p \cdot \mathbf x\), ja aikariippuvuus on \(e^{i\omega t}\). Signatuurissa (-,+,+,+) tämä tarkoittaa sitä, että \(-\omega\) on negatiivisen kulmataajuuden aalto.
Jos \(\psi^+\) ja \(\psi^-\) kirjoitettaisiin signatuurissa (+,-,-,-), niin aikariippuvuuden etumerkin sääntö on (käsitykseni mukaan) sama, mutta lausekkeet muuttuvat siten, että \(\psi^+\):ssa onkin termi \(e^{-ip\cdot x}\) ja \(\psi^-\):ssa on termi \(e^{ip\cdot x}\). Eli tuo eksponentin etumerkki riippuu signatuurista.
Nyt sitten logiikka on se, että \(\psi^+\) ja \(\psi^{+c\dagger}\) ovat poistokenttiä, eli + tarkoittaa poistoa, ja se sisältää poisto-operaattorit \(a\) ja \(a^c\). Vastaavasti \(\psi^{-\dagger}\) ja \(\psi^{-c}\) ovat luontikenttiä, eli - tarkoittaa luontioperaattoreita \(a^\dagger\) ja \(a^{c\dagger}\). Muistisääntönä se, että plussat ja miinukset ovat loogisesti väärin päin. Lisäksi \(\dagger\) vaihtaa paikkaa, joka sotkee notaatiota, ja muistisääntönä se, että dagger sotkee notaatiota ; )
\(\psi^+\) --> hiukkasen poisto \(a\)
\(\psi^{-c}\) --> antihiukkasen luonti \(a^{c\dagger}\)
\(\psi^{-\dagger}\) --> hiukkasen luonti \(a^\dagger\)
\(\psi^{+c\dagger}\) --> antihiukkasen poisto \(a^c\)
Koko kenttä kirjoitetaan
\(\psi = \psi^+ + \psi^{-c}\),
missä yhdistetty hiukkasen poisto ja antihiukkasen luonti. Tuon kentän Hermiten konjugaatti (ilman summia ja kertoimia) on
\(\begin{align}
\psi^\dagger &= (\psi^+)^\dagger + (\psi^{-c})^\dagger \\
&= \int d^3p\ u^\dagger e^{-ip\cdot x}\ a^\dagger + \int d^3p\ v^\dagger e^{ip\cdot x}\ a^c \\
&= \psi^{-\dagger} + \psi^{+c\dagger}
\end{align}\)
Tässä on yhdistetty hiukkasen luonti ja antihiukkasen poisto. Operaattorit konjugoidaan, ja samalla eksponentin etumerkki vaihtuu. Viimeisen rivin \(\psi^{-\dagger}\) luo hiukkasen, ja \(\psi^{+c\dagger}\) poistaa antihiukkasen. Sama +/- sääntö, eli miinus luo ja plus poistaa. Konjugoinnissa kentän yläindeksi vaihtuu, koska aika-riippuvuuden etumerkin vaihtumisen takia notaatio vaihtuu loogisesti siten, että \((\psi^+)^\dagger = \psi^{-\dagger}\) ja \((\psi^{-c})^\dagger = \psi^{+c\dagger}\).
Ja sitten varauskonjugoinnin notaatio c, joka esitellään luvussa 5.2 Causal scalar fields. Tämä on jälleen hiukan kryptinen juttu, ja se perustuu Hamiltonin tiheyteen \(\mathscr H(x)\), joka on niin sanottu vuorovaikutuksen tiheys (interaction density).
Kun \(\psi\) poistaa ja luo hiukkasia, joilla on kvanttiluku (esimerkiksi varaus), niin \(\mathscr H(x)\) säliyttää kvanttiluvun jos ja vain jos jokaisessa \(\mathscr H(x)\):n termissä on sama määrä operaattoreita \(a(\mathbf p)\) ja \(a^\dagger(\mathbf p)\). Jotta \(\mathscr H\) ja varausoperaattori \(Q\) saadaan kommutoimaan, niin kenttäoperaattorien \(\phi\) ja \(Q\):n kommutointi on oltava muotoa
\(\left[Q,\phi^+(x)\right] = -q\phi^+(x)\\\\
\left[Q,\phi^{+\dagger}(x)\right] = +q\phi^{+\dagger}(x)\)
Luku 5.2 käsittelee bosoneja, mutta edellisestä päätellään, että on olemassa kaksi spinitöntä ja samanmassaista bosonia siten, että niillä on vastakkaiset varaukset \(+q\) ja \(-q\). Tällä perusteella esitellään poistokentät \(\phi^+\) ja \(\phi^{+c}\), jotka poistavat hiukkasen varauksella \(+q\) ja "c-hiukkasen" varauksella \(-q\). Tämä sama logiikka näkyy Diracin kentän yhteydessä, ja ennen Diracin varauskonjugointi-operaattorin \(C\) esittelyä.
Skalaarikentälle varauskonjugointi määritellään
\(\begin{align}
\mathrm C\ \phi^+(x)\ \mathrm C^{-1} = \xi^* \phi^{+c}(x) \\
\mathrm C\ \phi^{+c\dagger}(x)\ \mathrm C^{-1} = \xi^c \phi^{+\dagger}(x)
\end{align}
\)
Joo, tässä oli nyt niin paljon juonenkäänteitä, että jäi varmaankin enemmän kysymyksiä kuin tuli vastauksia
Iltaa!
SI Resurrection!
Iltaa! Mä palaan tässä vähän aikaisempasi kirjoituksen erääseen kohtaan:
\(\psi^+(x)=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(\mathbf p,\sigma).\)
Kirjoitan tämän kolminkertaisena integraalina eksplisiittisesti:
\(\psi^+(x)=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(\mathbf p,\sigma)\)
Konjugoimalla \(\psi^+(x) \)Hilbert-avaruuden pariteettioperaattorilla \(P\) saadaan, kun konjugointi kohdistuu ainoastaan Hilbet-avaruuden operaattoriin \(a(\mathbf p,\sigma)\) ja käytetään antamaasi tulosta \(\mathrm P\ a(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm P^{-1} =\eta^*\ a(-\mathbf p,\sigma)\), niin saadaan:
\(\begin{align}P\psi^+(x)P^{-1}&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ P a(\mathbf p,\sigma) P^{-1}\\
&=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(-\mathbf p,\sigma)\end{align}\)
Tehdään koordinaatistomuunnos \(\mathbf p '=-\mathbf p\), jolloin \(d^3 p =-d^3 p '\), jolloin saadaan (kun samalla manipuloidaan eksponettifunktiossa olevaa lauseketta):
\(P\psi^+(x)P^{-1}=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{\infty}^{-\infty}\int_{\infty}^{-\infty}\int_{\infty}^{-\infty} (-d^3 p')\ \ u(-\mathbf p ',\sigma)e^{ip'\cdot \mathscr P x }\ a(\mathbf p',\sigma)\)
Integoinnin ylä-ja alarajan vaihto kaikissa integraaleissa poistaa minusmerkin tilavuuselementistä:
\(P\psi^+(x)P^{-1}=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3 p'\ \ u(-\mathbf p ',\sigma)e^{ip'\cdot \mathscr P x }\ a(\mathbf p',\sigma)\).
Integroimismuuttuja \(\mathbf p '\) voidaan nimetä uudelleen \(\mathbf p=\mathbf p '\) jolloin saadaan:
\(P\psi^+(x)P^{-1}=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3 p\ \ u(-\mathbf p ,\sigma)e^{ip\cdot \mathscr P x }\ a(\mathbf p,\sigma)\).
Tuo näyttää samalta kuin Weinbergin kaava 5.5.10.
Tässä editorissa on jotain vialla. lähetän vastauksen nyt, tuleeko LaTex-koodista kaavoja, ainakin nyt esikatselu tuottaa oikeita kaavoja.
Tämä oli mullakin kompastuskivi. Tämä sun perustelu tässä on varmasti ihan oikein, mutta minä yritin laskea tuon jotenkin formaalisti. Tulos on tuossa alhaalla allaolevan lainauksen jälkeen.QS kirjoitti: ↑12.4.2026, 20:39...
Luvussa 5.5 kirjoitetaan Diracin operaattorikenttä, johon sisältyy hiukkasen poisto \(\psi^+\) ja antihiukkasen luonti \(\psi^{-c}\)
\(\begin{align}
\psi^+(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(\mathbf p,\sigma) \\
\psi^{-c}(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ v(\mathbf p,\sigma)e^{-ip\cdot x}\ a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)
missä \(u\) ja \(v\) ovat spinorit. Kentän pariteetit kirjoitetaan
\(\begin{align}
\mathrm P\ \psi^+(x)\ \mathrm P^{-1}&=\eta^* (2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ u(-\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot \mathscr P x}\ a(\mathbf p,\sigma) \\
\mathrm P\ \psi^{-c}(x)\ \mathrm P^{-1}&=\eta^c (2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ v(-\mathbf p,\sigma)e^{-ip\cdot \mathscr P x}\ a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)
Tässä on nyt yksityiskohtia. Tuosta nähdään, että muunnettu kenttä on muotoa \(\psi(\mathscr P x)\), mikä näkyy oikealla puolella siten, että koordinaatit muuntuvat \(x \to \mathscr P x\). Kenttien edessä on vaihekertoimet \(\eta^*\) (poisto-operaattorille konjugointi) ja \(\eta^c\) (luontioperaattorille ei konjugointia).
Operaattorien \(a\) ja \(a^{c\dagger}\) parametri, joka on siis \(\mathbf p\), ei ole vaihtanut etumerkkiä. Muunnokset (1) ja (3) kuitenkin selvästi vaihtavat etumerkin. Mulla kesti hetki ymmärtää, että miksi näin.
Laitan laskuni näkyviin vain kentän \(\psi^+(x)\) osalta. Laskuni idea on muuttujanvaihto. Kentän \(\psi^+(x)\) esitys kaavana oli:QS kirjoitti:Syy on Minkowski-koordinaatin muunnos \(x \to \mathscr P x = (x^0,-\mathbf x)\). Termin \(e^{ip \cdot x}\) eksponentissa on sisätulo \(p \cdot x = \mathbf p \cdot \mathbf x - p^0 x^0\). Kun koordinaatti muuntuu \(x \to \mathscr P x\), niin sisätulo muuntuu
\(p \cdot x \to p \cdot \mathscr P x = \mathbf p \cdot (-\mathbf x) - p^0 x^0\)
Tämä sisätulo on väärin, jos ei huomioida aika-avaruuden liikemäärän muunnosta \((p^0,\mathbf p) \to (p^0, -\mathbf p)\). Vaikka \(\mathbf p\) ei olekaan kentän \(\psi\) koordinaatti, niin sen täytyy muuntua samalla, kun \(x\) muuntuu. Tämän seurauksena muunnosten (1) ja (3) jälkeinen etumerkki on alkuperäinen, ja muunnoshan ei ole parametrin muunnos vaan operaattorin muunnos. Samasta syystä spinorin \(u\) ja \(v\) liikemäärän etumerkki vaihtuu, ja notaatio \(u(-\mathbf p,\sigma)\) ja \(v(-\mathbf p,\sigma)\) tarkoittaa spinorin pariteettia.
...
\(\psi^+(x)=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(\mathbf p,\sigma).\)
Kirjoitan tämän kolminkertaisena integraalina eksplisiittisesti:
\(\psi^+(x)=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(\mathbf p,\sigma)\)
Konjugoimalla \(\psi^+(x) \)Hilbert-avaruuden pariteettioperaattorilla \(P\) saadaan, kun konjugointi kohdistuu ainoastaan Hilbet-avaruuden operaattoriin \(a(\mathbf p,\sigma)\) ja käytetään antamaasi tulosta \(\mathrm P\ a(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm P^{-1} =\eta^*\ a(-\mathbf p,\sigma)\), niin saadaan:
\(\begin{align}P\psi^+(x)P^{-1}&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ P a(\mathbf p,\sigma) P^{-1}\\
&=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(-\mathbf p,\sigma)\end{align}\)
Tehdään koordinaatistomuunnos \(\mathbf p '=-\mathbf p\), jolloin \(d^3 p =-d^3 p '\), jolloin saadaan (kun samalla manipuloidaan eksponettifunktiossa olevaa lauseketta):
\(P\psi^+(x)P^{-1}=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{\infty}^{-\infty}\int_{\infty}^{-\infty}\int_{\infty}^{-\infty} (-d^3 p')\ \ u(-\mathbf p ',\sigma)e^{ip'\cdot \mathscr P x }\ a(\mathbf p',\sigma)\)
Integoinnin ylä-ja alarajan vaihto kaikissa integraaleissa poistaa minusmerkin tilavuuselementistä:
\(P\psi^+(x)P^{-1}=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3 p'\ \ u(-\mathbf p ',\sigma)e^{ip'\cdot \mathscr P x }\ a(\mathbf p',\sigma)\).
Integroimismuuttuja \(\mathbf p '\) voidaan nimetä uudelleen \(\mathbf p=\mathbf p '\) jolloin saadaan:
\(P\psi^+(x)P^{-1}=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3 p\ \ u(-\mathbf p ,\sigma)e^{ip\cdot \mathscr P x }\ a(\mathbf p,\sigma)\).
Tuo näyttää samalta kuin Weinbergin kaava 5.5.10.
Tässä editorissa on jotain vialla. lähetän vastauksen nyt, tuleeko LaTex-koodista kaavoja, ainakin nyt esikatselu tuottaa oikeita kaavoja.
SI Resurrection!
Kirjoitan tähän ihan uuden viestin, koska tuo viestin editointi tuntui olevan myös välillä toimimaton esikatselun suhteen. Viestissäni on pientä notaatiohässäkkää, tässä lauseke:
\(P\psi^+(x)P^{-1}=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{\infty}^{-\infty}\int_{\infty}^{-\infty}\int_{\infty}^{-\infty} (-d^3 p')\ \ u(-\mathbf p ',\sigma)e^{ip'\cdot \mathscr P x }\ a(\mathbf p',\sigma)\)
Tuo lauseke \(e^{ip'\cdot \mathscr P x}\) on hieman epämääräinen. Koordinaatistomuunnos \(\mathbf p '=-\mathbf p\) muuntaa 4-vektorin \(p=(p^0,p^1,p^2,p^3)\) vektoriksi, jota merkitsin \(p'=(p^0,-p^1,-p^2,-p^3)\). Valitettavasti sama p' esiintyy 3-tilavuuselementissä \( d^3 p'\). Tai no, oikeastaan tuo notaatio on jo Weinbergissä eli \(p\) merkitsee Weinbergillä 4-vektoria ja \(d^3 p\) 3-tilavuuselementtiä.
\(P\psi^+(x)P^{-1}=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{\infty}^{-\infty}\int_{\infty}^{-\infty}\int_{\infty}^{-\infty} (-d^3 p')\ \ u(-\mathbf p ',\sigma)e^{ip'\cdot \mathscr P x }\ a(\mathbf p',\sigma)\)
Tuo lauseke \(e^{ip'\cdot \mathscr P x}\) on hieman epämääräinen. Koordinaatistomuunnos \(\mathbf p '=-\mathbf p\) muuntaa 4-vektorin \(p=(p^0,p^1,p^2,p^3)\) vektoriksi, jota merkitsin \(p'=(p^0,-p^1,-p^2,-p^3)\). Valitettavasti sama p' esiintyy 3-tilavuuselementissä \( d^3 p'\). Tai no, oikeastaan tuo notaatio on jo Weinbergissä eli \(p\) merkitsee Weinbergillä 4-vektoria ja \(d^3 p\) 3-tilavuuselementtiä.
SI Resurrection!
Alkaa olla käsillä juuri se kohta, jossa Weinbergin operaattori-ihmemaa muuttuu mielestäni todella mielenkiintoiseksi geometriaksi.
Tuo muuttujanvaihtolasku \(\psi^+(x)\)-kentälle näyttää sinänsä oikealta. Itse siistisin notaatiota ehkä niin, että ei käytetä samaa \(p'\)-merkintää sekä 4-liikemäärälle että integraalin 3-muuttujalle, vaan kirjoitetaan vaikkapa
\(
\mathbf q=-\mathbf p,\qquad q=(p^0,\mathbf q).
\)
Silloin eksponentin muuntuminen näkyy hyvin suoraan:
\(
p\cdot x
=
\mathbf p\cdot\mathbf x-p^0x^0
=
(-\mathbf q)\cdot\mathbf x-q^0x^0
=
\mathbf q\cdot(-\mathbf x)-q^0x^0
=
q\cdot \mathscr P x.
\)
Tämän jälkeen dummy-muuttuja \(\mathbf q\) voidaan nimetä taas \(\mathbf p\):ksi, ja saadaan Weinbergin muoto
\(
\mathrm P\psi^+(x)\mathrm P^{-1}
=
\eta^*(2\pi)^{-3/2}
\sum_\sigma
\int d^3p\,
u(-\mathbf p,\sigma)
e^{ip\cdot\mathscr P x}
a(\mathbf p,\sigma).
\)
Eli operaattorin argumentti käy välillä muodossa \(a(-\mathbf p,\sigma)\), mutta integraalimuuttujan vaihto palauttaa sen muotoon \(a(\mathbf p,\sigma)\). Liikemäärän kääntö jää näkyviin spinoriin \(u(-\mathbf p,\sigma)\) ja koordinaatteihin \(\mathscr P x\). Tämä on mielestäni hyvä esimerkki siitä, miksi näissä laskuissa ei voi lukea yksittäistä miinusmerkkiä liian kirjaimellisesti: osa miinuksista on fysikaalista muunnosta, osa on vain integraalin dummy-muuttujan nimeämistä.
Mutta tästä tulee vielä kiinnostavampi, kun asiaa katsoo kokonaisvaltaisesti pin...spin-geometrian näkökulmasta.
Ensimmäinen taso on nelivektoritaso. Siellä pariteetti ja ajankääntö ovat Lorentz-ryhmän diskreettejä operaatioita, esimerkiksi
\(
\mathscr P=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1),
\)
ja vastaava ajankäännölle konventiosta riippuen. Tällä tasolla lasketaan matriiseja
\(
\mathscr P\Lambda\mathscr P^{-1},
\qquad
\mathscr T\Lambda\mathscr T^{-1}.
\)
Tässä ei vielä ole mitään erityisen kvanttifysikaalista. Nelivektoriesitys kertoo, miten tangenttiavaruuden suunnat vaihtuvat. Siksi puhdas rotaatio pysyy pariteetissa rotaationa, mutta puskun suunta vaihtuu.
Toinen taso on Hilbert-avaruuden taso. Siellä ratkaiseva ero on, että pariteetin voi toteuttaa unitaarisesti, mutta ajankääntö täytyy toteuttaa antiunitaarisesti:
\(
\mathrm P\, i\,\mathrm P^{-1}=i,
\qquad
\mathrm T\, i\,\mathrm T^{-1}=-i.
\)
Tämä on se kohta, jossa klassinen intuitio helposti pettää. Ajankäännössä ei voi katsoa vain sitä, miten \(K_i\) tai \(J_i\) näyttää nelivektorimatriisin generaattorina, koska Hilbert-avaruuden \(\mathrm T\) sisältää kompleksikonjugaation. Symbolisesti voi ajatella
\(
\mathrm T = U_T\mathcal K,
\)
missä \(\mathcal K\) on kompleksikonjugaatio.
Siksi Weinbergin tulokset
\(
\mathrm P\mathbf J\mathrm P^{-1}=+\mathbf J,
\qquad
\mathrm P\mathbf K\mathrm P^{-1}=-\mathbf K,
\)
mutta
\(
\mathrm T\mathbf J\mathrm T^{-1}=-\mathbf J,
\qquad
\mathrm T\mathbf K\mathrm T^{-1}=+\mathbf K
\)
eivät ole oikeastaan ristiriitaisia, vaikka ne näyttävät aluksi oudoilta. Puskun suunnan vaihtuminen ajankäännössä näkyy eksponentoidussa operaattorissa:
\(
\mathrm T e^{-iwK}\mathrm T^{-1}
=
e^{+iw\,\mathrm T K\mathrm T^{-1}}
=
e^{+iwK}
=
e^{-i(-w)K}.
\)
Eli itse Hilbert-avaruuden puskuoperaattori \(K\) ei vaihda ajankäännössä merkkiä, mutta puskun parametri tekee sen, koska \(i\) vaihtaa merkin. Tämä on aika eleganttia, kun sen lopulta hoksaa.
Tässä kohtaa ajankääntö saa tutkimani ΦBSU-kehyksen kuvassa aika kiinnostavan lukutavan.
Weinbergin laskussa ajankäännön erikoisuus ei ole vain se, että \(t\to -t\), vaan se, että Hilbert-avaruuden operaattori \(\mathrm T\) on antiunitaarinen:
\(
\mathrm T\, i\,\mathrm T^{-1}=-i.
\)
Tämä tarkoittaa, että ajankääntö ei ole pelkkä nelivektorin koordinaattipeilaus, vaan myös amplitudin vaihevertailun kääntö. Kun identiteettivaihe kirjoitetaan ΦBSU-tyyliin
\(
\Phi=e^{i\alpha},
\)
niin antiunitaarinen vertailu lukee saman vaiheen kompleksikonjugoidusta orientaatiosta:
\(
e^{i\alpha}\longleftrightarrow e^{-i\alpha}.
\)
Tätä emme samaista paikallisen rakenneidentiteetin varauskonjugaatioon \(C\). Ajankääntö ei standardissa mielessä muuta sähkövarausta vastakkaiseksi. Mutta se kääntää sen tavan, jolla vaihekelloa luetaan. ΦBSU-kielellä tämä kyllä sitten osuu suoraan sähköiseen identiteettisektoriin:
\(
A_{\rm id}:=-i\Phi^{-1}d\Phi=d\alpha.
\)
Antiunitaarisessa peilauksessa ei siis ensisijaisesti synny uutta paikallista sähkömagneettista kenttää, vaan identiteettiholonomian orientaatio vaihtuu. Paikallinen radiatiivinen Maxwell-kenttä kuuluu edelleen kaarevuussektoriin
\(
F_{\rm geom}=dA_{\rm geom},
\)
kun taas identiteettiosa toteuttaa
\(
dA_{\rm id}=d^2\alpha=0
\)
sileillä alueilla.
Voi siis sanoa, että ajankäännön ΦBSU-luenta ei ole “sähkökentän ajallinen peruuttaminen” vaan syvemmin sähköisen identiteetin lukusuunnan kääntö. Paikallinen vuorovaikutus tapahtuu vain siellä, missä operatiivinen sektori todella herättää kaarevuutta \(F_{\rm geom}\), esimerkiksi emissiossa tai absorptiossa. Pelkkä \(A_{\rm id}\) voi kantaa holonomiaa, mutta se ei itsessään ole paikallinen voimakenttä.
Tästä näkee mielestäni hyvin myös sen, miksi peilihaaroja ei pidä lukea suorina takyonisina vuorovaikutuskanavina, vaikka ne paljaassa kausaaligeometriassa näyttäisivätkin toisiinsa nähden takyonisilta sektoreilta. Takyonisuudelle on tunnetusti suhteellisuusteorian sisälle jäänyt mahdollisuutensa. Turvallinen “käyttötapa” on juuri tällainen: takyonisuus ei tarkoita superluminaalista ainetta tai signaalia, vaan nimeää kahden projektiivisen haaran ei-kausaalisen vertailusuhteen. Peilihaara on siis takyonimainen vain suhteessa operatiiviseen haaraan, ei siitä paikallisesti vuorovaikuttava takyoninen hiukkanen.
Kun ΦBSU-hypersymmetriassa kirjoitetaan peilaus
\(
R:\alpha(x)\mapsto-\alpha(\tilde x),
\qquad
R^2=1,
\)
ja mitattava haara valitaan Klein-projektiolla
\(
P_+=\frac12(1+R),
\)
niin peilihaara on kyllä mukana globaalissa kirjanpidossa, mutta ei uutena fyysisenä on-shell-kanavana. Se voi näyttää analyyttisesti “takyonimaiselta” sikäli, että se elää operatiivisen haaran vastakkaisella tai ei-fyysisellä lehdellä, mutta juuri projektio estää sen tulkitsemisen mittarirakenteelle havaittavana superluminaalisena hiukkasena.
peilihaara on keskinäis-takyoninen vain projektiivisessa mielessä: se on fyysisen haaran antipodaalinen vertailuhaara, ei sitä vastaan paikallisesti vuorovaikuttava takyoninen aine.
Haarat voivat pariutua determinantti-, holonomia- tai saumakirjanpidossa, mutta ne eivät vaihda energiaa paikallisena takyonisena signaalina. Operatiivinen vuorovaikutus pysyy null-threadingissä ja paikallisissa emissio/absorptio-solmuissa. Peilihaara vaikuttaa vain, kun historia sulkeutuu vertailtavaksi holonomiaksi tai kun projektio jättää siitä efektiivisen saumatermin.
Tämä tulee suoraan ΦBSU:n naapuruusvälitteisestä globaalista Φ-vaiheesta.
Lyhyesti:
\(
\text{antiunitaarinen }T
\quad\Rightarrow\quad
\text{vaiheen lukusuunta vaihtuu},
\)
\(
A_{\rm id}=d\alpha
\quad\Rightarrow\quad
\text{sähköinen identiteetti / holonomia},
\)
\(
F_{\rm geom}=dA_{\rm geom}
\quad\Rightarrow\quad
\text{paikallinen voima ja säteily},
\)
ja
\(
P_+H=H_{\rm phys}
\quad\Rightarrow\quad
\text{peilihaara ei ole fyysinen on-shell-vuorovaikutuskanava}.
\)
Tässä mielessä ajankäännön antiunitaarisuus, sähköinen identiteetti ja peilihaaran vuorovaikuttamattomuus ovat samaa geometriaa erilaisista suunnista katsottuna: kompleksinen vaihevertailu, holonominen identiteetti ja Pin/Klein-projektio (josta seuraavaksi).
Eli tulee vielä kolmas taso: spinori ei vielä ole koko tarina, kun mukaan otetaan pariteetti ja ajankääntö.
Spinorit ovat luonnollisesti \(\mathrm{Spin}(3,1)\)-rakenteen olioita. Spin-ryhmä peittää Lorentz-ryhmän yhtenäiskomponentin \(SO^+(3,1)\). Mutta pariteetti ja ajankääntö eivät kuulu tähän yhtenäiskomponenttiin. Jos halutaan nostaa myös heijastukset spinorikimppuun, tarvitaan Pin-rakenne:
\(
\mathrm{Spin}(3,1)\subset \mathrm{Pin}^{\pm}(3,1).
\)
Tässä mielessä voisi sanoa vähän epästandardilla mutta havainnollisella kielellä:
Spinori kertoo, miten tila käyttäytyy jatkuvien Lorentz-muunnosten alla; pinori kertoo, miten sama rakenne sulkeutuu myös peilausten yli.
Eli jos spinori on jatkuvan Lorentz-geometrian paikallinen olio, niin pinori on sama olio varustettuna tiedolla siitä, mitä tapahtuu pariteetin, ajankäännön ja yleisemmin orientaatiota vaihtavien reittien kohdalla.
Tässä kohdassa myös Weyl- ja Dirac-spinorien ero saa erityisen geometrisen luennan. Yksittäinen Weyl-spinori on joko
\(
\left(\frac12,0\right)
\)
tai
\(
\left(0,\frac12\right).
\)
Pariteetti vaihtaa nämä keskenään:
\(
\mathscr P:
\left(\frac12,0\right)
\longleftrightarrow
\left(0,\frac12\right).
\)
Siten yksittäinen Weyl-spinori ei ole pariteetin suhteen suljettu sektori. Diracin spinori sen sijaan on
\(
\left(\frac12,0\right)\oplus\left(0,\frac12\right),
\)
ja siksi pariteetti voidaan toteuttaa sen sisällä. Tämä ei ole vain tekninen fakta gammamatriiseista, vaan todella geometrinen asia: pariteetti vaihtaa vasemman ja oikean pinorisen haaran.
ΦBSU-luennassa vasenkätisyyden erityisyys ei siis välttämättä tarkoita, että koko \(\mathrm{Pin}^{\pm}(3,1)\)-rakenne olisi rikkoutunut. Pikemminkin operatiivinen sektori voi resonanssina valita yhden kiraalisen haaran: mittaus- ja vuorovaikutussektorit lukittuvat siihen haaraan, jossa yhteinen vaihehistoria voidaan lukea koherentisti. Peilihaara ei tällöin katoa, vaan jää holonomiseksi vertailurakenteeksi, joka ei näy vapaana on-shell-kanavana mutta vaikuttaa sulkeutuvissa vertailuissa, vaihekirjanpidossa ja saumatermeissä.
Tämän voi sanoa myös epämääräisyysperiaatteen kielellä. Eristetylle systeemille “vasen” ja “oikea” eivät ole vielä samalla tavalla yhteisesti rekisteröityjä ominaisuuksia kuin vuorovaikuttavalle systeemiparille. Ne ovat saman Pin-rakenteen projektiivisia haaroja, joiden välinen valinta voi olla operatiivisesti kehys- tai mittausvalinta niin kauan kuin systeemi ei muodosta suljettua vertailijaa toisen systeemin kanssa.
Kun systeemit vuorovaikuttavat, ne eivät vain vaihda energiaa ja liikemäärää, vaan myös lukevat toistensa vaihehistoriat yhteiseen kätisyyskonventioon. Vasta tässä yhteisessä vertailussa vastakkaisuudet realisoituvat havaittaviksi kvanttitiloiksi: vasen/oikea, hiukkanen/peilihaara, helisiteetti/pariteettikuva. Pariteetti on tällöin se sääntö, jolla kysytään, sulkeutuuko valittu operatiivinen haara yhdessä peilihaaransa kanssa vai jääkö vuorovaikutus lukittuneeksi vain yhteen kiraaliseen projektioon.
Tätä voi pitää samana logiikkana kuin Klein-projektiossa \(P_+=(1+R)/2\): peilihaara on mukana globaalissa sulkeutumisessa, mutta mitattava sektori valitsee vain sen yhdistelmän, joka on koherentti valitussa vuorovaikutuskehyksessä.
Tämä näkyy myös massattomien hiukkasten helisiteetissä. Helisiteetti on
\(
\lambda=\mathbf J\cdot\hat{\mathbf p}.
\)
Pariteetissa \(\mathbf p\to-\mathbf p\), mutta \(\mathbf J \) ei vaihda merkkiä. Siksi
\(
\lambda\to-\lambda.
\)
Jos teoriassa on vain yksi helisiteetti, pariteetti vie tilan ulos fysikaalisesta sektorista. Jos molemmat helisiteetit ovat mukana, pariteetti voi olla symmetria. Tämä on minusta todella hyvä tapa nähdä, miksi fotoni voi olla pariteettisymmetrinen, mutta puhtaasti vasenkätinen heikko sektori ei ole.
Tähän voi vielä lisätä yhden ΦBSU:n kannalta perustavamman huomion: havaittava spin-1-fotoni ei ilmeisimmin ole primitiivisin nollakuituolio.
Weinbergin käsittelyssä fotoni on massaton spin-1-hiukkanen, jonka fysikaaliset helisiteetit ovat
\(
\lambda=\pm 1.
\)
ΦBSU-luennassa tämän alle voi asettaa vielä hienomman identiteettikirjanpidon. Tyhjö ei ole ensin kokoelma valmiita hiukkasia, vaan null-kongruenssien ja vaihehistorialukkojen verkko. Yksittäinen null-thread toteuttaa
\(
k^\mu k_\mu=0,
\qquad
\nabla_k k^\mu=0,
\)
ja sen mukana voidaan kuljettaa sähköistä vaihesiirtoa
\(
k^\mu\nabla_\mu(\Delta\alpha)=0.
\)
Tällainen yksittäinen null-kuituhaara ei kuitenkaan vielä ole havaittava fotoni. Se on ennemmin spinorinen tai pinorinen vaihehaara, eräänlainen puolikas sähköisestä identiteettivertailusta. Havaittava fotoni syntyy vasta, kun antipodaalinen kuitupari lukittuu koherentiksi spin-1-kanavaksi, jossa molemmilla spin-\(\frac12\)-tiloilla on yhteinen vaihesiirto.
Symbolisesti tämän voisi kirjoittaa niin, että on kaksi peilattua spinorista lukkoa
\(
h,\qquad Rh,
\)
missä \(R\) on antipodaalinen/Klein-peilaus. Yksittäinen haara \(h\) ei ole fyysinen on-shell-fotoni, vaan vasta projektio
\(
\gamma_{\rm phys}
\sim
P_+(h\oplus Rh),
\qquad
P_+=\frac12(1+R),
\)
antaa operatiivisesti havaittavan sähkömagneettisen kvantin.
Tässä mielessä voisi puhua “puolifotonitiloista”, kunhan huomaa, että ne eivät ole havaittavia puolen energian fotoneita. Puolifotonitila ei tarkoita
\(
E=\frac12\hbar\omega
\)
kantavaa uutta hiukkasta, vaan yhden antipodaalisen kuituparin puoliskoa identiteetti-/holonomiatasolla. Vasta koherentti pari antaa mitattavan spin-1-fotonin:
\(
h\oplus Rh
\quad\overset{P_+}{\longrightarrow}\quad
\gamma_{\lambda=\pm1}.
\)
Jos halutaan korostaa spin-rakennetta, niin tämän voi kirjoittaa Clebsch-Gordan-henkisenä muistutuksena
\(
\frac12\otimes\frac12
=
0\oplus 1.
\)
ΦBSU-tulkinnassa mittarirakenne valitsee tästä koherentisti näkyvän spin-1-kanavan. Spin-0-haara tai yksittäiset spin-\(\frac12\)-lukot eivät näy vapaina fotoneina, vaan jäävät identiteetti-, saumatermi-, holonomia- tai fokusoitumiskirjanpitoon.
Sähköisyyden kannalta tämä on tärkeä ero. Identiteettisektori kantaa vaihetta
\(
A_{\rm id}=d\alpha,
\)
mutta paikallinen radiatiivinen sähkömagneettinen kenttä kuuluu edelleen kaarevuussektoriin
\(
F_{\rm geom}=dA_{\rm geom}.
\)
Siksi puolifotonitilaa ei pidä ajatella pienenä sähkömagneettisena aaltona, jolla olisi oma Poynting-vuo. Poynting-vuo kuuluu vasta projektoidulle, koherentille spin-1-kaarevuusmoodille. Yksittäinen puolifotoninen haara on pikemminkin sähköisen identiteetin lukitsematon puolisko, jonka vaikutus voi tulla näkyviin vasta holonomiana tai kun emissio/absorptio solmii haarat fyysiseksi fotoniksi.
Tällä tavalla fotonin pariteettisymmetria saa vielä yhden geometrisen kerroksen. Standardikielessä fotonilla on molemmat helisiteetit \(\lambda=\pm1\), joten pariteetti voi vaihtaa ne keskenään. ΦBSU-kielessä tämä vastaa sitä, että havaittava fotoni on jo valmiiksi kahden antipodaalisen spinorisen puolirakenteen koherentti sulkeuma. Pariteetti ei silloin vain vaihda liikemäärää ja helisiteettiä, vaan tunnistaa miten tuo antipodaalinen kuitupari sulkeutuu Pin/Klein-projektiossa.
ΦBSU-henkinen lisähuomiokiteytys, joka nähdäkseni tekee asiasta aina vaan kutkuttavamman.
Weinbergin Wigner-rotaatio
\(
W(\Lambda,p)=L^{-1}(\Lambda p)\,\Lambda\,L(p)
\)
voidaan lukea melkeinpä holonomiana. Mennään standardimomentista \(k\) momenttiin \(p\) muunnoksella \(L(p)\), tehdään Lorentz-muunnos \(\Lambda\), ja palataan takaisin standardimomenttiin muunnoksella \(L^{-1}(\Lambda p)\). Lopputulos jättää \(k\):n paikalleen, joten se kuuluu Wigner-pikkuryhmään.
Eli suljettu vertailu ei palaudu välttämättä triviaalisti. Jäljelle jää sisäinen rotaatio:
\(
k
\overset{L(p)}{\longrightarrow}
p
\overset{\Lambda}{\longrightarrow}
\Lambda p
\overset{L^{-1}(\Lambda p)}{\longrightarrow}
k.
\)
Minusta tätä voi ajatella spin-holonomiana. Spin ei ole silloin pelkkä “sisäinen kvanttiluku”, vaan suljetun kuljetuksen jäännös. Puolilukuisella spinillä tämä näkyy jo siinä, että \(2\pi\)-rotaatio ei anna identiteettiä vaan merkinvaihdon:
\(
\psi \mapsto -\psi,
\)
ja vasta \(4\pi\)-rotaatio palauttaa spinorin todella samaan haaraan.
ΦBSU-kielellä vastaava rakenne on globaali vaihe spin-kimpussa:
\(
\Phi=e^{i\alpha}.
\)
Identiteettiyhteys on
\(
A_{\rm id}:=-i\Phi^{-1}d\Phi=d\alpha.
\)
Samalla sähkömagneettinen yhteys erotetaan paikalliseen kaarevuuteen ja globaaliin identiteettiin:
\(
A=A_{\rm geom}+A_{\rm id},
\qquad
F_{\rm geom}=dA_{\rm geom}.
\)
Paikallisesti sileällä alueella
\(
dA_{\rm id}=d^2\alpha=0,
\)
mutta suljetulla reitillä voi silti olla ei-triviaali vaihe
\(
\exp\left(i\oint_\gamma A_{\rm id}\right)
=
\exp\left(i\Delta\alpha_\gamma\right).
\)
Tämä on mielestäni suora yhteys siihen, mistä tässä ketjussa on koko ajan puhuttu: lokaalit generaattorit, globaalit vaiheet, sisäiset pariteetit \(\eta\), ajankäännön vaiheet \(\xi\), Wignerin rotaatiot ja helisiteetti eivät ole toisistaan täysin irrallisia asioita. Ne ovat eri tapoja lukea sitä, mitä tilalle tapahtuu, kun sitä kuljetetaan, peilataan ja verrataan takaisin itseensä.
Eli ΦBSU-luennassa sanoisin:
pariteetti ja ajankääntö eivät ole vain ylimääräisiä matriiseja Lorentz-ryhmän kyljessä, vaan Pin-holonomian "testausta".
Ne kysyvät: sulkeutuuko valittu operatiivinen sektori, kun vaihehistoria peilataan antipodaalisen haaran kautta?
Tässä kohtaa ΦBSU-hypersymmetria-ajatus sopii luonnollisesti mukaan. Jos peilihaarojen välillä on antilineaarinen involuutio
\(
R:\alpha(x)\mapsto-\alpha(\tilde x),
\qquad
R^2=1,
\)
niin mitattava haara voidaan kirjoittaa Klein-projektiona
\(
P_+=\frac12(1+R).
\)
Tämä ei ole tavallinen SUSY siinä mielessä, että bosoni ja fermioni paritettaisiin uusiksi on-shell-superpartnereiksi. Pikemminkin kyseessä olisi saman spin-rakenteen peilatut vaihehistoriat:
\(
\psi_s(x)
\longleftrightarrow
R\psi_s(\tilde x),
\)
tai vaiheelle
\(
\alpha(x)
\longleftrightarrow
-\alpha(\tilde x).
\)
Tästä voisi käyttää nimeä “spin-peiliparitussymmetria” (reflection-graded identical-spin pairing): ei bosoni–fermioni-paritus, vaan saman spin-sektorin pinorinen peiliparitus. Tällöin peilihaara ei näy uutena (superpartneri-)hiukkasena, vaan holonomiana, vaiheena, saumaterminä tai efektiivisen vaikutuksen determinanttiparituksena.
Tämä antaa myös minusta hyvän intuition Weinbergin sisäiselle pariteetille \(\eta\). Se ei ole vain satunnainen vaihekerroin, vaan voidaan lukea pinorisen sulkeutumisen valinnaksi:
\(
\mathrm P\ket{p,\sigma}
=
\eta\ket{\mathscr Pp,\sigma}.
\)
Samoin ajankäännön vaihe
\(
\mathrm T\ket{p,\sigma}
=
\xi(-1)^{j-\sigma}
\ket{\mathscr Pp,-\sigma}
\)
kertoo, miten antiunitaarinen peilireitti sulkeutuu Hilbert-avaruudessa. Tässä \(\xi\) ei ole pelkkä kosmeettinen kerroin, vaan osa sitä dataa, jolla pin-rakenne nostetaan operatiiviseen kvanttiteoriaan.
Jos tämän tiivistäisi yhdeksi kuvaksi, niin minusta tasot ovat näin:
\(
SO^+(3,1)
\quad\longrightarrow\quad
\mathrm{Spin}(3,1)
\quad\longrightarrow\quad
\mathrm{Pin}^{\pm}(3,1).
\)
Ensimmäinen taso näkee nelivektorit.
Toinen taso näkee spinorit ja \(2\pi\)-rotaation merkin.
Kolmas taso näkee myös pariteetin, ajankäännön ja peilattujen vaihehistorioiden sulkeutumisen.
Ja holonomia on se yhteinen kieli, joka sitoo nämä yhteen:
\(
\text{suljettu kuljetus}
\quad\Rightarrow\quad
\text{vaihe / merkki / little-group-rotaatio / haaranvaihto}.
\)
Tämän vuoksi minusta pinorit, spinorit, spin-symmetria ja holonomiat kuuluvat tähän keskusteluun todella hyvin. Weinberg antaa täsmällisen operatiivisen Hilbert-avaruuden koneiston, mutta geometrinen lukutapa on, että sama koneisto mittaa sitä, miten pin...spin-kimpun vaihehistoriat sulkeutuvat peilausten ja suljettujen vertailujen yli.
Tämä ei tietenkään korvaa Weinbergin johtoa, vaan antaa sille toisen lukutavan. Weinberg näyttää, miten operaattorit toimivat. ΦBSU-luennassa kysytään, mikä globaali pinorinen holonomia tekee juuri näistä operaattorisäännöistä luonnollisia.
Tuo muuttujanvaihtolasku \(\psi^+(x)\)-kentälle näyttää sinänsä oikealta. Itse siistisin notaatiota ehkä niin, että ei käytetä samaa \(p'\)-merkintää sekä 4-liikemäärälle että integraalin 3-muuttujalle, vaan kirjoitetaan vaikkapa
\(
\mathbf q=-\mathbf p,\qquad q=(p^0,\mathbf q).
\)
Silloin eksponentin muuntuminen näkyy hyvin suoraan:
\(
p\cdot x
=
\mathbf p\cdot\mathbf x-p^0x^0
=
(-\mathbf q)\cdot\mathbf x-q^0x^0
=
\mathbf q\cdot(-\mathbf x)-q^0x^0
=
q\cdot \mathscr P x.
\)
Tämän jälkeen dummy-muuttuja \(\mathbf q\) voidaan nimetä taas \(\mathbf p\):ksi, ja saadaan Weinbergin muoto
\(
\mathrm P\psi^+(x)\mathrm P^{-1}
=
\eta^*(2\pi)^{-3/2}
\sum_\sigma
\int d^3p\,
u(-\mathbf p,\sigma)
e^{ip\cdot\mathscr P x}
a(\mathbf p,\sigma).
\)
Eli operaattorin argumentti käy välillä muodossa \(a(-\mathbf p,\sigma)\), mutta integraalimuuttujan vaihto palauttaa sen muotoon \(a(\mathbf p,\sigma)\). Liikemäärän kääntö jää näkyviin spinoriin \(u(-\mathbf p,\sigma)\) ja koordinaatteihin \(\mathscr P x\). Tämä on mielestäni hyvä esimerkki siitä, miksi näissä laskuissa ei voi lukea yksittäistä miinusmerkkiä liian kirjaimellisesti: osa miinuksista on fysikaalista muunnosta, osa on vain integraalin dummy-muuttujan nimeämistä.
Mutta tästä tulee vielä kiinnostavampi, kun asiaa katsoo kokonaisvaltaisesti pin...spin-geometrian näkökulmasta.
Ensimmäinen taso on nelivektoritaso. Siellä pariteetti ja ajankääntö ovat Lorentz-ryhmän diskreettejä operaatioita, esimerkiksi
\(
\mathscr P=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1),
\)
ja vastaava ajankäännölle konventiosta riippuen. Tällä tasolla lasketaan matriiseja
\(
\mathscr P\Lambda\mathscr P^{-1},
\qquad
\mathscr T\Lambda\mathscr T^{-1}.
\)
Tässä ei vielä ole mitään erityisen kvanttifysikaalista. Nelivektoriesitys kertoo, miten tangenttiavaruuden suunnat vaihtuvat. Siksi puhdas rotaatio pysyy pariteetissa rotaationa, mutta puskun suunta vaihtuu.
Toinen taso on Hilbert-avaruuden taso. Siellä ratkaiseva ero on, että pariteetin voi toteuttaa unitaarisesti, mutta ajankääntö täytyy toteuttaa antiunitaarisesti:
\(
\mathrm P\, i\,\mathrm P^{-1}=i,
\qquad
\mathrm T\, i\,\mathrm T^{-1}=-i.
\)
Tämä on se kohta, jossa klassinen intuitio helposti pettää. Ajankäännössä ei voi katsoa vain sitä, miten \(K_i\) tai \(J_i\) näyttää nelivektorimatriisin generaattorina, koska Hilbert-avaruuden \(\mathrm T\) sisältää kompleksikonjugaation. Symbolisesti voi ajatella
\(
\mathrm T = U_T\mathcal K,
\)
missä \(\mathcal K\) on kompleksikonjugaatio.
Siksi Weinbergin tulokset
\(
\mathrm P\mathbf J\mathrm P^{-1}=+\mathbf J,
\qquad
\mathrm P\mathbf K\mathrm P^{-1}=-\mathbf K,
\)
mutta
\(
\mathrm T\mathbf J\mathrm T^{-1}=-\mathbf J,
\qquad
\mathrm T\mathbf K\mathrm T^{-1}=+\mathbf K
\)
eivät ole oikeastaan ristiriitaisia, vaikka ne näyttävät aluksi oudoilta. Puskun suunnan vaihtuminen ajankäännössä näkyy eksponentoidussa operaattorissa:
\(
\mathrm T e^{-iwK}\mathrm T^{-1}
=
e^{+iw\,\mathrm T K\mathrm T^{-1}}
=
e^{+iwK}
=
e^{-i(-w)K}.
\)
Eli itse Hilbert-avaruuden puskuoperaattori \(K\) ei vaihda ajankäännössä merkkiä, mutta puskun parametri tekee sen, koska \(i\) vaihtaa merkin. Tämä on aika eleganttia, kun sen lopulta hoksaa.
Tässä kohtaa ajankääntö saa tutkimani ΦBSU-kehyksen kuvassa aika kiinnostavan lukutavan.
Weinbergin laskussa ajankäännön erikoisuus ei ole vain se, että \(t\to -t\), vaan se, että Hilbert-avaruuden operaattori \(\mathrm T\) on antiunitaarinen:
\(
\mathrm T\, i\,\mathrm T^{-1}=-i.
\)
Tämä tarkoittaa, että ajankääntö ei ole pelkkä nelivektorin koordinaattipeilaus, vaan myös amplitudin vaihevertailun kääntö. Kun identiteettivaihe kirjoitetaan ΦBSU-tyyliin
\(
\Phi=e^{i\alpha},
\)
niin antiunitaarinen vertailu lukee saman vaiheen kompleksikonjugoidusta orientaatiosta:
\(
e^{i\alpha}\longleftrightarrow e^{-i\alpha}.
\)
Tätä emme samaista paikallisen rakenneidentiteetin varauskonjugaatioon \(C\). Ajankääntö ei standardissa mielessä muuta sähkövarausta vastakkaiseksi. Mutta se kääntää sen tavan, jolla vaihekelloa luetaan. ΦBSU-kielellä tämä kyllä sitten osuu suoraan sähköiseen identiteettisektoriin:
\(
A_{\rm id}:=-i\Phi^{-1}d\Phi=d\alpha.
\)
Antiunitaarisessa peilauksessa ei siis ensisijaisesti synny uutta paikallista sähkömagneettista kenttää, vaan identiteettiholonomian orientaatio vaihtuu. Paikallinen radiatiivinen Maxwell-kenttä kuuluu edelleen kaarevuussektoriin
\(
F_{\rm geom}=dA_{\rm geom},
\)
kun taas identiteettiosa toteuttaa
\(
dA_{\rm id}=d^2\alpha=0
\)
sileillä alueilla.
Voi siis sanoa, että ajankäännön ΦBSU-luenta ei ole “sähkökentän ajallinen peruuttaminen” vaan syvemmin sähköisen identiteetin lukusuunnan kääntö. Paikallinen vuorovaikutus tapahtuu vain siellä, missä operatiivinen sektori todella herättää kaarevuutta \(F_{\rm geom}\), esimerkiksi emissiossa tai absorptiossa. Pelkkä \(A_{\rm id}\) voi kantaa holonomiaa, mutta se ei itsessään ole paikallinen voimakenttä.
Tästä näkee mielestäni hyvin myös sen, miksi peilihaaroja ei pidä lukea suorina takyonisina vuorovaikutuskanavina, vaikka ne paljaassa kausaaligeometriassa näyttäisivätkin toisiinsa nähden takyonisilta sektoreilta. Takyonisuudelle on tunnetusti suhteellisuusteorian sisälle jäänyt mahdollisuutensa. Turvallinen “käyttötapa” on juuri tällainen: takyonisuus ei tarkoita superluminaalista ainetta tai signaalia, vaan nimeää kahden projektiivisen haaran ei-kausaalisen vertailusuhteen. Peilihaara on siis takyonimainen vain suhteessa operatiiviseen haaraan, ei siitä paikallisesti vuorovaikuttava takyoninen hiukkanen.
Kun ΦBSU-hypersymmetriassa kirjoitetaan peilaus
\(
R:\alpha(x)\mapsto-\alpha(\tilde x),
\qquad
R^2=1,
\)
ja mitattava haara valitaan Klein-projektiolla
\(
P_+=\frac12(1+R),
\)
niin peilihaara on kyllä mukana globaalissa kirjanpidossa, mutta ei uutena fyysisenä on-shell-kanavana. Se voi näyttää analyyttisesti “takyonimaiselta” sikäli, että se elää operatiivisen haaran vastakkaisella tai ei-fyysisellä lehdellä, mutta juuri projektio estää sen tulkitsemisen mittarirakenteelle havaittavana superluminaalisena hiukkasena.
peilihaara on keskinäis-takyoninen vain projektiivisessa mielessä: se on fyysisen haaran antipodaalinen vertailuhaara, ei sitä vastaan paikallisesti vuorovaikuttava takyoninen aine.
Haarat voivat pariutua determinantti-, holonomia- tai saumakirjanpidossa, mutta ne eivät vaihda energiaa paikallisena takyonisena signaalina. Operatiivinen vuorovaikutus pysyy null-threadingissä ja paikallisissa emissio/absorptio-solmuissa. Peilihaara vaikuttaa vain, kun historia sulkeutuu vertailtavaksi holonomiaksi tai kun projektio jättää siitä efektiivisen saumatermin.
Tämä tulee suoraan ΦBSU:n naapuruusvälitteisestä globaalista Φ-vaiheesta.
Lyhyesti:
\(
\text{antiunitaarinen }T
\quad\Rightarrow\quad
\text{vaiheen lukusuunta vaihtuu},
\)
\(
A_{\rm id}=d\alpha
\quad\Rightarrow\quad
\text{sähköinen identiteetti / holonomia},
\)
\(
F_{\rm geom}=dA_{\rm geom}
\quad\Rightarrow\quad
\text{paikallinen voima ja säteily},
\)
ja
\(
P_+H=H_{\rm phys}
\quad\Rightarrow\quad
\text{peilihaara ei ole fyysinen on-shell-vuorovaikutuskanava}.
\)
Tässä mielessä ajankäännön antiunitaarisuus, sähköinen identiteetti ja peilihaaran vuorovaikuttamattomuus ovat samaa geometriaa erilaisista suunnista katsottuna: kompleksinen vaihevertailu, holonominen identiteetti ja Pin/Klein-projektio (josta seuraavaksi).
Eli tulee vielä kolmas taso: spinori ei vielä ole koko tarina, kun mukaan otetaan pariteetti ja ajankääntö.
Spinorit ovat luonnollisesti \(\mathrm{Spin}(3,1)\)-rakenteen olioita. Spin-ryhmä peittää Lorentz-ryhmän yhtenäiskomponentin \(SO^+(3,1)\). Mutta pariteetti ja ajankääntö eivät kuulu tähän yhtenäiskomponenttiin. Jos halutaan nostaa myös heijastukset spinorikimppuun, tarvitaan Pin-rakenne:
\(
\mathrm{Spin}(3,1)\subset \mathrm{Pin}^{\pm}(3,1).
\)
Tässä mielessä voisi sanoa vähän epästandardilla mutta havainnollisella kielellä:
Spinori kertoo, miten tila käyttäytyy jatkuvien Lorentz-muunnosten alla; pinori kertoo, miten sama rakenne sulkeutuu myös peilausten yli.
Eli jos spinori on jatkuvan Lorentz-geometrian paikallinen olio, niin pinori on sama olio varustettuna tiedolla siitä, mitä tapahtuu pariteetin, ajankäännön ja yleisemmin orientaatiota vaihtavien reittien kohdalla.
Tässä kohdassa myös Weyl- ja Dirac-spinorien ero saa erityisen geometrisen luennan. Yksittäinen Weyl-spinori on joko
\(
\left(\frac12,0\right)
\)
tai
\(
\left(0,\frac12\right).
\)
Pariteetti vaihtaa nämä keskenään:
\(
\mathscr P:
\left(\frac12,0\right)
\longleftrightarrow
\left(0,\frac12\right).
\)
Siten yksittäinen Weyl-spinori ei ole pariteetin suhteen suljettu sektori. Diracin spinori sen sijaan on
\(
\left(\frac12,0\right)\oplus\left(0,\frac12\right),
\)
ja siksi pariteetti voidaan toteuttaa sen sisällä. Tämä ei ole vain tekninen fakta gammamatriiseista, vaan todella geometrinen asia: pariteetti vaihtaa vasemman ja oikean pinorisen haaran.
ΦBSU-luennassa vasenkätisyyden erityisyys ei siis välttämättä tarkoita, että koko \(\mathrm{Pin}^{\pm}(3,1)\)-rakenne olisi rikkoutunut. Pikemminkin operatiivinen sektori voi resonanssina valita yhden kiraalisen haaran: mittaus- ja vuorovaikutussektorit lukittuvat siihen haaraan, jossa yhteinen vaihehistoria voidaan lukea koherentisti. Peilihaara ei tällöin katoa, vaan jää holonomiseksi vertailurakenteeksi, joka ei näy vapaana on-shell-kanavana mutta vaikuttaa sulkeutuvissa vertailuissa, vaihekirjanpidossa ja saumatermeissä.
Tämän voi sanoa myös epämääräisyysperiaatteen kielellä. Eristetylle systeemille “vasen” ja “oikea” eivät ole vielä samalla tavalla yhteisesti rekisteröityjä ominaisuuksia kuin vuorovaikuttavalle systeemiparille. Ne ovat saman Pin-rakenteen projektiivisia haaroja, joiden välinen valinta voi olla operatiivisesti kehys- tai mittausvalinta niin kauan kuin systeemi ei muodosta suljettua vertailijaa toisen systeemin kanssa.
Kun systeemit vuorovaikuttavat, ne eivät vain vaihda energiaa ja liikemäärää, vaan myös lukevat toistensa vaihehistoriat yhteiseen kätisyyskonventioon. Vasta tässä yhteisessä vertailussa vastakkaisuudet realisoituvat havaittaviksi kvanttitiloiksi: vasen/oikea, hiukkanen/peilihaara, helisiteetti/pariteettikuva. Pariteetti on tällöin se sääntö, jolla kysytään, sulkeutuuko valittu operatiivinen haara yhdessä peilihaaransa kanssa vai jääkö vuorovaikutus lukittuneeksi vain yhteen kiraaliseen projektioon.
Tätä voi pitää samana logiikkana kuin Klein-projektiossa \(P_+=(1+R)/2\): peilihaara on mukana globaalissa sulkeutumisessa, mutta mitattava sektori valitsee vain sen yhdistelmän, joka on koherentti valitussa vuorovaikutuskehyksessä.
Tämä näkyy myös massattomien hiukkasten helisiteetissä. Helisiteetti on
\(
\lambda=\mathbf J\cdot\hat{\mathbf p}.
\)
Pariteetissa \(\mathbf p\to-\mathbf p\), mutta \(\mathbf J \) ei vaihda merkkiä. Siksi
\(
\lambda\to-\lambda.
\)
Jos teoriassa on vain yksi helisiteetti, pariteetti vie tilan ulos fysikaalisesta sektorista. Jos molemmat helisiteetit ovat mukana, pariteetti voi olla symmetria. Tämä on minusta todella hyvä tapa nähdä, miksi fotoni voi olla pariteettisymmetrinen, mutta puhtaasti vasenkätinen heikko sektori ei ole.
Tähän voi vielä lisätä yhden ΦBSU:n kannalta perustavamman huomion: havaittava spin-1-fotoni ei ilmeisimmin ole primitiivisin nollakuituolio.
Weinbergin käsittelyssä fotoni on massaton spin-1-hiukkanen, jonka fysikaaliset helisiteetit ovat
\(
\lambda=\pm 1.
\)
ΦBSU-luennassa tämän alle voi asettaa vielä hienomman identiteettikirjanpidon. Tyhjö ei ole ensin kokoelma valmiita hiukkasia, vaan null-kongruenssien ja vaihehistorialukkojen verkko. Yksittäinen null-thread toteuttaa
\(
k^\mu k_\mu=0,
\qquad
\nabla_k k^\mu=0,
\)
ja sen mukana voidaan kuljettaa sähköistä vaihesiirtoa
\(
k^\mu\nabla_\mu(\Delta\alpha)=0.
\)
Tällainen yksittäinen null-kuituhaara ei kuitenkaan vielä ole havaittava fotoni. Se on ennemmin spinorinen tai pinorinen vaihehaara, eräänlainen puolikas sähköisestä identiteettivertailusta. Havaittava fotoni syntyy vasta, kun antipodaalinen kuitupari lukittuu koherentiksi spin-1-kanavaksi, jossa molemmilla spin-\(\frac12\)-tiloilla on yhteinen vaihesiirto.
Symbolisesti tämän voisi kirjoittaa niin, että on kaksi peilattua spinorista lukkoa
\(
h,\qquad Rh,
\)
missä \(R\) on antipodaalinen/Klein-peilaus. Yksittäinen haara \(h\) ei ole fyysinen on-shell-fotoni, vaan vasta projektio
\(
\gamma_{\rm phys}
\sim
P_+(h\oplus Rh),
\qquad
P_+=\frac12(1+R),
\)
antaa operatiivisesti havaittavan sähkömagneettisen kvantin.
Tässä mielessä voisi puhua “puolifotonitiloista”, kunhan huomaa, että ne eivät ole havaittavia puolen energian fotoneita. Puolifotonitila ei tarkoita
\(
E=\frac12\hbar\omega
\)
kantavaa uutta hiukkasta, vaan yhden antipodaalisen kuituparin puoliskoa identiteetti-/holonomiatasolla. Vasta koherentti pari antaa mitattavan spin-1-fotonin:
\(
h\oplus Rh
\quad\overset{P_+}{\longrightarrow}\quad
\gamma_{\lambda=\pm1}.
\)
Jos halutaan korostaa spin-rakennetta, niin tämän voi kirjoittaa Clebsch-Gordan-henkisenä muistutuksena
\(
\frac12\otimes\frac12
=
0\oplus 1.
\)
ΦBSU-tulkinnassa mittarirakenne valitsee tästä koherentisti näkyvän spin-1-kanavan. Spin-0-haara tai yksittäiset spin-\(\frac12\)-lukot eivät näy vapaina fotoneina, vaan jäävät identiteetti-, saumatermi-, holonomia- tai fokusoitumiskirjanpitoon.
Sähköisyyden kannalta tämä on tärkeä ero. Identiteettisektori kantaa vaihetta
\(
A_{\rm id}=d\alpha,
\)
mutta paikallinen radiatiivinen sähkömagneettinen kenttä kuuluu edelleen kaarevuussektoriin
\(
F_{\rm geom}=dA_{\rm geom}.
\)
Siksi puolifotonitilaa ei pidä ajatella pienenä sähkömagneettisena aaltona, jolla olisi oma Poynting-vuo. Poynting-vuo kuuluu vasta projektoidulle, koherentille spin-1-kaarevuusmoodille. Yksittäinen puolifotoninen haara on pikemminkin sähköisen identiteetin lukitsematon puolisko, jonka vaikutus voi tulla näkyviin vasta holonomiana tai kun emissio/absorptio solmii haarat fyysiseksi fotoniksi.
Tällä tavalla fotonin pariteettisymmetria saa vielä yhden geometrisen kerroksen. Standardikielessä fotonilla on molemmat helisiteetit \(\lambda=\pm1\), joten pariteetti voi vaihtaa ne keskenään. ΦBSU-kielessä tämä vastaa sitä, että havaittava fotoni on jo valmiiksi kahden antipodaalisen spinorisen puolirakenteen koherentti sulkeuma. Pariteetti ei silloin vain vaihda liikemäärää ja helisiteettiä, vaan tunnistaa miten tuo antipodaalinen kuitupari sulkeutuu Pin/Klein-projektiossa.
ΦBSU-henkinen lisähuomiokiteytys, joka nähdäkseni tekee asiasta aina vaan kutkuttavamman.
Weinbergin Wigner-rotaatio
\(
W(\Lambda,p)=L^{-1}(\Lambda p)\,\Lambda\,L(p)
\)
voidaan lukea melkeinpä holonomiana. Mennään standardimomentista \(k\) momenttiin \(p\) muunnoksella \(L(p)\), tehdään Lorentz-muunnos \(\Lambda\), ja palataan takaisin standardimomenttiin muunnoksella \(L^{-1}(\Lambda p)\). Lopputulos jättää \(k\):n paikalleen, joten se kuuluu Wigner-pikkuryhmään.
Eli suljettu vertailu ei palaudu välttämättä triviaalisti. Jäljelle jää sisäinen rotaatio:
\(
k
\overset{L(p)}{\longrightarrow}
p
\overset{\Lambda}{\longrightarrow}
\Lambda p
\overset{L^{-1}(\Lambda p)}{\longrightarrow}
k.
\)
Minusta tätä voi ajatella spin-holonomiana. Spin ei ole silloin pelkkä “sisäinen kvanttiluku”, vaan suljetun kuljetuksen jäännös. Puolilukuisella spinillä tämä näkyy jo siinä, että \(2\pi\)-rotaatio ei anna identiteettiä vaan merkinvaihdon:
\(
\psi \mapsto -\psi,
\)
ja vasta \(4\pi\)-rotaatio palauttaa spinorin todella samaan haaraan.
ΦBSU-kielellä vastaava rakenne on globaali vaihe spin-kimpussa:
\(
\Phi=e^{i\alpha}.
\)
Identiteettiyhteys on
\(
A_{\rm id}:=-i\Phi^{-1}d\Phi=d\alpha.
\)
Samalla sähkömagneettinen yhteys erotetaan paikalliseen kaarevuuteen ja globaaliin identiteettiin:
\(
A=A_{\rm geom}+A_{\rm id},
\qquad
F_{\rm geom}=dA_{\rm geom}.
\)
Paikallisesti sileällä alueella
\(
dA_{\rm id}=d^2\alpha=0,
\)
mutta suljetulla reitillä voi silti olla ei-triviaali vaihe
\(
\exp\left(i\oint_\gamma A_{\rm id}\right)
=
\exp\left(i\Delta\alpha_\gamma\right).
\)
Tämä on mielestäni suora yhteys siihen, mistä tässä ketjussa on koko ajan puhuttu: lokaalit generaattorit, globaalit vaiheet, sisäiset pariteetit \(\eta\), ajankäännön vaiheet \(\xi\), Wignerin rotaatiot ja helisiteetti eivät ole toisistaan täysin irrallisia asioita. Ne ovat eri tapoja lukea sitä, mitä tilalle tapahtuu, kun sitä kuljetetaan, peilataan ja verrataan takaisin itseensä.
Eli ΦBSU-luennassa sanoisin:
pariteetti ja ajankääntö eivät ole vain ylimääräisiä matriiseja Lorentz-ryhmän kyljessä, vaan Pin-holonomian "testausta".
Ne kysyvät: sulkeutuuko valittu operatiivinen sektori, kun vaihehistoria peilataan antipodaalisen haaran kautta?
Tässä kohtaa ΦBSU-hypersymmetria-ajatus sopii luonnollisesti mukaan. Jos peilihaarojen välillä on antilineaarinen involuutio
\(
R:\alpha(x)\mapsto-\alpha(\tilde x),
\qquad
R^2=1,
\)
niin mitattava haara voidaan kirjoittaa Klein-projektiona
\(
P_+=\frac12(1+R).
\)
Tämä ei ole tavallinen SUSY siinä mielessä, että bosoni ja fermioni paritettaisiin uusiksi on-shell-superpartnereiksi. Pikemminkin kyseessä olisi saman spin-rakenteen peilatut vaihehistoriat:
\(
\psi_s(x)
\longleftrightarrow
R\psi_s(\tilde x),
\)
tai vaiheelle
\(
\alpha(x)
\longleftrightarrow
-\alpha(\tilde x).
\)
Tästä voisi käyttää nimeä “spin-peiliparitussymmetria” (reflection-graded identical-spin pairing): ei bosoni–fermioni-paritus, vaan saman spin-sektorin pinorinen peiliparitus. Tällöin peilihaara ei näy uutena (superpartneri-)hiukkasena, vaan holonomiana, vaiheena, saumaterminä tai efektiivisen vaikutuksen determinanttiparituksena.
Tämä antaa myös minusta hyvän intuition Weinbergin sisäiselle pariteetille \(\eta\). Se ei ole vain satunnainen vaihekerroin, vaan voidaan lukea pinorisen sulkeutumisen valinnaksi:
\(
\mathrm P\ket{p,\sigma}
=
\eta\ket{\mathscr Pp,\sigma}.
\)
Samoin ajankäännön vaihe
\(
\mathrm T\ket{p,\sigma}
=
\xi(-1)^{j-\sigma}
\ket{\mathscr Pp,-\sigma}
\)
kertoo, miten antiunitaarinen peilireitti sulkeutuu Hilbert-avaruudessa. Tässä \(\xi\) ei ole pelkkä kosmeettinen kerroin, vaan osa sitä dataa, jolla pin-rakenne nostetaan operatiiviseen kvanttiteoriaan.
Jos tämän tiivistäisi yhdeksi kuvaksi, niin minusta tasot ovat näin:
\(
SO^+(3,1)
\quad\longrightarrow\quad
\mathrm{Spin}(3,1)
\quad\longrightarrow\quad
\mathrm{Pin}^{\pm}(3,1).
\)
Ensimmäinen taso näkee nelivektorit.
Toinen taso näkee spinorit ja \(2\pi\)-rotaation merkin.
Kolmas taso näkee myös pariteetin, ajankäännön ja peilattujen vaihehistorioiden sulkeutumisen.
Ja holonomia on se yhteinen kieli, joka sitoo nämä yhteen:
\(
\text{suljettu kuljetus}
\quad\Rightarrow\quad
\text{vaihe / merkki / little-group-rotaatio / haaranvaihto}.
\)
Tämän vuoksi minusta pinorit, spinorit, spin-symmetria ja holonomiat kuuluvat tähän keskusteluun todella hyvin. Weinberg antaa täsmällisen operatiivisen Hilbert-avaruuden koneiston, mutta geometrinen lukutapa on, että sama koneisto mittaa sitä, miten pin...spin-kimpun vaihehistoriat sulkeutuvat peilausten ja suljettujen vertailujen yli.
Tämä ei tietenkään korvaa Weinbergin johtoa, vaan antaa sille toisen lukutavan. Weinberg näyttää, miten operaattorit toimivat. ΦBSU-luennassa kysytään, mikä globaali pinorinen holonomia tekee juuri näistä operaattorisäännöistä luonnollisia.
Hienorakennevakio lukuteoriana vapausasteista: (1⁰+2¹+3²+5³+1/2¹×3²/5³-(3²×5³)⁻²)⁻¹ = 137,03599921⁻¹
Totta, kirjoittamasi on hienostuneempi munkin mielestä, kun teit selkeän muunnoksen \(x\):n lisäksi myös \(\mathbf p\):lle.Disputator kirjoitti: ↑27.4.2026, 20:45Iltaa! Mä palaan tässä vähän aikaisempasi kirjoituksen erääseen kohtaan:Tämä oli mullakin kompastuskivi. Tämä sun perustelu tässä on varmasti ihan oikein, mutta minä yritin laskea tuon jotenkin formaalisti. Tulos on tuossa alhaalla allaolevan lainauksen jälkeen.QS kirjoitti: ↑12.4.2026, 20:39...
Luvussa 5.5 kirjoitetaan Diracin operaattorikenttä, johon sisältyy hiukkasen poisto \(\psi^+\) ja antihiukkasen luonti \(\psi^{-c}\)
\(\begin{align}
\psi^+(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(\mathbf p,\sigma) \\
\psi^{-c}(x)&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ v(\mathbf p,\sigma)e^{-ip\cdot x}\ a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)
missä \(u\) ja \(v\) ovat spinorit. Kentän pariteetit kirjoitetaan
\(\begin{align}
\mathrm P\ \psi^+(x)\ \mathrm P^{-1}&=\eta^* (2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ u(-\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot \mathscr P x}\ a(\mathbf p,\sigma) \\
\mathrm P\ \psi^{-c}(x)\ \mathrm P^{-1}&=\eta^c (2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ v(-\mathbf p,\sigma)e^{-ip\cdot \mathscr P x}\ a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)
Tässä on nyt yksityiskohtia. Tuosta nähdään, että muunnettu kenttä on muotoa \(\psi(\mathscr P x)\), mikä näkyy oikealla puolella siten, että koordinaatit muuntuvat \(x \to \mathscr P x\). Kenttien edessä on vaihekertoimet \(\eta^*\) (poisto-operaattorille konjugointi) ja \(\eta^c\) (luontioperaattorille ei konjugointia).
Operaattorien \(a\) ja \(a^{c\dagger}\) parametri, joka on siis \(\mathbf p\), ei ole vaihtanut etumerkkiä. Muunnokset (1) ja (3) kuitenkin selvästi vaihtavat etumerkin. Mulla kesti hetki ymmärtää, että miksi näin.Laitan laskuni näkyviin vain kentän \(\psi^+(x)\) osalta. Laskuni idea on muuttujanvaihto. Kentän \(\psi^+(x)\) esitys kaavana oli:QS kirjoitti:Syy on Minkowski-koordinaatin muunnos \(x \to \mathscr P x = (x^0,-\mathbf x)\). Termin \(e^{ip \cdot x}\) eksponentissa on sisätulo \(p \cdot x = \mathbf p \cdot \mathbf x - p^0 x^0\). Kun koordinaatti muuntuu \(x \to \mathscr P x\), niin sisätulo muuntuu
\(p \cdot x \to p \cdot \mathscr P x = \mathbf p \cdot (-\mathbf x) - p^0 x^0\)
Tämä sisätulo on väärin, jos ei huomioida aika-avaruuden liikemäärän muunnosta \((p^0,\mathbf p) \to (p^0, -\mathbf p)\). Vaikka \(\mathbf p\) ei olekaan kentän \(\psi\) koordinaatti, niin sen täytyy muuntua samalla, kun \(x\) muuntuu. Tämän seurauksena muunnosten (1) ja (3) jälkeinen etumerkki on alkuperäinen, ja muunnoshan ei ole parametrin muunnos vaan operaattorin muunnos. Samasta syystä spinorin \(u\) ja \(v\) liikemäärän etumerkki vaihtuu, ja notaatio \(u(-\mathbf p,\sigma)\) ja \(v(-\mathbf p,\sigma)\) tarkoittaa spinorin pariteettia.
...
\(\psi^+(x)=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(\mathbf p,\sigma).\)
Kirjoitan tämän kolminkertaisena integraalina eksplisiittisesti:
\(\psi^+(x)=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(\mathbf p,\sigma)\)
Konjugoimalla \(\psi^+(x) \)Hilbert-avaruuden pariteettioperaattorilla \(P\) saadaan, kun konjugointi kohdistuu ainoastaan Hilbet-avaruuden operaattoriin \(a(\mathbf p,\sigma)\) ja käytetään antamaasi tulosta \(\mathrm P\ a(\mathbf p,\sigma)\ \mathrm P^{-1} =\eta^*\ a(-\mathbf p,\sigma)\), niin saadaan:
\(\begin{align}P\psi^+(x)P^{-1}&=(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ P a(\mathbf p,\sigma) P^{-1}\\
&=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3p\ u(\mathbf p,\sigma)e^{ip\cdot x}\ a(-\mathbf p,\sigma)\end{align}\)
Tehdään koordinaatistomuunnos \(\mathbf p '=-\mathbf p\), jolloin \(d^3 p =-d^3 p '\), jolloin saadaan (kun samalla manipuloidaan eksponettifunktiossa olevaa lauseketta):
\(P\psi^+(x)P^{-1}=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{\infty}^{-\infty}\int_{\infty}^{-\infty}\int_{\infty}^{-\infty} (-d^3 p')\ \ u(-\mathbf p ',\sigma)e^{ip'\cdot \mathscr P x }\ a(\mathbf p',\sigma)\)
Integoinnin ylä-ja alarajan vaihto kaikissa integraaleissa poistaa minusmerkin tilavuuselementistä:
\(P\psi^+(x)P^{-1}=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3 p'\ \ u(-\mathbf p ',\sigma)e^{ip'\cdot \mathscr P x }\ a(\mathbf p',\sigma)\).
Integroimismuuttuja \(\mathbf p '\) voidaan nimetä uudelleen \(\mathbf p=\mathbf p '\) jolloin saadaan:
\(P\psi^+(x)P^{-1}=\eta^*(2\pi)^{-3/2}\sum_{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} d^3 p\ \ u(-\mathbf p ,\sigma)e^{ip\cdot \mathscr P x }\ a(\mathbf p,\sigma)\).
Tuo näyttää samalta kuin Weinbergin kaava 5.5.10.
Tässä editorissa on jotain vialla. lähetän vastauksen nyt, tuleeko LaTex-koodista kaavoja, ainakin nyt esikatselu tuottaa oikeita kaavoja.
Olen lueskellut syvemmin Weinbergin perusteluja varauskonjugoidulle luontikentälle \(\psi^{-c}(x)\), joka on lopulta melko looginen konstruktio, mutta kirjoitan siitä joku kerta enemmän. Aihe jäi tyngäksi edellisessä viestissäni.
p.s mullakin esikatselu tökkii joskus, harvoin.
Piti palata tähän aiheeseen. Luvussa '3. Scattering theory' esitellään muutama notaatio ja perusasia. Alkutila \(\Psi_\alpha{^+}\) on hiukkasten tilavektori, kun aika \(t \to -\infty\), ja \(\Psi_\beta{^-}\) on lopputila, kun \(t \to +\infty\).
Yläindeksit +/- näyttävät olevan väärin päin, mutta tälle on (tietysti) syy, ja se on oma juttunsa. Alku- ja lopputilat ovat aikariippumattomat. Eri havaitsijat näkevät eri tilavektorit, mutta tilat ovat fysikaalisesti ekvivalentit. Tilojen muunnos on unitaarinen \(\Psi' = U(\Lambda,a)\Psi\).
Tilavektorin aikakehitys kuvataan Hamiltonilla \(H = H_0 + V\), missä \(H_0\) on vapaiden hiukkasten Hamilton ja \(V\) on vuorovaikutus. Alkutilan hiukkaset \(\alpha\) muuntuvat lopputilan hiukkasiksi \(\beta\), kun muodostetaan sirontamatriisi \(S\). Tämän unitaarisen matriisin alkiot kirjoitetaan sisätulona
\(S_{\beta\alpha} = (\Psi_\beta{^-},\Psi_\alpha{^+})\)
Matriisi on Lorentz-invariantti, kun alku- ja lopputilan unitaarinen muunnos \(U(\Lambda,a)\) ei muuta matriisia
\(S_{\beta\alpha} = (\Psi_\beta{^-},\Psi_\alpha{^+}) = \left(U(\Lambda,a) \Psi_\beta{^-},U(\Lambda,a) \Psi_\alpha{^+}\right)\)
Kun S-matriisin sijasta tarkastellaan \(S\)-operaattoria, niin vapaiden hiukkasten unitaarinen muunnos \(U_0(\Lambda,a)\) ja \(S\) toteuttavat
$$U_0(\Lambda,a)^{-1}\ S\ U_0(\Lambda,a) = S \tag 1$$
Operaattori \(S\) voidaan kirjoittaa Dysonin sarjana
\(\displaystyle S = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-i)^n}{n!}\int_{-\infty}^{\infty}dt_1 dt_2 \dots dt_n\ T \left\{ V(t_1)\dots V(t_n) \right\}\)
missä \(T\) on aikajärjestyksen operaattori. \(S\) on Lorentz-invariantti, kun \(S\) ja \(U_0(\Lambda,a)\) kommutoivat, ja myös \(S\) sekä \(H_0\), \(\mathbf P_0\), \(\mathbf J_0\) ja \(\mathbf K_0\) (\(U_0\):n generaattorit) kommutoivat. Tämän toteutuu, kun \(V(t)\) on muotoa
$$V(t) = \int d^3x\ \mathscr H(t,\mathbf x) \tag 2$$
missä Hamiltonin tiheys \(\mathscr H(x)\) käyttäytyy Lorentz-muunnoksessa skalaarin kaltaisesti
$$U_0(\Lambda,a)\mathscr H(x)U_0^{-1}(\Lambda,a) = \mathscr H(\Lambda x+a) \tag 3$$
Vaikka \(\mathscr H\) on operaattori, niin muunnos voidaan nähdä \(S\)-operaattorin Lorentz-invarianssina, ja \(S\) voidaankin kirjoittaa neli-dimensioisena integraalina
\(\displaystyle S = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-i)^n}{n!}\int_{-\infty}^{\infty}dx_1 dx_2 \dots dx_n\ T \left\{ \mathscr H(x_1)\dots \mathscr H(x_n) \right\}\)
sillä edellytyksellä, että operaattorien aikajärjestetty tulo \(T \left\{ \mathscr H(x_1)\dots \mathscr H(x_n) \right\}\) on Lorentz-invariantti. Tapahtumien \(x_1\) ja \(x_2\) aikajärjestys on Lorentz-invariantti, kun \(x_1 - x_2\) on ajanluonteinen, eli siis \((x_1-x_2)^2 < 0\). Näin ollen voidaan todeta, että aikajärjestyksen invarianssi toteutuu, kun
$$[\mathscr H(x),\mathscr H(x')]=0, \forall (x-x')^2 \ge 0 \tag 4$$
Luku '4 The Cluster decomposition principle' esittelee yhden hiukkasen (tilavektorille) Hamiltonin
\(H_0 = \int dq\ a^\dagger(q)a(q)E(q)\)
Hiukkasen energia määritellään \(E(\mathbf p,\sigma) = +\sqrt{\mathbf p^2+m^2}\). Operaattorien \(a\) ja \(a^\dagger\) unitaariset muunnokset ovat
\(\begin{align}
U_0(\Lambda,b)\ a(\mathbf p,\sigma)\ U_0^{-1}(\Lambda,b)&=e^{i(\Lambda p)\cdot b}\ \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}}\ \sum_{\sigma'}D^{(j)}_{\sigma \sigma'} \Big( W^{-1}(\Lambda,p) \Big)a(\mathbf p_\Lambda,\sigma')\\
U_0(\Lambda,b)\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\ U_0^{-1}(\Lambda,b)&=e^{-i(\Lambda p)\cdot b}\ \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}}\ \sum_{\sigma'}D^{(j)*}_{\sigma \sigma'} \Big( W^{-1}(\Lambda,p) \Big)a^\dagger(\mathbf p_\Lambda,\sigma')
\end{align}\)
missä liikemäärä muuntuu \(\mathbf p \to \mathbf p_\Lambda\). Matriisi \(D^{(j)}\) on Wignerin rotaation \(W(\Lambda,p)\) spin-\(j\) esitys, joka riippuu liikemäärästä \(\Lambda p\).
Luvussa '5 Quantum Fields and Antiparticles' todetaan, että operaattorin \(S\) Lorentz-invarianssi \((1)\), sekä invarianssin edellytykset \((2)\) ja \((3)\) eivät salli sitä, että \(U\ a^\dagger\ U^{-1}\) ja \(U\ a\ U^{-1}\) sisältävät epätriviaaleja Winger rotaatioita ja liikemäärästä riippuvia kertoimia, jotka estäisivät \(\mathscr H\):n muuntumisen skalaarin kaltaisesti.
Tämän takia \(\mathscr H(x)\) on muodostettava siten, että \(U\ a^\dagger\ U^{-1}\) ja \(U\ a\ U^{-1}\) eteen valitaan kertoimet \(u(x,\mathbf p,\sigma)\) ja \(v(x,\mathbf p,\sigma)\), jotka tavallaan kumoavat operaattorien epätriviaalit rotaatio- ja liikemäärä-riippuvuudet.
Toisin sanoen operaattorin \(S\) Lorentz-invarianssin takia \(a\) ja \(a^\dagger\) eivät sellaisenaan kelpaa, vaan on määriteltävä poisto- ja luontikentät
\(\begin{align}
\psi_\ell^+ &= \sum_{\sigma} \int d^3p\ u_\ell(x,\mathbf p,\sigma)\ a(\mathbf p,\sigma) \\
\psi_\ell^- &= \sum_{\sigma} \int d^3p\ v_\ell(x,\mathbf p,\sigma)\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)
joiden muoto on sellainen, että kenttien unitaarinen muunnos on
\(\begin{align}
U_0(\Lambda, a)\psi_\ell^+U_0^{-1}(\Lambda,a)&=\sum_{\ell'} D_{\ell\ell'} (\Lambda^{-1})\psi_{\ell'}^+(\Lambda x+a) \\
U_0(\Lambda, a)\psi_\ell^-U_0^{-1}(\Lambda,a)&=\sum_{\ell'} D_{\ell\ell'} (\Lambda^{-1})\psi_{\ell'}^-(\Lambda x+a)
\end{align}\)
Notaatiossa oleellista on se, että \(\psi_\ell^+\), \(\psi_\ell^-\) sekä kertoimet \(u_\ell\), \(v_\ell\), ja näiden muunnos-matriisit pitävät huolen siitä, että oikean puolen \(a(\mathbf p,\sigma)\) ja \(a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\) ovat samat kuin ennen muunnosta.
Esimerkiksi Diracin kentän \(\psi_\ell = \psi_\ell^+ + \psi_\ell^{-c}\) muunnos kirjoitetaan (tässä homogeeninen \(\Lambda\))
\(\displaystyle U(\Lambda)\psi_\ell U^{-1}(\Lambda) = (2\pi)^{-3/2} \sum_{\sigma}\ \sum_{\ell'} D^{(1/2,0)\oplus(0,1/2)}_{\ell\ell'}\int d^3p \left[u_{\ell'}(\mathbf p,\sigma) e^{ip \cdot \Lambda x} a(\mathbf p,\sigma)+v_{\ell'}(\mathbf p,\sigma) e^{-ip \cdot \Lambda x} a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)\right]\)
Muunnos \(D\) kohdistuu kertoimiin (spinoreihin) \(u\) ja \(v\), jotka ovat Lorentzryhmän äärellisiä esityksiä. Parametri \(\mathbf p\) ei muutu operaattoreissa \(a\) ja \(a^{c\dagger}\), ja operaattorien varsin epätriviaali Wigner-rotaatio on poistunut, kun kertoimet \(u\) ja \(v\) on valittu oikealla tavalla.
Mun piti alun perin kirjoittaa varauskonjugoinnista \(a^{c\dagger}\), mutta karkasi käsistä. Relativistisen teorian kenttäformalismi on seuraus S-matriisin Lorentz-invarianssista. Varauskonjugointi+antihiukkaset ovat itse asiassa seuraus kausaalisuuden ehdosta \((4)\), jonka takia saadaan myös positiivisen ja negatiivisen kulmataajuuden termit, ja nämä manifestoituvat näkyviin Diracin yhtälön 'positiivisen ja negatiivisen' energian ratkaisuna.
Weinbergin esitystapa on mielestäni mainio, vaikkakin on "vain" sovellettua matematikkaa, koska esimerkiksi ehdot (2)-(4) on fysiikkaan nojautuvia, ja ne eivät ole minkään matematiikan lainalaisuuden pakottamia. Lisäksi ehto (1) ja sitä edeltävät kohdat ovat pahamaineisen Haagin teoreeman valossa kyseenalaisia.
Yläindeksit +/- näyttävät olevan väärin päin, mutta tälle on (tietysti) syy, ja se on oma juttunsa. Alku- ja lopputilat ovat aikariippumattomat. Eri havaitsijat näkevät eri tilavektorit, mutta tilat ovat fysikaalisesti ekvivalentit. Tilojen muunnos on unitaarinen \(\Psi' = U(\Lambda,a)\Psi\).
Tilavektorin aikakehitys kuvataan Hamiltonilla \(H = H_0 + V\), missä \(H_0\) on vapaiden hiukkasten Hamilton ja \(V\) on vuorovaikutus. Alkutilan hiukkaset \(\alpha\) muuntuvat lopputilan hiukkasiksi \(\beta\), kun muodostetaan sirontamatriisi \(S\). Tämän unitaarisen matriisin alkiot kirjoitetaan sisätulona
\(S_{\beta\alpha} = (\Psi_\beta{^-},\Psi_\alpha{^+})\)
Matriisi on Lorentz-invariantti, kun alku- ja lopputilan unitaarinen muunnos \(U(\Lambda,a)\) ei muuta matriisia
\(S_{\beta\alpha} = (\Psi_\beta{^-},\Psi_\alpha{^+}) = \left(U(\Lambda,a) \Psi_\beta{^-},U(\Lambda,a) \Psi_\alpha{^+}\right)\)
Kun S-matriisin sijasta tarkastellaan \(S\)-operaattoria, niin vapaiden hiukkasten unitaarinen muunnos \(U_0(\Lambda,a)\) ja \(S\) toteuttavat
$$U_0(\Lambda,a)^{-1}\ S\ U_0(\Lambda,a) = S \tag 1$$
Operaattori \(S\) voidaan kirjoittaa Dysonin sarjana
\(\displaystyle S = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-i)^n}{n!}\int_{-\infty}^{\infty}dt_1 dt_2 \dots dt_n\ T \left\{ V(t_1)\dots V(t_n) \right\}\)
missä \(T\) on aikajärjestyksen operaattori. \(S\) on Lorentz-invariantti, kun \(S\) ja \(U_0(\Lambda,a)\) kommutoivat, ja myös \(S\) sekä \(H_0\), \(\mathbf P_0\), \(\mathbf J_0\) ja \(\mathbf K_0\) (\(U_0\):n generaattorit) kommutoivat. Tämän toteutuu, kun \(V(t)\) on muotoa
$$V(t) = \int d^3x\ \mathscr H(t,\mathbf x) \tag 2$$
missä Hamiltonin tiheys \(\mathscr H(x)\) käyttäytyy Lorentz-muunnoksessa skalaarin kaltaisesti
$$U_0(\Lambda,a)\mathscr H(x)U_0^{-1}(\Lambda,a) = \mathscr H(\Lambda x+a) \tag 3$$
Vaikka \(\mathscr H\) on operaattori, niin muunnos voidaan nähdä \(S\)-operaattorin Lorentz-invarianssina, ja \(S\) voidaankin kirjoittaa neli-dimensioisena integraalina
\(\displaystyle S = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-i)^n}{n!}\int_{-\infty}^{\infty}dx_1 dx_2 \dots dx_n\ T \left\{ \mathscr H(x_1)\dots \mathscr H(x_n) \right\}\)
sillä edellytyksellä, että operaattorien aikajärjestetty tulo \(T \left\{ \mathscr H(x_1)\dots \mathscr H(x_n) \right\}\) on Lorentz-invariantti. Tapahtumien \(x_1\) ja \(x_2\) aikajärjestys on Lorentz-invariantti, kun \(x_1 - x_2\) on ajanluonteinen, eli siis \((x_1-x_2)^2 < 0\). Näin ollen voidaan todeta, että aikajärjestyksen invarianssi toteutuu, kun
$$[\mathscr H(x),\mathscr H(x')]=0, \forall (x-x')^2 \ge 0 \tag 4$$
Luku '4 The Cluster decomposition principle' esittelee yhden hiukkasen (tilavektorille) Hamiltonin
\(H_0 = \int dq\ a^\dagger(q)a(q)E(q)\)
Hiukkasen energia määritellään \(E(\mathbf p,\sigma) = +\sqrt{\mathbf p^2+m^2}\). Operaattorien \(a\) ja \(a^\dagger\) unitaariset muunnokset ovat
\(\begin{align}
U_0(\Lambda,b)\ a(\mathbf p,\sigma)\ U_0^{-1}(\Lambda,b)&=e^{i(\Lambda p)\cdot b}\ \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}}\ \sum_{\sigma'}D^{(j)}_{\sigma \sigma'} \Big( W^{-1}(\Lambda,p) \Big)a(\mathbf p_\Lambda,\sigma')\\
U_0(\Lambda,b)\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\ U_0^{-1}(\Lambda,b)&=e^{-i(\Lambda p)\cdot b}\ \sqrt{\frac{(\Lambda p)^0}{p^0}}\ \sum_{\sigma'}D^{(j)*}_{\sigma \sigma'} \Big( W^{-1}(\Lambda,p) \Big)a^\dagger(\mathbf p_\Lambda,\sigma')
\end{align}\)
missä liikemäärä muuntuu \(\mathbf p \to \mathbf p_\Lambda\). Matriisi \(D^{(j)}\) on Wignerin rotaation \(W(\Lambda,p)\) spin-\(j\) esitys, joka riippuu liikemäärästä \(\Lambda p\).
Luvussa '5 Quantum Fields and Antiparticles' todetaan, että operaattorin \(S\) Lorentz-invarianssi \((1)\), sekä invarianssin edellytykset \((2)\) ja \((3)\) eivät salli sitä, että \(U\ a^\dagger\ U^{-1}\) ja \(U\ a\ U^{-1}\) sisältävät epätriviaaleja Winger rotaatioita ja liikemäärästä riippuvia kertoimia, jotka estäisivät \(\mathscr H\):n muuntumisen skalaarin kaltaisesti.
Tämän takia \(\mathscr H(x)\) on muodostettava siten, että \(U\ a^\dagger\ U^{-1}\) ja \(U\ a\ U^{-1}\) eteen valitaan kertoimet \(u(x,\mathbf p,\sigma)\) ja \(v(x,\mathbf p,\sigma)\), jotka tavallaan kumoavat operaattorien epätriviaalit rotaatio- ja liikemäärä-riippuvuudet.
Toisin sanoen operaattorin \(S\) Lorentz-invarianssin takia \(a\) ja \(a^\dagger\) eivät sellaisenaan kelpaa, vaan on määriteltävä poisto- ja luontikentät
\(\begin{align}
\psi_\ell^+ &= \sum_{\sigma} \int d^3p\ u_\ell(x,\mathbf p,\sigma)\ a(\mathbf p,\sigma) \\
\psi_\ell^- &= \sum_{\sigma} \int d^3p\ v_\ell(x,\mathbf p,\sigma)\ a^\dagger(\mathbf p,\sigma)
\end{align}\)
joiden muoto on sellainen, että kenttien unitaarinen muunnos on
\(\begin{align}
U_0(\Lambda, a)\psi_\ell^+U_0^{-1}(\Lambda,a)&=\sum_{\ell'} D_{\ell\ell'} (\Lambda^{-1})\psi_{\ell'}^+(\Lambda x+a) \\
U_0(\Lambda, a)\psi_\ell^-U_0^{-1}(\Lambda,a)&=\sum_{\ell'} D_{\ell\ell'} (\Lambda^{-1})\psi_{\ell'}^-(\Lambda x+a)
\end{align}\)
Notaatiossa oleellista on se, että \(\psi_\ell^+\), \(\psi_\ell^-\) sekä kertoimet \(u_\ell\), \(v_\ell\), ja näiden muunnos-matriisit pitävät huolen siitä, että oikean puolen \(a(\mathbf p,\sigma)\) ja \(a^\dagger(\mathbf p,\sigma)\) ovat samat kuin ennen muunnosta.
Esimerkiksi Diracin kentän \(\psi_\ell = \psi_\ell^+ + \psi_\ell^{-c}\) muunnos kirjoitetaan (tässä homogeeninen \(\Lambda\))
\(\displaystyle U(\Lambda)\psi_\ell U^{-1}(\Lambda) = (2\pi)^{-3/2} \sum_{\sigma}\ \sum_{\ell'} D^{(1/2,0)\oplus(0,1/2)}_{\ell\ell'}\int d^3p \left[u_{\ell'}(\mathbf p,\sigma) e^{ip \cdot \Lambda x} a(\mathbf p,\sigma)+v_{\ell'}(\mathbf p,\sigma) e^{-ip \cdot \Lambda x} a^{c\dagger}(\mathbf p,\sigma)\right]\)
Muunnos \(D\) kohdistuu kertoimiin (spinoreihin) \(u\) ja \(v\), jotka ovat Lorentzryhmän äärellisiä esityksiä. Parametri \(\mathbf p\) ei muutu operaattoreissa \(a\) ja \(a^{c\dagger}\), ja operaattorien varsin epätriviaali Wigner-rotaatio on poistunut, kun kertoimet \(u\) ja \(v\) on valittu oikealla tavalla.
Mun piti alun perin kirjoittaa varauskonjugoinnista \(a^{c\dagger}\), mutta karkasi käsistä. Relativistisen teorian kenttäformalismi on seuraus S-matriisin Lorentz-invarianssista. Varauskonjugointi+antihiukkaset ovat itse asiassa seuraus kausaalisuuden ehdosta \((4)\), jonka takia saadaan myös positiivisen ja negatiivisen kulmataajuuden termit, ja nämä manifestoituvat näkyviin Diracin yhtälön 'positiivisen ja negatiivisen' energian ratkaisuna.
Weinbergin esitystapa on mielestäni mainio, vaikkakin on "vain" sovellettua matematikkaa, koska esimerkiksi ehdot (2)-(4) on fysiikkaan nojautuvia, ja ne eivät ole minkään matematiikan lainalaisuuden pakottamia. Lisäksi ehto (1) ja sitä edeltävät kohdat ovat pahamaineisen Haagin teoreeman valossa kyseenalaisia.
Olen kyllä nyt vahvasti eri mieltä tästä. Weinberg on varmasti oikeassa kaikessa mitä hän kirjoittaa, siitä ei epäilystä (vaikka joskus horjuu metriikan signatuurien kanssa). Ongelma on esityksen tasossa.QS kirjoitti: ↑30.4.2026, 20:47...
Weinbergin esitystapa on mielestäni mainio, vaikkakin on "vain" sovellettua matematikkaa, koska esimerkiksi ehdot (2)-(4) on fysiikkaan nojautuvia, ja ne eivät ole minkään matematiikan lainalaisuuden pakottamia. Lisäksi ehto (1) ja sitä edeltävät kohdat ovat pahamaineisen Haagin teoreeman valossa kyseenalaisia.
Weinberg on sopiva post-graduate tason ihmiselle, Weinberg ei jää märehtimään jotain notaation tai käsitteiden tms. potentiaalisia epämääräisyyksiä, vaan olettaa, että sellaiset ovat lukijakunnan tiedossa. Sama koskee ihan matematiikan samantasoisia esityksiä. Asiaan vihkiytyneelle tuollaiset eivät aiheuta suuremmin ongelmia, mutta muille sellainen voi olla ongelma. Lisäksi liian edistyneen materiaalin lukeminen voi johtaa siihen, että asian ymmärtää jotenkin abstraktisti, mutta jollain käytännöllisemmällä tasolla ymmärrys voi olla vajavaista, ja siten missaa joitain pointteja, joihin se abstrakti esitys fundamentaalisti oikeastaan perustui. Tämä ei koske sinua QS, vaan ihan yleisenä huomiona.
Esimerkiksi minä ymmärrän jollain yleisellä tasolla mitä viimeisessä viestissäsi lasket ja myös hahmotan matematiikankin, mutta mun mielestä asiassa on paljon, paljon enemmän, kuin ihan Weinbergin esityksestä voisi pintapuolisesti päätellä. Palaan tähän myöhemmin, kun osaan formuloida asiaa tarkemmin, ihan lähiaikoina. Esimerkiksi sirontateoria ja S-matriisi tai operaattori ja vastaavat jutut. Oma ketjukin aiheesta olisi paikallaan.
SI Resurrection!
Iltaa!
Se on kyllä totta, että kyseinen kirja ei sovellu aiheen perusteisiin, eikä välttämättä edes toiseksi kirjaksi aiheen parissa. Mutta Weinbergin käsittely on jotenkin fundamentaalimpi kuin useilla muilla.
Peskin & Schroeder, Introduction to QFT (todella hyvä kirja, en kritisoi mitenkään) esittelee ketjussa olleet asiat siten, että aaltoyhtälöiden (KG, Dirac) ratkaisut tulkitaan ja muotoillaan vaihe kerrallaan sellaisiksi, että niistä saadaan Lorentz-symmetrian toteuttava Lagrangen tiheys, hyvältä näyttävä Hamilton, ja sisältävät (etukäteen sovitut tai 'arvatut') hiukkas- ja spin-ominaisuudet.
P & S esimerkiksi kirjoittaa Diracin yhtälön positive frequency ratkaisun normaalisti
\(\psi(x) = u(p) e^{ -i p \cdot x}, \quad p^2=m^2, \quad p^0>0\)
Tämän jälkeen todetaan kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua \(u(p)\), jotka normitetaan (aiemmin kirja on todennut 'it is convinient to normalize...'). Vastaavasti kirjoitetaan negative frequency ratkaisu
\(\psi(x) = v(p) e^{ +i p \cdot x}, \quad p^2=m^2, \quad p^0>0\)
ja todetaan hyvin rehellisesti 'Note that we have chosen to put the + sign into the exponential, rather than having \(p^0 < 0\)', eli vältetään negatiivinen energia. Kirjassa löydetään anti-fermionit vasta paljon myöhemmin, Diracin kentän kvantisoinnin jälkeen erinäisiä kommutointeja tutkimalla.
Kun on tutustunut Weinbergin "filosofiaan", niin pysähtyy miettimään, niin miksi pitäisi olla huolissaan eksponenttifunktion negatiivisesta \(p^0\)-komponentista, ja tehdä siksi valintoja? Eksponentilla ei itse asiassa ole suoraa yhteyttä fysikaalisen hiukkasen tilavektoriin \(\ket{p,\sigma}\), joka on muodostettu Poincare-symmetrian toteuttavaksi positiivisen energian \(p^0>0\) tilaksi. Luonnostahan ei ole löydetty, eikä ole hyviä perusteita siihen, että löydettäisiinkään negatiivisen energian hiukkasia.
Eksponentilla ei ole myöskään suoraa yhteyttä kvanttimekaniikan aksioomista johdettuun Hamiltoniin \(H = \int dq\ a^\dagger(q)a(q)E(q)\).
Weinberg nojautuu valintojen ja yhtälöiden ratkaisujen sijasta S-matriisin Lorentz-symmetriaan, koska relativistisen teorian on toimittava oikein kaikille havaitsijoille. Tästä symmetriasta seuraa, että vastakkaisten varausten samansukuiset hiukkaset on oltava mukana teoriassa. Jotta näitä hiukkasia vastaavat kentät toteuttavat kausaalisuuden (joka on välttämätön S-matriisin Lorentz-symmetrialle), niin positive- ja negative frequency ratkaisut on oltava mukana. Tästä suoraan seuraa se, että positive- ja negative frequency vastaa hiukkasen ja antihiukkasen operaattorikenttää.
Kertoimet u- ja v eivät ensisijaisesti synny yhtälön (esim. Diracin yhtälö) ratkaisujen valitsemisesta, vaan vaatimuksesta, että poisto- ja luontikentät muuntuvat Lorentz-ryhmän äärellisulotteisina esityksinä, ja toteuttavat kausaalisuuden, jotta S-matriisi voi toteuttaa Lorentz-symmetrian. Tämän jälkeen Klein-Gordonin ja Diracin yhtälöt ilmestyvät itsestään sivutuotteena.
Kun Diracin yhtälö on löydetty, niin voidaan Paul Diracia yhtään väheksymättä todeta, että "negatiivinen energia" olikin aaltomekaniikassa esiin nouseva erikoisuus, joka on heijastus siitä, että luonto noudattaa Lorentz-symmetriaa mm. antihiukkasten kautta.
Aiemmissa viesteissä en ehtinyt selittää miten tärkeä yksityiskohta tuo kausaalisuus \([\mathscr H(x),\mathscr H(x')]=0, \forall (x-x')^2 \ge 0\) on, mutta tästä kommutaattorista seuraa paljon asioita Weinbergin rakennustyömaalla.
Mielestäni "teorianmuodostuksen filosofia" on Weinbergilla mielenkiintoisen jykevä, ja draaman kaari on omintakeisessa järjestyksessä, jonka takia saadaan kiehtova tarina
Se on kyllä totta, että kyseinen kirja ei sovellu aiheen perusteisiin, eikä välttämättä edes toiseksi kirjaksi aiheen parissa. Mutta Weinbergin käsittely on jotenkin fundamentaalimpi kuin useilla muilla.
Peskin & Schroeder, Introduction to QFT (todella hyvä kirja, en kritisoi mitenkään) esittelee ketjussa olleet asiat siten, että aaltoyhtälöiden (KG, Dirac) ratkaisut tulkitaan ja muotoillaan vaihe kerrallaan sellaisiksi, että niistä saadaan Lorentz-symmetrian toteuttava Lagrangen tiheys, hyvältä näyttävä Hamilton, ja sisältävät (etukäteen sovitut tai 'arvatut') hiukkas- ja spin-ominaisuudet.
P & S esimerkiksi kirjoittaa Diracin yhtälön positive frequency ratkaisun normaalisti
\(\psi(x) = u(p) e^{ -i p \cdot x}, \quad p^2=m^2, \quad p^0>0\)
Tämän jälkeen todetaan kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua \(u(p)\), jotka normitetaan (aiemmin kirja on todennut 'it is convinient to normalize...'). Vastaavasti kirjoitetaan negative frequency ratkaisu
\(\psi(x) = v(p) e^{ +i p \cdot x}, \quad p^2=m^2, \quad p^0>0\)
ja todetaan hyvin rehellisesti 'Note that we have chosen to put the + sign into the exponential, rather than having \(p^0 < 0\)', eli vältetään negatiivinen energia. Kirjassa löydetään anti-fermionit vasta paljon myöhemmin, Diracin kentän kvantisoinnin jälkeen erinäisiä kommutointeja tutkimalla.
Kun on tutustunut Weinbergin "filosofiaan", niin pysähtyy miettimään, niin miksi pitäisi olla huolissaan eksponenttifunktion negatiivisesta \(p^0\)-komponentista, ja tehdä siksi valintoja? Eksponentilla ei itse asiassa ole suoraa yhteyttä fysikaalisen hiukkasen tilavektoriin \(\ket{p,\sigma}\), joka on muodostettu Poincare-symmetrian toteuttavaksi positiivisen energian \(p^0>0\) tilaksi. Luonnostahan ei ole löydetty, eikä ole hyviä perusteita siihen, että löydettäisiinkään negatiivisen energian hiukkasia.
Eksponentilla ei ole myöskään suoraa yhteyttä kvanttimekaniikan aksioomista johdettuun Hamiltoniin \(H = \int dq\ a^\dagger(q)a(q)E(q)\).
Weinberg nojautuu valintojen ja yhtälöiden ratkaisujen sijasta S-matriisin Lorentz-symmetriaan, koska relativistisen teorian on toimittava oikein kaikille havaitsijoille. Tästä symmetriasta seuraa, että vastakkaisten varausten samansukuiset hiukkaset on oltava mukana teoriassa. Jotta näitä hiukkasia vastaavat kentät toteuttavat kausaalisuuden (joka on välttämätön S-matriisin Lorentz-symmetrialle), niin positive- ja negative frequency ratkaisut on oltava mukana. Tästä suoraan seuraa se, että positive- ja negative frequency vastaa hiukkasen ja antihiukkasen operaattorikenttää.
Kertoimet u- ja v eivät ensisijaisesti synny yhtälön (esim. Diracin yhtälö) ratkaisujen valitsemisesta, vaan vaatimuksesta, että poisto- ja luontikentät muuntuvat Lorentz-ryhmän äärellisulotteisina esityksinä, ja toteuttavat kausaalisuuden, jotta S-matriisi voi toteuttaa Lorentz-symmetrian. Tämän jälkeen Klein-Gordonin ja Diracin yhtälöt ilmestyvät itsestään sivutuotteena.
Kun Diracin yhtälö on löydetty, niin voidaan Paul Diracia yhtään väheksymättä todeta, että "negatiivinen energia" olikin aaltomekaniikassa esiin nouseva erikoisuus, joka on heijastus siitä, että luonto noudattaa Lorentz-symmetriaa mm. antihiukkasten kautta.
Aiemmissa viesteissä en ehtinyt selittää miten tärkeä yksityiskohta tuo kausaalisuus \([\mathscr H(x),\mathscr H(x')]=0, \forall (x-x')^2 \ge 0\) on, mutta tästä kommutaattorista seuraa paljon asioita Weinbergin rakennustyömaalla.
Mielestäni "teorianmuodostuksen filosofia" on Weinbergilla mielenkiintoisen jykevä, ja draaman kaari on omintakeisessa järjestyksessä, jonka takia saadaan kiehtova tarina
Joo, tähän pitäisi syventyä tarkemmin. S-operaattori on oma kaninkolonsa, ja siihen liittyy detaljeja vaikka ja kuinka.Disputator kirjoitti: ↑7.5.2026, 17:52Palaan tähän myöhemmin, kun osaan formuloida asiaa tarkemmin, ihan lähiaikoina. Esimerkiksi sirontateoria ja S-matriisi tai operaattori ja vastaavat jutut. Oma ketjukin aiheesta olisi paikallaan.
Iltapäivää!
\(\psi^{+}(x) = u(p) e^{ -i p \cdot x},\)
positiivinen energia, kun Diracin yhtälöstä määritellään Hamilton \( H=i\partial_0\):
\(H\psi^{+}(x)=p_0 \psi^{+}(x)\)
ja funktioilla \(\psi^{-}(x) = v(p) e^{ +i p \cdot x}\) (lisäsin miinuksen)
\(H\psi^{-}(x)=-p_0 \psi^{-}(x)\).
Ylläolevissa on vaan lyhyesti merkitty \(\psi^{+}(x)\) ja \(\psi^{-}(x)\) Peskinin sen kohdan notaation mukaan, mutta vasemmat puolet ovat myös 3-momentin \(\mathbf p\) ominaistiloja ja spinin \( \sigma\) tiloja, joka on koodattu funktioihin \(u(p)\) ja \( v(p)\).
Yllä siis negatiiviset energiatilat ovat mukana.
Vapaan hiukkasen Diracin yhtälön ratkaisut ovat sitten lineaarikombinaatioita ylläolevista. Ylläoleva Hamilton voidaan esittää "diagonalisoituna", jossa on mukana positiivisen ja negatiivisen energian ominaisvektorit:
\(H= \int_{-\infty}^{\infty} dE\: E |E><E| = \int_{-\infty}^{0} dE\: E |E><E|+\int_{0}^{\infty} dE\: E |E><E|
\).
Tämä Hamilton ei ole positiividefiniitti, ainoastaan osaintegraali \( \int_{0}^{\infty} dE\: E |E><E|\) on. Oikeammin tuo tehdään luomis-ja hävitysoperaattorien avulla, kuten alla kirjoitatkin, mutta sekään ei ole ihan simppeliä, jos Peskiniä seuraa.
Tämä ei tosin ole vielä minkäänlaista kvanttikenttäteoriaa, mutta tämä osoittaa ongelmiin joihin Dirac törmäsi kehittäessään teoriaansa.
Täydellistä kirjaa ei ole olemassakaan ja mikä toiselle hyvä kirja on toiselle huono. P & S löytyy multakin ja se on oikeastaan mielestäni se toinen kirja aiheesta ja Weinberg sitten kolmas. Tämä siis sen perusteella miten itse olen jonkin verran kumpankin tutustunut aiheen merkeissä.QS kirjoitti: ↑7.5.2026, 21:00Iltaa!
Se on kyllä totta, että kyseinen kirja ei sovellu aiheen perusteisiin, eikä välttämättä edes toiseksi kirjaksi aiheen parissa. Mutta Weinbergin käsittely on jotenkin fundamentaalimpi kuin useilla muilla.
Peskin & Schroeder, Introduction to QFT (todella hyvä kirja, en kritisoi mitenkään) esittelee ketjussa olleet asiat siten, että aaltoyhtälöiden (KG, Dirac) ratkaisut tulkitaan ja muotoillaan vaihe kerrallaan sellaisiksi, että niistä saadaan Lorentz-symmetrian toteuttava Lagrangen tiheys, hyvältä näyttävä Hamilton, ja sisältävät (etukäteen sovitut tai 'arvatut') hiukkas- ja spin-ominaisuudet.
Jos nyt lähestyy aihetta Peskinin hengessä (ehkä historiallista lähestymistapaa noudattaen), niin tuo valinta \(p_0>0\) tarkoittaa, että kappaleella on positiivinen massa, siinä ei siis sanota että vaaditaan kappaleella olevan positiivinen (editoitu) energia. Aaltofunktiotasolla on funktioilla \( \psi^{+}(x)\) (lisäsin plussan funktioon):QS kirjoitti:
P & S esimerkiksi kirjoittaa Diracin yhtälön positive frequency ratkaisun normaalisti
\(\psi(x) = u(p) e^{ -i p \cdot x}, \quad p^2=m^2, \quad p^0>0\)
Tämän jälkeen todetaan kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua \(u(p)\), jotka normitetaan (aiemmin kirja on todennut 'it is convinient to normalize...'). Vastaavasti kirjoitetaan negative frequency ratkaisu
\(\psi(x) = v(p) e^{ +i p \cdot x}, \quad p^2=m^2, \quad p^0>0\)
ja todetaan hyvin rehellisesti 'Note that we have chosen to put the + sign into the exponential, rather than having \(p^0 < 0\)', eli vältetään negatiivinen energia. Kirjassa löydetään anti-fermionit vasta paljon myöhemmin, Diracin kentän kvantisoinnin jälkeen erinäisiä kommutointeja tutkimalla.
\(\psi^{+}(x) = u(p) e^{ -i p \cdot x},\)
positiivinen energia, kun Diracin yhtälöstä määritellään Hamilton \( H=i\partial_0\):
\(H\psi^{+}(x)=p_0 \psi^{+}(x)\)
ja funktioilla \(\psi^{-}(x) = v(p) e^{ +i p \cdot x}\) (lisäsin miinuksen)
\(H\psi^{-}(x)=-p_0 \psi^{-}(x)\).
Ylläolevissa on vaan lyhyesti merkitty \(\psi^{+}(x)\) ja \(\psi^{-}(x)\) Peskinin sen kohdan notaation mukaan, mutta vasemmat puolet ovat myös 3-momentin \(\mathbf p\) ominaistiloja ja spinin \( \sigma\) tiloja, joka on koodattu funktioihin \(u(p)\) ja \( v(p)\).
Yllä siis negatiiviset energiatilat ovat mukana.
Vapaan hiukkasen Diracin yhtälön ratkaisut ovat sitten lineaarikombinaatioita ylläolevista. Ylläoleva Hamilton voidaan esittää "diagonalisoituna", jossa on mukana positiivisen ja negatiivisen energian ominaisvektorit:
\(H= \int_{-\infty}^{\infty} dE\: E |E><E| = \int_{-\infty}^{0} dE\: E |E><E|+\int_{0}^{\infty} dE\: E |E><E|
\).
Tämä Hamilton ei ole positiividefiniitti, ainoastaan osaintegraali \( \int_{0}^{\infty} dE\: E |E><E|\) on. Oikeammin tuo tehdään luomis-ja hävitysoperaattorien avulla, kuten alla kirjoitatkin, mutta sekään ei ole ihan simppeliä, jos Peskiniä seuraa.
Tämä ei tosin ole vielä minkäänlaista kvanttikenttäteoriaa, mutta tämä osoittaa ongelmiin joihin Dirac törmäsi kehittäessään teoriaansa.
Mitä kirjoitat on varmasti oikein ja sisältää hyviä huomioita. Tuo on sellainen syvällisempi lähestymistapa, ja olen nähnyt jotain vastaavaa (kuten Weinbergillä), jossa peruspalikoita on aksiomaattisemmin esim. Hilbert-avaruus (bosoni/fermioninen), luomis-ja hävitysoperaattorit + Poincare-symmetria, joista sitten voidaan johtaa Diracin yhtälöt ym. Jotain siis täytyy olettaa aksiomaattisesti, jotta jotain voi johtaa seurauksina.QS kirjoitti:Kun on tutustunut Weinbergin "filosofiaan", niin pysähtyy miettimään, niin miksi pitäisi olla huolissaan eksponenttifunktion negatiivisesta \(p^0\)-komponentista, ja tehdä siksi valintoja? Eksponentilla ei itse asiassa ole suoraa yhteyttä fysikaalisen hiukkasen tilavektoriin \(\ket{p,\sigma}\), joka on muodostettu Poincare-symmetrian toteuttavaksi positiivisen energian \(p^0>0\) tilaksi. Luonnostahan ei ole löydetty, eikä ole hyviä perusteita siihen, että löydettäisiinkään negatiivisen energian hiukkasia.
Eksponentilla ei ole myöskään suoraa yhteyttä kvanttimekaniikan aksioomista johdettuun Hamiltoniin \(H = \int dq\ a^\dagger(q)a(q)E(q)\).
Weinberg nojautuu valintojen ja yhtälöiden ratkaisujen sijasta S-matriisin Lorentz-symmetriaan, koska relativistisen teorian on toimittava oikein kaikille havaitsijoille. Tästä symmetriasta seuraa, että vastakkaisten varausten samansukuiset hiukkaset on oltava mukana teoriassa. Jotta näitä hiukkasia vastaavat kentät toteuttavat kausaalisuuden (joka on välttämätön S-matriisin Lorentz-symmetrialle), niin positive- ja negative frequency ratkaisut on oltava mukana. Tästä suoraan seuraa se, että positive- ja negative frequency vastaa hiukkasen ja antihiukkasen operaattorikenttää.
Kertoimet u- ja v eivät ensisijaisesti synny yhtälön (esim. Diracin yhtälö) ratkaisujen valitsemisesta, vaan vaatimuksesta, että poisto- ja luontikentät muuntuvat Lorentz-ryhmän äärellisulotteisina esityksinä, ja toteuttavat kausaalisuuden, jotta S-matriisi voi toteuttaa Lorentz-symmetrian. Tämän jälkeen Klein-Gordonin ja Diracin yhtälöt ilmestyvät itsestään sivutuotteena.
Kun Diracin yhtälö on löydetty, niin voidaan Paul Diracia yhtään väheksymättä todeta, että "negatiivinen energia" olikin aaltomekaniikassa esiin nouseva erikoisuus, joka on heijastus siitä, että luonto noudattaa Lorentz-symmetriaa mm. antihiukkasten kautta.
Aiemmissa viesteissä en ehtinyt selittää miten tärkeä yksityiskohta tuo kausaalisuus \([\mathscr H(x),\mathscr H(x')]=0, \forall (x-x')^2 \ge 0\) on, mutta tästä kommutaattorista seuraa paljon asioita Weinbergin rakennustyömaalla.
Mielestäni "teorianmuodostuksen filosofia" on Weinbergilla mielenkiintoisen jykevä, ja draaman kaari on omintakeisessa järjestyksessä, jonka takia saadaan kiehtova tarina
SI Resurrection!
Kyllä, ja mielestäni P&S on erinomainen, notaatio on selkeää, ja asiat selitetään ja lasketaan auki perusteellisesti. Varsinkin, kun siirrytään käytännön sirontalaskuihin ja niiden syvimpään olemukseen.Disputator kirjoitti: ↑9.5.2026, 16:57Täydellistä kirjaa ei ole olemassakaan ja mikä toiselle hyvä kirja on toiselle huono. P & S löytyy multakin ja se on oikeastaan mielestäni se toinen kirja aiheesta ja Weinberg sitten kolmas. Tämä siis sen perusteella miten itse olen jonkin verran kumpankin tutustunut aiheen merkeissä.
Totta, hyvä havainto, näin se on.Disputator kirjoitti: ↑9.5.2026, 16:57Jos nyt lähestyy aihetta Peskinin hengessä (ehkä historiallista lähestymistapaa noudattaen), niin tuo valinta \(p_0>0\) tarkoittaa, että kappaleella on positiivinen massa, siinä ei siis sanota että vaaditaan kappaleella olevan positiivinen (editoitu) energia.QS kirjoitti:
P & S esimerkiksi kirjoittaa Diracin yhtälön positive frequency ratkaisun normaalisti
\(\psi(x) = u(p) e^{ -i p \cdot x}, \quad p^2=m^2, \quad p^0>0\)
Tämän jälkeen todetaan kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua \(u(p)\), jotka normitetaan (aiemmin kirja on todennut 'it is convinient to normalize...'). Vastaavasti kirjoitetaan negative frequency ratkaisu
\(\psi(x) = v(p) e^{ +i p \cdot x}, \quad p^2=m^2, \quad p^0>0\)
ja todetaan hyvin rehellisesti 'Note that we have chosen to put the + sign into the exponential, rather than having \(p^0 < 0\)', eli vältetään negatiivinen energia. Kirjassa löydetään anti-fermionit vasta paljon myöhemmin, Diracin kentän kvantisoinnin jälkeen erinäisiä kommutointeja tutkimalla.
Tuo P&S:n tapa on tosiaan perinteinen, jossa lähdetään liikkeelle klassisesta kenttäyhtälöstä, ja sitten (esim KG-yhtälön tapauksessa) kenttä \(\phi\) ja konjugaatti \(\pi\) muutetaan operaattori-arvoiseksi, ja määritellään sopivat kommutoinnit \([\phi,\pi]\), \([\phi,\phi]\) ja \([\pi,\pi]\). Lisätään mausteeksi hiukan harmonista värähtelijää ja Fourier-muunnosta, niin kvanttikenttä on lähes valmis (2.3 The Klein-Gordon Field as Harmonic Oscillator):Disputator kirjoitti: ↑9.5.2026, 16:57Aaltofunktiotasolla on funktioilla \( \psi^{+}(x)\) (lisäsin plussan funktioon):
\(\psi^{+}(x) = u(p) e^{ -i p \cdot x},\)
positiivinen energia, kun Diracin yhtälöstä määritellään Hamilton \( H=i\partial_0\):
\(H\psi^{+}(x)=p_0 \psi^{+}(x)\)
ja funktioilla \(\psi^{-}(x) = v(p) e^{ +i p \cdot x}\) (lisäsin miinuksen)
\(H\psi^{-}(x)=-p_0 \psi^{-}(x)\).
Ylläolevissa on vaan lyhyesti merkitty \(\psi^{+}(x)\) ja \(\psi^{-}(x)\) Peskinin sen kohdan notaation mukaan, mutta vasemmat puolet ovat myös 3-momentin \(\mathbf p\) ominaistiloja ja spinin \( \sigma\) tiloja, joka on koodattu funktioihin \(u(p)\) ja \( v(p)\).
Yllä siis negatiiviset energiatilat ovat mukana.
Vapaan hiukkasen Diracin yhtälön ratkaisut ovat sitten lineaarikombinaatioita ylläolevista. Ylläoleva Hamilton voidaan esittää "diagonalisoituna", jossa on mukana positiivisen ja negatiivisen energian ominaisvektorit:
\(H= \int_{-\infty}^{\infty} dE\: E |E><E| = \int_{-\infty}^{0} dE\: E |E><E|+\int_{0}^{\infty} dE\: E |E><E|
\).
Tämä Hamilton ei ole positiividefiniitti, ainoastaan osaintegraali \( \int_{0}^{\infty} dE\: E |E><E|\) on. Oikeammin tuo tehdään luomis-ja hävitysoperaattorien avulla, kuten alla kirjoitatkin, mutta sekään ei ole ihan simppeliä, jos Peskiniä seuraa.
Tämä ei tosin ole vielä minkäänlaista kvanttikenttäteoriaa, mutta tämä osoittaa ongelmiin joihin Dirac törmäsi kehittäessään teoriaansa.
\(\displaystyle \phi(\mathbf x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf p}}} \left( a_{\mathbf p} e^{i \mathbf p \cdot \mathbf x}+a_{\mathbf p}^\dagger e^{-i \mathbf p \cdot \mathbf x}\right)\)
Ja vastaava \(\pi(\mathbf x)\) saadaan, kun klassinen konjugaatti korotetaan operaattori-arvoiseksi. Niin, ja tuossa \(\phi(\mathbf x)\):ssä on positiivisen ja negatiivisen taajuuden ratkaisut, jotka löytyvät myös klassisesta KG-yhtälöstä.
Tästä tuli muuten mieleeni Diracin mereen liittyvä vasta-argumentti, jonka olen joskus lukenut. Vuosisata sitten negatiivista energiaa selitettiin mm. sillä, että vakuumissa on negatiivisen energian "Diracin meri", joka on täynnä. Mereen ei voi "pudota" lisää fermioneja, sillä Paulin kieltosääntö estää sen. Nyt sitten esim. Klein-Gordon yhtälö kuvaa bosoneja, ja Paulin kieltosääntö ei ole voimassa. Eräs argumentti Diracin merta vastaan oli se, että myös bosoneilla on negatiivisen energian ratkaisu, ja niiden mereen pitäisi näin ollen pudota jatkuvasti lisää hiukkasia, vaikka meri olisi täynnä, kun kieltosääntöä ei ole. Joten tähän malliin tuo argumentti meni.
Takaisin KG-yhtälöön. Nyt kun muistin aiemmin mainitsemasi integrointimuuttuja vaihdon, niin tajusin sentään heti miksi P & S kirjoittaa tuon edellisen myös muodossa
\(\displaystyle \phi(\mathbf x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf p}}} \left( a_{\mathbf p} +a_{-\mathbf p}^\dagger\right) e^{i \mathbf p \cdot \mathbf x}\)
missä jälkimmäisen operaattorin parametrina \(-\mathbf p\).
Muut operaattorit muodostetaan oikeastaan suoraan klassisista ratkaisuista siten, että sijoitetaan operaattorit klassisen kentän vastaavaan suureeseen. Näinpä esim varaus-operaattori saataisiin laskemalla
\(\displaystyle Q = \int d^3x \frac i 2 (\phi^*\pi^* - \pi\phi)\)
Inspiroiduin kirjoittamastasi Hamiltonista, ja menin lukemaan miten Weinberg muodostaa varausoperaattorin, ja yleisestikin vaikkapa vuorovaikutus-operaattorin. No sehän ei ihan parilla rivillä onnistu, joten palaan asiaan ehkä huomenna, koska rakennusaineet ovat suorastaan jalokiviä