Suhteellisuusteoriaa

[Aadolf]

Saattaisi olla hyvä kertoa mikä on tuo yllä keskusteltu gamma. Se on energia kerroin.

Jos renkaan energia E = m₀c² ja rengas pannaan pyörimään käyttäen energia määrä E, niin renkaan kokonaisenergiaksi tulee gamma(v)*m₀ , missä v=0.87c, ja energiakerroin gamma(v)=2.

Koska tuon pyörivän renkaan energia on 2E, niin sen massa m=2E/c² = gamma(v)*m₀

Jos nyt ko. pyörivään renkaaseen ammutaan luoteja, luotien kokonaismassan ollessa m ja luotien kokonaisenergian ollessa mc², renkaan massaksi tulee 2m ja renkaan kokonaisenergiaksi tulee 2mc², energiakertoimen ollessa 2. Renkaan kulmanopeudeksi tulee w'=w / energiakerroin. Renkaan pyörimisenergiaksi tulee E'_rot = E_rot/energiakerroin.

Yo. lasku on oikein, kuha luotien törmäysenergia pysyy renkaassa.

Tämähän oli sitten relativistinen lasku, vaikkei se siltä näytäkään.

[QS]

Jos renkaan energia E = m0c2 ja rengas pannaan pyörimään käyttäen energia määrä E, niin renkaan kokonaisenergiaksi tulee gamma(v)*m0 , missä v=0.87c, ja energiakerroin gamma(v)=2.

Koska tuon pyörivän renkaan energia on 2E, niin sen massa m=2E/c2 = gamma(v)*m0

Yleistetään tätä. On oltava voimassa \(v \ll c\), jotta relativistinen keskeiskiihtyvyys, Born rigidity ja muut ilmiöt poistuvat. Tarkastelu pitäisi tehdä täysin relativistisesti, jotta voidaan sanoa mitkä termit jäävät pois, ja renkaan massapisteiden energia pitäisi ilmaista energia-impulssitensorina. Tarkastellaan nyt kuitenkin pyörimisen keskipisteen inertiaalissa.

Renkaan massapisteiden yhteenlaskettu lepoenergia \(E_0 = mc^2\). Lisätään energiaa siten, että pyörimisen energia on \( E_{rot} = b E_0\), missä \(b\) on kerroin, joka antaa lisättävän energian suhteessa lepoenergiaan. Kokonaisenergia \(E = E_0 + E_{rot} = E_0 + b E_0 = (1+b)mc^2\).

Kun rengas approksimoidaan yhdeksi jäykäksi massakappaleeksi, niin liikemäärävektorin ensimmäinen komponentti on \(\gamma mc^2\). Kokonaisenergiaan vertaamalla saadaan \(\gamma = 1 + b\), missä \(b \ge 0\).

Vauhdiksi saadaan \(v = c\sqrt{1-\frac{1}{(1+b)^2}}\). Ehdon \(v \ll c\) voimassa pysymiseksi voidaan arvioida \(b \lesssim 0.01\). Kulmaliikemäärä \(\omega = v / R\), missä \(R\) on säde, ja \(v\) tuo mainittu lauseke.

Tälle laskulle en antaisi painoarvoa, sillä ei ole laskettu relativistisen renkaan ominaisuuksia, vaan approksimoitu eräänlainen puoliksi newtonilainen ja puoliksi relativistinen energian lauseke.

[Aadolf]

Liikemääräkello: Esineeseen kerääntyy liikemäärää tasaiseen tahtiin.

Olemmeko samaa mieltä, että nopean reissun jälkeen reissun tehneet liikemääräkellot on jäljessä paikallaan pysyneisiin kelloihin verrattuna?

Olemmeko samaa mieltä että jos em. liikemääräkello on kaksi sähköllä varattua esinettä, niin sähkömagnetismin teoria ennustaa ko. kellon hidastumisen oikein, kun liikemäärä liikemääräkellossa siirtyy kohtisuoraan kellon nopeuteen nähden?

Kun liikemäärä liikemääräkellossa siirtyy samansuuntaisesti kellon nopeuteen nähden, niin silloinkin reissun jäkeen ko. kello on jäljessä, vaikka sm-teoria onkin eri mieltä, olemmeko samaa mieltä?

[pähkäilijä]

Mietin kysymystä aallon/fotonin energiasta. Aallon energia on 1/aallonpituus (1/lambda). Kun lambda lähestyy nollaa, ollaan suurissa energioissa. Tehdään koe, raketti menee lähes c nopeutta, se on kiihdyttänyt 50v vauhtiaan. Raketista lähetetään eteenpäin heikko aalto, 1/1000m. Raketin nopeus hiukan laskee mutta kuinka suuri energia aallolla on kun se törmää maahan?
Mitä ajan takaa? Sitä kuinka aallon energia kasvaa raketin suuren nopeuden vuoksi. Ajattelen ettei raketin energia muutu lineaarisesti, eli kun nopeus laskee lineaarisesti, niin raketin lähettämien aaltojen energia laskee eksponentiaalisesti. Erityisesti lähes valon nopeudella lähetetyt 1/1000m aallot muuttuu vaarallisen voimakkaiksi törmätessään maahan. Siis raketin päässä ne on mitättömiä mutta maan päässä ne on tuhoisia?

[QS]

Mietin kysymystä aallon/fotonin energiasta. Aallon energia on 1/aallonpituus (1/lambda). Kun lambda lähestyy nollaa, ollaan suurissa energioissa. Tehdään koe, raketti menee lähes c nopeutta, se on kiihdyttänyt 50v vauhtiaan. Raketista lähetetään eteenpäin heikko aalto, 1/1000m. Raketin nopeus hiukan laskee mutta kuinka suuri energia aallolla on kun se törmää maahan?

Merkitään raketin koordinaatisto K ja maan koordinaatisto K'. Nopeudella \(v\) lähestyvän raketin koordinaateilla aallonpituus on \(\lambda\). Maassa todetaan relativistinen Doppler-ilmiö, ja aallonpituudeksi saadaan

\(\displaystyle \lambda' = \lambda \sqrt{\frac{1-v}{1+v}}\)

Tätä vastaava energia on

\(\displaystyle E' = E \sqrt{\frac{1+v}{1-v}}\)

missä E on energia raketin koordinaateilla. Kun nopeudeksi valitaan \(v = 0.8\), niin kaavat ovat \(\lambda'= \frac 1 3 \lambda\) ja \(E' = 3E\). Massa mitattuna aallonpituus on pienempi (sinisiirtymä) ja energia on suurempi.

Erityisesti lähes valon nopeudella lähetetyt 1/1000m aallot muuttuu vaarallisen voimakkaiksi törmätessään maahan. Siis raketin päässä ne on mitättömiä mutta maan päässä ne on tuhoisia?

Näinkin voidaan todeta, kyllä.

Mitä ajan takaa? Sitä kuinka aallon energia kasvaa raketin suuren nopeuden vuoksi. Ajattelen ettei raketin energia muutu lineaarisesti, eli kun nopeus laskee lineaarisesti, niin raketin lähettämien aaltojen energia laskee eksponentiaalisesti.

Näin on, energian ja nopeuden suhde ei ole lineaarinen. Vaaka-akseli on maata lähestyvän (sinisiirtymä) raketin nopeus, ja pystyakseli maassa mitatun energian E' suhde raketissa mitattuun energiaan E. Nopeuden \(v=0.8\) kohdalla punainen piste.

Doppler.png (10.8 KiB) Katsottu 159 kertaa

Vastaava kuva etääntyvälle (punasiirtymä) raketille

Doppler2.png (12.86 KiB) Katsottu 155 kertaa

Kuvissa koordinaattivälien suhteet eivät ole samat, jonka takia kuvat eivät ole symmetriset.