Ratkaise tehtävä ja esitä uusi!

[Eusa]

Tässä vastineeksi tehtävää, jossa \(dx\) onkin alaindeksinä.

Olkoon \((T_t)_{t\ge 0}\) vahvasti jatkuva kontraktiosemi­ryhmä Hilbert-avaruudella \(H\). Toisin sanoen oletetaan, että

\(
T_0 = I,\quad
T_{s+t} = T_s T_t \quad (\forall\, s,t \ge 0),\quad
\|T_t\| \le 1 \quad (\forall\, t \ge 0),
\)

ja jokaiselle \(\psi \in H\) funktio \(t \mapsto T_t \psi\) on jatkuva (vahva jatkuvuus).

Haluamme nyt antaa merkinnälle

\(
\prod_0^1 T_{dx}
\)

tarkan merkityksen tulointegraalin avulla.

Olkoon \(\mathcal{P}\) jaotus välillä \([0,1]\):

\(
\mathcal{P} : 0 = x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1,
\)

ja merkitään \(\Delta x_k = x_k - x_{k-1}\) ja \(|\mathcal{P}| = \max_k \Delta x_k\). Määritellään

\(
P(\mathcal{P}) := T_{\Delta x_n} \cdots T_{\Delta x_2} T_{\Delta x_1}.
\)

Jos raja \(\lim_{|\mathcal{P}|\to 0} P(\mathcal{P})\) on olemassa (esimerkiksi operaattorinormissa), merkitään sitä muodolla

\(
\prod_0^1 T_{dx}.
\)

- Osoita semiryhmän ominaisuuksista, että kaikilla jaotuksilla \(\mathcal{P}\) pätee \(P(\mathcal{P}) = T_1\).

- Päättele, mitä raja-arvo \(\displaystyle \prod_0^1 T_{dx}\) on.

Löytyisikö tähän jotain vastailua?

Erikoisia suomenkielisiä termejä: Viittaa vahvasti AI:n tuottamaan tekstiin... ; )

Puoliryhmän ominaisuudesta \(T_{s+t} = T_s T_t\) seuraa suoraan, että annetulla välillä pätee \(T_{\Delta x_n} \cdots T_{\Delta x_1} = T_{\Delta x_n + \dots \Delta x_1} = T_1\). Tulointegraalin kaltainen notaatio tarkoittaa samaa, joten \(\displaystyle \prod_0^1 T_{dx} = T_1\).

Joo - ei jaksa käsin naputella.

Hyvä. Huomasit että tässä asetuksessa tulointegraali trivialisoituu ja \(\displaystyle \prod_0^1 T_{dx} = T_1\).

Miten jatkaisit:
- yleistyksen \(\displaystyle \prod_a^b T_{dx}\) tapauksessa, ja
- tulkiten alaindeksimerkintää \(T_{dx} \approx I + A\,dx\) suhteessa tähän tulointegraaliin ja yhtälöön \(\frac{d}{dt}T_t = A T_t\)?

[QS]

Joo - ei jaksa käsin naputella.

Hyvä. Huomasit että tässä asetuksessa tulointegraali trivialisoituu ja \(\displaystyle \prod_0^1 T_{dx} = T_1\).

Miten jatkaisit:
- yleistyksen \(\displaystyle \prod_a^b T_{dx}\) tapauksessa, ja
- tulkiten alaindeksimerkintää \(T_{dx} \approx I + A\,dx\) suhteessa tähän tulointegraaliin ja yhtälöön \(\frac{d}{dt}T_t = A T_t\)?

Ensimmäiseen vastaan itse: Kun oletetaan, että\( 0 \le a \le b \le 1\), niin mainitusta puoliryhmän määritelmästä seuraa \(\prod_{a}^{b} T_{dx}\ \overset{def}{=}\lim_{\Delta x_n \to 0}\left( T_{\Delta x_n}T_{\Delta x_{n-1}} \dots T_{\Delta x_1}\right) = T_{b-a}\).

Koska oli AI:n kirjoittama tehtävä, niin vastatkoon se itse viimeiseen kohtaan (huonolla soomen kielellä):

### **4. Generaattori (A), formaali likimääräys (T_{dx} \approx I + A,dx) ja yhteys tulointegraaliin**

Olettaen, että semiryhmällä \(((T_t)_{t\ge 0})\) on generaattori (A), pätee (vahvassa mielessä)

\(
\frac{d}{dt}T_t \psi = A T_t \psi, \qquad t\ge 0.
\)

Erityisesti derivointi hetkellä (t=0) antaa

\(
T_h\psi = \psi + hA\psi + o(h) \quad (h\to 0),
\)

mikä voidaan kirjoittaa muodossa

\(
T_h = I + hA + o(h).
\)

Tästä saadaan formaali likimääräys pienille aikastepeille:

\(
T_{dx} \approx I + A,dx.
\)

Kun jaotus \((\mathcal{P}: 0=x_0<\dots<x_n=1)\) on hyvin hieno, tulointegraalin määritelmässä esiintyvä tulo

\(
P(\mathcal{P}) = T_{\Delta x_n}\cdots T_{\Delta x_1}
\)

voidaan approksimoida generaattorin avulla:

\(
P(\mathcal{P})
\approx (I + A,\Delta x_n)\cdots (I + A,\Delta x_1).
\)

Tämä on täsmälleen **tulointegraalin** klassinen muoto, joka ratkaisee differentiaaliyhtälön

\(
\frac{d}{dt}U(t) = A,U(t),\qquad U(0)=I.
\)

Abstraktien semiryhmäteorioiden perustuloksen mukaan tämän ODE:n yksikäsitteinen ratkaisu on itse semiryhmä:

\(
U(t) = T_t.
\)

Siksi formaali likimääräys

\(
T_{dx} \approx I + A,dx
\)

on generaattorin ensimmäisen kertaluvun Taylorin laajennus, ja kun nämä pienet askeleet kerrotaan (tuote-integroidaan) yli välin ([0,1]), saadaan täsmällinen operaattori

\(
\prod_0^1 T_{dx} = T_1.
\)

Aivan erityisen generatiivinen keksintö näyttäisi tällä kertaa olevan "tuote-integrointi"

[Eusa]

Se oli generaation puhtaaksikirjoittama tarkan selonteon perusteella. Puoliväkisin koitin löytää Hilbert-avaruudellisen sovelman dx-alaindeksistä liittyen tulointegraalin mikä nousi keskusteluun.

Ei enää kannata tuhlata aikaa käsin kirjoittamiseen. Mutta valitettavan paljon näkee tuubaa sisältöä, kun ideointikin jätetään generaation varaan - no, se on toki ihmisten 99% arkitodellisuutta ilman AI:takin; täysin ennusteluun perustuvaa small talk -generaatiota.

[Disputator]

Iltaa!

Periaatteessa siis, voinko kuitenkin olla vakuuttunut siitä, että nämä fysikaaliset sarjat vastaavat idealtaan sitä matriisien epäkommutatiivisuutta sarjoineen, ainakin likimäärin?

Itse olen tullut siihen tulokseen, että kvanttikenttäteoriassa mistään ei voi olla täysin vakuuttunut . Mutta jos oikein vapautuneeksi heittäytyy, niin likimäärin ehkä kyllä. Mitään vakavaa argumenttia asian todenperäisyydestä en kyllä uskalla antaa.

Dysonin sarja ei kuitenkaan ole sama kuin kahden ei-kommutoivan matriisieksponenttin tulo \(e^X e^Y = e^Z\), missä matriisi Z voidaan kirjoittaa sarjana käyttämällä esimerkiksi Baker-Campbell-Hausdorff kaavaa. Ehkä näilläkin on yhteytensä, en osaa sanoa tarkemmin.

Joo, tätä pitää miettiä, kun aikaa ja viitseliäisyyttä löytyy multa. Tavallaan aika paljon Dysonin sarjan problematiikkaa löytyy mun mielestä jo ihan matriiseista, ei toki varmaan kaikkea, mitä fysiikassa tulee vastaan, mutta jotain kuitenkin. Ja se oli hyvä se sun "tuote-integraalin" esitys, tutkin sitä kun aika on sopiva.

Olen nyt oppinut (lukenut netistä, en ymmärrä matikkaa), että sarja sinänsä on hajaantuva (ainakin QED), eli se ei suppene mihinkään, mutta siitä huolimatta se on hyvä muodostaessa likiarvoja. Siinähän tavallaan iteroidaan differentiaaliyhtälöstä saatua integraaliyhtälöä rekursiivisesti. Lopputulos hajaantuu, mutta osasummat ovat oikein.. hyviä likiarvoja.

[QS]

Olen nyt oppinut (lukenut netistä, en ymmärrä matikkaa), että sarja sinänsä on hajaantuva (ainakin QED), eli se ei suppene mihinkään, mutta siitä huolimatta se on hyvä muodostaessa likiarvoja. Siinähän tavallaan iteroidaan differentiaaliyhtälöstä saatua integraaliyhtälöä rekursiivisesti. Lopputulos hajaantuu, mutta osasummat ovat oikein.. hyviä likiarvoja.

Nyt kun sanoit, niin Dysonin sarja vastaa tosiaan iteroimalla saatua integraaliyhtälön ratkaisua. Eli siis ensin ratkaisu \(U_0(t,t_0)=1\), ja sijoitetaan seuraavaan \(\displaystyle U_1(t,t_0)= 1 - i \int_{t_0}^{t} dt_1 H(t_1)\), ja seuraavaan \(\displaystyle U_2(t,t_0)= 1 - i \int_{t_0}^{t} dt_1 H(t_1) + (-i)^2\int_{t_0}^{t}dt_1\int_{t_0}^{t_1}dt_2H(t_1)H(t_2)\) ja niin edelleen.

Kokonaisuutena ratkaisu (asymptoottinen sarja?) hajaantuu, mutta pienille kertaluvuille antaa riittävän oikean tuloksen. Tuo sarja ei toki ole ainoa hajaantuva lauseke kvanttikenttäteoriassa, hah. Tästä voisi avata oman ketjunsa, on ihan mielenkiintoinen asia tämäkin.