Ratkaise tehtävä ja esitä uusi!

[Kontra]

Tehtävän lopussa luki näin:
............
Hiiri ehtii pujahtaa koloonsa ennen kuin kissa saa sen napatuksi.
Kissa on sen verran tyhmä, ettei hoksaa juosta suoraan hiiren kololle, jossa se nappaisi hiiren kolon sulla, vaan se suuntaa juoksunsa koko ajan hiirtä kohti, jolloin sen juoksurata kaartuu.
Paljonko kissa häviää kilpajuoksussa hiirelle?

Sinähän aikaisemmin jo kerran laskit kissan juoksun híirenkololle, jossa se nappaa hiiren.
Kaartaessaan se ei saavuta hiirtä, kun on tyhmä.

Vieläkö kiinnostaa aloittaa alusta?
Jätä kiihtyvyydet pois?

Tarkoitatko, että hiiren kolo on paikassa \((x,y)=(10, \frac{30}{\sqrt{91}})\) ja suoraan kololle juostessaan kissa saavuttaisi hiiren tuossa pisteessä hetkellä \(t=\frac{10}{\sqrt{91}}\), vai?

En minä tiedä missä se kolo on - senhän saa laskettua sillä menetelmällä, jolla sen aikaisemmin laskit. Eli suorat juoksut kummallakin, ja suorien leikkauspisteessä se kolo on.

En kyllä käsitä, miten tuo viimeinen laskelmasi on voinut tuottaa ihan käsittämättömän yhtälön.

Okei. Arvoilla \(v_k=10\), \(v_h = 3\) ja \(b=10\) kolo on siis pisteessä \((x_k,y_k)=(10, \frac{30}{\sqrt{91}})\), jonka H saavuttaa ajassa \(T = \frac{10}{\sqrt{91}}\).

K:n käyrä noilla arvoilla on

\(y(x)=\frac{300}{91}-\frac{5}{7}\times 10^{3/10}\ (10-x)^{7/10}+\frac{10^{7/10}}{26}(10-x)^{13/10}\)

Tätä käyrää seuraamalla kissa etenee ajassa T paikkaan \((B,Y)\), joka saadaan ratkaisemalla

\(\begin{align*}
Y &= \dfrac{B\ k}{1-k^2}\\\\
T &=\dfrac{B\ v_k}{v_k^2-v_h^2}
\end{align*}\)

missä \(k = v_h/v_k = 3/10\). Ratkaisuna \((B,Y)=\left(\sqrt{91},\frac{30\sqrt{91}}{91}\right)\).

Pisteiden \((B,Y)\) ja \((x_k,y_k)\) välinen etäisyys on \(10-\sqrt{91} = 0.46\), mikä on se etäisyys, jonka kissa häviää käyrää seuraamalla. Laskin nopeasti, ehkä tein virheen, tai sitten ei.

Hienoa hienoa. Ratkaisit sittenkin koko homman. Vastaus 46 cm.

Mutta kyllä minua arveluttaa, etteikö vähän vähemmälläkin työllä tuota voisi laskea, vaikka likiarvoilla? 
Eihän noita laskuja tajua, kuin ehkä viikon funtsimisella, jos sittenkään?

[QS]

En kyllä käsitä, miten tuo viimeinen laskelmasi on voinut tuottaa ihan käsittämättömän yhtälön.

Funktion muoto oli mullekin yllätys. Mutta juuri parasta on se, kun löytää jotain mitä ei olisi osannut päätellä arkijärjellä. Yleinen muoto

\(y(x;k,b)=\dfrac{(k-1) b^{-k} (b-x)^{k+1}+(k+1) b^k (b-x)^{1-k}}{2 \left(k^2-1\right)}-\dfrac{b k}{k^2-1}\)

sisältää potensseja, joissa kissan ja hiiren nopeuden suhde \(k=v_h/v_k\). Esimerkiksi (b-x) voi nousta potenssiin \((b-x)^{\frac{3}{10}}\) jne. Tämän takia siitä tulee hauskan näköinen. Jos k sattuu olemaan 1/2, niin ovat neliöjuuria.

[Kontra]

En kyllä käsitä, miten tuo viimeinen laskelmasi on voinut tuottaa ihan käsittämättömän yhtälön.

Funktion muoto oli mullekin yllätys. Mutta juuri parasta on se, kun löytää jotain mitä ei olisi osannut päätellä arkijärjellä. Yleinen muoto

\(y(x;k,b)=\dfrac{(k-1) b^{-k} (b-x)^{k+1}+(k+1) b^k (b-x)^{1-k}}{2 \left(k^2-1\right)}-\dfrac{b k}{k^2-1}\)

sisältää potensseja, joissa kissan ja hiiren nopeuden suhde \(k=v_h/v_k\). Esimerkiksi (b-x) voi nousta potenssiin \((b-x)^{\frac{3}{10}}\) jne. Tämän takia siitä tulee hauskan näköinen. Jos k sattuu olemaan 1/2, niin ovat neliöjuuria.

Mitäs arvelet, miksi ketjun luentamäärä on kasvanut yhtäkkiä käsittämättömään lukemaan yli 32'000:een, kun se pari päivää sitten 19.02 oli n.1500. Miksi tekoäly on siitä noin kiinnostunut?

[QS]

Olet hiekkarannalla, jonka hiekka on hyvin hienojakoista. Kävelet lähellä vesirajaa. Hiekka on märkää. Kun astelet märällä hiekalla, niin huomaat, että astuessasi hiekalle se näyttää kuivuvan jalkasi kohdalta ja sen ympäriltä. Vesi ikäänkuin pakenee jalan läheisyydessä jonnekin. Tuttu ilmiö lähes kaikille. Mikä on ilmiön selitys?

hiekka.png (355.51 KiB) Katsottu 675 kertaa

[Eusa]

Olet hiekkarannalla, jonka hiekka on hyvin hienojakoista. Kävelet lähellä vesirajaa. Hiekka on märkää. Kun astelet märällä hiekalla, niin huomaat, että astuessasi hiekalle se näyttää kuivuvan jalkasi kohdalta ja sen ympäriltä. Vesi ikäänkuin pakenee jalan läheisyydessä jonnekin. Tuttu ilmiö lähes kaikille. Mikä on ilmiön selitys?

hiekka.png

Noste eli gravitaation syy.

[eam]

Ketjun idea on esittää erilaisia tehtäviä, joita sitten on tarkoitus ratkaista. Vastaavia ketjuja on ollut netissä ja tässä sitten tälle palstalle sellainen.

Tehtävä: Luvun 2 neliöjuuren likiarvo

Tämän tehtävän kehittelin ihan itse ja tässä annetaan luvut {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ja peruslaskutoimitukset +,-,*,/ eli plus-, miinus-, kerto- ja jakolasku. Tehtävänä on laskea luvun 2 neliöjuurelle mahdollisimman hyvä likiarvo käyttäen kutakin annettua lukua täsmälleen yhden kerran, mutta saat käyttää annettuja laskutoimituksia miten haluat.

Neliöjuuren likiarvo on = 1.4142135623 ja tätä tarkennetaan tarvittaessa, mutta siihen ei liene aihetta.

Esimerkki: lasken kaikkien lukujen käänteisarvot yhteen ja niin saan likiarvon = 7129/2520 = 2,83. Ei sitten lähelläkään.

Edit:
Epäselvyyksien välttämiseksi, lukuja ei saa yhdistää kuten esimerkiksi 89 on tavallaan yhdistelmä luvusta 8 ja 9. Tälläistä ei saa käyttää, vaan luvut {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ovat ainoat luvut joita laskutoimituksissa saa käyttää.

Lähdin liikkelle 1.4 = 7/5 ja sille korjaustermi
sqrt(2)-1.4 = 0.014213...
Sen käänteisluku ~ 70.355...
71 ja 69 löytyi helposti ja lopulta myös 70, jolla neljä desimaalia oikein:
7/5 + 1/(9*6+8*3-4*2) ~ 1.4142...

Vielä piti yrittää: lähellä 70.355.. olisi 70.333... esim. 69+4/3 ja sekin löytyi.

7/5 + 1/(9*8-3+2*4/6) ~ 1.41421...

[Disputator]

Ketjun idea on esittää erilaisia tehtäviä, joita sitten on tarkoitus ratkaista. Vastaavia ketjuja on ollut netissä ja tässä sitten tälle palstalle sellainen.

Tehtävä: Luvun 2 neliöjuuren likiarvo

Tämän tehtävän kehittelin ihan itse ja tässä annetaan luvut {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ja peruslaskutoimitukset +,-,*,/ eli plus-, miinus-, kerto- ja jakolasku. Tehtävänä on laskea luvun 2 neliöjuurelle mahdollisimman hyvä likiarvo käyttäen kutakin annettua lukua täsmälleen yhden kerran, mutta saat käyttää annettuja laskutoimituksia miten haluat.

Neliöjuuren likiarvo on = 1.4142135623 ja tätä tarkennetaan tarvittaessa, mutta siihen ei liene aihetta.

Esimerkki: lasken kaikkien lukujen käänteisarvot yhteen ja niin saan likiarvon = 7129/2520 = 2,83. Ei sitten lähelläkään.

Edit:
Epäselvyyksien välttämiseksi, lukuja ei saa yhdistää kuten esimerkiksi 89 on tavallaan yhdistelmä luvusta 8 ja 9. Tälläistä ei saa käyttää, vaan luvut {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ovat ainoat luvut joita laskutoimituksissa saa käyttää.

Lähdin liikkelle 1.4 = 7/5 ja sille korjaustermi
sqrt(2)-1.4 = 0.014213...
Sen käänteisluku ~ 70.355...
71 ja 69 löytyi helposti ja lopulta myös 70, jolla neljä desimaalia oikein:
7/5 + 1/(9*6+8*3-4*2) ~ 1.4142...

Vielä piti yrittää: lähellä 70.355.. olisi 70.333... esim. 69+4/3 ja sekin löytyi.

7/5 + 1/(9*8-3+2*4/6) ~ 1.41421...

 

Yes, tälläisiä ratkaisuita juuri haettiinkin. Olin jo unohtanut tämän tehtävän täysin. Tuo antamasi on jo hyvin tarkka, siinä on peräti 5 oikeaa desimaalia ja ratkaisutapasi on mielestäni hyvin näppärä.

En nyt muista ihan varmasti, mistä sain idean tälläiseen tehtävään, mutta idea oli oma. Luultavasti kuitenkin olin tuolloin hämmästellyt erästä muinaisen Babylonian matemaatikkojen saavutusta, nimittäin heidän laskemaa luvun \(\sqrt{2}\) likiarvon hyvin tarkkaa arvoa.

Yalen yliopiston kokoelmissa on babylonialainen savitaulu, jolla on komealta kalskahtava arkistointitunnut YBC 7289 ja taulussa lasketaan yksikköneliön hypotenuusan pituutta ja siinä on jopa kuva ja siitä löytyy hypotenuusalle nuolenpääkirjoituksella seksagesimaalit (meidän merkinnöin) 1 24 51 10. Lasketaan tuo auki:

\(
\begin{aligned}
d &= 1+24/60+51/60^2+10/60^3\\
&=30547/21600\\
&=1,414212
\end{aligned}
\)

Tuossa on myös viisi oikeaa desimaalia! Tässä linkki Wikipedian artikkeliin:
YBC 7289

[Disputator]

Olet hiekkarannalla, jonka hiekka on hyvin hienojakoista. Kävelet lähellä vesirajaa. Hiekka on märkää. Kun astelet märällä hiekalla, niin huomaat, että astuessasi hiekalle se näyttää kuivuvan jalkasi kohdalta ja sen ympäriltä. Vesi ikäänkuin pakenee jalan läheisyydessä jonnekin. Tuttu ilmiö lähes kaikille. Mikä on ilmiön selitys?

hiekka.png

Jotenkin voisi ajatella, että hiekanjyvien välissä on enemmänkin vettä, koska hiekka oli märkää. Sitten jalka puristaa hiekanjyvät lähemmäksi toisiaan ja veden on virrattava jonnekkin, varmaan poispäin jalasta. Vähän sama ilmiö kuin kiertäessä rättiä kuivaksi... Mutta miksi se vesi ei sitten tule pinnalle? Lienee veden virtauksen suunta hiekan sisällä on poispäin jalasta, jonkinlainen shokkiaalto..

[QS]

Olet hiekkarannalla, jonka hiekka on hyvin hienojakoista. Kävelet lähellä vesirajaa. Hiekka on märkää. Kun astelet märällä hiekalla, niin huomaat, että astuessasi hiekalle se näyttää kuivuvan jalkasi kohdalta ja sen ympäriltä. Vesi ikäänkuin pakenee jalan läheisyydessä jonnekin. Tuttu ilmiö lähes kaikille. Mikä on ilmiön selitys?

hiekka.png

Jotenkin voisi ajatella, että hiekanjyvien välissä on enemmänkin vettä, koska hiekka oli märkää. Sitten jalka puristaa hiekanjyvät lähemmäksi toisiaan ja veden on virrattava jonnekkin, varmaan poispäin jalasta. Vähän sama ilmiö kuin kiertäessä rättiä kuivaksi... Mutta miksi se vesi ei sitten tule pinnalle? Lienee veden virtauksen suunta hiekan sisällä on poispäin jalasta, jonkinlainen shokkiaalto..

Noin sen helposti voisi päätellä. Yllättävää kyllä, tässä on taustalla aivan päinvastainen ilmiö.

Tämä on melko vanha probleema, jota tietääkseni tutki Osborne Reynolds jo 1800-luvulla. Hänen nimeään kantaa Reynoldsin dilatanssi, joka on eräiden fluidien ominaisuus. Märkä hiekka on fluidi, tarkemmin dilatantti fluidi.

Märän hiekan tilavuus suurenee (tiettyyn rajaan asti), kun sitä puristetaan jostain suunnasta. Vaikuttaa järjevastaiselta, mutta totta on. Hiekanjyvät jakautuvat paineessa siten, että niiden väliin jää enemmän tyhjää tilaa. Vesi valuu väleissä oleviin 'onteloihin'. Kun paine poistuu, jyvät asettuvat jälleen lähekkäin toisiaan, ja vesi leviää muualle, myös takaisin pintaa kohti.

[Disputator]

Olet hiekkarannalla, jonka hiekka on hyvin hienojakoista. Kävelet lähellä vesirajaa. Hiekka on märkää. Kun astelet märällä hiekalla, niin huomaat, että astuessasi hiekalle se näyttää kuivuvan jalkasi kohdalta ja sen ympäriltä. Vesi ikäänkuin pakenee jalan läheisyydessä jonnekin. Tuttu ilmiö lähes kaikille. Mikä on ilmiön selitys?

hiekka.png

Jotenkin voisi ajatella, että hiekanjyvien välissä on enemmänkin vettä, koska hiekka oli märkää. Sitten jalka puristaa hiekanjyvät lähemmäksi toisiaan ja veden on virrattava jonnekkin, varmaan poispäin jalasta. Vähän sama ilmiö kuin kiertäessä rättiä kuivaksi... Mutta miksi se vesi ei sitten tule pinnalle? Lienee veden virtauksen suunta hiekan sisällä on poispäin jalasta, jonkinlainen shokkiaalto..

Noin sen helposti voisi päätellä. Yllättävää kyllä, tässä on taustalla aivan päinvastainen ilmiö.

Tämä on melko vanha probleema, jota tietääkseni tutki Osborne Reynolds jo 1800-luvulla. Hänen nimeään kantaa Reynoldsin dilatanssi, joka on eräiden fluidien ominaisuus. Märkä hiekka on fluidi, tarkemmin dilatantti fluidi.

Märän hiekan tilavuus suurenee (tiettyyn rajaan asti), kun sitä puristetaan jostain suunnasta. Vaikuttaa järjevastaiselta, mutta totta on. Hiekanjyvät jakautuvat paineessa siten, että niiden väliin jää enemmän tyhjää tilaa. Vesi valuu väleissä oleviin 'onteloihin'. Kun paine poistuu, jyvät asettuvat jälleen lähekkäin toisiaan, ja vesi leviää muualle, myös takaisin pintaa kohti.

 

Jopas oli mielenkiintoinen selitys. Tosiaan, ihan klassisessa fysiikassa on erilaisia ilmiöitä, jotka ovat ns. intuition vastaisia. Mutta miten märän hiekan tilavuus voi kasvaa, koska vesi on kokoonpuristumatonta ja hiekanjyvät myös? Mutta, kuten vastasit, siellä on jotain "ilmakuplia" tai jotain "kuplia" tai "onteloita", tai tämä on jotain merkillistä termodynamiikkaa.